Point de départ · 1

Dans un repère orthogonal, si deux points distincts $M(x, y)$ et $M'(x', y)$ de même ordonnée sont symétriques par rapport à la droite verticale d'équation $x = a$ , quelle relation relie leurs abscisses $x$ et $x'$ ?

Remarque

La droite $x = a$ est la médiatrice du segment horizontal $[MM']$ . L'abscisse du milieu vaut donc $a$ : $\frac{x + x'}{2} = a$ , ce qui donne directement $x' = 2a - x$ .

Définition · 2

Axe de symétrie d'une courbe représentative

Dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , une droite verticale est un axe de symétrie pour une courbe si chaque point de la courbe admet son symétrique sur la courbe.

$\text{La droite } \Delta : x = a \text{ est un axe de symétrie pour } \mathcal{C}_f \iff \forall x \in D_f :$

2a - x \in D_f

f(2a - x) = f(x)

La première condition impose que le domaine $D_f$ soit géométriquement symétrique par rapport à $a$ . La seconde assure que deux abscisses symétriques ont la même ordonnée.

Exemple travaillé · 3

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^2}$ . Démontrer que la droite $\Delta : x = 1$ est un axe de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

On détermine le domaine de définition : le dénominateur s'annule si et seulement si $x = 1$ , d'où $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

2

On vérifie la symétrie du domaine pour $a = 1$ : pour tout $x \in D_f$ , on a $x \neq 1$ , donc $2(1) - x = 2 - x \neq 1$ . Par conséquent, $(2 - x) \in D_f$ .

3

On calcule $f(2 - x)$ en remplaçant $x$ par $(2 - x)$ :

f(2-x) = \frac{2(2-x)^2 - 4(2-x) + 3}{(2-x-1)^2}

4

On développe et simplifie le numérateur et le dénominateur :

f(2-x) = \frac{2(4 - 4x + x^2) - 8 + 4x + 3}{(1-x)^2} = \frac{2x^2 - 4x + 3}{(x-1)^2} = f(x)

5

Puisque $(2 - x) \in D_f$ et $f(2 - x) = f(x)$ pour tout $x \in D_f$ , la droite $\Delta : x = 1$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x^2+3x-4}$ . Montrer que la droite $\Delta : x = -\frac{3}{2}$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

On détermine l'ensemble de définition : le trinôme $x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)$ est positif ou nul à l'extérieur de ses racines, donc $D_f = ]-\infty ; -4] \cup [1 ; +\infty[$ .

2

Pour $a = -\frac{3}{2}$ , l'abscisse symétrique vaut $2a - x = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - x = -3 - x$ . On évalue le trinôme sous le radical en $-3 - x$ :

(-3-x)^2 + 3(-3-x) - 4 = (9 + 6x + x^2) - 9 - 3x - 4 = x^2 + 3x - 4

3

Pour tout $x \in D_f$ , on a $x^2+3x-4 \ge 0$ , donc $(-3-x)^2 + 3(-3-x) - 4 \ge 0$ , ce qui prouve que $(-3 - x) \in D_f$ .

4

On compare les images :

f(-3-x) = \sqrt{(-3-x)^2 + 3(-3-x) - 4} = \sqrt{x^2+3x-4} = f(x)

5

Les deux conditions étant réunies, la droite d'équation $x = -\frac{3}{2}$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Piège classique · 5

Soit une fonction $f$ définie sur $D_f = [0 ; 4] \setminus \{1\}$ dont la formule algébrique vérifie $f(4-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ où l'égalité a un sens. La droite $x = 2$ est-elle un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

Attention

Conclure que la droite x = 2 est axe de symétrie uniquement parce que la formule algébrique f(4-x) = f(x) est vérifiée.

À la place : La condition d'appartenance au domaine échoue : pour $x = 3 \in D_f$ , son symétrique $4 - 3 = 1 \notin D_f$ . La courbe possède un point d'abscisse 3 mais aucun point d'abscisse 1 : elle ne peut pas être symétrique.

Vérification · 6

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ . Quelle relation traduit le fait que la droite $\Delta : x = -2$ est un axe de symétrie pour la courbe de $g$ ?

Remarque

Pour $a = -2$ , l'abscisse symétrique est $2a - x = 2(-2) - x = -4 - x$ . Pour un axe de symétrie vertical, les ordonnées sont égales, d'où $g(-4 - x) = g(x)$ .

Point de départ · 7

Pour une fonction impaire, l'origine $O(0, 0)$ est un centre de symétrie et on a $f(-x) + f(x) = 0$ . Si le centre de symétrie est déplacé en un point $\Omega(a, b)$ , que vaut la demi-somme des ordonnées $\frac{y + y'}{2}$ pour deux points symétriques $M(x, y)$ et $M'(x', y')$ ?

Remarque

Le point $\Omega(a, b)$ est le milieu du segment $[MM']$ . Ses coordonnées sont la moyenne de celles de $M$ et $M'$ . Ainsi, $\frac{y + y'}{2} = b$ , ce qui donne $y + y' = 2b$ , soit $f(x') + f(x) = 2b$ .

Définition · 8

Centre de symétrie d'une courbe représentative

Dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , un point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ si $\Omega$ est le milieu du segment joignant tout point de la courbe à son homologue.

$\text{Le point } \Omega(a, b) \text{ est un centre de symétrie pour } \mathcal{C}_f \iff \forall x \in D_f :$

2a - x \in D_f

f(2a - x) + f(x) = 2b

Formulation équivalente avec un écart $h$ : pour tout réel $h$ tel que $(a + h) \in D_f$ , on a $(a - h) \in D_f$ et $f(a + h) + f(a - h) = 2b$ .

Exemple travaillé · 9

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$ . Démontrer que le point $\Omega(1, 1)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

On vérifie la condition sur le domaine : $D_f = \mathbb{R}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $2(1) - x = 2 - x \in \mathbb{R}$ .

2

On exprime $f(2 - x)$ :

f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 - x)^2 + 5(2 - x) - 2

3

On développe chaque terme séparément :

(2 - x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3

4

-3(2 - x)^2 = -3(4 - 4x + x^2) = -12 + 12x - 3x^2

5

5(2 - x) - 2 = 10 - 5x - 2 = 8 - 5x

6

En regroupant, on obtient :

f(2 - x) = -x^3 + 3x^2 - 5x + 4

7

On calcule la somme $f(2 - x) + f(x)$ :

f(2 - x) + f(x) = (-x^3 + 3x^2 - 5x + 4) + (x^3 - 3x^2 + 5x - 2) = 2

8

Puisque $2 = 2 \times 1 = 2b$ , la relation $f(2a - x) + f(x) = 2b$ est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Le point $\Omega(1, 1)$ est donc un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{2x^2-x+1}{3x-3}$ . Démontrer que le point $\Omega(1, 1)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

On vérifie la symétrie du domaine : pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , $x \neq 1 \implies 2(1) - x = 2 - x \neq 1$ . Donc $(2 - x) \in D_f$ .

2

On calcule $f(2 - x)$ :

f(2 - x) = \frac{2(2 - x)^2 - (2 - x) + 1}{3(2 - x) - 3} = \frac{2(4 - 4x + x^2) - 2 + x + 1}{3(1 - x)} = \frac{2x^2 - 7x + 7}{-3(x - 1)}

3

On regroupe $f(2 - x)$ et $f(x)$ au même dénominateur $3(x - 1)$ :

f(2 - x) + f(x) = \frac{-(2x^2 - 7x + 7) + (2x^2 - x + 1)}{3(x - 1)}

4

On simplifie le numérateur :

f(2 - x) + f(x) = \frac{-2x^2 + 7x - 7 + 2x^2 - x + 1}{3(x - 1)} = \frac{6x - 6}{3(x - 1)} = \frac{6(x - 1)}{3(x - 1)} = 2

5

Comme $2 = 2 \times 1 = 2b$ , le point $\Omega(1, 1)$ est bien un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Piège classique · 11

Pour une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ , on établit que pour tout réel $x$ : $g(4 - x) + g(x) = 6$ . Quelles sont les coordonnées du centre de symétrie $\Omega$ de sa courbe ?

Attention

Conclure que le centre est $\Omega(2, 6)$ en confondant la somme avec l'ordonnée $b$ .

À la place : La relation fondamentale est $g(2a - x) + g(x) = 2b$ . Ici $2a = 4 \implies a = 2$ et $2b = 6 \implies b = 3$ . Le centre est $\Omega(2, 3)$ .

Vérification · 12

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $h(x) = 5 + \frac{1}{x - 2}$ . Quel est le centre de symétrie de sa courbe représentative $\mathcal{C}_h$ ?

Remarque

Pour $a = 2$ , $h(4 - x) = 5 + \frac{1}{2 - x} = 5 - \frac{1}{x - 2}$ . La somme vaut $h(4 - x) + h(x) = 10 = 2 \times 5$ , ce qui donne $b = 5$ . Le centre de symétrie est $\Omega(2, 5)$ , qui correspond au point d'intersection des asymptotes $x = 2$ et $y = 5$ .

Point de départ · 13

Si pour une fonction $f$ , la différence $f(x) - (2x + 1)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , que se passe-t-il géométriquement pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

La distance verticale $|f(x) - (2x+1)|$ devient arbitrairement petite : la courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche indéfiniment de la droite d'équation $y = 2x + 1$ sans nécessairement la toucher.

Définition · 14

Asymptotes verticales, horizontales et obliques

Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty \iff \text{la droite } x = x_0 \text{ est asymptote verticale à } \mathcal{C}_f$

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \iff \text{la droite } y = \ell \text{ est asymptote horizontale à } \mathcal{C}_f \text{ en } \pm\infty$

$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \quad (a \neq 0) \iff \text{la droite } y = ax+b \text{ est asymptote oblique en } \pm\infty$

Remarque

Si $f(x)$ se décompose sous la forme $f(x) = ax + b + g(x)$ avec $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0$ , alors la droite $y = ax + b$ est immédiatement asymptote oblique.

Exemple travaillé · 15

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \frac{x^2+2x-1}{x+1}$ . Démontrer que la droite $\Delta : y = x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , puis préciser l'autre asymptote.

1

On transforme l'expression du numérateur pour faire apparaître le dénominateur :

x^2 + 2x - 1 = (x+1)^2 - 2

2

On décompose la fraction rationnelle pour tout $x \neq -1$ :

f(x) = \frac{(x+1)^2 - 2}{x+1} = x + 1 - \frac{2}{x+1}

3

On évalue la limite de la différence en l'infini :

\lim_{|x| \to +\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{|x| \to +\infty} \left(-\frac{2}{x+1}\right) = 0

4

La droite $\Delta : y = x + 1$ est donc une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

5

En $x = -1$ , le numérateur vaut $(-1)^2+2(-1)-1 = -2 \neq 0$ et le dénominateur s'annule : $\lim_{x \to -1} |f(x)| = +\infty$ . La droite d'équation $x = -1$ est donc une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; -1] \cup [3 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{(x-1)^2 - 4}$ . Démontrer que la droite $\Delta_1 : y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ , et que la droite $\Delta_2 : y = -x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ .

1

Au voisinage de $+\infty$ , pour $x > 3$ , on multiplie par l'expression conjuguée :

f(x) - (x-1) = \frac{((x-1)^2 - 4) - (x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2 - 4} + (x-1)} = \frac{-4}{\sqrt{(x-1)^2 - 4} + (x-1)}

2

Quand $x \to +\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x-1)] = 0$ . La droite $\Delta_1 : y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .

3

Au voisinage de $-\infty$ , pour $x < -1$ , on a $x - 1 < 0$ , donc $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ . On étudie la différence avec $-x+1$ :

f(x) - (-x+1) = f(x) + (x-1)

4

On utilise à nouveau l'expression conjuguée :

f(x) + (x-1) = \frac{((x-1)^2 - 4) - (x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2 - 4} - (x-1)} = \frac{-4}{\sqrt{(x-1)^2 - 4} - (x-1)}

5

Quand $x \to -\infty$ , $-(x-1) \to +\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ . On obtient $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-x+1)] = 0$ . La droite $\Delta_2 : y = -x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ .

Piège classique · 17

Lorsqu'on factorise $x^2$ sous la racine $\sqrt{x^2+4}$ pour $x < 0$ au voisinage de $-\infty$ , quelle expression obtient-on ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ , ce qui fausse le signe des termes asymptotiques.

À la place : Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , on a $|x| = -x$ . Ainsi, $\sqrt{x^2+4} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)} = -x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}$ .

Vérification · 18

Soit $f(x) = 2x + \sqrt{x^2-1}$ définie sur $]-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty[$ . Quelle est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ ?

Remarque

Pour $x < 0$ , $\sqrt{x^2-1} = -x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$ . On a donc $f(x) \approx 2x - x = x$ . En formant la différence par quantité conjuguée : $f(x) - x = x + \sqrt{x^2-1} = \frac{-1}{\sqrt{x^2-1} - x}$ , dont la limite en $-\infty$ est $0$ . L'asymptote oblique en $-\infty$ est bien $y = x$ (alors qu'en $+\infty$ , elle vaut $y = 3x$ ).

Point de départ · 19

Lorsque $x$ se rapproche d'une borne $x_0$ , que devient géométriquement la droite sécante passant par $M_0(x_0, f(x_0))$ et $M(x, f(x))$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ?

La pente devenant infiniment grande, la droite sécante se redresse jusqu'à devenir verticale. La courbe admet ainsi en ce point de contact une demi-tangente verticale.

Définition · 20

Demi-tangentes verticales et orientation

Soit $f$ une fonction continue en un point $x_0$ d'une borne de son ensemble de définition $D_f$ .

$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \pm\infty$

Dans les deux cas, $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ , et la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $M_0(x_0, f(x_0))$ une demi-tangente verticale.

\text{À droite } (x \to x_0^+) : \begin{cases} +\infty \implies \text{dirigée vers le haut } (\uparrow) \\ -\infty \implies \text{dirigée vers le bas } (\downarrow) \end{cases}

\text{À gauche } (x \to x_0^-) : \begin{cases} -\infty \implies \text{dirigée vers le haut } (\uparrow) \\ +\infty \implies \text{dirigée vers le bas } (\downarrow) \end{cases}

Remarque

Règle mnémotechnique : le sens vertical de la flèche correspond au signe du produit entre le côté d'approche ( $+$ à droite, $-$ à gauche) et le signe de l'infini ( $+$ ou $-$ ).

Exemple travaillé · 21

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x}$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On calcule $f(0) = 0$ et on écrit le taux d'accroissement pour tout $x > 0$ :

\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sqrt{2x}}{x}

2

Pour $x > 0$ , on simplifie en introduisant $x = \sqrt{x^2}$ sous la racine :

\frac{\sqrt{2x}}{x} = \sqrt{\frac{2x}{x^2}} = \sqrt{\frac{2}{x}}

3

On calcule la limite à droite en $0$ :

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{2}{x}} = +\infty

4

La limite étant infinie, $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ .

5

Comme on approche à droite ( $+$ ) avec une limite $+\infty$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet à l'origine $O(0, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 22

Soit $g(x) = x + 1 + \sqrt{x^2+2x}$ définie sur $]-\infty ; -2] \cup [0 ; +\infty[$ . Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ et à gauche en $-2$ .

1

À droite en $0$ : $g(0) = 1$ . Pour $x > 0$ , on forme le quotient :

\frac{g(x) - g(0)}{x} = \frac{x + \sqrt{x(x+2)}}{x} = 1 + \sqrt{\frac{x+2}{x}}

2

Quand $x \to 0^+$ , $\frac{x+2}{x} \to +\infty$ , d'où $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x} = +\infty$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ admet en $(0, 1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

3

À gauche en $-2$ : $g(-2) = -1$ . Pour tout $x < -2$ , on a $x + 2 < 0$ , donc $x + 2 = -\sqrt{(x+2)^2}$ :

\frac{g(x) - g(-2)}{x+2} = \frac{x + 2 + \sqrt{x(x+2)}}{x+2} = 1 - \sqrt{\frac{x(x+2)}{(x+2)^2}} = 1 - \sqrt{\frac{x}{x+2}}

4

Quand $x \to -2^-$ , $x \to -2 < 0$ et $x+2 \to 0^-$ , donc $\frac{x}{x+2} \to +\infty$ et $-\sqrt{\frac{x}{x+2}} \to -\infty$ :

\lim_{x \to -2^-} \frac{g(x) - g(-2)}{x+2} = -\infty

5

Approche à gauche (signe $-$ ) et limite $-\infty$ : le produit $(-)(-) = +$ donne une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point $(-2, -1)$ .

Piège classique · 23

Pour tout réel $x < -2$ , quelle est la simplification correcte du rapport $\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x+2}$ ?

Attention

Écrire $\frac{\sqrt{A}}{x+2} = \sqrt{\frac{A}{(x+2)^2}}$ sans signe négatif en oubliant que $x + 2 < 0$ .

À la place : Comme $x < -2$ , on a $x + 2 < 0$ , donc $x + 2 = -|x+2| = -\sqrt{(x+2)^2}$ . Le signe moins reste impérativement devant la racine : $\frac{\sqrt{x(x+2)}}{x+2} = -\sqrt{\frac{x}{x+2}}$ .

Vérification · 24

Soit une fonction $h$ continue sur $]-\infty ; 3]$ . On établit que $\lim_{x \to 3^-} \frac{h(x)-h(3)}{x-3} = +\infty$ . Quelle est la nature de la demi-tangente à la courbe $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $3$ ?

Remarque

À gauche ( $x < 3$ , signe $-$ ) avec une limite $+\infty$ (signe $+$ ), le produit des signes donne $(-)(+) = -$ : la demi-tangente est verticale et dirigée vers le bas.

Point de départ · 25

Si la dérivée d'une fonction dérivable $f$ s'annule en un point $x_0$ ( $f'(x_0) = 0$ ), peut-on affirmer avec certitude que $f$ admet un extremum local en $x_0$ ?

Remarque

La fonction cube $x \mapsto x^3$ en fournit un contre-exemple direct : sa dérivée $3x^2$ s'annule en 0, mais la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . La courbe présente une tangente horizontale en $(0, 0)$ , mais ni maximum ni minimum local.

Définition · 26

Monotonie stricte et points d'inflexion

$f'(x) \ge 0 \text{ sur } I \text{ avec des zéros isolés } \implies f \text{ est strictement croissante sur } I$

De même, si $f'(x) \le 0$ et ne s'annule qu'en un nombre fini de points isolés, $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

Caractérisation du point d'inflexion

$I(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion de } \mathcal{C}_f \iff \mathcal{C}_f \text{ traverse sa tangente en } x_0$

f''(x_0) = 0 \quad \text{et} \quad f'' \text{ change de signe en } x_0

Remarque

L'annulation seule de la dérivée seconde ne suffit pas : pour qu'il y ait inflexion, $f''$ doit impérativement changer de signe, ce qui traduit un basculement de concavité.

Exemple travaillé · 27

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$ . Déterminer le point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ et étudier la traversée de sa tangente en ce point.

1

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . On calcule la dérivée première :

f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

2

On calcule la dérivée seconde :

f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

3

On étudie le signe de $f''(x)$ : $f''(x) = 0 \iff x = 1$ . Pour $x < 1$ , $f''(x) < 0$ ; pour $x > 1$ , $f''(x) > 0$ . $f''$ s'annule en 1 en changeant de signe, donc $I(1, f(1)) = I(1, 1)$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ .

4

La tangente $(T)$ en $x_0 = 1$ a pour coefficient directeur $f'(1) = 3 - 6 + 5 = 2$ :

y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1

5

On étudie le signe de la différence $f(x) - y_T$ :

f(x) - (2x - 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3

6

Comme $(x - 1)^3 < 0$ sur $]-\infty ; 1[$ et $(x - 1)^3 > 0$ sur $]1 ; +\infty[$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente $(T)$ en $I(1, 1)$ .

Exemple travaillé · 28

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^3}{x^2+3x+3}$ . Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, bien que sa dérivée s'annule en deux points.

1

Le trinôme $x^2+3x+3$ a pour discriminant $\Delta = 9 - 12 = -3 < 0$ , donc le dénominateur est strictement positif sur $\mathbb{R}$ . $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On dérive le quotient :

f'(x) = \frac{3x^2(x^2+3x+3) - x^3(2x+3)}{(x^2+3x+3)^2}

3

On développe et factorise le numérateur :

3x^4 + 9x^3 + 9x^2 - 2x^4 - 3x^3 = x^4 + 6x^3 + 9x^2 = x^2(x + 3)^2

4

On en déduit l'expression de $f'(x)$ :

f'(x) = \frac{x^2(x+3)^2}{(x^2+3x+3)^2}

5

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) \ge 0$ car le numérateur et le dénominateur sont des carrés. De plus, $f'(x) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = -3$ .

6

Comme $f'$ est positive et ne s'annule qu'en des points isolés (sans être nulle sur aucun intervalle ouvert), $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 29

Soit une fonction $g$ dérivable sur $[-2 ; 2]$ telle que pour tout $x$ , $g'(x) = x^2$ . L'élève affirme : « Comme $g'(0) = 0$ , $g$ admet un minimum en 0 et n'est pas strictement croissante sur $[-2 ; 2]$ . » Quelle est l'analyse correcte ?

Attention

Déclarer un extremum local dès que la dérivée s'annule, sans vérifier si elle change de signe.

À la place : Pour tout $x$ , $g'(x) = x^2 \ge 0$ . La dérivée s'annule en 0 sans changer de signe ( $g'(x) > 0$ pour $x \neq 0$ ). Il n'y a pas d'extremum : $g$ est strictement croissante sur $[-2 ; 2]$ , et le point d'abscisse 0 est un palier d'inflexion.

Vérification · 30

Le tableau de signes de la dérivée d'une fonction $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ donne : $h'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 2[$ , $h'(2) = 0$ , et $h'(x) > 0$ sur $]2 ; +\infty[$ . Que représente le point d'abscisse $2$ pour la courbe de $h$ ?

Remarque

La dérivée $h'$ s'annule en 2 sans changer de signe. La fonction $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion à tangente horizontale (un palier).

Étude de fonctions — cours

Le cours

Axe de symétrie d'une courbe représentative

Centre de symétrie d'une courbe représentative

Asymptotes verticales, horizontales et obliques

Demi-tangentes verticales et orientation

Monotonie stricte et points d'inflexion

Caractérisation du point d'inflexion

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