Rappel · 1

On extrait simultanément $2$ boules d'une urne qui contient $5$ boules indiscernables au toucher. Combien de tirages distincts peut-on obtenir ?

Remarque

Un tirage simultané de $2$ éléments parmi $5$ correspond au nombre de combinaisons sans répétition : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .

Point de départ · 2

Une urne contient des jetons numérotés $1$ et des jetons numérotés $3$ . On tire deux jetons et on s'intéresse à la somme des numéros tirés. Quel type d'objet mathématique associe à chaque tirage un nombre réel ?

Cette application qui fait correspondre un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire est une variable aléatoire réelle.

Définition · 3

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

Soit $\Omega$ l'univers fini associé à une expérience aléatoire muni d'une probabilité $P$ .

$X : \Omega \to \mathbb{R}$

Une variable aléatoire réelle $X$ est une application qui associe un réel à chaque issue de $\Omega$ . L'ensemble fini de ses valeurs est le support noté $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ .

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité de l'événement $(X = x_i)$ . Elle vérifie toujours la condition de normalisation :

$\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$

Exemple travaillé · 4

Une urne contient deux boules numérotées $1$ et trois boules numérotées $2$ , toutes indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus. Détermine la loi de probabilité de $X$ .

1

Le nombre total de tirages simultanés équiprobables est :

2

\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10

3

Les sommes possibles sont : $1+1=2$ , $1+2=3$ , et $2+2=4$ . Le support de $X$ est :

4

X(\Omega) = \{2, 3, 4\}

5

On calcule la probabilité de chaque issue du support :

6

P(X = 2) = \frac{C_2^2}{10} = \frac{1}{10}

7

P(X = 3) = \frac{C_2^1 \times C_3^1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

8

P(X = 4) = \frac{C_3^2}{10} = \frac{3}{10}

9

On vérifie la somme des probabilités : $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Exemple travaillé · 5

Un joueur paie une mise initiale de $3$ dinars pour participer à un jeu. Il lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Il reçoit $3$ dinars pour chaque côté Pile obtenu. Soit $Y$ le gain algébrique net du joueur. Détermine la loi de probabilité de $Y$ .

1

L'univers des lancers comporte $2^2 = 4$ issues équiprobables : $(P, P)$ , $(P, F)$ , $(F, P)$ et $(F, F)$ .

2

Soit $N$ le nombre de Piles obtenus ( $N \in \{0, 1, 2\}$ ). Le gain algébrique net retranche la mise initiale :

3

Y = 3N - 3

4

Pour $N = 0$ (issue $(F, F)$ ) : $Y = 3(0) - 3 = -3$ dinars, d'où :

5

P(Y = -3) = \frac{1}{4}

6

Pour $N = 1$ (issues $(P, F)$ et $(F, P)$ ) : $Y = 3(1) - 3 = 0$ dinar, d'où :

7

P(Y = 0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

8

Pour $N = 2$ (issue $(P, P)$ ) : $Y = 3(2) - 3 = 3$ dinars, d'où :

9

P(Y = 3) = \frac{1}{4}

10

Le support est $Y(\Omega) = \{-3, 0, 3\}$ . On vérifie la normalisation : $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$ .

Piège classique · 6

Pour participer à une loterie, un billet coûte $2$ dinars. Si le billet est gagnant, le joueur reçoit $10$ dinars. S'il est perdant, il ne reçoit rien. Quelles sont les valeurs prises par le gain algébrique $G$ du joueur ?

Attention

Prendre les valeurs $0$ et $10$ en oubliant de déduire le prix d'achat du billet.

À la place : Le gain algébrique net est calculé par $G = \text{somme reçue} - \text{mise}$ . En cas d'échec, le joueur perd sa mise ( $G = -2$ ). En cas de succès, il gagne $10 - 2 = 8$ . Le support est donc $G(\Omega) = \{-2, 8\}$ .

Vérification · 7

Le tableau ci-dessous décrit la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :

| $x_i$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}15$ | $0{,}35$ | $p$ | $0{,}20$ |

Détermine la valeur de la probabilité $p$ .

Remarque

La somme des probabilités d'une variable aléatoire discrète vaut toujours $1$ : $0{,}15 + 0{,}35 + p + 0{,}20 = 1 \iff 0{,}70 + p = 1 \iff p = 0{,}30$ .

Point de départ · 8

Un joueur lance une pièce équilibrée. S'il obtient Pile, il gagne $10$ dinars. S'il obtient Face, il perd $2$ dinars. Il a donc une chance sur deux de gagner. Ce jeu est-il équitable ?

Non : bien que la probabilité de gagner soit égale à la probabilité de perdre ( $\frac{1}{2}$ ), les montants ne se compensent pas. L'équité exige de pondérer chaque issue par son gain : c'est le rôle de l'espérance mathématique.

Définition · 9

Espérance mathématique et équité d'un jeu

Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités respectives $p_1, p_2, \dots, p_n$ .

L'espérance mathématique de $X$ , notée $E(X)$ , est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Dans un jeu où $X$ représente le gain algébrique du joueur :

Le jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ , favorable (gagnant en moyenne) si $E(X) > 0$ , et défavorable (perdant en moyenne) si $E(X) < 0$ .

Exemple travaillé · 10

On lance un dé cubique parfait numéroté de $1$ à $6$ . Si le numéro obtenu est pair, le joueur reçoit autant de dinars que ce numéro. S'il est impair, le joueur perd autant de dinars que ce numéro. Soit $X$ le gain algébrique du joueur. Calcule $E(X)$ et précise si le jeu est équitable.

1

Chaque face a une probabilité d'apparition égale à $\frac{1}{6}$ .

2

Pour les faces impaires $\{1, 3, 5\}$ , les gains sont $-1, -3, -5$ . Pour les faces paires $\{2, 4, 6\}$ , les gains sont $+2, +4, +6$ .

3

X(\Omega) = \{-5, -3, -1, 2, 4, 6\}

4

On applique la définition de l'espérance mathématique :

5

E(X) = \frac{1}{6} [(-5) + (-3) + (-1) + 2 + 4 + 6] = \frac{1}{6} \times 3 = 0{,}5

6

Comme $E(X) = 0{,}5 > 0$ , le joueur gagne en moyenne $0{,}5$ dinar par partie : le jeu n'est pas équitable, il est favorable au joueur.

Piège classique · 11

Dans le jeu précédent, on a $P(X < 0) = \frac{3}{6} = 0{,}5$ et $P(X > 0) = \frac{3}{6} = 0{,}5$ . Peut-on en déduire que le jeu est équitable ?

Attention

Conclure que le jeu est équitable sous prétexte qu'il y a autant de chances de gagner que de perdre ( $50\%$ chacune).

À la place : L'équité se juge exclusivement sur le gain moyen $E(X)$ , et non sur la probabilité de gagner. Ici, $E(X) = 0{,}5 \neq 0$ : les montants gagnés dépassent les montants perdus.

Définition · 12

Variance, écart-type et formule de König-Huygens

La variance d'une variable aléatoire $X$ mesure la dispersion de ses valeurs autour de sa moyenne $E(X)$ :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i$

En pratique, on calcule la variance à l'aide de la formule de König-Huygens :

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$ désigne l'espérance des carrés des valeurs prises par $X$ .

L'écart-type de $X$ , noté $\sigma(X)$ , est la racine carrée positive de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Exemple travaillé · 13

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}2$ | $0{,}5$ | $0{,}3$ |

Calcule l'espérance $E(X)$ , la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ .

1

On calcule d'abord l'espérance $E(X)$ :

2

E(X) = 1(0{,}2) + 2(0{,}5) + 3(0{,}3) = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1

3

On calcule l'espérance des carrés $E(X^2)$ :

4

E(X^2) = 1^2(0{,}2) + 2^2(0{,}5) + 3^2(0{,}3) = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9

5

On applique la formule de König-Huygens pour trouver la variance :

6

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4{,}9 - (2{,}1)^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49

7

On en déduit l'écart-type :

8

\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7

Vérification · 14

Le tableau ci-dessous donne la loi d'une variable aléatoire $X$ :

| $x_i$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}25$ | $0{,}50$ | $0{,}25$ |

Détermine $E(X)$ et $V(X)$ .

Remarque

Par symétrie, $E(X) = (-1)(0{,}25) + 0(0{,}50) + 1(0{,}25) = 0$ . Pour la variance : $E(X^2) = (-1)^2(0{,}25) + 0^2(0{,}50) + 1^2(0{,}25) = 0{,}50$ , d'où $V(X) = 0{,}50 - 0^2 = 0{,}50$ . Une espérance nulle n'implique pas une variance nulle !

Point de départ · 15

On lance un dé cubique équilibré et on note $X$ le numéro obtenu. On cherche la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à une valeur donnée. Que valent respectivement $P(X \le 2)$ et $P(X \le 2{,}5)$ ?

Le dé ne produit que des entiers. L'événement $(X \le 2{,}5)$ contient exactement les mêmes issues que $(X \le 2)$ , à savoir $\{1, 2\}$ . La probabilité cumulée reste donc constante entre deux valeurs consécutives.

Définition · 16

Fonction de répartition d'une variable discrète

Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs ordonnées $x_1 < x_2 < \dots < x_n$ avec les probabilités associées $p_i = P(X = x_i)$ .

La fonction de répartition de $X$ est l'application $F$ définie pour tout réel $x$ par :

$F(x) = P(X \le x)$

$F$ est une fonction en escalier, croissante sur $\mathbb{R}$ et continue à droite en tout point. Elle est définie par morceaux :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < x_1 \\ \sum_{i=1}^{k} p_i & \text{si } x_k \le x < x_{k+1} \\ 1 & \text{si } x \ge x_n \end{cases}$

Exemple travaillé · 17

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $\{-1, 1, 2\}$ avec les probabilités $P(X = -1) = 0{,}2$ , $P(X = 1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$ . Détermine l'expression de la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\mathbb{R}$ .

1

Pour tout $x < -1$ , aucune issue n'est inférieure ou égale à $x$ , donc $F(x) = 0$ .

2

Pour tout $x \in [-1 ; 1[$ , seule l'issue $-1$ vérifie $X \le x$ , donc $F(x) = P(X = -1) = 0{,}2$ .

3

Pour tout $x \in [1 ; 2[$ , les issues favorables sont $-1$ et $1$ : $F(x) = 0{,}2 + 0{,}5 = 0{,}7$ .

4

Pour tout $x \ge 2$ , toutes les issues de l'univers sont atteintes, d'où $F(x) = 0{,}7 + 0{,}3 = 1$ .

5

On regroupe les différents paliers pour définir $F$ sur $\mathbb{R}$ :

6

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -1 \\ 0{,}2 & \text{si } -1 \le x < 1 \\ 0{,}7 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}

Piège classique · 18

Soit $X$ la variable de l'exemple précédent, avec $F(x) = 0{,}2$ sur $[-1 ; 1[$ et $F(x) = 0{,}7$ sur $[1 ; 2[$ . Que vaut la probabilité de l'inégalité stricte $P(X < 1)$ ?

Attention

Écrire que $P(X < 1) = F(1) = 0{,}7$ en traitant l'inégalité stricte comme une inégalité large.

À la place : Pour une variable discrète, $F(1) = P(X \le 1)$ inclut la valeur $1$ . L'inégalité stricte exclut cette valeur : $P(X < 1) = P(X \le -1) = 0{,}2$ . La différence correspond au saut : $F(1) - P(X < 1) = P(X = 1) = 0{,}5$ .

Exemple travaillé · 19

Une variable aléatoire $X$ a pour fonction de répartition :
$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0{,}1 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ 0{,}6 & \text{si } 2 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$
Calcule $P(0 < X \le 4)$ et détermine la probabilité ponctuelle $P(X = 2)$ .

1

Pour tout intervalle semi-ouvert $]a ; b]$ , la probabilité s'exprime par la différence des valeurs de $F$ :

2

P(0 < X \le 4) = F(4) - F(0)

3

D'après les paliers de $F$ , on lit $F(4) = 1$ et $F(0) = 0{,}1$ , d'où :

4

P(0 < X \le 4) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9

5

La probabilité ponctuelle $P(X = 2)$ est donnée par l'amplitude du saut de $F$ en $x = 2$ :

6

P(X = 2) = F(2) - \lim_{x \to 2^-} F(x)

7

En $x = 2$ , $F(2) = 0{,}6$ . Immédiatement à gauche de $2$ , $F(x) = 0{,}1$ . On conclut :

8

P(X = 2) = 0{,}6 - 0{,}1 = 0{,}5

Vérification · 20

Une variable aléatoire discrète $X$ a pour fonction de répartition $F$ . On donne $F(2) = 0{,}40$ et $F(5) = 0{,}85$ . Détermine la probabilité de l'événement $(2 < X \le 5)$ .

Remarque

Pour tous réels $a < b$ , on applique la propriété $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ . On obtient directement : $P(2 < X \le 5) = 0{,}85 - 0{,}40 = 0{,}45$ .

Point de départ · 21

On lance une pièce équilibrée $3$ fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ Piles ?

Chaque séquence particulière contenant deux Piles et une Face (comme $(P, P, F)$ ) a pour probabilité $(\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ . Mais il y a $C_3^2 = 3$ ordres possibles : $(P, P, F)$ , $(P, F, P)$ et $(F, P, P)$ . La probabilité cherchée vaut donc $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ . C'est le principe fondamental de la loi binomiale.

Définition · 22

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que deux issues contraires : le « succès » $S$ de probabilité $p$ et l'« échec » $\overline{S}$ de probabilité $q = 1 - p$ .

La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes constitue un schéma de Bernoulli.

La variable aléatoire $X$ représentant le nombre total de succès obtenus à l'issue des $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n, p)$ .

$P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \quad \text{pour tout } k \in \{0, 1, \dots, n\}$

L'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $X$ sont donnés par les formules théoriques :

$E(X) = n p \quad ; \quad V(X) = n p (1 - p) \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

Exemple travaillé · 23

On lance $5$ fois de suite et de façon indépendante un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$ . Soit $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de sorties de la face $4$ . Détermine la loi de probabilité de $X$ , puis calcule son espérance et son écart-type.

1

À chaque lancer, la sortie de la face $4$ constitue un succès de probabilité $p = \frac{1}{4}$ et d'échec $1 - p = \frac{3}{4}$ .

2

Les $5$ lancers étant identiques et mutuellement indépendants, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5 ; 0{,}25)$ .

3

Le support est $X(\Omega) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ , et pour tout entier $k \in \{0, \dots, 5\}$ :

4

P(X = k) = C_5^k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{5 - k}

5

Par exemple, la probabilité d'obtenir exactement deux fois la face $4$ vaut :

6

P(X = 2) = C_5^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512}

7

On calcule l'espérance et l'écart-type à l'aide des formules directes :

8

E(X) = n p = 5 \times \frac{1}{4} = 1{,}25

9

\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0{,}968

Piège classique · 24

Quatre tireurs tirent simultanément et indépendamment sur une cible. Chacun d'eux a une probabilité $p = 0{,}25$ de toucher la cible. Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte par au moins un tireur ?

Attention

Additionner les probabilités individuelles : $0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 = 1$ .

À la place : Les événements ne sont pas disjoints : plusieurs tireurs peuvent toucher la cible simultanément. L'événement « la cible est atteinte » est $(X \ge 1)$ . On passe obligatoirement par l'événement contraire $(X = 0)$ (aucun tireur ne touche) : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}25)^4 = 1 - (0{,}75)^4 = 1 - \frac{81}{256} = \frac{175}{256} \approx 0{,}684$ .

Exemple travaillé · 25

Dans une chaîne de fabrication, $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de $100$ pièces (les prélèvements sont assimilés à des tirages indépendants avec remise). Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses dans le lot. Justifie que $X$ suit une loi binomiale et exprime la probabilité de trouver au moins une pièce défectueuse.

1

L'expérience consiste à répéter $n = 100$ fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse » avec $p = 0{,}03$ .

2

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(100 ; 0{,}03)$ .

3

L'événement « trouver au moins une pièce défectueuse » correspond à $(X \ge 1)$ . Son événement contraire est $(X = 0)$ (« aucune pièce défectueuse »).

4

P(X = 0) = C_{100}^0 (0{,}03)^0 (1 - 0{,}03)^{100} = (0{,}97)^{100}

5

On en déduit la probabilité cherchée par passage au complémentaire :

6

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}97)^{100} \approx 1 - 0{,}0476 = 0{,}9524

Piège classique · 26

Une boîte contient $4$ boules blanches et $6$ boules noires. On tire simultanément $3$ boules de la boîte. Soit $X$ le nombre de boules blanches obtenues. La variable aléatoire $X$ suit-elle une loi binomiale ?

Attention

Appliquer la loi binomiale dès que les objets sont répartis en deux catégories (blanches/noires).

À la place : Pour suivre une loi binomiale, les tirages doivent être indépendants et la probabilité constante. Dans un tirage simultané (ou sans remise), chaque boule retirée modifie la composition restante de l'urne : les probabilités changent à chaque étape. $X$ suit une loi issue de combinaisons (modèle sans remise), pas une loi binomiale.

Vérification · 27

Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20 ; 0{,}1)$ . Détermine son espérance $E(X)$ et sa variance $V(X)$ .

Remarque

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , on applique directement les formules de cours : $E(X) = n p = 20 \times 0{,}1 = 2$ et $V(X) = n p (1 - p) = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 1{,}8$ .

Point de départ · 28

On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0 ; 1]$ . Quelle est la probabilité d'obtenir exactement le nombre $0{,}5$ ?

L'intervalle $[0 ; 1]$ contient une infinité indénombrable de nombres réels. La probabilité d'obtenir une valeur ponctuelle isolée est rigoureusement nulle : $P(X = 0{,}5) = 0$ . Pour une grandeur continue, on ne mesure pas la probabilité d'un point isolé, mais celle d'un intervalle.

Définition · 29

Variable aléatoire continue et densité de probabilité

Une variable aléatoire réelle $X$ est dite continue lorsque l'ensemble de ses valeurs $X(\Omega) = I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point.

Pour toute variable aléatoire continue, la probabilité en tout point isolé $a$ est nulle :

$P(X = a) = 0$

Une fonction $f$ continue (ou continue par morceaux) et positive sur $I$ est appelée densité de probabilité de $X$ si son intégrale totale vaut $1$ :

$\int_I f(t) \, dt = 1$

La probabilité que $X$ appartienne à un intervalle $[a ; b]$ est l'intégrale de sa densité :

$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(t) \, dt$

Exemple travaillé · 30

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 1]$ par $f(t) = \lambda t^4$ , avec $\lambda > 0$ . Détermine le réel $\lambda$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0 ; 1]$ , puis calcule $P(0{,}2 \le X \le 0{,}6)$ .

1

La fonction $f$ est continue et strictement positive sur $[0 ; 1]$ . Pour être une densité de probabilité, son intégrale sur $[0 ; 1]$ doit être égale à $1$ :

2

\int_0^1 \lambda t^4 \, dt = 1

3

On calcule l'intégrale :

4

\lambda \left[\frac{t^5}{5}\right]_0^1 = 1 \iff \frac{\lambda}{5} = 1 \iff \lambda = 5

5

La densité de probabilité est donc $f(t) = 5t^4$ . On calcule ensuite la probabilité sur l'intervalle $[0{,}2 ; 0{,}6]$ :

6

P(0{,}2 \le X \le 0{,}6) = \int_{0{,}2}^{0{,}6} 5t^4 \, dt = \left[t^5\right]_{0{,}2}^{0{,}6}

7

(0{,}6)^5 - (0{,}2)^5 = 0{,}07776 - 0{,}00032 = 0{,}07744

Piège classique · 31

Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f$ sur $[0 ; 2]$ . Sachant que $P(0 \le X \le 1) = 0{,}40$ , que vaut la probabilité avec inégalités strictes $P(0 < X < 1)$ ?

Attention

Penser que $P(0 < X < 1) < P(0 \le X \le 1)$ en essayant d'exclure les extrémités comme pour une loi discrète.

À la place : Pour toute variable continue, la probabilité en tout point isolé est nulle : $P(X = 0) = 0$ et $P(X = 1) = 0$ . Les inégalités strictes et larges ont donc exactement la même probabilité : $P(0 < X < 1) = P(0 \le X \le 1) = 0{,}40$ .

Exemple travaillé · 32

Soit $X$ une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 2x - x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Détermine la densité $f$ de $X$ , puis calcule $P(0{,}25 \le X \le 0{,}5)$ .

1

Sur $]0 ; 1[$ , la fonction $F$ est dérivable et la densité $f$ est sa dérivée :

2

f(x) = F'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x = 2(1 - x)

3

Pour $x < 0$ et $x > 1$ , $F'(x) = 0$ . La densité $f$ de $X$ est donc :

4

f(x) = \begin{cases} 2(1 - x) & \text{si } x \in [0 ; 1] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

5

Pour calculer la probabilité d'un intervalle, on applique directement la fonction de répartition :

6

P(0{,}25 \le X \le 0{,}5) = F(0{,}5) - F(0{,}25)

7

On évalue $F$ aux bornes :

8

F(0{,}5) = 2(0{,}5) - (0{,}5)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75

9

F(0{,}25) = 2(0{,}25) - (0{,}25)^2 = 0{,}5 - 0{,}0625 = 0{,}4375

10

P(0{,}25 \le X \le 0{,}5) = 0{,}75 - 0{,}4375 = 0{,}3125 = \frac{5}{16}

Vérification · 33

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 2]$ par $f(x) = c x$ , où $c$ est un réel positif. Détermine la valeur de $c$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0 ; 2]$ .

Remarque

L'intégrale sur $[0 ; 2]$ doit être égale à $1$ :
$\int_0^2 cx \, dx = c \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = c \times \frac{4}{2} = 2c$
On a donc $2c = 1 \iff c = 0{,}5$ .

Point de départ · 34

On choisit un réel au hasard dans l'intervalle $[2 ; 6]$ . Quelle doit être la hauteur constante $k$ de la fonction densité sur cet intervalle pour que l'aire totale sous la courbe soit égale à $1$ ?

L'amplitude de l'intervalle est $6 - 2 = 4$ . L'aire d'un rectangle de base $4$ et de hauteur $k$ vaut $4k$ . Pour avoir une aire égale à $1$ , il faut $4k = 1 \iff k = \frac{1}{4} = 0{,}25$ . C'est le principe de la loi uniforme continue.

Définition · 35

Loi uniforme sur un segment [a ; b]

Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a ; b]$ (avec $a < b$ ) si sa densité de probabilité $f$ est constante sur $[a ; b]$ :

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{si } a \le x \le b \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Sa fonction de répartition $F$ est affine sur $[a ; b]$ :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \text{si } a \le x \le b \\ 1 & \text{si } x > b \end{cases}$

L'espérance mathématique et la variance de $X$ sont données par :

$E(X) = \frac{a + b}{2} \quad ; \quad V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$

Exemple travaillé · 36

Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme sur $[2 ; 5]$ . Détermine sa densité $f$ , son espérance $E(X)$ , sa variance $V(X)$ et la probabilité $P(3 \le X \le 4)$ .

1

L'amplitude de l'intervalle est $b - a = 5 - 2 = 3$ .

2

La densité de probabilité $f$ est donc définie par :

3

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} & \text{si } 2 \le x \le 5 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

4

On applique la formule de l'espérance mathématique :

5

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5

6

On applique la formule de la variance théorique :

7

V(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{(5 - 2)^2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75

8

Pour $[3 ; 4] \subset [2 ; 5]$ , la probabilité est le rapport des longueurs :

9

P(3 \le X \le 4) = \frac{4 - 3}{5 - 2} = \frac{1}{3}

Piège classique · 37

Soit $X$ suivant la loi uniforme sur $[2 ; 5]$ . On cherche à calculer la probabilité $P(1 \le X \le 4)$ . Que vaut cette probabilité ?

Attention

Appliquer la formule $\frac{4 - 1}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1$ en ignorant que la borne inférieure $1$ est en dehors du support $[2 ; 5]$ .

À la place : La variable $X$ ne prend aucune valeur en dehors de $[2 ; 5]$ . Sur l'intervalle $[1 ; 2[$ , la densité est nulle et $F(x) = 0$ . L'événement $(1 \le X \le 4)$ équivaut donc à $(2 \le X \le 4)$ : $P(1 \le X \le 4) = P(2 \le X \le 4) = \frac{4 - 2}{5 - 2} = \frac{2}{3}$ .

Exemple travaillé · 38

Un bus passe à un arrêt toutes les $10$ minutes (à $t = 0$ , $t = 10$ et $t = 20$ ). Un usager se présente à l'arrêt à un instant $T$ modélisé par une variable suivant la loi uniforme sur $[0 ; 20]$ . Calcule la probabilité que l'usager attende moins de $3$ minutes le prochain bus.

1

L'usager attend moins de $3$ minutes s'il arrive entre $7$ et $10$ minutes, ou entre $17$ et $20$ minutes.

2

L'événement favorable est donc la réunion disjointe des intervalles $[7 ; 10]$ et $[17 ; 20]$ :

3

P(\text{attente} < 3) = P(7 \le T \le 10) + P(17 \le T \le 20)

4

La densité de $T$ sur $[0 ; 20]$ est $f(t) = \frac{1}{20 - 0} = \frac{1}{20}$ . On calcule chaque probabilité :

5

P(7 \le T \le 10) = \frac{10 - 7}{20} = \frac{3}{20}

6

P(17 \le T \le 20) = \frac{20 - 17}{20} = \frac{3}{20}

7

On fait la somme des deux probabilités disjointes :

8

P(\text{attente} < 3) = \frac{3}{20} + \frac{3}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3

Vérification · 39

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 8]$ . Détermine l'espérance $E(X)$ et la probabilité $P(X \ge 6)$ .

Remarque

Pour une loi uniforme sur $[0 ; 8]$ , l'espérance est le milieu de l'intervalle : $E(X) = \frac{0 + 8}{2} = 4$ . Pour $P(X \ge 6)$ , on calcule la probabilité de $[6 ; 8]$ : $P(6 \le X \le 8) = \frac{8 - 6}{8 - 0} = \frac{2}{8} = 0{,}25$ .

Point de départ · 40

Une ampoule a déjà fonctionné pendant $1000$ heures sans griller. Si son fonctionnement est sans usure physique (la probabilité de tomber en panne dans l'heure qui vient reste identique quel que soit son âge), quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore $500$ heures de plus ?

Elle est exactement égale à la probabilité qu'une ampoule neuve fonctionne au moins $500$ heures. Le temps déjà écoulé n'affecte pas la durée résiduelle : c'est la propriété sans vieillissement, modélisée par la loi exponentielle.

Définition · 41

Loi exponentielle de paramètre $\lambda$

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Une variable aléatoire continue $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0 ; +\infty[$ si sa densité $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \ge 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}$

Sa fonction de répartition $F$ est définie pour tout réel $x$ par :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Pour tous réels $0 \le a \le b$ , la probabilité d'un intervalle et la probabilité de dépassement s'écrivent :

$P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \quad ; \quad P(X > t) = e^{-\lambda t}$

L'espérance mathématique et la variance de $X$ sont données par :

$E(X) = \frac{1}{\lambda} \quad ; \quad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

Exemple travaillé · 42

La durée de vie $T$ (en années) d'un moteur suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . La durée de vie moyenne de ce moteur est de $5$ ans. Détermine la valeur de $\lambda$ , puis calcule la probabilité que le moteur fonctionne entre $2$ et $4$ ans.

1

La durée de vie moyenne correspond à l'espérance mathématique :

2

E(T) = \frac{1}{\lambda} = 5 \iff \lambda = \frac{1}{5} = 0{,}2

3

Pour calculer $P(2 \le T \le 4)$ , on utilise la différence des exponentielles :

4

P(2 \le T \le 4) = e^{-0{,}2 \times 2} - e^{-0{,}2 \times 4} = e^{-0{,}4} - e^{-0{,}8}

5

On évalue numériquement les deux termes : $e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703$ et $e^{-0{,}8} \approx 0{,}4493$ .

6

P(2 \le T \le 4) \approx 0{,}6703 - 0{,}4493 = 0{,}2210

Définition · 43

Durée de vie sans vieillissement (absence de mémoire)

La loi exponentielle est la seule loi continue caractérisée par la propriété d'absence de mémoire.

Pour tous réels positifs $s$ et $t$ , la probabilité conditionnelle qu'un système dure au moins $s + t$ sachant qu'il a déjà fonctionné $s$ unités de temps est égale à la probabilité qu'un système neuf dépasse la durée $t$ :

$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$

Le temps de fonctionnement déjà accumulé n'a aucune influence sur la durée de vie future de l'appareil.

Piège classique · 44

La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ . Sachant qu'il a déjà fonctionné $4$ ans sans panne, quelle formule donne directement la probabilité qu'il fonctionne au moins $2$ ans supplémentaires ?

Attention

Recalculer le quotient complet de probabilité conditionnelle $\frac{P(X > 6)}{P(X > 4)}$ à grand renfort d'intégrales impropres.

À la place : La loi exponentielle est sans vieillissement : $P(X > 4 + 2 \mid X > 4) = P(X > 2) = e^{-0{,}25 \times 2} = e^{-0{,}5}$ . Le temps passé ( $4$ ans) n'intervient plus.

Exemple travaillé · 45

La durée de vie $X$ (en semaines) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ . On sait qu'environ $50\%$ des composants fonctionnent encore après $200$ semaines ( $P(X \ge 200) = 0{,}5$ ). Montre que $\lambda = \frac{\ln 2}{200}$ , puis détermine la probabilité qu'un composant dure plus de $300$ semaines.

1

La condition $P(X \ge 200) = 0{,}5$ se traduit avec la formule exponentielle :

2

e^{-200\lambda} = 0{,}5 = \frac{1}{2}

3

On applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

4

-200\lambda = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \iff \lambda = \frac{\ln 2}{200}

5

Pour évaluer la survie au-delà de $300$ semaines, on calcule $P(X > 300)$ :

6

P(X > 300) = e^{-300\lambda} = e^{-300 \times \frac{\ln 2}{200}} = e^{-\frac{3}{2}\ln 2}

7

On simplifie l'expression grâce aux propriétés de l'exponentielle :

8

e^{-\frac{3}{2}\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-3/2} = 2^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}35

Vérification · 46

Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}4$ . Détermine son espérance mathématique $E(T)$ et la valeur de l'exposant $k$ pour laquelle $P(T > 5) = e^{-k}$ .

Remarque

L'espérance est $E(T) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ . La probabilité de survie vaut $P(T > 5) = e^{-\lambda \times 5} = e^{-0{,}4 \times 5} = e^{-2}$ , d'où $k = 2$ .

Variables aléatoires réelles — cours

Le cours

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

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Fonction de répartition d'une variable discrète

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