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Fonctions primitives — cours

4ème année (Bac) · section Technique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 4ème année (Bac) Technique

Le cours

Rappel · 1

Quelle est la dérivée de la fonction g:x↦x3g : x \mapsto x^3 sur R\mathbb{R} ?

Remarque

La dérivation fait baisser la puissance : (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. La recherche d'une primitive fait le chemin inverse : retrouver x3x^3 à partir de 3x23x^2.

Point de départ · 2

On considère les fonctions F1(x)=x2F_1(x) = x^2 et F2(x)=x2+5F_2(x) = x^2 + 5 définies sur R\mathbb{R}. Calcule les dérivées F1′(x)F_1'(x) et F2′(x)F_2'(x). Que constates-tu ?

Deux fonctions distinctes peuvent avoir exactement la même dérivée 2x2x, car la dérivée d'une constante est nulle.

Définition · 3

Définition d'une primitive

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

F′(x)=f(x)pour tout x∈IF'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I

Une fonction FF dérivable sur II vérifiant cette égalité est appelée une primitive de ff sur II.

Théorème d'existence

f continue sur I  ⟹  f admet des primitives sur If \text{ continue sur } I \implies f \text{ admet des primitives sur } I

Exemple travaillé · 4

Soient les fonctions f(x)=3x2+2x+1f(x) = 3x^2 + 2x + 1 et F(x)=x3+x2+x+5F(x) = x^3 + x^2 + x + 5 définies sur R\mathbb{R}. Montre que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}, puis donne une autre primitive GG de ff.

1

FF est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur R\mathbb{R}.

2

On dérive F(x)F(x) terme à terme :

F′(x)=3x2+2x+1F'(x) = 3x^2 + 2x + 1
3

On constate que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R}. Donc FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

4

Toute fonction de la forme F+cF + c avec c∈Rc \in \mathbb{R} a pour dérivée ff. En choisissant c=−5c = -5, on obtient une autre primitive :

G(x)=x3+x2+xG(x) = x^3 + x^2 + x

Définition · 5

Ensemble des primitives sur un intervalle

Soit ff une fonction admettant une primitive FF sur un intervalle II.

{F(x)+c  ;  c∈R}\{F(x) + c \; ; \; c \in \mathbb{R}\}

Toutes les primitives de ff sur II s'obtiennent en ajoutant une constante réelle arbitraire cc à FF.

Remarque

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent toujours d'une constante.

Exemple travaillé · 6

Soit l'intervalle I=]1;+∞[I = ]1;+\infty[ et les fonctions g(x)=−2(x−1)2g(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} et G(x)=x+1x−1G(x) = \frac{x+1}{x-1}. Montre que GG est une primitive de gg sur II, puis détermine l'unique primitive HH de gg vérifiant H(2)=0H(2) = 0.

1

GG est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur II, elle est donc dérivable sur II.

2

On dérive le quotient :

G′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=x−1−x−1(x−1)2=−2(x−1)2G'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}
3

On a G′(x)=g(x)G'(x) = g(x) pour tout x∈Ix \in I, donc GG est une primitive de gg sur II.

4

Toutes les primitives de gg sur II s'écrivent sous la forme H(x)=x+1x−1+cH(x) = \frac{x+1}{x-1} + c avec c∈Rc \in \mathbb{R}.

5

On applique la condition H(2)=0H(2) = 0 pour déterminer cc :

2+12−1+c=0  ⟺  3+c=0  ⟺  c=−3\frac{2+1}{2-1} + c = 0 \iff 3 + c = 0 \iff c = -3
6

L'unique primitive cherchée est :

H(x)=x+1x−1−3H(x) = \frac{x+1}{x-1} - 3

Piège classique · 7

On pose f(x)=4x3f(x) = 4x^3 sur R\mathbb{R} et F(x)={x4+2si x≥0x4−1si x<0F(x) = \begin{cases} x^4 + 2 & \text{si } x \geq 0 \\ x^4 - 1 & \text{si } x < 0 \end{cases}.
La fonction FF est-elle une primitive de ff sur R\mathbb{R} ?

Attention

Dériver séparément sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et ]−∞;0[]-\infty;0[ et conclure que F′=fF'=f sur R\mathbb{R} sans vérifier en 00.

À la place : FF n'est pas continue en 00 car lim⁡x→0+F(x)=2\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2 et lim⁡x→0−F(x)=−1\lim_{x \to 0^-} F(x) = -1. N'étant pas continue en 00, FF n'est pas dérivable en 00. Elle ne peut donc pas être une primitive sur R\mathbb{R}.

Vérification · 8

Soient FF et GG deux primitives d'une même fonction continue ff sur l'intervalle I=[0;5]I = [0; 5]. On donne F(1)=4F(1) = 4 et G(1)=1G(1) = 1. Que vaut F(4)−G(4)F(4) - G(4) ?

Remarque

Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante fixe : pour tout x∈Ix \in I, F(x)−G(x)=F(1)−G(1)=4−1=3F(x) - G(x) = F(1) - G(1) = 4 - 1 = 3.

Rappel · 9

Quelle est la dérivée de la fonction h:x↦1xh : x \mapsto \frac{1}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ ?

Remarque

La dérivée de 1x\frac{1}{x} est −1x2-\frac{1}{x^2}. C'est la présence de ce signe moins qui régit la recherche de la primitive de 1x2\frac{1}{x^2}.

Définition · 10

Primitives des puissances et inverses usuels

Sur tout intervalle où elles sont définies, les primitives des fonctions usuelles de référence sont données par :

xn⟼1n+1xn+1+c(n∈N)x^n \longmapsto \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \quad (n \in \mathbb{N})

1x2⟼−1x+c\frac{1}{x^2} \longmapsto -\frac{1}{x} + c

1x⟼2x+c\frac{1}{\sqrt{x}} \longmapsto 2\sqrt{x} + c

Linéarité de la primitivation

(αf+βg) admet pour primitive (αF+βG)(\alpha f + \beta g) \text{ admet pour primitive } (\alpha F + \beta G)

On intègre une somme terme à terme en conservant les coefficients multiplicateurs constants.

Exemple travaillé · 11

Détermine une primitive sur ]0;+∞[]0;+\infty[ de la fonction ff définie par : f(x)=3x2−5x−1−1xf(x) = 3x^2 - 5x - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}.

1

On intègre terme à terme par linéarité sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

2

Une primitive de 3x23x^2 est 3×x33=x33 \times \frac{x^3}{3} = x^3.

3

Une primitive de −5x-5x est −5×x22=−52x2-5 \times \frac{x^2}{2} = -\frac{5}{2}x^2.

4

Une primitive de la constante −1-1 est −x-x.

5

Une primitive de −1x-\frac{1}{\sqrt{x}} est −2x-2\sqrt{x}.

6

En sommant ces composantes, une primitive de ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[ est :

F(x)=x3−52x2−x−2xF(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - x - 2\sqrt{x}

Piège classique · 12

Quelle est une primitive de la fonction f2(x)=5−3x2f_2(x) = 5 - \frac{3}{x^2} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ ?

Attention

Écrire que la primitive de −3x2-\frac{3}{x^2} est −3x-\frac{3}{x} en conservant le signe négatif.

À la place : Une primitive de −1x2-\frac{1}{x^2} est +1x+\frac{1}{x} car (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}. Le signe moins préexistant se simplifie : une primitive est donc 5x+3x5x + \frac{3}{x}.

Exemple travaillé · 13

Détermine une primitive sur ]0;+∞[]0;+\infty[ de la fonction rationnelle g(x)=2x3−5x2+2x2g(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 2}{x^2}.

1

Le dénominateur est un monôme x2x^2. On scinde la fraction en divisant chaque terme du numérateur par x2x^2 :

2
g(x)=2x3x2−5x2x2+2x2=2x−5+2x2g(x) = \frac{2x^3}{x^2} - \frac{5x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 2x - 5 + \frac{2}{x^2}
3

On intègre ensuite terme à terme sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

4

Une primitive de 2x2x est x2x^2, une primitive de −5-5 est −5x-5x, et une primitive de 2x2\frac{2}{x^2} est −2x-\frac{2}{x}.

5

Une primitive de gg sur ]0;+∞[]0;+\infty[ est donc :

G(x)=x2−5x−2xG(x) = x^2 - 5x - \frac{2}{x}

Piège classique · 14

On cherche une primitive de k(x)=(x−1)2(x+2)k(x) = (x-1)^2(x+2) sur R\mathbb{R}. Quelle méthode doit-on impérativement appliquer ?

Attention

Calculer le produit des primitives des deux facteurs séparés, en écrivant (x−1)33×(x+2)22\frac{(x-1)^3}{3} \times \frac{(x+2)^2}{2}.

À la place : La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives. Il faut obligatoirement développer le produit pour obtenir un polynôme sous forme réduite : k(x)=x3−3x+2k(x) = x^3 - 3x + 2, puis intégrer terme à terme.

Vérification · 15

Détermine une primitive de f(x)=5x4−10x−10+17x2f(x) = 5x^4 - 10x - 10 + \frac{17}{x^2} sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

Remarque

On intègre chaque terme séparément : 5×x55=x55 \times \frac{x^5}{5} = x^5, −10×x22=−5x2-10 \times \frac{x^2}{2} = -5x^2, la constante −10-10 donne −10x-10x, et 17x2\frac{17}{x^2} donne −17x-\frac{17}{x}. D'où F(x)=x5−5x2−10x−17xF(x) = x^5 - 5x^2 - 10x - \frac{17}{x}.

Point de départ · 16

On cherche une primitive de f(x)=2x(x2+1)3f(x) = 2x(x^2+1)^3 sur R\mathbb{R}. Doit-on obligatoirement développer l'expression (x2+1)3(x^2+1)^3 ?

Développer (x2+1)3(x^2+1)^3 serait long et source d'erreurs. On remarque que 2x2x est la dérivée exacte de u(x)=x2+1u(x) = x^2+1. L'expression s'écrit sous la forme u′(x)⋅[u(x)]3u'(x) \cdot [u(x)]^3, ce qui permet de trouver directement une primitive.

Définition · 17

Primitive de la forme u′unu' u^n

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II et n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

u′(x)⋅[u(x)]n admet pour primitive 1n+1[u(x)]n+1+c(c∈R)u'(x) \cdot [u(x)]^n \text{ admet pour primitive } \frac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})

Cas particulier d'un binôme affine

Pour tous réels aa et bb avec a≠0a \neq 0 :

(ax+b)n admet pour primitive 1a(n+1)(ax+b)n+1+c(ax+b)^n \text{ admet pour primitive } \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + c

Exemple travaillé · 18

Détermine une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff définie par : f(x)=x(1−x2)2f(x) = x(1-x^2)^2.

1

On pose u(x)=1−x2u(x) = 1-x^2, qui est dérivable sur R\mathbb{R}.

2

On calcule sa dérivée : u′(x)=−2xu'(x) = -2x.

3

Le facteur xx ne diffère de u′(x)u'(x) que par une constante multiplicative. On ajuste le coefficient :

f(x)=−12×(−2x)(1−x2)2=−12u′(x)[u(x)]2f(x) = -\frac{1}{2} \times (-2x)(1-x^2)^2 = -\frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^2
4

Comme une primitive de u′u2u' u^2 est 13u3\frac{1}{3}u^3, une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :

F(x)=−12×13(1−x2)3=−16(1−x2)3F(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}(1-x^2)^3 = -\frac{1}{6}(1-x^2)^3

Piège classique · 19

Quelle est une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction g(x)=(3−2x)10g(x) = (3-2x)^{10} ?

Attention

Intégrer en 111(3−2x)11\frac{1}{11}(3-2x)^{11} en oubliant la dérivée interne de la fonction affine 3−2x3-2x.

À la place : La dérivée de u(x)=3−2xu(x) = 3-2x est u′(x)=−2u'(x) = -2. Il faut compenser ce facteur −2-2 en multipliant par −12-\frac{1}{2} : g(x)=−12×(−2)(3−2x)10=−12u′(x)[u(x)]10g(x) = -\frac{1}{2} \times (-2)(3-2x)^{10} = -\frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^{10}. La primitive est donc −12×(3−2x)1111=−122(3−2x)11-\frac{1}{2} \times \frac{(3-2x)^{11}}{11} = -\frac{1}{22}(3-2x)^{11}.

Définition · 20

Primitives de la forme u′u2\frac{u'}{u^2} et puissances négatives

Soit uu une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle II.

u′(x)[u(x)]2 admet pour primitive −1u(x)+c(c∈R)\frac{u'(x)}{[u(x)]^2} \text{ admet pour primitive } -\frac{1}{u(x)} + c \quad (c \in \mathbb{R})

Plus généralement, pour tout entier n≥2n \geq 2 :

u′(x)[u(x)]n admet pour primitive −1(n−1)[u(x)]n−1+c\frac{u'(x)}{[u(x)]^n} \text{ admet pour primitive } -\frac{1}{(n-1)[u(x)]^{n-1}} + c

Exemple travaillé · 21

Détermine l'ensemble des primitives sur ]1;+∞[]1;+\infty[ de la fonction ff définie par : f(x)=4x+2(x2+x−2)2f(x) = \frac{4x+2}{(x^2+x-2)^2}.

1

On pose u(x)=x2+x−2u(x) = x^2+x-2, qui est dérivable et ne s'annule pas sur ]1;+∞[]1;+\infty[.

2

On calcule sa dérivée : u′(x)=2x+1u'(x) = 2x+1.

3

On factorise le numérateur pour faire apparaître u′(x)u'(x) :

4x+2=2(2x+1)=2u′(x)4x+2 = 2(2x+1) = 2u'(x)
4

On réécrit la fonction sous la forme de référence :

f(x)=2×u′(x)[u(x)]2f(x) = 2 \times \frac{u'(x)}{[u(x)]^2}
5

Comme une primitive de u′u2\frac{u'}{u^2} est −1u-\frac{1}{u}, l'ensemble des primitives de ff sur ]1;+∞[]1;+\infty[ est :

F(x)=2(−1u(x))+c=−2x2+x−2+c(c∈R)F(x) = 2 \left(-\frac{1}{u(x)}\right) + c = -\frac{2}{x^2+x-2} + c \quad (c \in \mathbb{R})

Piège classique · 22

Sur l'intervalle I=]12;+∞[I = ]\frac{1}{2};+\infty[, quelle est une primitive de h(x)=−2(2x−1)2h(x) = \frac{-2}{(2x-1)^2} ?

Attention

Écrire −12x−1-\frac{1}{2x-1} en appliquant mécaniquement le signe moins de la formule sans regarder le numérateur.

À la place : Avec u(x)=2x−1u(x) = 2x-1, on a u′(x)=2u'(x) = 2. Le numérateur est −2=−u′(x)-2 = -u'(x). L'expression est donc −u′(x)[u(x)]2-\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}. Comme la primitive de u′u2\frac{u'}{u^2} est −1u-\frac{1}{u}, celle de −u′u2-\frac{u'}{u^2} est −(−1u)=+1u=12x−1-\left(-\frac{1}{u}\right) = +\frac{1}{u} = \frac{1}{2x-1}.

Vérification · 23

Détermine la primitive FF sur R\mathbb{R} de la fonction f(x)=(2x−1)(x2−x−4)3f(x) = (2x-1)(x^2-x-4)^3 qui s'annule en 00.

Remarque

En posant u(x)=x2−x−4u(x) = x^2-x-4, on a u′(x)=2x−1u'(x) = 2x-1. La fonction est exactement de la forme u′u3u' u^3, dont les primitives sont F(x)=14(x2−x−4)4+cF(x) = \frac{1}{4}(x^2-x-4)^4 + c. La condition F(0)=0F(0) = 0 donne 14(−4)4+c=0  ⟺  64+c=0  ⟺  c=−64\frac{1}{4}(-4)^4 + c = 0 \iff 64 + c = 0 \iff c = -64.

Définition · 24

Primitives de la forme u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}

Soit uu une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

u′(x)u(x) admet pour primitive 2u(x)+c(c∈R)\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \text{ admet pour primitive } 2\sqrt{u(x)} + c \quad (c \in \mathbb{R})

Remarque

Puisque (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, l'absence du facteur 22 au dénominateur impose de multiplier la primitive par 22.

Exemple travaillé · 25

Sur l'intervalle [0;1][0;1], détermine une primitive de la fonction ff définie par : f(x)=2x3x2+1f(x) = \frac{2x}{3\sqrt{x^2+1}}.

1

On pose u(x)=x2+1u(x) = x^2+1, qui est dérivable et strictement positive sur [0;1][0;1].

2

On calcule sa dérivée : u′(x)=2xu'(x) = 2x.

3

On isole la constante multiplicative 13\frac{1}{3} pour faire apparaître la forme usuelle :

f(x)=13×2xx2+1=13×u′(x)u(x)f(x) = \frac{1}{3} \times \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{3} \times \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}
4

Une primitive de u′u\frac{u'}{\sqrt{u}} est 2u2\sqrt{u}. En multipliant par 13\frac{1}{3}, on obtient :

F(x)=13(2x2+1)=23x2+1F(x) = \frac{1}{3} \left(2\sqrt{x^2+1}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{x^2+1}

Piège classique · 26

Sur l'intervalle ]1;+∞[]1;+\infty[, quelle est une primitive de la fonction h(x)=14x−3h(x) = \frac{1}{\sqrt{4x-3}} ?

Attention

Intégrer u′u\frac{u'}{\sqrt{u}} en u\sqrt{u} en oubliant le facteur multiplicatif 22.

À la place : La dérivée de u\sqrt{u} est u′2u\frac{u'}{2\sqrt{u}}, donc u′u\frac{u'}{\sqrt{u}} a pour primitive 2u2\sqrt{u}. En posant u(x)=4x−3u(x) = 4x-3, on a u′(x)=4u'(x) = 4, d'où h(x)=14u′(x)u(x)h(x) = \frac{1}{4}\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}. Une primitive est donc 14×24x−3=124x−3\frac{1}{4} \times 2\sqrt{4x-3} = \frac{1}{2}\sqrt{4x-3}.

Définition · 27

Primitives des fonctions trigonométriques

Sur R\mathbb{R}, les primitives des fonctions circulaires de référence sont données par :

cos⁡(x)⟼sin⁡(x)+cetsin⁡(x)⟼−cos⁡(x)+c\cos(x) \longmapsto \sin(x) + c \quad \text{et} \quad \sin(x) \longmapsto -\cos(x) + c

Pour tous réels aa et bb avec a≠0a \neq 0 :

cos⁡(ax+b)⟼1asin⁡(ax+b)+cetsin⁡(ax+b)⟼−1acos⁡(ax+b)+c\cos(ax+b) \longmapsto \frac{1}{a}\sin(ax+b) + c \quad \text{et} \quad \sin(ax+b) \longmapsto -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c

Sur tout intervalle où elle est définie :

1+tan⁡2(x)=1cos⁡2(x)⟼tan⁡(x)+c1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \longmapsto \tan(x) + c

Piège classique · 28

Quelle est une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction f(x)=3sin⁡(2x)f(x) = 3\sin(2x) ?

Attention

Oublier le signe moins lors de la primitivation de sinus ou multiplier par 22 au lieu de diviser par 22.

À la place : La dérivée de cos⁡(x)\cos(x) est −sin⁡(x)-\sin(x), donc une primitive de sin⁡(x)\sin(x) est −cos⁡(x)-\cos(x). Pour la composée affine 2x2x, on divise impérativement par le coefficient 22 : une primitive est donc −32cos⁡(2x)-\frac{3}{2}\cos(2x).

Exemple travaillé · 29

Détermine la primitive FF sur R\mathbb{R} de la fonction f(x)=2cos⁡(3x)+3sin⁡(2x)f(x) = 2\cos(3x) + 3\sin(2x) vérifiant la condition initiale F(0)=−1F(0) = -1.

1

On détermine la forme générale des primitives de ff sur R\mathbb{R} par linéarité :

2

Une primitive de 2cos⁡(3x)2\cos(3x) est 2×13sin⁡(3x)=23sin⁡(3x)2 \times \frac{1}{3}\sin(3x) = \frac{2}{3}\sin(3x).

3

Une primitive de 3sin⁡(2x)3\sin(2x) est 3×(−12cos⁡(2x))=−32cos⁡(2x)3 \times \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = -\frac{3}{2}\cos(2x).

4

Toutes les primitives de ff sur R\mathbb{R} s'écrivent :

F(x)=23sin⁡(3x)−32cos⁡(2x)+c(c∈R)F(x) = \frac{2}{3}\sin(3x) - \frac{3}{2}\cos(2x) + c \quad (c \in \mathbb{R})
5

On applique la condition initiale F(0)=−1F(0) = -1 pour fixer la constante cc :

23sin⁡(0)−32cos⁡(0)+c=−1  ⟺  0−32(1)+c=−1  ⟺  c=−1+32=12\frac{2}{3}\sin(0) - \frac{3}{2}\cos(0) + c = -1 \iff 0 - \frac{3}{2}(1) + c = -1 \iff c = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
6

L'unique primitive cherchée est donc :

F(x)=23sin⁡(3x)−32cos⁡(2x)+12F(x) = \frac{2}{3}\sin(3x) - \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}

Exemple travaillé · 30

Détermine une primitive sur ]0;π[]0;\pi[ de la fonction f(x)=cos⁡(x)−cos⁡3(x)f(x) = \cos(x) - \cos^3(x).

1

On factorise par cos⁡(x)\cos(x) :

f(x)=cos⁡(x)(1−cos⁡2(x))f(x) = \cos(x)(1 - \cos^2(x))
2

D'après l'identité pythagoricienne, 1−cos⁡2(x)=sin⁡2(x)1 - \cos^2(x) = \sin^2(x). On réécrit l'expression :

f(x)=cos⁡(x)sin⁡2(x)f(x) = \cos(x)\sin^2(x)
3

En posant u(x)=sin⁡(x)u(x) = \sin(x), on a u′(x)=cos⁡(x)u'(x) = \cos(x). L'expression est exactement de la forme u′(x)⋅[u(x)]2u'(x) \cdot [u(x)]^2.

4

Comme une primitive de u′u2u' u^2 est 13u3\frac{1}{3}u^3, une primitive de ff sur ]0;π[]0;\pi[ est :

F(x)=13sin⁡3(x)F(x) = \frac{1}{3}\sin^3(x)

Vérification · 31

Sur ]0;π2[]0;\frac{\pi}{2}[, quelle est une primitive de la fonction g(x)=cos⁡(x)sin⁡2(x)g(x) = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} ?

Remarque

En posant u(x)=sin⁡(x)u(x) = \sin(x), on a u′(x)=cos⁡(x)u'(x) = \cos(x). L'expression est de la forme u′(x)[u(x)]2\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}. Une primitive est −1u(x)=−1sin⁡(x)-\frac{1}{u(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.

Rappel · 32

Soit FF une fonction dérivable sur R\mathbb{R}. Quelle est la dérivée de la fonction composée x↦F(−x)x \mapsto F(-x) ?

Remarque

Par la formule de dérivation d'une composée (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u) avec u(x)=−xu(x) = -x, on a (F(−x))′=−1×F′(−x)=−F′(−x)(F(-x))' = -1 \times F'(-x) = -F'(-x). Ce facteur −1-1 est au cœur de toutes les propriétés de parité des primitives.

Définition · 33

Parité des primitives sur un intervalle symétrique

Soit ff une fonction continue sur un intervalle symétrique [−a;a][-a;a] avec a>0a > 0.

Primitives d'une fonction impaire

f est impaire   ⟹  toutes les primitives de f sur [−a;a] sont pairesf \text{ est impaire } \implies \text{toutes les primitives de } f \text{ sur } [-a;a] \text{ sont paires}

Primitive d'une fonction paire

f est paire   ⟹  l’unique primitive F veˊrifiant F(0)=0 est impairef \text{ est paire } \implies \text{l'unique primitive } F \text{ vérifiant } F(0)=0 \text{ est impaire}

Remarque

Attention à la dissymétrie : pour une fonction paire, seule la primitive s'annulant en 00 est impaire.

Piège classique · 34

On considère la fonction f(x)=3x2f(x) = 3x^2, qui est paire sur R\mathbb{R}. La fonction F(x)=x3+5F(x) = x^3 + 5 est une primitive de ff. Est-elle impaire ?

Attention

Penser que toutes les primitives d'une fonction paire sont impaires, sans tenir compte de la constante additive.

À la place : On calcule F(−x)=(−x)3+5=−x3+5F(-x) = (-x)^3 + 5 = -x^3 + 5. Pour que FF soit impaire, il faudrait que F(−x)=−F(x)=−x3−5F(-x) = -F(x) = -x^3 - 5, ce qui est faux à cause du +5+5. Une fonction impaire s'annule obligatoirement en 00 : seule la primitive vérifiant F(0)=0F(0)=0 (ici x↦x3x \mapsto x^3) est impaire.

Exemple travaillé · 35

Soit ff une fonction continue et paire sur [−a;a][-a;a] et soit FF l'unique primitive de ff vérifiant F(0)=0F(0)=0. Démontre que FF est impaire sur [−a;a][-a;a].

1

On introduit la fonction auxiliaire ψ\psi définie sur l'intervalle [−a;a][-a;a] par :

ψ(x)=F(−x)+F(x)\psi(x) = F(-x) + F(x)
2

ψ\psi est dérivable sur [−a;a][-a;a] comme somme et composée de fonctions dérivables.

3

On calcule sa dérivée pour tout x∈[−a;a]x \in [-a;a] :

ψ′(x)=−F′(−x)+F′(x)=−f(−x)+f(x)\psi'(x) = -F'(-x) + F'(x) = -f(-x) + f(x)
4

Puisque ff est paire, on a f(−x)=f(x)f(-x) = f(x). L'expression devient :

ψ′(x)=−f(x)+f(x)=0\psi'(x) = -f(x) + f(x) = 0
5

La dérivée de ψ\psi étant nulle sur l'intervalle [−a;a][-a;a], la fonction ψ\psi est constante sur cet intervalle.

6

On évalue cette constante en 00 :

ψ(0)=F(0)+F(0)=2×0=0\psi(0) = F(0) + F(0) = 2 \times 0 = 0
7

Ainsi, pour tout x∈[−a;a]x \in [-a;a], ψ(x)=0\psi(x) = 0, soit F(−x)+F(x)=0  ⟺  F(−x)=−F(x)F(-x) + F(x) = 0 \iff F(-x) = -F(x). La fonction FF est donc impaire.

Définition · 36

Technique de scission affine pour fractions rationnelles

Pour primitiver une fraction de la forme x−x0(x−a)n\frac{x - x_0}{(x - a)^n}, on exprime le numérateur en faisant apparaître le terme (x−a)(x - a) du dénominateur :

x−x0=(x−a)+(a−x0)x - x_0 = (x - a) + (a - x_0)

On scinde ensuite la fraction pour intégrer chaque puissance négative séparément :

x−x0(x−a)n=1(x−a)n−1+a−x0(x−a)n\frac{x - x_0}{(x - a)^n} = \frac{1}{(x - a)^{n-1}} + \frac{a - x_0}{(x - a)^n}

Exemple travaillé · 37

Détermine une primitive sur ]−2;+∞[]-2;+\infty[ de la fonction ff définie par : f(x)=x−1(x+2)3f(x) = \frac{x-1}{(x+2)^3}.

1

On décompose le numérateur selon le binôme (x+2)(x+2) :

x−1=(x+2)−3x - 1 = (x + 2) - 3
2

On scinde la fraction en deux termes :

f(x)=(x+2)−3(x+2)3=1(x+2)2−3(x+2)3=(x+2)−2−3(x+2)−3f(x) = \frac{(x+2) - 3}{(x+2)^3} = \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{3}{(x+2)^3} = (x+2)^{-2} - 3(x+2)^{-3}
3

La dérivée de (x+2)(x+2) étant 11, on intègre chaque puissance avec la formule générale un+1n+1\frac{u^{n+1}}{n+1} :

F(x)=(x+2)−1−1−3×(x+2)−2−2=−1x+2+32(x+2)2F(x) = \frac{(x+2)^{-1}}{-1} - 3 \times \frac{(x+2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{x+2} + \frac{3}{2(x+2)^2}
4

On réduit au même dénominateur pour simplifier le résultat :

F(x)=−2(x+2)+32(x+2)2=−2x−12(x+2)2F(x) = \frac{-2(x+2) + 3}{2(x+2)^2} = \frac{-2x - 1}{2(x+2)^2}

Piège classique · 38

Sur l'intervalle ]−2;+∞[]-2;+\infty[, quelle est une primitive du terme −3(x+2)−3-3(x+2)^{-3} ?

Attention

Faire une erreur de signe en conservant un signe négatif devant le quotient final.

À la place : Une primitive de (x+2)−3(x+2)^{-3} est (x+2)−2−2=−12(x+2)2\frac{(x+2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x+2)^2}. En multipliant par −3-3, le produit des deux signes moins donne un signe positif : −3×(−12(x+2)2)=+32(x+2)2-3 \times \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right) = +\frac{3}{2(x+2)^2}.

Vérification · 39

Soit ff une fonction continue et impaire sur [−3;3][-3; 3]. Soit FF une primitive quelconque de ff sur cet intervalle vérifiant F(1)=4F(1) = 4. Que vaut F(−1)F(-1) ?

Remarque

D'après le théorème de parité, si ff est impaire, TOUTES ses primitives sur [−3;3][-3;3] sont des fonctions paires. Ainsi, pour tout x∈[−3;3]x \in [-3;3], F(−x)=F(x)F(-x) = F(x), ce qui donne directement F(−1)=F(1)=4F(-1) = F(1) = 4.

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