Rappel · 1

Si $f$ est une fonction strictement décroissante sur un intervalle $I$ , et si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a < b$ , quelle relation compare $f(a)$ et $f(b)$ ?

Remarque

Une fonction strictement décroissante inverse le sens des inégalités : comme $a < b$ , on a obligatoirement $f(a) > f(b)$ .

Point de départ · 2

On considère une fonction $f$ continue et strictement décroissante sur $[1 ; 4]$ , telle que $f(1) = 5$ et $f(4) = 2$ . Lorsque $x$ décrit le segment $[1 ; 4]$ , quel intervalle décrit l'ensemble des valeurs $f(x)$ ?

Remarque

Les valeurs $f(x)$ varient de façon continue entre $2$ et $5$ . En mathématiques, les bornes d'un intervalle sont toujours ordonnées de la plus petite à la plus grande : on écrit $[2 ; 5]$ et jamais $[5 ; 2]$ .

Définition · 3

Théorème de l'image d'un intervalle

L'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature (fermé, ouvert ou semi-ouvert).

$f \text{ strictement croissante sur } [a ; b] \implies f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)]$

$f \text{ strictement décroissante sur } [a ; b] \implies f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]$

Remarque

Aux bornes ouvertes ou infinies, les valeurs ponctuelles sont remplacées par les limites correspondantes, en plaçant toujours la plus petite borne à gauche.

Exemple travaillé · 4

Soit $f$ la fonction définie sur $[1 ; 3]$ par $f(x) = x^2 - 2x + 3$ . Déterminer l'intervalle image $f([1 ; 3])$ .

1

On vérifie la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $[1 ; 3]$ .

f'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)

2

Pour tout $x \in ]1 ; 3]$ , on a $x - 1 > 0$ donc $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc continue, et elle est strictement croissante sur $[1 ; 3]$ .

3

On calcule les images des extrémités du segment.

f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2 \quad \text{et} \quad f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6

4

La fonction $f$ étant strictement croissante, l'ordre des bornes est conservé.

f([1 ; 3]) = [f(1) ; f(3)] = [2 ; 6]

Exemple travaillé · 5

Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = -x^3 + 2$ . Déterminer l'intervalle image $g([0 ; +\infty[)$ .

1

On justifie la régularité et le sens de variation de $g$ sur $[0 ; +\infty[$ .

g'(x) = -3x^2

2

Pour tout $x > 0$ , $g'(x) < 0$ . La fonction polynôme $g$ est continue et strictement décroissante sur $[0 ; +\infty[$ .

3

On détermine la valeur en $0$ et le comportement à l'infini.

g(0) = -0^3 + 2 = 2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x^3) = -\infty

4

Comme $g$ est strictement décroissante, l'ordre des bornes s'inverse : la limite en $+\infty$ devient la borne inférieure ouverte, et $g(0)$ devient la borne supérieure fermée.

g([0 ; +\infty[) = ]\lim_{x \to +\infty} g(x) ; g(0)] = ]-\infty ; 2]

Piège classique · 6

Soit $h$ la fonction définie sur $[-4 ; -2]$ par $h(x) = \frac{3}{x+1}$ . Sachant que $h$ est continue et strictement décroissante sur $[-4 ; -2]$ , avec $h(-4) = -1$ et $h(-2) = -3$ , quel est l'intervalle image $h([-4 ; -2])$ ?

Attention

Écrire $h([-4 ; -2]) = [h(-4) ; h(-2)] = [-1 ; -3]$ en recopiant les images dans l'ordre des abscisses.

À la place : Un intervalle s'écrit toujours de la borne inférieure à la borne supérieure. Comme $h$ est strictement décroissante, les bornes s'inversent : $h([-4 ; -2]) = [h(-2) ; h(-4)] = [-3 ; -1]$ .

Vérification · 7

La fonction $u : x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue et strictement décroissante sur $]0 ; 3]$ . Sachant que $u(3) = \frac{1}{3}$ et $\lim_{x \to 0^+} u(x) = +\infty$ , quel est l'intervalle $u(]0 ; 3])$ ?

Remarque

Comme $u$ est strictement décroissante, l'ordre est inversé. La borne fermée $3$ donne la borne inférieure fermée $u(3) = \frac{1}{3}$ , et la borne ouverte $0$ donne la borne supérieure ouverte $+\infty$ : $u(]0 ; 3]) = [u(3) ; \lim_{x \to 0^+} u(x)[ = [\frac{1}{3} ; +\infty[$ .

Point de départ · 8

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2$ . Pour tout réel $y \in [0 ; +\infty[$ , combien l'équation $f(x) = y$ possède-t-elle de solutions dans $[0 ; +\infty[$ ?

Remarque

Chaque réel positif $y$ possède un seul et unique antécédent positif : $x = \sqrt{y}$ (la solution négative $-\sqrt{y}$ est exclue de l'intervalle). Comme à chaque $y$ correspond un unique $x$ , on peut faire le chemin inverse : on note cette fonction réciproque $f^{-1}$ , avec $f(x) = y \iff x = f^{-1}(y)$ .

Définition · 9

Théorème de la bijection

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ .

$f \text{ continue et strictement monotone sur } I \implies f \text{ réalise une bijection de } I \text{ sur } J = f(I)$

Pour tout réel $k \in J$ , l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$ .

$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \quad (\text{pour tout } x \in I \text{ et tout } y \in J)$

La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$ . Dans un repère orthonormé, les courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$ .

Exemple travaillé · 10

Soit $f$ la fonction définie sur $[1 ; 2]$ par $f(x) = x^3 - x^2 - 1$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1 ; 2]$ .

1

On étudie la dérivabilité et le signe de la dérivée de $f$ sur $[1 ; 2]$ .

f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)

2

Pour tout $x \in [1 ; 2]$ , on a $x > 0$ et $3x - 2 \ge 1 > 0$ , donc $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est continue (fonction polynôme) et strictement croissante sur $[1 ; 2]$ .

3

D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $[1 ; 2]$ sur son intervalle image $J = [f(1) ; f(2)]$ .

4

On calcule les images des bornes.

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^3 - 2^2 - 1 = 3

5

L'intervalle image est $J = [-1 ; 3]$ . Comme $0 \in [-1 ; 3]$ , le réel $0$ possède un antécédent unique $\alpha \in [1 ; 2]$ . L'équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution dans $[1 ; 2]$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 + 1$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser, puis déterminer la valeur de $f^{-1}(5)$ sans expliciter la fonction $f^{-1}$ .

1

Pour tout $x > 0$ , $f'(x) = 2x > 0$ . La fonction polynôme $f$ est continue et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ .

2

On évalue l'image de la borne et la limite à l'infini pour déterminer $J$ .

f(0) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

3

D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur $J = [1 ; +\infty[$ .

4

Pour déterminer $f^{-1}(5)$ , on utilise l'équivalence fondamentale.

f^{-1}(5) = x \iff f(x) = 5 \quad \text{avec } x \in [0 ; +\infty[

5

On résout l'équation dans l'intervalle de départ $[0 ; +\infty[$ .

x^2 + 1 = 5 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \quad (\text{car } x \ge 0)

6

L'unique antécédent positif de $5$ est $2$ , donc $f^{-1}(5) = 2$ .

Piège classique · 12

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $[1 ; 5]$ telle que $f(1) = 2$ et $f(5) = 7$ . On souhaite prouver que l'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution dans $[1 ; 5]$ . Quelle condition suffit à le justifier ?

Attention

Chercher à calculer le produit $f(1) \times f(5) < 0$ , alors que la valeur cible n'est pas zéro.

À la place : Le test du produit $f(a) \times f(b) < 0$ ne concerne que l'équation $f(x) = 0$ . Pour toute autre valeur cible $k$ , on vérifie simplement que $k$ appartient à l'intervalle image : comme $4 \in [2 ; 7]$ et que $f$ est strictement monotone, l'existence et l'unicité de la solution sont assurées.

Vérification · 13

Soit $g$ une fonction continue sur $[-2 ; 3]$ telle que $g([-2 ; 3]) = [-1 ; 5]$ . Parmi les conditions suivantes, laquelle garantit à elle seule que l'équation $g(x) = 1$ admet exactement une unique solution dans $[-2 ; 3]$ ?

Remarque

Comme $1 \in [-1 ; 5]$ , la continuité de $g$ garantit déjà l'existence d'au moins une solution. Pour obtenir l'unicité, il faut impérativement que $g$ soit strictement monotone sur $[-2 ; 3]$ .

Point de départ · 14

Dans un repère orthonormé, la courbe $(C_f)$ d'une fonction $f$ passe par le point $A(1 ; 2)$ avec une tangente de coefficient directeur $3$ . Sa courbe réciproque $(C_{f^{-1}})$ passe par le point symétrique $A'(2 ; 1)$ . Quel est le coefficient directeur de la tangente à $(C_{f^{-1}})$ en $A'$ ?

Remarque

Par symétrie axiale d'axe $y = x$ , les accroissements horizontaux et verticaux sont échangés. Le coefficient directeur, qui vaut $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 3$ pour $(C_f)$ , s'inverse et devient $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{3}$ pour $(C_{f^{-1}})$ .

Définition · 15

Théorème de dérivabilité de la fonction réciproque

Soit $f$ une fonction bijective d'un intervalle $I$ sur $J = f(I)$ , et soit $x_0 \in I$ .

$f \text{ est dérivable en } x_0 \text{ et } f'(x_0) \neq 0 \implies f^{-1} \text{ est dérivable en } y_0 = f(x_0)$

Le nombre dérivé de $f^{-1}$ en $y_0$ est l'inverse du nombre dérivé de $f$ en son antécédent $x_0$ :

$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

Domaine de dérivabilité et tangentes verticales

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f^{-1}$ est dérivable sur tout l'intervalle $J = f(I)$ .

Si $f'(x_0) = 0$ , la courbe $(C_{f^{-1}})$ admet une tangente (ou demi-tangente) verticale au point $(y_0 ; x_0)$ , et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Justifier que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ , puis calculer $(f^{-1})'(4)$ sans expliciter $f^{-1}(x)$ .

1

On étudie la dérivabilité et le signe de la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

f'(x) = 3x^2 + 2 > 0

2

La fonction polynôme $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Comme $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ .

3

On détermine l'antécédent $x_0$ tel que $f(x_0) = 4$ .

x_0^3 + 2x_0 + 1 = 4 \iff x_0^3 + 2x_0 - 3 = 0 \iff x_0 = 1

4

On évalue la dérivée $f'$ au point $x_0 = 1$ .

f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5 \neq 0

5

Comme $f'(1) \neq 0$ , la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $4$ et on applique la formule.

(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}

Piège classique · 17

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ . Sachant que $g$ est bijective et que $g(1) = 1$ , comment détermine-t-on le nombre dérivé $(g^{-1})'(1)$ ?

Attention

Tenter d'isoler algébriquement $x$ dans l'équation $y = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ pour dériver ensuite la formule obtenue.

À la place : Une expression de degré 3 n'est pas inversible par des calculs élémentaires. On ne cherche jamais la formule globale de $f^{-1}$ pour dériver en un point : on calcule directement $(g^{-1})'(1) = \frac{1}{g'(1)}$ , avec $g'(1) = 6(1)^2 - 6(1) + 3 = 3$ , ce qui donne $(g^{-1})'(1) = \frac{1}{3}$ .

Exemple travaillé · 18

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 + 1$ . Justifier que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $[1 ; +\infty[$ , déterminer son ensemble de dérivabilité, puis interpréter géométriquement le comportement en $1$ .

1

Pour tout $x \ge 0$ , la fonction polynôme $f$ est continue et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ .

f'(x) = 2x

2

Pour tout $x > 0$ , on a $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ . Comme $f(0) = 1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , $f$ réalise une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur $J = [1 ; +\infty[$ .

3

On cherche les points où la dérivée s'annule.

f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x = 0

4

En $x_0 = 0$ , on a $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$ . La fonction réciproque $f^{-1}$ n'est donc pas dérivable en $1$ . Pour tout $x > 0$ , $f'(x) \neq 0$ , donc $f^{-1}$ est dérivable sur $f(]0 ; +\infty[) = ]1 ; +\infty[$ .

5

La courbe $(C_f)$ admet en $(0 ; 1)$ une demi-tangente horizontale, donc par symétrie axiale, la courbe $(C_{f^{-1}})$ admet en $(1 ; 0)$ une demi-tangente verticale.

Piège classique · 19

Soit $h$ la fonction définie sur $[3 ; +\infty[$ par $h(x) = (x - 3)^2 + 2$ . Elle réalise une bijection de $[3 ; +\infty[$ sur $[2 ; +\infty[$ . Sur quel ensemble la fonction réciproque $h^{-1}$ est-elle dérivable ?

Attention

Affirmer que $h^{-1}$ est dérivable sur $[2 ; +\infty[$ , en confondant l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité.

À la place : On a $h'(x) = 2(x - 3)$ . Au point $x_0 = 3$ , on a $h'(3) = 0$ . Comme $h(3) = 2$ , la réciproque $h^{-1}$ n'est pas dérivable en $2$ (sa courbe y admet une demi-tangente verticale). L'ensemble de dérivabilité de $h^{-1}$ est donc l'intervalle ouvert $]2 ; +\infty[$ .

Vérification · 20

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $[0 ; 5]$ , dérivable sur $[0 ; 5]$ , telle que $f(2) = 7$ et $f'(2) = 4$ . La fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $7$ . Quelle est la valeur de $(f^{-1})'(7)$ ?

Remarque

On applique la relation $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$ avec $y_0 = 7$ et son antécédent $x_0 = 2$ . Comme $f'(2) = 4 \neq 0$ , on obtient $(f^{-1})'(7) = \frac{1}{4}$ .

Point de départ · 21

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 + 1$ . Elle réalise une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur $[1 ; +\infty[$ . Pour déterminer l'expression de sa réciproque $f^{-1}(y)$ , on cherche à exprimer $x$ en fonction de $y$ à partir de la relation $y = x^2 + 1$ . Quelle est la valeur de $x$ ?

Remarque

L'égalité $x^2 = y - 1$ fournit algébriquement deux solutions : $x = \sqrt{y - 1}$ et $x = -\sqrt{y - 1}$ . Cependant, la fonction réciproque doit renvoyer dans le domaine source $I = [0 ; +\infty[$ : on rejette donc la racine négative pour ne conserver que $x = \sqrt{y - 1}$ .

Définition · 22

Méthode d'explicitation de la fonction réciproque

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , réalisant une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ .

Pour déterminer l'expression analytique de la fonction réciproque $f^{-1}$ , on utilise l'équivalence fondamentale :

$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \quad (x \in I \text{ et } y \in J)$

On résout cette équation d'inconnue $x$ en considérant $y$ comme un paramètre fixé dans $J$ .

Si la résolution algébrique fait apparaître plusieurs expressions candidates pour $x$ , on retient l'unique solution qui appartient à l'intervalle source $I$ .

Une fois l'antécédent $x$ exprimé en fonction de $y$ , on remplace la variable muette $y$ par $x$ pour écrire la formule finale $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $f$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x - 1}{3x + 6}$ . Elle réalise une bijection de $]-2 ; +\infty[$ sur $J = ]-\infty ; \frac{2}{3}[$ . Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ .

1

Pour tout $y \in J$ et $x \in ]-2 ; +\infty[$ , on pose la relation de bijection.

f(x) = y \iff \frac{2x - 1}{3x + 6} = y

2

On effectue le produit en croix pour regrouper les termes.

2x - 1 = y(3x + 6) \iff 2x - 1 = 3xy + 6y

3

On rassemble tous les termes contenant l'inconnue $x$ à gauche.

2x - 3xy = 6y + 1 \iff x(2 - 3y) = 6y + 1

4

Comme $y < \frac{2}{3}$ , on a $2 - 3y > 0$ , donc $2 - 3y \neq 0$ . On isole $x$ .

x = \frac{6y + 1}{2 - 3y}

5

On réécrit l'expression avec la variable $x$ .

f^{-1}(x) = \frac{6x + 1}{2 - 3x} \quad \text{pour tout } x \in ]-\infty ; \frac{2}{3}[

Exemple travaillé · 24

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2x}$ . Elle réalise une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$ . Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout réel $x$ .

1

Pour tout $y \in \mathbb{R}$ et tout $x > 0$ , on écrit l'équation d'inconnue $x$ .

\frac{x^2 - 1}{2x} = y \iff x^2 - 2yx - 1 = 0

2

On calcule le discriminant de cette équation du second degré.

\Delta = (-2y)^2 - 4(1)(-1) = 4y^2 + 4 = 4(y^2 + 1) > 0

3

L'équation admet deux solutions réelles distinctes.

x_1 = \frac{2y - \sqrt{4(y^2+1)}}{2} = y - \sqrt{y^2+1} \quad \text{et} \quad x_2 = y + \sqrt{y^2+1}

4

On sélectionne la solution appartenant à $I = ]0 ; +\infty[$ . Comme $\sqrt{y^2+1} > \sqrt{y^2} = |y| \ge y$ , on a $y - \sqrt{y^2+1} < 0$ . Seule la racine $x_2$ est strictement positive.

5

L'unique antécédent dans $]0 ; +\infty[$ est $x_2$ . On en déduit l'expression de la réciproque.

f^{-1}(x) = x + \sqrt{x^2 + 1} \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}

Piège classique · 25

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 1]$ par $f(x) = (x - 1)^2 + 3$ . Elle réalise une bijection de $]-\infty ; 1]$ sur $[3 ; +\infty[$ . Pour tout $y \ge 3$ , quelle est l'expression correcte de $f^{-1}(y)$ ?

Attention

Écrire machinalement $x - 1 = \sqrt{y - 3}$ , ce qui donne $x = 1 + \sqrt{y - 3}$ .

À la place : Comme $x \in ]-\infty ; 1]$ , on a $x \le 1$ , donc la différence $x - 1$ est négative ou nulle. L'extraction de la racine carrée donne $|x - 1| = -(x - 1) = \sqrt{y - 3}$ , ce qui implique $x - 1 = -\sqrt{y - 3}$ , soit $x = 1 - \sqrt{y - 3}$ .

Vérification · 26

Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ; 1[$ par $g(x) = \frac{x^2}{1 - x^2}$ . Elle réalise une bijection de $[0 ; 1[$ sur $[0 ; +\infty[$ . Pour tout $x \ge 0$ , quelle est l'expression de $g^{-1}(x)$ ?

Remarque

On résout $y = \frac{x^2}{1 - x^2} \iff y(1 - x^2) = x^2 \iff x^2(1 + y) = y \iff x^2 = \frac{y}{1 + y}$ . Comme $x \in [0 ; 1[$ , on retient la racine positive $x = \sqrt{\frac{y}{1 + y}}$ , ce qui donne $g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x}{1 + x}}$ pour tout $x \ge 0$ .

Point de départ · 27

L'équation $x^3 = 8$ admet une unique solution réelle positive, appelée racine cubique de $8$ et notée $\sqrt[3]{8}$ . Quelle est la valeur de $\sqrt[3]{8}$ ?

Remarque

Comme $2^3 = 8$ , l'unique nombre positif dont le cube vaut $8$ est $2$ , d'où $\sqrt[3]{8} = 2$ . De manière générale, pour tout entier $n \ge 2$ et tout réel $b \ge 0$ , l'unique réel positif $a$ tel que $a^n = b$ s'appelle la racine $n$ -ième de $b$ et se note $\sqrt[n]{b}$ ou $b^{\frac{1}{n}}$ .

Définition · 28

Définition et propriétés de la racine n-ième

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ . Elle réalise une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur $[0 ; +\infty[$ .

$f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Pour tous réels positifs $x$ et $y$ :

$y = x^n \iff x = \sqrt[n]{y}$

Comportement asymptotique et dérivation :

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[n]{x}}{x} = 0$

La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue sur $[0 ; +\infty[$ et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ . Pour tout $x > 0$ :

$(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$

Elle n'est pas dérivable en $0$ : la courbe représentative admet à l'origine une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 29

Soit la fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = 2\sqrt[3]{x} + 1$ . Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ , interpréter graphiquement le résultat, puis déterminer $g'(x)$ pour tout $x > 0$ .

1

On forme le taux d'accroissement de $g$ en $0$ pour $x > 0$ .

\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \frac{(2\sqrt[3]{x} + 1) - 1}{x} = \frac{2\sqrt[3]{x}}{x}

2

On simplifie l'expression en écrivant $x = (\sqrt[3]{x})^3$ .

\frac{2\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{2\sqrt[3]{x}}{(\sqrt[3]{x})^3} = \frac{2}{(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}

3

On évalue la limite quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty

4

La limite étant infinie, $g$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . La courbe $(C_g)$ admet au point $(0 ; 1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

5

Pour tout $x > 0$ , la fonction racine cubique est dérivable, donc $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on dérive directement.

g'(x) = 2 \times \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}

Exemple travaillé · 30

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1]$ par $f(x) = \sqrt[3]{1 - x}$ . Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 1[$ , calculer $f'(x)$ , puis expliciter sa bijection réciproque $f^{-1}(x)$ .

1

La fonction affine $u : x \mapsto 1 - x$ est dérivable et strictement positive sur $]-\infty ; 1[$ . Comme la racine cubique est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ , par composition, $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 1[$ .

2

On applique la règle de dérivation d'une composée $(\sqrt[3]{u})' = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$ .

f'(x) = \frac{-1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}

3

Pour tout $x < 1$ , $f'(x) < 0$ . La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty ; 1]$ . Comme $f(1) = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ , $f$ réalise une bijection de $]-\infty ; 1]$ sur $J = [0 ; +\infty[$ .

4

Pour tout $y \in [0 ; +\infty[$ et $x \in ]-\infty ; 1]$ , on résout $f(x) = y$ en élevant au cube.

\sqrt[3]{1 - x} = y \iff 1 - x = y^3 \iff x = 1 - y^3

5

On formule l'expression de la réciproque avec la variable $x$ .

f^{-1}(x) = 1 - x^3 \quad \text{pour tout } x \in [0 ; +\infty[

Piège classique · 31

Sur quel ensemble la fonction $f : x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est-elle dérivable ?

Attention

Affirmer que $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ tout entier sous prétexte qu'elle y est définie et continue.

À la place : La fonction racine $n$ -ième n'est jamais dérivable en $0$ . Le taux d'accroissement en $0$ tend vers $+\infty$ , ce qui correspond graphiquement à une demi-tangente verticale. Elle n'est dérivable que sur l'intervalle ouvert $]0 ; +\infty[$ .

Vérification · 32

Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^4 = 16$ ?

Remarque

Comme l'exposant $4$ est pair et que $16 > 0$ , l'équation admet exactement deux solutions réelles opposées : $x = \sqrt[4]{16} = 2$ et $x = -\sqrt[4]{16} = -2$ . L'ensemble des solutions est $S = \{-2 ; 2\}$ .

Fonction continue et strictement monotone — cours

Le cours

Théorème de l'image d'un intervalle

Théorème de la bijection

Théorème de dérivabilité de la fonction réciproque

Domaine de dérivabilité et tangentes verticales

Méthode d'explicitation de la fonction réciproque

Définition et propriétés de la racine n-ième

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