Rappel · 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ . Si $f$ n'est pas continue en $x_0$ , que peut-on affirmer sur sa dérivabilité en $x_0$ ?

Remarque

Théorème fondamental : la dérivabilité en un point impose nécessairement la continuité en ce point. Par contraposée, si $f$ n'est pas continue en $x_0$ , elle ne peut en aucun cas être dérivable en $x_0$ .

Définition · 2

Dérivabilité unilatérale et condition de dérivabilité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ . La dérivabilité en $x_0$ exige l'existence et l'égalité des nombres dérivés unilatéraux.

$f \text{ est dérivable en } x_0 \iff f'_g(x_0) = f'_d(x_0) \in \mathbb{R}$

Remarque

Si $f'_g(x_0) \neq f'_d(x_0)$ avec des valeurs réelles finies, $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ . La courbe admet deux demi-tangentes de pentes distinctes au point $(x_0, f(x_0))$ , appelé point anguleux.

Piège classique · 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \le 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Un élève dérive chaque branche : pour $x < 1$ , $f'(x) = 2$ ; pour $x > 1$ , $f'(x) = 2x \to 2$ quand $x \to 1^+$ . Il conclut que $f$ est dérivable en $1$ . Que penser de cette démarche ?

Attention

Conclure que $f$ est dérivable en constatant seulement que les dérivées des deux branches ont la même limite en $1$ .

À la place : Il faut d'abord vérifier la continuité en $1$ . Ici $f(1) = 2$ alors que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 2 = 3$ . La fonction n'étant pas continue en $1$ , elle n'est pas dérivable en $1$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 1 \\ \sqrt{x} - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et préciser la nature du point de coordonnées $(1, 0)$ pour la courbe de $f$ .

1

On vérifie d'abord la continuité en $1$ : $f(1) = 0$ , $\lim_{x \to 1^-} (x^2-1) = 0$ et $\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x}-1) = 0$ . La fonction $f$ est continue en $1$ .

2

On calcule le nombre dérivé à gauche en $1$ à l'aide du taux d'accroissement :

\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2 \implies f'_g(1) = 2

3

On calcule le nombre dérivé à droite en $1$ en factorisant par la quantité conjuguée :

\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{2} \implies f'_d(1) = \frac{1}{2}

4

On compare les deux résultats : $f'_g(1) = 2 \neq f'_d(1) = \frac{1}{2}$ . La fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$ . Le point $A(1, 0)$ est un point anguleux de la courbe, avec une demi-tangente à gauche de pente $2$ et une demi-tangente à droite de pente $\frac{1}{2}$ .

Vérification · 5

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$
La fonction $g$ est-elle dérivable en $0$ ?

Remarque

$g$ est continue en $0$ car $g(0) = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} 2x = 0$ . À gauche : $\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+2x}{x} = 2$ . À droite : $\lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{x} = 2$ . Les deux nombres dérivés unilatéraux sont finis et égaux, donc $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0) = 2$ .

Point de départ · 6

Tangente et dérivabilité

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = +\infty$ . Que peut-on dire de sa courbe à l'origine ?

Remarque

L'absence de nombre dérivé fini n'exclut pas l'existence d'une tangente. Une pente infinie correspond géométriquement à une droite verticale : la courbe admet une demi-tangente verticale.

Définition · 7

Demi-tangente verticale

Lorsque le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ en un point $x_0$ , la fonction n'est pas dérivable en ce point. La courbe admet en ce point une demi-tangente verticale.

$\lim_{x \to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \pm\infty \implies (C_f) \text{ admet une demi-tangente verticale au point } (x_0, f(x_0))$

Remarque

Orientation de la demi-tangente :
- À droite ( $x > x_0$ ) : dirigée vers le haut si la limite est $+\infty$ , vers le bas si la limite est $-\infty$ .
- À gauche ( $x < x_0$ ) : dirigée vers le bas si la limite est $+\infty$ , vers le haut si la limite est $-\infty$ .

Piège classique · 8

Attention au signe pour x négatif

Pour étudier la dérivabilité à gauche en $0$ de $f(x) = \sqrt{-x}$ , on calcule le taux $\frac{\sqrt{-x}}{x}$ pour $x < 0$ . Quelle est son expression simplifiée ?

Attention

Écrire $x = \sqrt{x^2}$ pour $x < 0$ , ce qui donnerait à tort $\frac{\sqrt{-x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{-x}} \to +\infty$ .

À la place : Pour $x < 0$ , on a $x = -(-x) = -\sqrt{(-x)^2}$ . Ainsi, $\frac{\sqrt{-x}}{x} = \frac{\sqrt{-x}}{-\sqrt{-x}\sqrt{-x}} = -\frac{1}{\sqrt{-x}}$ . Quand $x \to 0^-$ , le taux tend vers $-\infty$ .

Exemple travaillé · 9

Tangente verticale par raccordement

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 1 + \sqrt{x-1} & \text{si } x \ge 1 \\ 1 - \sqrt{1-x} & \text{si } x < 1 \end{cases}$
Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

1

On étudie d'abord la dérivabilité à droite en $1$ : pour $x > 1$ , on a $x - 1 = (\sqrt{x-1})^2$ :

2

\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = +\infty

3

La limite est $+\infty$ à droite : la courbe admet au point $A(1, 1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

4

On étudie la dérivabilité à gauche en $1$ : pour $x < 1$ , on a $x - 1 = -(1-x) = -(\sqrt{1-x})^2$ :

5

\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-\sqrt{1-x}}{-(1-x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{1-x}} = +\infty

6

La limite est $+\infty$ à gauche : la courbe admet en $A(1, 1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

7

Conclusion : $f$ n'est pas dérivable en $1$ , mais les deux demi-tangentes verticales de sens opposés s'unissent pour former une tangente verticale unique d'équation cartésienne $x = 1$ .

Vérification · 10

Demi-tangente verticale à gauche

Soit $h(x) = \sqrt{2-x}$ définie sur $]-\infty ; 2]$ . Que vaut $\lim_{x \to 2^-} \frac{h(x)-h(2)}{x-2}$ , et comment est orientée la demi-tangente au point $(2, 0)$ ?

Remarque

Pour $x < 2$ , $x-2 = -(2-x)$ , d'où $\frac{\sqrt{2-x}}{x-2} = -\frac{1}{\sqrt{2-x}} \to -\infty$ . À gauche de $2$ , une limite de taux égale à $-\infty$ donne une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Point de départ · 11

Soit $f(x) = 2x$ et $g(u) = u^3$ , donc $(g \circ f)(x) = (2x)^3 = 8x^3$ . La dérivée de $8x^3$ est $24x^2$ . Obtient-on ce résultat si l'on multiplie simplement les dérivées $g'(x) \times f'(x)$ ?

Remarque

Multiplier simplement les dérivées évaluées en $x$ donne $3x^2 \times 2 = 6x^2 \neq 24x^2$ . La dérivée de la fonction extérieure $g$ doit être évaluée en $f(x)$ , et non en $x$ : $g'(f(x)) \times f'(x) = 3(2x)^2 \times 2 = 24x^2$ .

Définition · 12

Dérivée d'une fonction composée

$(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)$

f \text{ dérivable en } x_0 \quad \text{et} \quad g \text{ dérivable en } f(x_0)

Cas particulier fondamental pour la racine carrée d'une fonction :

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

u \text{ dérivable sur } I \quad \text{et} \quad \forall x \in I, \; u(x) > 0

Piège classique · 13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ . On donne $f(1) = 2$ , $f'(1) = 3$ , $g'(1) = 5$ et $g'(2) = -1$ . Que vaut $(g \circ f)'(1)$ ?

Attention

Calculer $(g \circ f)'(1) = g'(1) \times f'(1) = 5 \times 3 = 15$ en évaluant $g'$ en $1$ .

À la place : La formule impose d'évaluer $g'$ en $f(1)$ : $(g \circ f)'(1) = g'(f(1)) \times f'(1) = g'(2) \times f'(1) = (-1) \times 3 = -3$ .

Exemple travaillé · 14

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(3x^2 - 1)$ . Justifier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée.

1

On identifie la forme $f = g \circ u$ avec $u(x) = 3x^2 - 1$ et $g(y) = \cos(y)$ .

2

La fonction $u$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $u'(x) = 6x$ .

3

La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $g'(y) = -\sin(y)$ .

4

Par composition, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = u'(x) \times g'(u(x)) = 6x \times (-\sin(3x^2 - 1)) = -6x\sin(3x^2 - 1)

Exemple travaillé · 15

Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = \sqrt{4x - 1}$ . Déterminer le domaine de dérivabilité de $h$ puis calculer sa dérivée $h'(x)$ .

1

On pose $u(x) = 4x - 1$ . La fonction affine $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u'(x) = 4$ .

2

Pour que $\sqrt{u}$ soit dérivable, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive :

4x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{4}

3

La fonction $h$ est définie sur $[\frac{1}{4} ; +\infty[$ , mais elle est dérivable uniquement sur l'intervalle ouvert $]\frac{1}{4} ; +\infty[$ .

4

Pour tout $x \in ]\frac{1}{4} ; +\infty[$ , on applique la formule de dérivation $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ :

h'(x) = \frac{4}{2\sqrt{4x - 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}

Vérification · 16

Soit la fonction $k$ définie par $k(x) = \sqrt{6x - 3}$ . Quel est son domaine de dérivabilité et quelle est l'expression de sa dérivée $k'(x)$ ?

Remarque

Pour la dérivabilité de $\sqrt{u}$ , il faut $u(x) > 0$ , soit $6x - 3 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$ . La dérivée est ensuite $k'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{6}{2\sqrt{6x-3}} = \frac{3}{\sqrt{6x-3}}$ .

Point de départ · 17

Tangente et sécante

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . La droite reliant les points $A(1, -4)$ et $B(3, 0)$ de sa courbe a pour pente $2$ . Existe-t-il un point entre $A$ et $B$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite $(AB)$ ?

Remarque

Pour toute courbe continue et lisse reliant deux points $A$ et $B$ , il existe au moins un point intermédiaire où la tangente a la même direction que la corde $(AB)$ : c'est le théorème des accroissements finis.

Définition · 18

Théorème des accroissements finis (TAF)

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ .

f \text{ continue sur } [a ; b] \quad \text{et} \quad f \text{ dérivable sur } ]a ; b[

$\exists c \in ]a ; b[ \quad \text{tel que} \quad f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Remarque

Interprétation géométrique : le rapport $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est la pente de la corde $(AB)$ . Le réel $f'(c)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $c$ . Le théorème garantit l'existence d'au moins une tangente strictement parallèle à la corde $(AB)$ .

Exemple travaillé · 19

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . On considère les points $A(1, f(1))$ et $B(3, f(3))$ de la courbe $(C_f)$ . Déterminer l'abscisse $c \in ]1 ; 3[$ du point où la tangente à $(C_f)$ est parallèle à la droite $(AB)$ .

1

On calcule les ordonnées des points $A$ et $B$ : $f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$ et $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ .

2

On calcule le coefficient directeur de la sécante $(AB)$ :

\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{0 - (-4)}{2} = 2

3

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[1 ; 3]$ et dérivable sur $]1 ; 3[$ . Sa dérivée est $f'(x) = 2x - 2$ .

4

On cherche $c \in ]1 ; 3[$ tel que $f'(c) = 2$ :

2c - 2 = 2 \iff 2c = 4 \iff c = 2

5

Comme $2 \in ]1 ; 3[$ , la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$ est parallèle à la corde $(AB)$ .

Piège classique · 20

Soit $f(x) = x^2\sqrt{x-1}$ définie sur $[1 ; 2]$ . On veut prouver que l'équation $f'(x) = 4$ admet au moins une solution dans $]1 ; 2[$ . Quelle démarche adopter ?

Attention

Calculer l'expression lourde de $f'(x)$ et tenter de résoudre algébriquement l'équation $f'(x) = 4$ .

À la place : On calcule les images aux bornes : $f(1) = 0$ et $f(2) = 4$ . Le taux d'accroissement vaut $\frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-0}{1} = 4$ . Le théorème des accroissements finis garantit directement l'existence de la solution sans résoudre l'équation.

Exemple travaillé · 21

Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et la fonction $f(x) = \frac{1}{x^3}$ . Montrer qu'il existe un réel $c \in ]p ; p+1[$ tel que $\frac{1}{p^3} - \frac{1}{(p+1)^3} = \frac{3}{c^4}$ .

1

La fonction $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[p ; p+1]$ car $p > 0$ . Elle est donc continue sur $[p ; p+1]$ et dérivable sur $]p ; p+1[$ .

2

On calcule la fonction dérivée de $f$ sur $]p ; p+1[$ :

f'(x) = -\frac{3}{x^4}

3

D'après le théorème des accroissements finis appliqué sur $[p ; p+1]$ , il existe $c \in ]p ; p+1[$ tel que :

f(p+1) - f(p) = f'(c) \cdot ((p+1) - p)

4

On remplace par les expressions de $f$ et $f'$ avec $(p+1) - p = 1$ :

\frac{1}{(p+1)^3} - \frac{1}{p^3} = -\frac{3}{c^4}

5

En multipliant chaque membre par $-1$ , on obtient l'égalité demandée :

\frac{1}{p^3} - \frac{1}{(p+1)^3} = \frac{3}{c^4}

Vérification · 22

Soit $f$ une fonction continue sur $[1 ; 4]$ et dérivable sur $]1 ; 4[$ telle que $f(1) = 2$ et $f(4) = 11$ . Quelle équation admet au moins une solution $c \in ]1 ; 4[$ d'après le théorème des accroissements finis ?

Remarque

Le taux d'accroissement vaut $\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{11-2}{3} = \frac{9}{3} = 3$ . Le théorème garantit l'existence d'au moins un réel $c \in ]1 ; 4[$ tel que $f'(c) = 3$ .

Point de départ · 23

De la dérivée bornée à l'accroissement global

Une fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 3]$ et vérifie $f(0) = 2$ . Si pour tout $x \in [0 ; 3]$ , on a $1 \le f'(x) \le 4$ , quel encadrement peut-on donner pour l'accroissement global $f(3) - f(0)$ ?

Remarque

Puisque la dérivée reste comprise entre $1$ et $4$ sur un intervalle de longueur $3$ , la variation totale est comprise entre $1 \times 3 = 3$ et $4 \times 3 = 12$ : c'est le principe des inégalités des accroissements finis.

Définition · 24

Inégalités des accroissements finis (IAF)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$ .

m \le f'(x) \le M \quad \text{pour tout } x \in [a ; b]

$m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)$

Corollaire (majoration de l'accroissement) : s'il existe une constante $k > 0$ telle que $|f'(x)| \le k$ pour tout $x \in I$ , alors pour tous $a, b \in I$ :

$|f(b) - f(a)| \le k |b - a|$

Piège classique · 25

Monotonie de la dérivée et encadrement

Soit $f(t) = \frac{1}{t}$ sur $[1 ; 4]$ . On cherche à encadrer $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ pour appliquer l'IAF. Quel encadrement obtient-on sur $[1 ; 4]$ ?

Attention

Écrire $-1 \le f'(t)$ en borne inférieure et $-\frac{1}{16}$ en borne supérieure par simple évaluation aux bornes sans vérifier la monotonie.

À la place : Pour $1 \le t \le 4$ , on a $1 \le t^2 \le 16$ . En passant à l'inverse, $\frac{1}{16} \le \frac{1}{t^2} \le 1$ . En multipliant par $-1$ , les inégalités s'inversent : $-1 \le -\frac{1}{t^2} \le -\frac{1}{16}$ .

Exemple travaillé · 26

À l'aide de l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $[64 ; 65]$ , déterminer un encadrement du réel $\sqrt{65}$ .

1

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $[64 ; 65]$ et pour tout $x \in [64 ; 65]$ :

2

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

3

Pour tout $x \in [64 ; 65]$ , on a $64 \le x \le 65$ , donc $8 \le \sqrt{x} \le \sqrt{65} < 9$ .

4

La fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $[64 ; 65]$ , d'où l'encadrement :

5

\frac{1}{18} \le \frac{1}{2 \times 9} \le f'(x) \le \frac{1}{2 \times 8} = \frac{1}{16}

6

On applique l'inégalité des accroissements finis sur $[64 ; 65]$ avec $b - a = 65 - 64 = 1$ :

7

\frac{1}{18} \times 1 \le \sqrt{65} - \sqrt{64} \le \frac{1}{16} \times 1

8

Comme $\sqrt{64} = 8$ , on ajoute $8$ à chaque terme pour isoler $\sqrt{65}$ :

9

8 + \frac{1}{18} \le \sqrt{65} \le 8 + \frac{1}{16} \iff \frac{145}{18} \le \sqrt{65} \le \frac{129}{16}

Exemple travaillé · 27

Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ , on a : $|\sin(b) - \sin(a)| \le |b - a|$ .

1

On considère la fonction $f(t) = \sin(t)$ . Elle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $f'(t) = \cos(t)$ .

2

Pour tout réel $t$ , on a la majoration classique de la fonction cosinus :

3

|f'(t)| = |\cos(t)| \le 1

4

On applique le corollaire des inégalités des accroissements finis à la fonction $f$ avec la constante $k = 1$ sur l'intervalle d'extrémités $a$ et $b$ :

5

|f(b) - f(a)| \le 1 \cdot |b - a|

6

En remplaçant $f$ par sa définition, on obtient l'inégalité demandée :

7

|\sin(b) - \sin(a)| \le |b - a|

Vérification · 28

Soit $g$ une fonction dérivable sur $[0 ; \frac{\pi}{4}]$ telle que pour tout $t \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ , on a $1 \le g'(t) \le 2$ . Sachant que $g(0) = 0$ , quel encadrement de $g(x)$ obtient-on pour tout $x \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ ?

Remarque

Sur l'intervalle $[0 ; x]$ , l'inégalité des accroissements finis s'écrit $1 \cdot (x - 0) \le g(x) - g(0) \le 2 \cdot (x - 0)$ . Comme $g(0) = 0$ , on obtient directement $x \le g(x) \le 2x$ .

Point de départ · 29

Tangente et traversée de courbe

Au voisinage du point de contact, une courbe reste souvent située d'un même côté de sa tangente. Que se passe-t-il pour la fonction $f(x) = x^3$ en $0$ par rapport à sa tangente d'équation $y = 0$ ?

Remarque

Pour $x < 0$ , on a $x^3 < 0$ (la courbe est en dessous de l'axe) et pour $x > 0$ , $x^3 > 0$ (la courbe est au-dessus). La courbe traverse sa tangente à l'origine : ce point de bascule géométrique s'appelle un point d'inflexion.

Définition · 30

Dérivée seconde et point d'inflexion

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ . Si la fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée est notée $f''$ et s'appelle fonction dérivée seconde de $f$ .

Le point $M_0(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$ si $(C_f)$ traverse sa tangente en ce point.

$f''(x_0) = 0 \quad \text{et} \quad f'' \text{ change de signe en } x_0 \iff M_0(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion de } (C_f)$

Remarque

Cas particulier à tangente horizontale : si la dérivée première $f'$ s'annule en $x_0$ sans changer de signe, alors $M_0(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Piège classique · 31

Annulation sans changement de signe

Soit $f(x) = x^4$ . On calcule $f'(x) = 4x^3$ puis $f''(x) = 12x^2$ . On constate que $f''(0) = 0$ . Le point $(0, 0)$ est-il un point d'inflexion de la courbe ?

Attention

Conclure qu'un point est un point d'inflexion du seul fait que $f''(x_0) = 0$ .

À la place : L'annulation de la dérivée seconde ne suffit pas : il faut impérativement que $f''$ change de signe. Pour tout $x \neq 0$ , on a $12x^2 > 0$ : la dérivée seconde reste strictement positive, la courbe ne traverse pas sa tangente et admet un minimum en $0$ .

Exemple travaillé · 32

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ . Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de sa courbe représentative.

1

La fonction $f$ est polynomiale, elle est donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule la fonction dérivée première $f'$ sur $\mathbb{R}$ :

f'(x) = 3x^2 - 6x

3

On calcule la fonction dérivée seconde $f''$ sur $\mathbb{R}$ :

f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

4

On cherche les zéros de la dérivée seconde :

f''(x) = 0 \iff 6(x - 1) = 0 \iff x = 1

5

On étudie le signe de $f''(x)$ : pour $x < 1$ , $f''(x) < 0$ et pour $x > 1$ , $f''(x) > 0$ . La fonction $f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe.

6

On calcule l'ordonnée de ce point : $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$ . Le point $I(1, 0)$ est le point d'inflexion de la courbe.

Exemple travaillé · 33

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ . La tangente $(T)$ à sa courbe au point $I(2, -7)$ a pour équation $y = -12x + 17$ . Montrer que $I$ est un point d'inflexion en étudiant la position relative de la courbe et de sa tangente.

1

On étudie le signe de la différence $g(x) - (-12x + 17)$ pour tout réel $x$ :

g(x) - (-12x + 17) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

2

On factorise le résultat à l'aide de l'identité remarquable $(x - 2)^3$ :

g(x) - (-12x + 17) = (x - 2)^3

3

Pour $x < 2$ , on a $x - 2 < 0$ , donc $(x - 2)^3 < 0$ : la courbe est située strictement en dessous de $(T)$ .

4

Pour $x > 2$ , on a $x - 2 > 0$ , donc $(x - 2)^3 > 0$ : la courbe est située strictement au-dessus de $(T)$ .

5

La courbe traverse sa tangente en $x = 2$ : le point $I(2, -7)$ est donc un point d'inflexion.

Vérification · 34

Soit $h$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée première est donnée par $h'(x) = (x - 2)^2$ . Que représente le point d'abscisse $2$ pour la courbe de $h$ ?

Remarque

La dérivée première s'annule en $2$ car $h'(2) = 0$ , mais pour tout $x \neq 2$ , $(x - 2)^2 > 0$ . Puisque $h'$ s'annule sans changer de signe, la fonction est croissante avant et après $2$ . Il n'y a pas d'extremum local, mais un point d'inflexion à tangente horizontale.

Dérivabilité — cours

Le cours

Dérivabilité unilatérale et condition de dérivabilité

Tangente et dérivabilité

Demi-tangente verticale

Attention au signe pour x négatif

Tangente verticale par raccordement

Demi-tangente verticale à gauche

Dérivée d'une fonction composée

Tangente et sécante

Théorème des accroissements finis (TAF)

De la dérivée bornée à l'accroissement global

Inégalités des accroissements finis (IAF)

Monotonie de la dérivée et encadrement

Tangente et traversée de courbe

Dérivée seconde et point d'inflexion

Annulation sans changement de signe

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