Rappel · 1

Une suite $(u_n)$ est dite majorée par un réel $M$ lorsque :

Remarque

Une suite est majorée si aucun terme ne dépasse la constante $M$ ( $u_n \le M$ pour tout $n$ ). Elle est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent ( $u_{n+1} \ge u_n$ ).

Point de départ · 2

Une suite $(u_n)$ monte à chaque étape ( $u_{n+1} \ge u_n$ ) sans jamais dépasser le plafond $5$ ( $u_n \le 5$ ). Peut-elle osciller indéfiniment sans se stabiliser ?

Remarque

Comme la suite ne redescend jamais et reste bloquée sous $5$ , ses valeurs s'accumulent nécessairement en s'approchant d'un seuil limite fini.

Définition · 3

Théorème de convergence monotone

$\text{Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.}$

\text{Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.}

Remarque

Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie $l$ , sans fournir directement sa valeur numérique.

Exemple travaillé · 4

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 5 - \frac{1}{n+1}$ . Démontrer que $(u_n)$ converge en utilisant le théorème de convergence monotone.

1

On évalue la différence entre deux termes consécutifs pour étudier la monotonie :

2

u_{n+1} - u_n = \left(5 - \frac{1}{n+2}\right) - \left(5 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}

3

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ , donc $u_{n+1} > u_n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{1}{n+1} > 0$ , d'où $u_n = 5 - \frac{1}{n+1} < 5$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $5$ .

5

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle finie $l$ (ici $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$ ).

Exemple travaillé · 5

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ . Démontrer que $(u_n)$ est convergente.

1

On montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 2$ :

2

u_0 = 4 \ge 2 \quad \text{et si} \quad u_n \ge 2 \implies u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \ge \frac{1}{2}(2) + 1 = 2

3

On étudie ensuite le signe de la différence entre deux termes consécutifs :

4

u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 1 - u_n = 1 - \frac{1}{2}u_n = \frac{2 - u_n}{2}

5

Comme $u_n \ge 2$ pour tout $n$ , on a $2 - u_n \le 0$ , d'où $u_{n+1} - u_n \le 0$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

6

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$ : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle $l$ .

Piège classique · 6

Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$ . Peut-on affirmer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 10$ ?

Attention

Affirmer que la limite d'une suite croissante est égale au majorant utilisé.

À la place : Le majorant n'est qu'une borne supérieure possible : la suite $u_n = 3 - \frac{1}{n+1}$ est majorée par $10$ , mais converge vers $3$ . Le théorème garantit seulement $\lim_{n \to +\infty} u_n \le 10$ .

Piège classique · 7

Pour une suite $(u_n)$ , on constate que $\lim_{n \to +\infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ . Cela prouve-t-il que $(u_n)$ converge ?

Attention

Conclure qu'une suite converge du seul fait que l'écart consécutif $u_{n+1} - u_n$ tend vers $0$ .

À la place : Des pas qui diminuent peuvent s'accumuler indéfiniment : pour la somme harmonique $u_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ , on a bien $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} \to 0$ , pourtant $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ . Sans majorant, la suite peut diverger.

Vérification · 8

Soit une suite $(v_n)$ vérifiant pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} - v_n = \frac{-n^2}{3^n}$ et $v_n \ge 0$ . Que déduit-on immédiatement ?

Remarque

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_{n+1} - v_n \le 0$ , donc $(v_n)$ est décroissante. Comme elle est minorée par $0$ , le théorème de convergence monotone garantit qu'elle converge vers un réel fini $l \ge 0$ (qui n'est pas obligatoirement $0$ ).

Rappel · 9

Pour tout entier naturel $n$ , quel est l'encadrement fondamental vérifié par $\cos(n)$ ?

Remarque

La fonction cosinus (comme la fonction sinus) prend toutes ses valeurs dans l'intervalle $[-1 ; 1]$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a toujours $-1 \le \cos(n) \le 1$ .

Point de départ · 10

La suite définie par $u_n = \frac{\cos(n)}{n}$ pour $n \ge 1$ possède un numérateur qui oscille sans fin entre $-1$ et $1$ . Peut-elle quand même converger ?

Remarque

Même si $\cos(n)$ oscille indéfiniment, les bornes fixes $-1$ et $1$ divisées par $n$ tendent toutes deux vers $0$ . Le terme est écrasé en étau : c'est le principe du théorème des gendarmes.

Définition · 11

Théorème des gendarmes et comparaison

$\text{Si } v_n \le u_n \le w_n \text{ et } \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l \text{, alors } \lim_{n \to +\infty} u_n = l.$

\text{Si } u_n \ge v_n \text{ et } \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \text{, alors } \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.

Remarque

Le théorème des gendarmes s'applique exclusivement pour encadrer une limite finie $l$ . Pour pousser une suite vers $+\infty$ , une seule minoration $u_n \ge v_n$ suffit.

Exemple travaillé · 12

Soit la suite $(t_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $t_n = \frac{3n + \cos(n)}{2n}$ . Démontrer que $(t_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

1

On encadre le terme trigonométrique oscillant pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

2

-1 \le \cos(n) \le 1

3

On ajoute $3n$ à chaque membre de l'inégalité :

4

3n - 1 \le 3n + \cos(n) \le 3n + 1

5

Comme $2n > 0$ , on divise par $2n$ en conservant le sens des inégalités :

6

\frac{3n - 1}{2n} \le t_n \le \frac{3n + 1}{2n}

7

On évalue la limite des deux suites encadrantes :

8

\lim_{n \to +\infty} \frac{3n - 1}{2n} = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{2n} = \frac{3}{2}

9

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(t_n)$ converge et sa limite est $\lim_{n \to +\infty} t_n = \frac{3}{2}$ .

Exemple travaillé · 13

Soit la suite $(U_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $U_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$ . Démontrer que $(U_n)$ converge et calculer sa limite.

1

Pour tout entier $k$ tel que $1 \le k \le n$ , on encadre le dénominateur variable :

2

n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n

3

Par passage à l'inverse sur les réels strictement positifs, puis multiplication par $n > 0$ :

4

\frac{n}{n^2 + n} \le \frac{n}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1}

5

On somme ces $n$ inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

6

n \times \frac{n}{n^2 + n} \le U_n \le n \times \frac{n}{n^2 + 1} \iff \frac{n^2}{n^2 + n} \le U_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}

7

On calcule les limites asymptotiques des deux bornes rationnelles :

8

\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1

9

Les bornes convergeant vers $1$ , le théorème des gendarmes assure que $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ .

Piège classique · 14

Dans la somme $U_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$ , chaque terme individuel tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ . Peut-on en déduire que $\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$ ?

Attention

Additionner les limites terme à terme pour une somme dont le nombre de termes tend vers l'infini.

À la place : Le théorème d'addition des limites ne s'applique qu'à une somme d'un nombre fixe de termes. Ici, la somme comporte $n$ termes : leur accumulation compense leur petitesse et donne une limite égale à $1$ . Il faut obligatoirement encadrer la somme globale.

Piège classique · 15

Soit la suite définie par $u_n = n + \cos(n)$ . Pour prouver que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ , quelle démarche est correcte ?

Attention

Utiliser un encadrement bilatéral $n - 1 \le u_n \le n + 1$ et invoquer le théorème des gendarmes pour une limite infinie.

À la place : Le théorème des gendarmes est strictement réservé aux limites finies. Pour une divergence vers $+\infty$ , une seule minoration suffit : pour tout $n$ , $u_n \ge n - 1$ . Comme $\lim_{n \to +\infty} (n - 1) = +\infty$ , le théorème de comparaison donne directement $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Vérification · 16

Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $w_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ . Quelle est la limite de $(w_n)$ en $+\infty$ ?

Remarque

Pour tout $1 \le k \le n$ , on a $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ . En sommant ces $n$ inégalités : $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le w_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ . Les deux bornes tendent vers $1$ (en factorisant par $n$ ). D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} w_n = 1$ .

Point de départ · 17

Si une suite récurrente vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers un réel $l$ , et si la fonction $f$ est continue, quelle relation mathématique relie nécessairement la limite $l$ et la fonction $f$ ?

Remarque

Par décalage d'indice, $\lim u_{n+1} = l$ . Par continuité de $f$ , $\lim f(u_n) = f(l)$ . Comme $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ , les deux limites sont égales : on a impérativement $f(l) = l$ .

Définition · 18

Théorème du point fixe pour les suites récurrentes

\text{Soit } f \text{ une fonction continue sur un intervalle } I \text{ et } (u_n) \text{ une suite vérifiant } u_{n+1} = f(u_n) \text{ avec } u_n \in I.

$\text{Si } (u_n) \text{ converge vers un réel } l \in I \text{, alors } f(l) = l.$

Remarque

La continuité de $f$ en $l$ est indispensable. De plus, les bornes de la suite se transmettent à la limite : si pour tout $n$ , $u_n \ge m$ , alors $l \ge m$ ; si $u_n \le M$ , alors $l \le M$ .

Exemple travaillé · 19

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Sachant que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 0$ et que $(u_n)$ converge vers un réel $l$ , calculer la valeur exacte de $l$ .

1

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ qui contient tous les termes de la suite.

2

D'après le théorème du point fixe, la limite $l$ est solution de $f(l) = l$ :

3

\sqrt{l + 2} = l \iff l + 2 = l^2 \iff l^2 - l - 2 = 0

4

L'équation polynomiale admet deux solutions réelles : $l = 2$ et $l = -1$ .

5

Comme $u_n > 0$ pour tout entier $n$ , par passage à la limite on a $l \ge 0$ . La racine négative $-1$ est donc rejetée.

6

\lim_{n \to +\infty} u_n = 2

Exemple travaillé · 20

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n - 3}{u_n}$ . On a démontré que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 3$ et que $(u_n)$ converge vers un réel $l$ . Déterminer $l$ .

1

La fonction $f : x \mapsto \frac{4x - 3}{x}$ est continue sur $[3 ; +\infty[$ . D'après le théorème du point fixe, $l$ vérifie $f(l) = l$ :

2

\frac{4l - 3}{l} = l \iff 4l - 3 = l^2 \iff l^2 - 4l + 3 = 0

3

On factorise le trinôme : $(l - 1)(l - 3) = 0$ . On obtient deux racines strictement positives : $l = 1$ et $l = 3$ .

4

Comme pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 3$ , le passage à la limite impose $l \ge 3$ .

5

La racine $1 < 3$ est exclue par la minoration. On conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$ .

Piège classique · 21

Une suite $(u_n)$ vérifie pour tout $n \in \mathbb{N}$ l'encadrement $\frac{1}{4} \le u_n \le \frac{1}{2}$ et converge vers un réel $l$ . Elle vérifie $u_{n+1} = u_n^2 + \frac{3}{16}$ . L'équation $x^2 + \frac{3}{16} = x$ a pour solutions $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$ . Quelle est la limite $l$ ?

Attention

Choisir la solution $\frac{3}{4}$ ou déclarer que les deux racines sont des limites possibles de la suite.

À la place : Tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $[\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}]$ . Par passage à la limite dans l'encadrement, on a obligatoirement $\frac{1}{4} \le l \le \frac{1}{2}$ . La valeur $\frac{3}{4}$ est strictement supérieure à $\frac{1}{2}$ , elle est donc impossible. L'unique limite admissible est $l = \frac{1}{4}$ .

Piège classique · 22

Soit la suite récurrente définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Peut-on en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante ?

Attention

Affirmer que la suite $(u_n)$ est croissante au motif que la fonction associée $f$ est croissante.

À la place : La croissance de $f$ garantit seulement que la suite est monotone, mais son sens dépend de la comparaison entre $u_0$ et $u_1$ . Ici, $u_0 = 4$ et $u_1 = \frac{1}{2}(4) + 1 = 3$ . Comme $u_1 < u_0$ , la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, bien que $f$ soit strictement croissante.

Vérification · 23

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}$ . Sachant que $(u_n)$ est strictement décroissante et minorée par $0$ , elle converge vers un réel $l$ . Les solutions de l'équation $x = \sqrt{x+1}$ sont $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . Quelle est la limite exacte de $(u_n)$ ?

Remarque

La fonction racine carrée est continue. Comme $u_n \ge 0$ pour tout $n$ , la limite vérifie $l \ge 0$ . Or $\sqrt{5} > 1$ , donc $\frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0$ . La solution négative est rejetée, ce qui donne $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Point de départ · 24

On observe deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ : $(u_n)$ monte ( $u_{n+1} \ge u_n$ ), $(v_n)$ descend ( $v_{n+1} \le v_n$ ), et pour tout $n$ , $u_n \le v_n$ . Si l'écart $v_n - u_n$ tend vers $0$ à l'infini, que peut-on affirmer sur leurs limites respectives ?

Remarque

Comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ , elle converge. Comme $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ , elle converge. Puisque leur différence s'annule à l'infini, elles se rejoignent exactement en une limite commune.

Définition · 25

Suites adjacentes et limite commune

$\text{Deux suites } (u_n)_{n \ge 0} \text{ et } (v_n)_{n \ge 0} \text{ sont dites adjacentes lorsque :}$

\forall n \in \mathbb{N}, \; u_n \le v_n

(u_n) \text{ est croissante et } (v_n) \text{ est décroissante}

\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0

Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et admettent la même limite finie $l$ .

Remarque

Propriété fondamentale : pour tous entiers $p$ et $q$ , on a $u_p \le v_q$ . En particulier, pour tout $n$ , $u_n \le l \le v_n$ .

Exemple travaillé · 26

Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 0$ , $v_0 = 12$ , et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$ . Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

1

On pose $w_n = v_n - u_n$ et on exprime $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :

2

w_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} - \frac{u_n + v_n}{2} = \frac{2(u_n + 2v_n) - 3(u_n + v_n)}{6} = \frac{v_n - u_n}{6} = \frac{1}{6}w_n

3

$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{6}$ et de premier terme $w_0 = 12 - 0 = 12$ :

4

w_n = 12 \left(\frac{1}{6}\right)^n

5

Comme $w_0 > 0$ et $\frac{1}{6} > 0$ , pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $w_n > 0$ , donc $u_n < v_n$ . De plus, comme $|\frac{1}{6}| < 1$ , $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$ .

6

On étudie la monotonie de chaque suite :

7

u_{n+1} - u_n = \frac{v_n - u_n}{2} = \frac{w_n}{2} > 0 \implies (u_n) \text{ est strictement croissante}

8

v_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{3} = -\frac{w_n}{3} < 0 \implies (v_n) \text{ est strictement décroissante}

9

Les trois conditions sont réunies : $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent vers une même limite.

Exemple travaillé · 27

Soit la suite $(S_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ , et la suite $(w_n)$ définie par $w_n = S_n + \frac{1}{n}$ . Démontrer que $(S_n)$ et $(w_n)$ sont adjacentes.

1

On détermine le sens de variation de $(S_n)$ pour $n \ge 1$ :

2

S_{n+1} - S_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0

3

La suite $(S_n)$ est donc strictement croissante.

4

On étudie ensuite les variations de $(w_n)$ :

5

w_{n+1} - w_n = (S_{n+1} - S_n) + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n(n+1)}

6

w_{n+1} - w_n = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)^2} = \frac{-1}{n(n+1)^2} < 0

7

La suite $(w_n)$ est donc strictement décroissante.

8

On examine la différence entre les deux suites :

9

w_n - S_n = \frac{1}{n} > 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} (w_n - S_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0

10

$(S_n)$ est croissante, $(w_n)$ est décroissante, et $\lim(w_n - S_n) = 0$ : les suites $(S_n)$ et $(w_n)$ sont adjacentes.

Piège classique · 28

Soient les suites définies pour $n \ge 1$ par $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ et $v_n = 3 + \frac{1}{n}$ . On constate que $(u_n)$ est croissante, que $(v_n)$ est décroissante, et que $u_n \le v_n$ pour tout $n$ . Les suites sont-elles adjacentes ?

Attention

Déclarer deux suites adjacentes dès qu'elles sont monotones de sens contraires et vérifient $u_n \le v_n$ .

À la place : La condition $\lim(v_n - u_n) = 0$ est indispensable. Ici, $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 3 - 1 = 2 \ne 0$ : les suites s'approchent mais restent séparées par un écart non nul, elles ne sont pas adjacentes.

Piège classique · 29

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante, que peut-on dire de la comparaison entre $u_{100}$ et $v_2$ ?

Attention

Penser que l'inégalité $u_n \le v_n$ ne s'applique qu'au même indice $n$ , et douter lorsque le premier indice dépasse le second.

À la place : Pour deux suites adjacentes, tout terme de la suite croissante est inférieur ou égal à TOUT terme de la suite décroissante : pour tous entiers $p$ et $q$ , on a $u_p \le v_q$ . En intercalant leur limite commune $l$ , on a $u_p \le l \le v_q$ , donc en particulier $u_{100} \le v_2$ .

Vérification · 30

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes de limite commune $l$ , avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante. On donne $u_4 = 1{,}41$ et $v_4 = 1{,}42$ . Quel encadrement certain obtient-on pour $l$ ?

Remarque

Comme $(u_n)$ croît vers $l$ et $(v_n)$ décroît vers $l$ , la limite $l$ est comprise entre les termes de même rang : pour tout entier $n$ , $u_n \le l \le v_n$ . On a donc avec certitude $1{,}41 \le l \le 1{,}42$ .

Point de départ · 31

On considère la suite alternée définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n + \frac{1}{n+1}$ . Que constate-t-on si l'on sépare les indices pairs ( $n=2p$ ) et les indices impairs ( $n=2p+1$ ) ?

Remarque

En séparant les indices selon leur parité, le terme oscillant $(-1)^n$ devient constant : $u_{2p} = 1 + \frac{1}{2p+1} \to 1$ et $u_{2p+1} = -1 + \frac{1}{2p+2} \to -1$ . Chaque sous-suite devient régulière et facile à étudier.

Définition · 32

Théorème des sous-suites paires et impaires

$\text{Une suite } (u_n) \text{ converge vers un réel } l \iff \lim_{n \to +\infty} u_{2n} = l \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = l$

Si les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers deux limites réelles distinctes ( $l_1 \ne l_2$ ), ou si l'une d'elles n'admet pas de limite, alors la suite $(u_n)$ diverge.

Remarque

Pour conclure à la convergence de la suite globale, les deux sous-suites doivent impérativement converger vers la même valeur.

Exemple travaillé · 33

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $u_n = \frac{\cos(n\pi)}{2n + (-1)^n}$ . Démontrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

1

On évalue la sous-suite des termes de rang pair en remplaçant $n$ par $2n$ (avec $\cos(2n\pi) = 1$ et $(-1)^{2n} = 1$ ) :

2

u_{2n} = \frac{\cos(2n\pi)}{2(2n) + (-1)^{2n}} = \frac{1}{4n + 1}

3

Comme $\lim_{n \to +\infty} (4n + 1) = +\infty$ , on obtient $\lim_{n \to +\infty} u_{2n} = 0$ .

4

On évalue la sous-suite des termes de rang impair en remplaçant $n$ par $2n+1$ (avec $\cos((2n+1)\pi) = -1$ et $(-1)^{2n+1} = -1$ ) :

5

u_{2n+1} = \frac{\cos((2n+1)\pi)}{2(2n+1) + (-1)^{2n+1}} = \frac{-1}{4n + 2 - 1} = \frac{-1}{4n + 1}

6

On en déduit immédiatement que $\lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = 0$ .

7

Les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $0$ : d'après le théorème des sous-suites, $(u_n)$ converge et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

Exemple travaillé · 34

Démontrer que la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = (-1)^n + \frac{2}{n+1}$ n'admet pas de limite.

1

On détermine la limite de la sous-suite des termes d'indices pairs :

2

v_{2n} = (-1)^{2n} + \frac{2}{2n+1} = 1 + \frac{2}{2n+1} \implies \lim_{n \to +\infty} v_{2n} = 1

3

On détermine la limite de la sous-suite des termes d'indices impairs :

4

v_{2n+1} = (-1)^{2n+1} + \frac{2}{2n+2} = -1 + \frac{1}{n+1} \implies \lim_{n \to +\infty} v_{2n+1} = -1

5

Les sous-suites $(v_{2n})$ et $(v_{2n+1})$ convergent vers deux réels distincts ( $1 \ne -1$ ) : la suite globale $(v_n)$ n'admet pas de limite et diverge.

Piège classique · 35

Soit la suite définie par $u_n = (-1)^n$ . Un élève affirme : « Comme la suite oscille symétriquement entre $-1$ et $1$ , sa limite en $+\infty$ est la moyenne des deux extrêmes, soit $0$ . » Cette affirmation est-elle exacte ?

Attention

Affirmer qu'une suite oscillante bornée converge vers la moyenne de ses extrêmes.

À la place : Une suite convergente doit se rapprocher d'un unique point d'accumulation. Ici, $u_{2n} = 1 \to 1$ et $u_{2n+1} = -1 \to -1$ . Comme $1 \ne -1$ , la suite $(u_n)$ ne se stabilise pas : elle n'admet aucune limite et diverge.

Piège classique · 36

Soit une suite récurrente définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , où $f$ est une fonction strictement décroissante. Peut-on démontrer que la suite globale $(u_n)$ est monotone ?

Attention

Tenter d'établir la monotonie globale d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ lorsque $f$ est strictement décroissante.

À la place : Comme $f$ est décroissante, elle inverse l'ordre à chaque étape : si $u_0 \le u_1$ , alors $f(u_0) \ge f(u_1)$ , c'est-à-dire $u_1 \ge u_2$ , puis $u_2 \le u_3$ . La suite globale oscille autour de son équilibre. Ce sont les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ , régies par la fonction composée $f \circ f$ (qui est croissante), qui sont monotones.

Vérification · 37

Soit la suite $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $w_n = \frac{2n + (-1)^n}{n+1}$ . La suite $(w_n)$ est-elle convergente ?

Remarque

On évalue les deux sous-suites : pour les pairs, $w_{2n} = \frac{4n + 1}{2n + 1} \to 2$ . Pour les impairs, $w_{2n+1} = \frac{2(2n+1) - 1}{(2n+1) + 1} = \frac{4n + 1}{2n + 2} \to 2$ . Les deux sous-suites convergeant vers la même limite $2$ , le théorème assure que $(w_n)$ converge et que $\lim_{n \to +\infty} w_n = 2$ .

Point de départ · 38

À chaque étape d'un calcul itératif, la distance entre $u_n$ et une cible fixe $l$ est au moins divisée par deux : $|u_{n+1} - l| \le \frac{1}{2}|u_n - l|$ . Que devient cet écart après $n$ répétitions ?

Remarque

À chaque pas, l'erreur résiduelle est multipliée par un coefficient inférieur à $1$ . Au bout de $n$ étapes, l'écart est dominé par $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ , une quantité géométrique qui s'écrase inévitablement vers $0$ .

Définition · 39

Majoration géométrique et convergence

$\text{Soit } (u_n) \text{ une suite réelle, } l \in \mathbb{R} \text{ et } k \in ]0 ; 1[.$

\text{S'il existe un rang } n_0 \text{ tel que pour tout } n \ge n_0, \; |u_{n+1} - l| \le k |u_n - l|

$\text{alors pour tout } n \ge n_0, \; |u_n - l| \le k^{n - n_0} |u_{n_0} - l| \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = l$

Remarque

Puisque $0 < k < 1$ , la suite géométrique $(k^n)$ converge vers $0$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} |u_n - l| = 0$ , ce qui garantit la convergence de $(u_n)$ vers $l$ .

Exemple travaillé · 40

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$ . Sachant que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 0$ , prouver que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $|u_{n+1} - 3| \le \frac{1}{3}|u_n - 3|$ et déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ .

1

On transforme la différence en multipliant par l'expression conjuguée :

2

|u_{n+1} - 3| = |\sqrt{6 + u_n} - 3| = \frac{|(6 + u_n) - 9|}{\sqrt{6 + u_n} + 3} = \frac{|u_n - 3|}{\sqrt{6 + u_n} + 3}

3

Comme $u_n \ge 0$ , on a $\sqrt{6 + u_n} \ge \sqrt{6} > 0$ , d'où le dénominateur vérifie $\sqrt{6 + u_n} + 3 \ge 3$ .

4

En passant à l'inverse, on obtient l'inégalité de contraction :

5

|u_{n+1} - 3| \le \frac{1}{3}|u_n - 3|

6

Par récurrence immédiate, on déduit pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

7

|u_n - 3| \le \left(\frac{1}{3}\right)^n |u_0 - 3| = 3 \left(\frac{1}{3}\right)^n

8

Comme $|\frac{1}{3}| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} |u_n - 3| = 0$ , donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$ .

Exemple travaillé · 41

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n - 3}{u_n}$ . On a démontré que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 3$ . Établir que $u_{n+1} - 3 \le \frac{1}{3}(u_n - 3)$ et en déduire la limite de $(u_n)$ .

1

On met au même dénominateur l'écart au point fixe $3$ :

2

u_{n+1} - 3 = \frac{4u_n - 3 - 3u_n}{u_n} = \frac{u_n - 3}{u_n} = \frac{1}{u_n}(u_n - 3)

3

Comme $u_n \ge 3$ , on a $\frac{1}{u_n} \le \frac{1}{3}$ . Comme $u_n - 3 \ge 0$ , la multiplication conserve l'ordre :

4

u_{n+1} - 3 \le \frac{1}{3}(u_n - 3)

5

Par récurrence, on obtient pour tout entier naturel $n$ :

6

0 \le u_n - 3 \le \left(\frac{1}{3}\right)^n (u_0 - 3) = \left(\frac{1}{3}\right)^n (4 - 3) = \left(\frac{1}{3}\right)^n

7

Comme $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$ , le théorème des gendarmes entraîne $\lim_{n \to +\infty} (u_n - 3) = 0$ , d'où $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$ .

Piège classique · 42

Pour une suite $(u_n)$ , on a démontré que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|u_{n+1} - 2| \le \frac{4}{3}|u_n - 2|$ . Que permet de conclure cette inégalité sur la convergence de $(u_n)$ ?

Attention

Conclure que la suite converge vers 2 ou qu'elle diverge vers l'infini en appliquant la formule géométrique.

À la place : Le facteur $k = \frac{4}{3}$ est strictement supérieur à $1$ . Le majorant géométrique $\left(\frac{4}{3}\right)^n |u_0 - 2|$ tend vers $+\infty$ . Savoir qu'un terme est inférieur à une grandeur infinie n'apporte aucune borne exploitable : cette majoration ne permet rien de conclure.

Piège classique · 43

Une suite $(u_n)$ vérifie $|u_{n+1} - 3| \le \frac{1}{2}|u_n - 3|$ uniquement à partir du rang $n = 2$ . Quelle est l'expression du majorant géométrique de $|u_n - 3|$ pour tout $n \ge 2$ ?

Attention

Conserver l'exposant $n$ et le terme initial $u_0$ en écrivant $|u_n - 3| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - 3|$ .

À la place : L'inégalité n'étant vraie qu'à partir de $n = 2$ , l'itération démarre au terme $|u_2 - 3|$ . Le nombre de facteurs $\frac{1}{2}$ accumulés du rang $2$ au rang $n$ est $n - 2$ . L'encadrement correct est $|u_n - 3| \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} |u_2 - 3|$ .

Vérification · 44

Soit une suite $(u_n)$ vérifiant pour tout $n \in \mathbb{N}$ l'inégalité $|u_n - 5| \le 4 \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Quelle est la limite de $(u_n)$ quand $n \to +\infty$ ?

Remarque

Comme $|\frac{2}{3}| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$ , donc $\lim_{n \to +\infty} 4\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$ . D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} |u_n - 5| = 0$ , ce qui équivaut à $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$ .

Suites réelles — cours

Le cours

Théorème de convergence monotone

Théorème des gendarmes et comparaison

Théorème du point fixe pour les suites récurrentes

Suites adjacentes et limite commune

Théorème des sous-suites paires et impaires

Majoration géométrique et convergence

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