Fonction continue et strictement monotone — exercices corrigés

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \frac{3}{x+1}$. On se propose d'étudier l'image de l'intervalle $[-4\,;\, -2]$ par $f$.

1. 1) a). Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3}{x+1}$.

   Indice — Examine le dénominateur de l'expression de $f(x)$ pour trouver les valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie.

   Correction

   La fonction quotient $f(x) = \frac{3}{x+1}$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul, c'est-à-dire $x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1$. On a donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

2. 1) b). Justifier que $f$ est continue sur l'intervalle $[-4\,;\, -2]$.

   Indice — Vérifie si la valeur qui annule le dénominateur appartient à l'intervalle $[-4\,;\, -2]$.

   Correction

   En tant que fonction rationnelle, $f$ est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition. Comme la valeur interdite $-1$ n'appartient pas à l'intervalle $[-4\,;\, -2]$, $f$ est bien continue sur $[-4\,;\, -2]$.

3. 2) a). Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in [-4\,;\, -2]$.

   Indice — Calcule la dérivée $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-4\,;\, -2]$.

   Correction

   En appliquant la formule de dérivation des quotients du type $\left(\frac{k}{u}\right)' = -\frac{k u'}{u^2}$ avec $u(x) = x+1$, on obtient $f'(x) = -\frac{3}{(x+1)^2}$ pour tout $x \in [-4\,;\, -2]$.

4. 2) b). Déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4\,;\, -2]$.

   Indice — Utilise le signe de la dérivée obtenue à la question précédente pour conclure sur le sens de variation de $f$.

   Correction

   Pour tout $x \in [-4\,;\, -2]$, $(x+1)^2 > 0$ et le numérateur $-3$ est strictement négatif. Ainsi, $f'(x) < 0$ sur cet intervalle. La dérivée étant strictement négative, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[-4\,;\, -2]$.

5. 3) a). Calculer les valeurs de $f(-4)$ et $f(-2)$.

   Indice — Calcule les images des bornes de l'intervalle par $f$. Attention à l'ordre des bornes selon le sens de variation.

   Correction

   On calcule directement les images des bornes :
   $f(-4) = \frac{3}{-4+1} = -1$
   $f(-2) = \frac{3}{-2+1} = -3$

6. 3) b). Déterminer l'intervalle image $f([-4\,;\, -2])$.

   Indice — Applique le théorème de l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone.

   Correction

   La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[-4\,;\, -2]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou le théorème de l'image d'un intervalle), l'image de l'intervalle est donnée en inversant l'ordre des bornes :
   $f([-4\,;\, -2]) = [f(-2)\,;\, f(-4)] = [-3\,;\, -1]$

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4\,;-2]$ par $$g(x) = \frac{3}{x+1}$$.

1. 1. Justifier que la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{3}{x+1}$ est continue sur l'intervalle $[-4\,;-2]$.

   Indice — Vérifie le domaine de définition de la fonction et regarde si la valeur qui annule le dénominateur appartient à l'intervalle donné.

   Correction

   La fonction $g$ est une fonction rationnelle, donc continue sur son domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. L'élément $-1$ n'appartenant pas à l'intervalle $[-4\,;-2]$, la fonction $g$ est continue sur $[-4\,;-2]$.

2. 2. Calculer la dérivée $g'(x)$ pour tout $x \in [-4\,;-2]$.

   Indice — Rappelle la formule de dérivation d'un quotient de type $\frac{k}{u}$ où $k$ est une constante réelle.

   Correction

   En utilisant la formule de dérivation $\left(\frac{k}{u}\right)' = -\frac{k u'}{u^2}$ avec $k=3$ et $u(x)=x+1$ (où $u'(x)=1$), on obtient : $$g'(x) = -\frac{3}{(x+1)^2}$$

3. 3. Déterminer le signe de la dérivée $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[-4\,;-2]$.

   Indice — Observe le signe du numérateur et du dénominateur de l'expression de $g'(x)$ sur l'intervalle $[-4\,;-2]$.

   Correction

   Pour tout $x \in [-4\,;-2]$, le dénominateur $(x+1)^2$ est strictement positif. Comme le numérateur $-3$ est strictement négatif, on a $g'(x) < 0$. La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $[-4\,;-2]$.

4. 4. Calculer la valeur de $g(-4)$.

   Indice — Remplace $x$ par la borne inférieure de l'intervalle dans l'expression de $g(x)$.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $-4$ dans l'expression de $g$, on obtient : $$g(-4) = \frac{3}{-4+1} = \frac{3}{-3} = -1$$

5. 5. Calculer la valeur de $g(-2)$.

   Indice — Remplace $x$ par la borne supérieure de l'intervalle dans l'expression de $g(x)$.

   Correction

   On remplace $x$ par $-2$ dans l'expression de $g$ :
   $$g(-2) = \frac{3}{-2+1} = -3$$

6. 6. Écrire l'expression littérale de l'intervalle image $g([-4\,;-2])$ en utilisant les images des bornes et le sens de variation de $g$.

   Indice — Consulte le théorème concernant l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement décroissante.

   Correction

   La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $[-4\,; -2]$. L'image d'un intervalle par une fonction strictement décroissante inverse l'ordre des bornes, soit $g([-4\,; -2]) = [g(-2)\,; g(-4)]$.

7. 7. Conclure en donnant la notation usuelle sous forme d'intervalle fermé de l'ensemble $g([-4\,;-2])$.

   Indice — Attention à l'ordre des bornes dans un intervalle : la borne gauche doit être strictement inférieure à la borne droite.

   Correction

   On a $g(-2) = -3$ et $g(-4) = \frac{3}{-4+1} = -1$. Ainsi, l'ensemble image est l'intervalle fermé $g([-4\,; -2]) = [-3\,; -1]$.

On considère la fonction $g$ définie sur son ensemble de définition par $g(x) = \frac{3}{x+1}$. Le plan est muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ de la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{3}{x+1}$, puis justifier que $g$ est continue sur l'intervalle $[-4\,;\,-2]$.

   Indice — Détermine l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur de $g$ ne s'annule pas, puis vérifie que l'intervalle $[-4\,;\,-2]$ est inclus dans cet ensemble de définition.

   Correction

   Le dénominateur $x+1$ s'annule pour $x = -1$, donc $\mathcal{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. En tant que fonction rationnelle, $g$ est continue sur chacun des intervalles de son ensemble de définition. L'intervalle $[-4\,;\,-2]$ ne contenant pas $-1$, la fonction $g$ y est bien continue.

2. 2. Calculer la dérivée $g'(x)$ pour tout $x \in [-4\,;\,-2]$.

   Indice — Utilise les règles de dérivation usuelles pour les fonctions rationnelles de la forme $\frac{k}{u}$.

   Correction

   En utilisant la règle de dérivation de $\frac{1}{u}$ avec $u(x) = x+1$, on obtient pour tout $x \in [-4\,;\,-2]$ :
   $g'(x) = -\frac{3}{(x+1)^2}$.

3. 3. Préciser le signe de $g'(x)$ sur $[-4\,;\,-2]$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur cet intervalle.

   Indice — Étudie le signe du numérateur et du dénominateur de $g'(x)$ sur l'intervalle $[-4\,;\,-2]$ pour conclure sur le sens de variation.

   Correction

   Pour tout $x \in [-4\,;\,-2]$, le carré $(x+1)^2$ est strictement positif, donc $g'(x) < 0$. La dérivée étant strictement négative, la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[-4\,;\,-2]$.

4. 4. Calculer la valeur de $g(-4)$.

   Indice — Remplace $x$ par sa valeur minimale dans l'expression de $g$.

   Correction

   En évaluant $g$ en $x = -4$ :
   $g(-4) = \frac{3}{-4+1} = -1$.

5. 5. Calculer la valeur de $g(-2)$.

   Indice — Remplace $x$ par sa valeur maximale dans l'expression de $g$.

   Correction

   On remplace $x$ par $-2$ dans l'expression de $g$ :
   $$g(-2) = \frac{3}{-2+1} = -3$$

6. 6. Déterminer l'intervalle image $g([-4\,;\,-2])$ en utilisant les résultats précédents.

   Indice — Attention au théorème sur l'image d'un intervalle par une fonction strictement décroissante : l'ordre des bornes est inversé.

   Correction

   La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[-4\,;\,-2]$. L'image d'un intervalle par une fonction strictement décroissante inverse l'ordre des bornes, d'où $g([-4\,;\,-2]) = [g(-2)\,;\,g(-4)]$.
   En réutilisant $g(-2) = -3$ et avec $g(-4) = \frac{3}{-4+1} = -1$, on obtient l'intervalle image $[-3\,;\,-1]$.

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{3}{x+1}$. L'objectif est de déterminer l'image de l'intervalle $[-4\,;\,-2]$ par la fonction $g$.

1. 1)a. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $g(x) = \frac{3}{x+1}$. Préciser l'ensemble de définition de $g$ et vérifier que $g$ est continue sur l'intervalle $[-4\,;\,-2]$.

   Indice — Détermine la valeur pour laquelle le dénominateur s'annule afin d'exclure cette valeur de l'ensemble de définition et de vérifier la continuité.

   Correction

   Le dénominateur $x+1$ s'annule pour $x = -1$. L'ensemble de définition est donc $\mathcal{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Comme la valeur interdite $-1$ n'appartient pas à l'intervalle $[-4\,;\,-2]$, la fonction rationnelle $g$ est continue sur $[-4\,;\,-2]$.

2. 1)b. Calculer la dérivée $g'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[-4\,;\,-2]$.

   Indice — Pense aux règles de dérivation d'une fonction rationnelle de type $\frac{1}{u}$.

   Correction

   En utilisant la formule de dérivation d'une quotient $\left(\frac{k}{u}\right)' = -\frac{k u'}{u^2}$ avec $u(x) = x+1$, on obtient pour tout $x \in [-4\,;\,-2]$ :
   $$g'(x) = -\frac{3}{(x+1)^2}$$

3. 1)c. Déterminer le signe de $g'(x)$ sur $[-4\,;\,-2]$ et en déduire le sens de variation strict de $g$ sur cet intervalle.

   Indice — Examine le signe du numérateur et du dénominateur (carré d'un nombre réel non nul) de $g'(x)$.

   Correction

   Pour tout $x \in [-4\,;\,-2]$, le dénominateur $(x+1)^2$ est strictement positif et le numérateur est $-3 < 0$. On en déduit que $g'(x) < 0$ sur $[-4\,;\,-2]$. La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle.

4. 2)a. Calculer les images $g(-4)$ et $g(-2)$.

   Indice — Évalue directement la fonction $g$ aux bornes $-4$ et $-2$ de l'intervalle.

   Correction

   Par calcul direct :
   - $g(-4) = \frac{3}{-4+1} = -1$
   - $g(-2) = \frac{3}{-2+1} = -3$

5. 2)b. En utilisant le théorème de l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone, déterminer l'ensemble image $g([-4\,;\,-2])$ en écrivant d'abord les bornes dans l'ordre de décroissance.

   Indice — R rappelle-toi que pour une fonction strictement décroissante, l'image d'un intervalle $[a\,;\,b]$ est l'intervalle $[f(b)\,;\,f(a)]$.

   Correction

   La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $[-4\,;\,-2]$. D'après le théorème de l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone, l'image d'un intervalle $[a\,;\,b]$ par une fonction strictement décroissante s'écrit $[g(b)\,;\,g(a)]$.

   En calculant les images aux bornes :
   - $g(-4) = -1$
   - $g(-2) = -3$

   On a donc $g([-4\,;\,-2]) = [g(-2)\,;\,g(-4)] = [-3\,;\,-1]$.

6. 2)c. Écrire l'intervalle image final $g([-4\,;\,-2])$ sous la forme d'un intervalle $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

   Indice — Range les deux valeurs obtenues de la plus petite à la plus grande pour respecter la notation standard d'un intervalle.

   Correction

   Puisque $-3 < -1$, les bornes sont déjà bien rangées dans l'ordre croissant. L'intervalle image final s'écrit sous la forme standard $g([-4\,;\,-2]) = [-3\,;\,-1]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = x^3 + 3x - 1$$. Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,,\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$.

1. 1)a). Préciser l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x - 1$ et vérifier sa continuité sur l'intervalle $I = [0\,;\,2]$.

   Indice — Vérifie le domaine de définition de la fonction et examine si l'intervalle d'étude est inclus dans ce domaine.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc définie et continue sur $\mathbb{R}$. Par restriction, $f$ est continue sur l'intervalle $I = [0\,;\,2]$.

2. 1)b). Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in [0\,;\,2]$ et étudier son signe.

   Indice — Calcule la dérivée de $f(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$.

   Correction

   Pour tout $x \in [0\,;\,2]$, la dérivée de $f$ est $f'(x) = 3x^2 + 3$. Comme $x^2 \ge 0$ pour tout réel $x$, on a $3x^2 + 3 \ge 3 > 0$. Ainsi, $f'(x)$ est strictement positive sur $[0\,;\,2]$.

3. 1)c). Conclure quant au sens de variation strict de $f$ sur l'intervalle $I = [0\,;\,2]$.

   Indice — Utilise le signe de la dérivée pour préciser si la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.

   Correction

   La dérivée $f'$ étant strictement positive sur l'intervalle $I = [0\,;\,2]$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

4. 1)d). Calculer les valeurs de $f(0)$ et $f(2)$.

   Indice — Évalue la fonction aux bornes $0$ et $2$ de l'intervalle $I$.

   Correction

   En évaluant $f$ aux bornes de l'intervalle, on obtient $f(0) = -1$ et $f(2) = 13$.

5. 1)e). Déduire l'intervalle image $f([0\,;\,2])$.

   Indice — Applique le théorème de l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone en tenant compte du sens de variation.

   Correction

   La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;\,2]$. On a $f(0) = -1$ et $f(2) = 13$. Par le théorème de l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone, l'intervalle image est $f([0\,;\,2]) = [f(0)\,;\,f(2)] = [-1\,;\,13]$.

6. 2). Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0\,;\,2]$.

   Indice — Utilise le théorème de la bijection en vérifiant que l'élément appartient bien à l'intervalle image déterminé précédemment.

   Correction

   La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;\,2]$, et son image est l'intervalle $[-1\,;\,13]$. Or, $4 \in [-1\,;\,13]$. D'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha \in [0\,;\,2]$.