Rappel · 1

Rappel : Probabilité sous équiprobabilité

Dans un univers fini $\Omega$ où toutes les éventualités ont la même probabilité d'apparaître, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles :

$p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

On lance un dé cubique parfait à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

Remarque

L'univers compte 6 issues possibles. Les multiples de 3 sont 3 et 6, soit 2 cas favorables : $p(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Point de départ · 2

L'effet d'une information préalable

On reprend le lancer du dé équilibré à 6 faces. On s'intéresse à l'événement $A$ : « obtenir la face 6 ».

Sans information préalable, l'univers complet est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et $p(A) = \frac{1}{6}$ .

On apprend que le résultat obtenu est un nombre pair (événement $B = \{2, 4, 6\}$ ). Sachant cette information, quelle est maintenant la probabilité d'obtenir la face 6 ?

Remarque

L'information restreint les possibles à l'ensemble $B = \{2, 4, 6\}$ . Parmi ces 3 cas possibles, 6 est l'unique cas favorable : la probabilité devient $\frac{1}{3}$ .

Définition · 3

Probabilité conditionnelle et probabilités composées

Soit $\Omega$ un univers fini muni d'une probabilité $p$ , et soient $A$ et $B$ deux événements.

p(B) \ne 0

$p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$

Vocabulaire

Probabilité conditionnelle de A sachant B — p(A/B)

En multipliant par $p(B)$ , on en déduit la formule des probabilités composées :

$p(A \cap B) = p(B) \times p(A/B)$

Remarque

Dans une situation d'équiprobabilité sur $\Omega$ , la probabilité conditionnelle s'obtient directement par le quotient des cardinaux : $p(A/B) = \frac{\text{card}(A \cap B)}{\text{card}(B)}$ .

Exemple travaillé · 4

Conditionnement dans un tableau d'effectifs

Hommes	Femmes	Total
Cadres administratifs	10	20	30
Cadres techniques	50	20	70
Total	60	40	100

On choisit au hasard une personne parmi ces 100 employés. Sachant que la personne choisie est un homme ( $H$ ), déterminer la probabilité qu'elle soit cadre administratif ( $A$ ).

1

On détermine les probabilités des événements dans l'univers global : $p(H) = \frac{60}{100} = 0,6$ et $p(A \cap H) = \frac{10}{100} = 0,1$ .

2

On applique la définition de la probabilité conditionnelle :

p(A/H) = \frac{p(A \cap H)}{p(H)} = \frac{0,1}{0,6} = \frac{1}{6}

3

Par lecture directe dans la colonne des hommes (univers restreint à 60 personnes), 10 sont cadres administratifs : on retrouve bien $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ .

Exemple travaillé · 5

Calcul d'une intersection par probabilités composées

Dans un atelier, une machine $M$ produit $40\%$ des pièces. Parmi les pièces fabriquées par $M$ , $10\%$ présentent un défaut ( $D$ ). On choisit une pièce au hasard dans la production totale. Déterminer la probabilité que la pièce provienne de la machine $M$ et présente un défaut.

1

On identifie les données : la probabilité qu'une pièce vienne de $M$ est $p(M) = 0,40$ , et la probabilité qu'elle soit défectueuse sachant qu'elle vient de $M$ est $p(D/M) = 0,10$ .

2

L'événement cherché est « la pièce provient de $M$ et est défectueuse », ce qui correspond à l'intersection $M \cap D$ .

3

On applique le principe des probabilités composées :

p(M \cap D) = p(M) \times p(D/M) = 0,40 \times 0,10 = 0,04

4

La probabilité que la pièce provienne de $M$ et présente un défaut est donc égale à $0,04$ (soit $4\%$ de la production totale).

Piège classique · 6

Une étude statistique indique que $5\%$ des pièces présentent un défaut de conception ( $A$ ). Parmi les pièces ayant ce défaut, $25\%$ présentent également un défaut d'assemblage ( $B$ ). Quelle égalité traduit la donnée « $25\%$ » ?

Attention

Écrire $p(A \cap B) = 0,25$ en confondant la proportion relative au sous-groupe $A$ avec la probabilité de l'intersection sur toute la population.

À la place : La proportion $25\%$ s'applique uniquement aux pièces présentant déjà le défaut $A$ : il s'agit de la probabilité conditionnelle $p(B/A) = 0,25$ . L'intersection vaut $p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A) = 0,05 \times 0,25 = 0,0125$ .

Vérification · 7

Dans une entreprise, $32\%$ des salariés sont des femmes ( $F$ ). Parmi elles, $70\%$ ont moins de 30 ans ( $J$ ). Quelle est la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit une femme de moins de 30 ans ?

Remarque

On a $p(F) = 0,32$ et la proportion conditionnelle $p(J/F) = 0,70$ . La probabilité d'être une femme et d'avoir moins de 30 ans est $p(F \cap J) = p(F) \times p(J/F) = 0,32 \times 0,70 = 0,224$ .

Vérification · 8

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(B) = 0,4$ et $p(A \cap B) = 0,1$ . Calcule la valeur de la probabilité conditionnelle $p(A/B)$ .

Remarque

Par définition de la probabilité conditionnelle : $p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{0,1}{0,4} = \frac{1}{4} = 0,25$ .

Point de départ · 9

Tirage entre deux sources inégales

On dispose de deux urnes. L'urne $U_1$ contient 1 boule rouge et 1 boule noire (total 2). L'urne $U_2$ contient 1 boule rouge et 9 boules noires (total 10).

On choisit au hasard l'une des deux urnes avec la même probabilité ( $0,5$ ), puis on tire une boule dans cette urne. Peut-on calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge en divisant le total des boules rouges par le total des boules des deux urnes : $\frac{1+1}{2+10} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ ?

Remarque

Non. En choisissant $U_1$ (une chance sur deux), la probabilité d'avoir une rouge est déjà de $0,5 \times \frac{1}{2} = 0,25$ . Les boules n'ont pas la même probabilité d'être tirées car le choix préalable de l'urne modifie leur accessibilité : on ne peut pas les fusionner dans un seul univers équiprobable.

Définition · 10

Système complet d'événements et formule des probabilités totales

Une famille d'événements $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ d'un univers $\Omega$ forme un système complet d'événements (ou une partition de $\Omega$ ) s'ils sont deux à deux incompatibles ( $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \ne j$ ) et si leur réunion forme $\Omega$ :

$A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$

p(A_i) \ne 0 \quad \text{pour tout } i \in \{1, \dots, n\}

Pour tout événement $B$ , la formule des probabilités totales s'énonce :

$p(B) = \sum_{i=1}^n p(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^n p(A_i) \times p(B/A_i)$

Remarque

Cas particulier fréquent : tout événement $A$ vérifiant $0 < p(A) < 1$ forme avec son contraire $\overline{A}$ une partition de $\Omega$ . Pour tout événement $B$ : $p(B) = p(A) \times p(B/A) + p(\overline{A}) \times p(B/\overline{A})$ .

Exemple travaillé · 11

Probabilités totales avec partition binaire

À la sortie d'un atelier, $5\%$ des pièces présentent un défaut de conception ( $A$ ). Parmi les pièces ayant ce défaut, $25\%$ présentent aussi un défaut de montage ( $B$ ). Parmi les pièces sans défaut de conception, $3\%$ présentent un défaut de montage. Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard présente un défaut de montage.

1

La famille formée par $A$ et $\overline{A}$ constitue une partition de l'ensemble des pièces. On a $p(A) = 0,05$ et $p(\overline{A}) = 1 - 0,05 = 0,95$ .

2

On extrait les probabilités conditionnelles fournies : $p(B/A) = 0,25$ et $p(B/\overline{A}) = 0,03$ .

3

On applique la formule des probabilités totales sur la partition $\{A, \overline{A}\}$ :

p(B) = p(A) \times p(B/A) + p(\overline{A}) \times p(B/\overline{A})

4

On calcule numériquement :

p(B) = 0,05 \times 0,25 + 0,95 \times 0,03 = 0,0125 + 0,0285 = 0,041

Exemple travaillé · 12

Probabilités totales sur une partition à trois sources

Une entreprise fabrique des pièces à l'aide de trois machines $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ . La machine $M_1$ assure $50\%$ de la production avec un taux de pièces défectueuses de $1\%$ . La machine $M_2$ assure $35\%$ de la production avec $2\%$ de défauts. La machine $M_3$ assure $15\%$ de la production avec $6\%$ de défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse ( $D$ ).

1

Les machines forment un système complet d'événements $(M_1, M_2, M_3)$ de probabilités respectives $p(M_1) = 0,50$ , $p(M_2) = 0,35$ et $p(M_3) = 0,15$ .

2

Les fréquences de défauts donnent les probabilités conditionnelles : $p(D/M_1) = 0,01$ , $p(D/M_2) = 0,02$ et $p(D/M_3) = 0,06$ .

3

D'après la formule des probabilités totales appliquée au système complet $(M_1, M_2, M_3)$ :

p(D) = p(M_1) p(D/M_1) + p(M_2) p(D/M_2) + p(M_3) p(D/M_3)

4

On effectue la somme pondérée :

p(D) = (0,50 \times 0,01) + (0,35 \times 0,02) + (0,15 \times 0,06) = 0,0050 + 0,0070 + 0,0090 = 0,021

Piège classique · 13

Trois boîtes d'apparence identique $B_1$ , $B_2$ et $B_3$ contiennent respectivement 2, 3 et 4 fiches. Dans chacune des boîtes, une seule fiche est marquée. On choisit une boîte au hasard de façon équiprobable ( $p(B_1) = p(B_2) = p(B_3) = \frac{1}{3}$ ), puis on tire une fiche. Quelle démarche donne la probabilité d'obtenir une fiche marquée ( $M$ ) ?

Attention

Additionner directement les 3 fiches marquées sur les 9 fiches totales en écrivant $p(M) = \frac{1+1+1}{2+3+4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

À la place : Les fiches ne sont pas équiprobables dans l'univers global car les boîtes ont des effectifs inégaux. Il faut appliquer la formule des probabilités totales : $p(M) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} = \frac{13}{36}$ .

Vérification · 14

Deux fabricants se partagent le marché d'un composant électronique : le fabricant $E_1$ détient $\frac{2}{3}$ du marché avec une fiabilité de $95\%$ ( $0,95$ ), et le fabricant $E_2$ détient $\frac{1}{3}$ du marché avec une fiabilité de $90\%$ ( $0,90$ ). Un client achète un composant au hasard. Déterminer la probabilité $p(F)$ que ce composant fonctionne sans défaillance.

Remarque

Les fabricants forment une partition du marché $\{E_1, E_2\}$ . Par la formule des probabilités totales : $p(F) = p(E_1) \times p(F/E_1) + p(E_2) \times p(F/E_2) = \frac{2}{3} \times 0,95 + \frac{1}{3} \times 0,90 = \frac{1,90 + 0,90}{3} = \frac{2,80}{3} = \frac{14}{15}$ (soit environ $93,3\%$ ). Faire la moyenne simple $(0,95 + 0,90)/2 = 0,925$ est faux car les parts de marché ne sont pas égales.

Point de départ · 15

Remonter de l'effet à la cause

Un test médical détecte une maladie rare avec une efficacité de $98\%$ : chez une personne malade, le résultat est positif dans $98\%$ des cas ( $p(T/M) = 0,98$ ).

Une personne passe ce test et obtient un résultat positif. Peut-on affirmer sans calcul qu'elle a $98\%$ de chances d'être réellement malade ?

Remarque

Non. Si la maladie ne touche qu'une personne sur 200, l'immense majorité de la population est saine. Même avec une faible marge d'erreur sur les personnes saines, les faux positifs sont souvent plus nombreux que les vrais malades. Connaître $p(T/M)$ ne suffit pas : il faut inverser le conditionnement pour déterminer $p(M/T)$ .

Définition · 16

Formule de Bayes

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ de probabilités non nulles.

D'après la formule des probabilités composées, $p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A) = p(B) \times p(A/B)$ .

On en déduit l'expression de la probabilité conditionnelle inverse :

$p(A/B) = \frac{p(A) \times p(B/A)}{p(B)}$

Lorsque $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ est un système complet d'événements, le dénominateur $p(B)$ s'exprime par la formule des probabilités totales :

$p(A_k/B) = \frac{p(A_k) \times p(B/A_k)}{\sum_{i=1}^n p(A_i) \times p(B/A_i)}$

Exemple travaillé · 17

Inversion conditionnelle sur un dépistage médical

Dans une population, 1 individu sur 200 est atteint d'une maladie ( $M$ ). Un test donne les résultats suivants : chez les malades, le test est positif ( $T$ ) dans $98\%$ des cas ; chez les personnes saines ( $\overline{M}$ ), le test est positif dans $6\%$ des cas (faux positifs). Une personne obtient un test positif. Déterminer la probabilité qu'elle soit réellement malade.

1

On extrait les données : $p(M) = \frac{1}{200} = 0,005$ , d'où $p(\overline{M}) = 0,995$ . Les probabilités conditionnelles directes sont $p(T/M) = 0,98$ et $p(T/\overline{M}) = 0,06$ .

2

On calcule la probabilité globale d'un test positif $p(T)$ par la formule des probabilités totales :

p(T) = p(M) \times p(T/M) + p(\overline{M}) \times p(T/\overline{M})

3

On effectue le calcul numérique :

p(T) = 0,005 \times 0,98 + 0,995 \times 0,06 = 0,0049 + 0,0597 = 0,0646

4

On applique la formule de Bayes pour obtenir $p(M/T)$ :

p(M/T) = \frac{p(M \cap T)}{p(T)} = \frac{0,0049}{0,0646} \approx 0,076

5

Sachant que son test est positif, la probabilité que la personne soit réellement malade est d'environ $7,6\%$ . La rareté initiale de la maladie explique ce résultat.

Exemple travaillé · 18

Diagnostic sur un système complet à trois composantes

Le parc des compteurs d'eau d'une commune se répartit en trois catégories : $10\%$ ont moins de 2 ans et sont sous garantie ( $G$ ), $60\%$ ont entre 2 et 20 ans ( $J$ ), et $30\%$ ont plus de 20 ans ( $V$ ). La probabilité qu'un compteur soit défectueux ( $D$ ) est de $1\%$ pour $G$ , de $5\%$ pour $J$ , et de $10\%$ pour $V$ . Un agent relève un compteur défectueux. Déterminer la probabilité qu'il soit sous garantie.

1

La famille $(G, J, V)$ forme une partition du parc avec $p(G) = 0,10$ , $p(J) = 0,60$ et $p(V) = 0,30$ .

2

On calcule la probabilité conjointe que le compteur soit sous garantie et défectueux :

p(G \cap D) = p(G) \times p(D/G) = 0,10 \times 0,01 = 0,001

3

On applique la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité globale d'un compteur défectueux :

p(D) = 0,10 \times 0,01 + 0,60 \times 0,05 + 0,30 \times 0,10 = 0,001 + 0,030 + 0,030 = 0,061

4

On applique la formule de Bayes pour calculer la probabilité conditionnelle $p(G/D)$ :

p(G/D) = \frac{p(G \cap D)}{p(D)} = \frac{0,001}{0,061} = \frac{1}{61}

Piège classique · 19

Une usine produit des pièces dont $2\%$ sont défectueuses ( $D$ ). Un contrôle qualité détecte $95\%$ des pièces défectueuses : $p(C/D) = 0,95$ . Une pièce vient d'être rejetée par le contrôle ( $C$ ). Un opérateur affirme : « La probabilité qu'elle soit défectueuse est $0,95$ ». Que penser de cette affirmation ?

Attention

Confondre la sensibilité du contrôle $p(C/D)$ avec la probabilité recherchée $p(D/C)$ .

À la place : L'événement observé est le rejet par le contrôle ( $C$ ) : c'est la condition. On cherche $p(D/C) = \frac{p(D \cap C)}{p(C)}$ . Cette valeur est différente de $p(C/D)$ car elle dépend aussi des fausses alertes sur les pièces conformes.

Vérification · 20

On dispose d'un jeu de 32 cartes ( $J_1$ ) et d'un jeu de 52 cartes ( $J_2$ ). On choisit un jeu au hasard de façon équiprobable ( $p(J_1) = p(J_2) = \frac{1}{2}$ ), puis on y tire une carte. La carte tirée est une dame ( $D$ ). Chaque jeu contient 4 dames. Quelle est la probabilité que cette dame provienne du jeu de 32 cartes ?

Remarque

Dans le jeu de 32 cartes, $p(D/J_1) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ . Dans le jeu de 52 cartes, $p(D/J_2) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Par les probabilités totales : $p(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{16} + \frac{1}{26} = \frac{21}{208}$ . Par la formule de Bayes : $p(J_1/D) = \frac{1/16}{21/208} = \frac{1}{16} \times \frac{208}{21} = \frac{13}{21}$ .

Point de départ · 21

Séparation physique et indépendance

Dans le langage courant, deux choses sont dites « indépendantes » si elles n'ont aucun lien physique ou logique. En mathématiques, deux événements sans issue commune sont dits incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ).

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soient $A$ : « la carte est un Roi » et $B$ : « la carte est une Dame ». Si l'on sait que la carte tirée est un Roi, quelle est la probabilité d'obtenir une Dame ?

Remarque

Sachant que $A$ est réalisé, la probabilité d'obtenir une Dame devient nulle ( $p(B/A) = 0$ ), alors qu'au départ elle valait $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ . L'information apportée par $A$ modifie totalement les chances de $B$ : ces événements ne sont donc pas indépendants.

Définition · 22

Indépendance de deux événements

Soient $\Omega$ un univers fini muni d'une probabilité $p$ , et $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ .

$A \text{ et } B \text{ sont indépendants} \iff p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

p(B) \ne 0

$p(A/B) = p(A)$

La réalisation de $B$ n'apporte aucune information sur la réalisation de $A$ .

Remarque

Propriété du complémentaire : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ sont aussi indépendants, de même que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .

Exemple travaillé · 23

Vérification de l'indépendance par le calcul

Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Soient $A$ : « la carte tirée est un Roi » et $B$ : « la carte tirée est un Cœur ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

1

On calcule les probabilités de $A$ et de $B$ sous équiprobabilité :

p(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \quad \text{et} \quad p(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}

2

L'événement $A \cap B$ est « tirer le Roi de Cœur ». Il y a 1 seule carte favorable :

p(A \cap B) = \frac{1}{32}

3

On calcule d'autre part le produit des probabilités :

p(A) \times p(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}

4

On constate que $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ . Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.

Exemple travaillé · 24

Intersection non vide et dépendance

On lance un dé cubique équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Soient $A$ : « obtenir un nombre pair » et $C$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ». Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?

1

On écrit les événements en extension : $A = \{2, 4, 6\}$ et $C = \{4, 5, 6\}$ sur $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

2

On calcule les probabilités respectives :

p(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad p(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

3

L'intersection $A \cap C = \{4, 6\}$ comporte 2 cas favorables :

p(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

4

On calcule le produit : $p(A) \times p(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

p(A \cap C) \ne p(A) \times p(C) \quad \left(\frac{1}{3} \ne \frac{1}{4}\right)

5

Comme les deux valeurs diffèrent, les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants, bien qu'ils aient deux éventualités communes.

Piège classique · 25

Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) = 0,2$ et $p(B) = 0,5$ . On suppose que $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ). Sont-ils indépendants ?

Attention

Affirmer que $A$ et $B$ sont indépendants parce qu'ils n'ont aucun élément commun ( $A \cap B = \emptyset$ ).

À la place : Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. Ici, $p(A \cap B) = 0$ , alors que $p(A) \times p(B) = 0,2 \times 0,5 = 0,10$ . Comme $0 \ne 0,10$ , ils sont dépendants : la réalisation de l'un rend l'autre impossible.

Vérification · 26

On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ tels que $p(A) = 0,3$ et $p(B) = 0,4$ . Détermine la valeur de $p(\overline{A} \cap B)$ .

Remarque

Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $B$ sont également indépendants. Par conséquent : $p(\overline{A} \cap B) = p(\overline{A}) \times p(B) = (1 - 0,3) \times 0,4 = 0,7 \times 0,4 = 0,28$ .

Vérification · 27

On donne deux événements $A$ et $B$ tels que $p(B) = 0,6$ , $p(A) = 0,25$ et $p(A/B) = 0,25$ . Que peut-on affirmer ?

Remarque

Puisque $p(A/B) = p(A) = 0,25$ , le fait que $B$ soit réalisé ne modifie pas la probabilité de $A$ . D'après la caractérisation par probabilité conditionnelle, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Point de départ · 28

Ordre imposé ou ordre libre ?

On lance une pièce de monnaie équilibrée 3 fois de suite. On s'intéresse à l'obtention de la face Pile ( $P$ ) et de la face Face ( $F$ ).

Quelle est la différence entre l'événement $A$ : « obtenir Pile au 1er lancer puis Face aux deux suivants » et l'événement $B$ : « obtenir exactement un Pile sur les 3 lancers » ?

Remarque

L'événement $A$ impose un ordre précis : c'est la séquence unique $(P, F, F)$ , correspondant à 1 seul chemin dans l'arbre. L'événement $B$ ne fixe aucun ordre : il regroupe les séquences $(P, F, F)$ , $(F, P, F)$ et $(F, F, P)$ , soit 3 chemins de même probabilité. Sa probabilité est donc 3 fois plus grande.

Définition · 29

Répétition d'épreuves identiques et indépendantes

On considère une épreuve aléatoire comportant deux issues possibles : le succès $S$ avec la probabilité $p$ , et l'échec $\overline{S}$ avec la probabilité $q = 1 - p$ .

On répète cette épreuve $n$ fois de manière indépendante.

$p(\text{séquence ordonnée fixée avec } k \text{ succès}) = p^k (1-p)^{n-k}$

Dans un ordre quelconque, le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves est donné par le coefficient binomial $\binom{n}{k} = C_n^k$ .

$p(\text{obtenir exactement } k \text{ succès}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Remarque

Le coefficient $\binom{n}{k}$ représente le nombre de chemins de l'arbre menant à exactement $k$ succès parmi $n$ répétitions.

Exemple travaillé · 30

Calcul avec ou sans ordre imposé

Un dé cubique équilibré comporte 2 faces bleues et 4 faces rouges. On lance ce dé 5 fois de suite de façon indépendante. La probabilité d'obtenir une face bleue à chaque lancer est $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , et celle d'obtenir une rouge est $1 - p = \frac{2}{3}$ .
1) Calculer la probabilité d'obtenir 4 faces bleues puis 1 face rouge.
2) Calculer la probabilité d'obtenir 4 faces bleues et 1 face rouge.

1

Pour la première question, l'ordre est fixé : la séquence doit être $(B, B, B, B, R)$ . Par indépendance des lancers :

P_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \times \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{243}

2

Pour la seconde question, l'ordre n'est pas imposé : la face rouge peut apparaître à n'importe lequel des 5 lancers.

3

Le nombre d'emplacements possibles pour la face rouge est $\binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5$ . Chaque chemin ayant la même probabilité $P_1$ :

P_2 = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{2}{243} = \frac{10}{243}

Piège classique · 31

Un tireur atteint sa cible avec une probabilité de $0,7$ . Il tire 4 fois de manière indépendante. Pour calculer la probabilité qu'il atteigne la cible à ses 3 premiers tirs puis la rate au 4e tir, quelle expression doit-on écrire ?

Attention

Multiplier par le coefficient binomial $\binom{4}{3} = 4$ alors que l'ordre chronologique des tirs est fixé par l'énoncé.

À la place : L'énoncé impose l'ordre chronologique : succès aux lancers 1, 2, 3 puis échec au lancer 4. Il n'y a qu'une seule séquence possible $(S, S, S, E)$ . La probabilité est donc $(0,7)^3 \times 0,3$ sans coefficient binomial.

Exemple travaillé · 32

Événement « au moins un » et seuil de probabilité

On lance un dé équilibré à 6 faces $n$ fois de suite de façon indépendante. On considère l'événement $A$ : « Obtenir au moins une fois la face 6 au cours des $n$ lancers ».
1) Exprimer la probabilité $p(A)$ en fonction de $n$ .
2) Déterminer le nombre minimum de lancers nécessaires pour que $p(A) > 0,99$ .

1

L'événement contraire de $A$ est $\overline{A}$ : « N'obtenir aucune fois la face 6 au cours des $n$ lancers ».

2

À chaque lancer, la probabilité de ne pas obtenir 6 est $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . Par indépendance des $n$ lancers :

p(\overline{A}) = \left(\frac{5}{6}\right)^n \implies p(A) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n

3

On résout l'inéquation $p(A) > 0,99$ :

1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n > 0,99 \iff \left(\frac{5}{6}\right)^n < 0,01

4

On applique le logarithme népérien (fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$ ) :

n \ln\left(\frac{5}{6}\right) < \ln(0,01)

5

Comme $\frac{5}{6} < 1$ , on a $\ln\left(\frac{5}{6}\right) < 0$ . En divisant par cette quantité strictement négative, on change le sens de l'inégalité :

n > \frac{\ln(0,01)}{\ln(5/6)} = \frac{-2\ln(10)}{\ln(5/6)} \approx \frac{-4,605}{-0,182} \approx 25,3

6

Le nombre minimal de lancers à effectuer est donc $n = 26$ .

Piège classique · 33

On résout l'inéquation $(0,8)^n < 0,05$ d'inconnue entière $n$ . Quelle est l'inégalité correcte après passage au logarithme népérien ?

Attention

Conserver le symbole « < » en divisant par $\ln(0,8)$ , en oubliant que $\ln(q) < 0$ pour tout $q \in ]0; 1[$ .

À la place : Puisque $0 < 0,8 < 1$ , on a $\ln(0,8) < 0$ . Diviser par un nombre strictement négatif inverse nécessairement le sens de l'inégalité : on obtient $n > \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,8)}$ .

Vérification · 34

On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée (probabilité d'obtenir Pile égale à $\frac{1}{2}$ ). Déterminer la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile au cours de ces 4 lancers.

Remarque

L'événement contraire est « n'obtenir aucun Pile », c'est-à-dire obtenir 4 Faces consécutives. Par indépendance : $p(\text{4 Faces}) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ . Par passage au complémentaire : $p(\text{au moins un Pile}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ .

Probabilité sur un ensemble fini — cours

Le cours

Rappel : Probabilité sous équiprobabilité

L'effet d'une information préalable

Probabilité conditionnelle et probabilités composées

Conditionnement dans un tableau d'effectifs

Calcul d'une intersection par probabilités composées

Tirage entre deux sources inégales

Système complet d'événements et formule des probabilités totales

Probabilités totales avec partition binaire

Probabilités totales sur une partition à trois sources

Remonter de l'effet à la cause

Formule de Bayes

Inversion conditionnelle sur un dépistage médical

Diagnostic sur un système complet à trois composantes

Séparation physique et indépendance

Indépendance de deux événements

Vérification de l'indépendance par le calcul

Intersection non vide et dépendance

Ordre imposé ou ordre libre ?

Répétition d'épreuves identiques et indépendantes

Calcul avec ou sans ordre imposé

Événement « au moins un » et seuil de probabilité

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