Point de départ · 1

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 + \frac{3}{n}$ . Aucun terme $u_n$ n'est égal à 2. Peut-on néanmoins garantir que l'écart $|u_n - 2|$ devient inférieur ou égal à $0{,}01$ à partir d'un certain rang ?

Remarque

Pour tout $n \ge 300$ , on a $\frac{3}{n} \le \frac{3}{300} = 0{,}01$ . Même si la suite n'atteint jamais la valeur 2, ses termes se rapprochent arbitrairement près de 2 dès que l'indice $n$ est suffisamment grand.

Définition · 2

Définition d'une suite convergente

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite réelle et $l$ un nombre réel.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$

On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

\forall \epsilon > 0, \; \exists p \in \mathbb{N}, \; \forall n \ge p, \; |u_n - l| < \epsilon

Remarque

Le réel $\epsilon$ représente une marge de tolérance arbitrairement petite, et $p$ est le rang entier à partir duquel tous les termes restent confinés dans l'intervalle $]l - \epsilon \,;\, l + \epsilon[$ .

Exemple travaillé · 3

Détermination d'un rang de seuil

Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ la suite définie par $u_n = 2 + \frac{3}{n}$ . Déterminer un entier naturel $p$ tel que pour tout $n \ge p$ , on ait $|u_n - 2| < 10^{-2}$ .

1

On simplifie l'expression de l'écart avec la limite $l = 2$ .

2

|u_n - 2| = \left|2 + \frac{3}{n} - 2\right| = \frac{3}{n}

3

On pose l'inégalité demandée et on isole l'indice $n$ .

4

\frac{3}{n} < 10^{-2} \iff \frac{3}{n} < \frac{1}{100} \iff n > 300

5

L'inégalité sur $n$ étant stricte, le premier entier naturel satisfaisant la condition est 301.

6

p = 301

Piège classique · 4

On considère toujours $u_n = 2 + \frac{3}{n}$ . Pour assurer $|u_n - 2| < 10^{-7}$ , la résolution donne $n > 3 \times 10^7$ . Quelle est la plus petite valeur du rang entier $p$ tel que $n \ge p \implies |u_n - 2| < 10^{-7}$ ?

Attention

Choisir $p = 3 \times 10^7$ en confondant l'inégalité stricte avec une inégalité large.

À la place : Pour $n = 3 \times 10^7$ , on a $|u_n - 2| = 10^{-7}$ , ce qui ne respecte pas l'inégalité stricte demandée. Le premier entier naturel admissible est $p = 3 \times 10^7 + 1$ .

Exemple travaillé · 5

Preuve formelle avec $\epsilon$

Démontrer, en utilisant la définition formelle avec $\epsilon$ , que la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 + \frac{3}{n}$ converge vers 2.

1

Soit un réel $\epsilon > 0$ quelconque.

2

On cherche un entier naturel $p$ tel que pour tout entier $n \ge p$ , on ait $|u_n - 2| < \epsilon$ .

3

|u_n - 2| < \epsilon \iff \frac{3}{n} < \epsilon \iff n > \frac{3}{\epsilon}

4

On note $E(x)$ la partie entière de $x$ . Le nombre $E\left(\frac{3}{\epsilon}\right) + 1$ est un entier naturel vérifiant $E\left(\frac{3}{\epsilon}\right) + 1 > \frac{3}{\epsilon}$ .

5

p = E\left(\frac{3}{\epsilon}\right) + 1

6

Pour tout entier $n \ge p$ , on a $n > \frac{3}{\epsilon}$ , d'où $|u_n - 2| < \epsilon$ .

7

L'existence de l'entier $p$ étant établie pour tout $\epsilon > 0$ , la suite $(u_n)$ converge vers 2.

Vérification · 6

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 5 - \frac{1}{n}$ . On veut déterminer le rang minimal $p \in \mathbb{N}$ à partir duquel $|u_n - 5| < 0{,}02$ . Quelle est la valeur de $p$ ?

Remarque

$|u_n - 5| = \frac{1}{n}$ . L'inégalité $\frac{1}{n} < 0{,}02 = \frac{1}{50}$ équivaut à $n > 50$ . Comme l'inégalité est stricte, le premier rang entier naturel admissible est $p = 51$ .

Définition · 7

Définition de la divergence vers l'infini

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite réelle.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

\forall A > 0, \; \exists p \in \mathbb{N}, \; \forall n \ge p, \; u_n > A

Remarque

De façon analogue, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ signifie que pour tout réel $A > 0$ , il existe un entier naturel $p$ tel que pour tout $n \ge p$ , on a $u_n < -A$ .

Exemple travaillé · 8

Seuil pour une limite infinie

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = n^2$ . Pour un réel $A > 0$ donné, déterminer un rang entier $p \in \mathbb{N}$ à partir duquel tous les termes vérifient $u_n > A$ .

1

On cherche un entier naturel $p$ tel que pour tout entier $n \ge p$ , l'inégalité $n^2 > A$ soit vraie.

2

n^2 > A \iff n > \sqrt{A}

3

La fonction partie entière $E$ permet de définir le premier entier strictement supérieur au réel $\sqrt{A}$ .

4

p = E(\sqrt{A}) + 1

5

Pour tout $n \ge p$ , on a $n > \sqrt{A}$ , ce qui assure $u_n > A$ . On a ainsi établi formellement que $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ .

Piège classique · 9

Une suite $(u_n)$ qui n'est pas majorée admet-elle nécessairement $+\infty$ pour limite ?

Attention

Penser qu'une suite non majorée s'échappe obligatoirement tout entière vers $+\infty$ .

À la place : Une suite non majorée peut osciller et revenir indéfiniment vers des valeurs finies. La divergence vers $+\infty$ exige que TOUS les termes dépassent n'importe quel seuil $A$ à partir d'un rang $p$ .

Exemple travaillé · 10

Suite non majorée sans limite infinie

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = n(1 + (-1)^n)$ . Montrer que $(u_n)$ n'est pas majorée et qu'elle ne tend pas vers $+\infty$ .

1

On sépare l'étude selon la parité de l'indice $n$ .

2

Pour les indices pairs $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$ :

3

u_{2k} = 2k(1 + (-1)^{2k}) = 2k(1 + 1) = 4k

4

Puisque $\lim_{k \to +\infty} 4k = +\infty$ , la suite prend des valeurs supérieures à tout réel donné : elle n'est pas majorée.

5

Pour les indices impairs $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$ :

6

u_{2k+1} = (2k+1)(1 + (-1)^{2k+1}) = (2k+1)(1 - 1) = 0

7

Si on choisit le seuil $A = 1$ , tous les termes d'indices impairs vérifient $u_{2k+1} = 0 < 1$ . Il est donc impossible de trouver un rang $p$ à partir duquel tous les termes dépassent 1.

8

La suite $(u_n)$ n'est pas majorée et ne tend pas vers $+\infty$ : c'est une suite divergente sans limite.

Vérification · 11

On considère la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_n = (-1)^n \times n^2$ . Quelle est la nature de cette suite ?

Remarque

Pour $n$ pair, $v_{2k} = 4k^2 \to +\infty$ , et pour $n$ impair, $v_{2k+1} = -(2k+1)^2 \to -\infty$ . La suite oscille entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes : elle est divergente sans limite.

Rappel · 12

Rappel : Monotonie et bornes d'une suite

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite réelle.

$u_{n+1} \ge u_n \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \iff (u_n) \text{ est croissante}$

$u_{n+1} \le u_n \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \iff (u_n) \text{ est décroissante}$

Une suite est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \ge n_0$ , $u_n \le M$ .

Une suite est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \ge n_0$ , $u_n \ge m$ .

Remarque

Une suite est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Définition · 13

Théorème de convergence monotone

Pour toute suite réelle $(u_n)_{n \ge n_0}$ :

$(u_n) \text{ croissante et majorée} \implies (u_n) \text{ converge vers un réel } l$

$(u_n) \text{ décroissante et minorée} \implies (u_n) \text{ converge vers un réel } l$

Remarque

Si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors elle diverge vers $+\infty$ . Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée, alors elle diverge vers $-\infty$ .

Exemple travaillé · 14

Convergence d'une suite monotone

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 5 - \frac{1}{n+1}$ . On admet qu'elle est strictement croissante. Justifier qu'elle est convergente et déterminer sa limite.

1

Pour tout entier naturel $n$ , le dénominateur $n+1$ est strictement positif, donc $\frac{1}{n+1} > 0$ .

2

u_n = 5 - \frac{1}{n+1} < 5

3

La suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 5. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel fini $l$ .

4

\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = 5 - 0 = 5

Piège classique · 15

Une suite $(u_n)$ est croissante et vérifie $u_n \le 10$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Peut-on en déduire que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 10$ ?

Attention

Affirmer que la limite d'une suite croissante majorée est nécessairement égale au majorant exhibé.

À la place : Le théorème garantit l'existence d'une limite $l$ , mais on sait seulement que $l \le 10$ . La suite $u_n = 2 - \frac{1}{n+1}$ est bien majorée par 10, mais sa limite est 2.

Exemple travaillé · 16

Somme géométrique et convergence monotone

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 1 + \frac{1}{7} + \left(\frac{1}{7}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{7}\right)^n$ . Justifier que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

1

On étudie la différence de deux termes consécutifs.

2

u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{7}\right)^{n+1} > 0

3

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

4

On exprime la somme des $n+1$ termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\frac{1}{7}$ .

5

u_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{7}{6}\left(1 - \left(\frac{1}{7}\right)^{n+1}\right)

6

Comme $\left(\frac{1}{7}\right)^{n+1} > 0$ , on a $1 - \left(\frac{1}{7}\right)^{n+1} < 1$ , d'où $u_n < \frac{7}{6}$ .

7

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\frac{7}{6}$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

8

Comme $\left|\frac{1}{7}\right| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^{n+1} = 0$ . Par suite, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{7}{6}$ .

Vérification · 17

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante vérifiant pour tout entier naturel $n$ l'inégalité $v_n \ge 3 + \frac{2}{n+1}$ . Que peut-on affirmer avec certitude ?

Remarque

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{2}{n+1} > 0$ , donc $v_n > 3$ . La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par 3 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle $l \ge 3$ .

Définition · 18

Théorème des gendarmes et théorèmes de comparaison

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles définies pour tout entier $n \ge n_0$ .

Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) :

\forall n \ge n_0, \; u_n \le w_n \le v_n \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = l \; (l \in \mathbb{R})

$\lim_{n \to +\infty} w_n = l$

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies :

\forall n \ge n_0, \; w_n \ge u_n \quad \text{avec} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \implies \lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty

\forall n \ge n_0, \; w_n \le v_n \quad \text{avec} \quad \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty \implies \lim_{n \to +\infty} w_n = -\infty

Remarque

Le théorème des gendarmes exige deux bornes qui convergent vers la même valeur finie. Pour une limite infinie, une seule borne (minoration pour $+\infty$ , majoration pour $-\infty$ ) suffit.

Exemple travaillé · 19

Écrasement d'un terme oscillant borné

Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{\cos n}{n+1}$ .

1

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , le cosinus est borné par $-1$ et $1$ .

2

-1 \le \cos n \le 1

3

Comme $n+1 > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on divise chaque membre par $n+1$ sans changer le sens des inégalités.

4

-\frac{1}{n+1} \le \frac{\cos n}{n+1} \le \frac{1}{n+1}

5

On calcule la limite des deux suites encadrantes aux bornes.

6

\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n+1} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0

7

Les deux bornes convergent vers la même limite 0. D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est 0.

8

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0

Piège classique · 20

On veut déterminer la limite en $+\infty$ de la suite définie par $u_n = n + \cos n$ . Quelle démarche applique-t-on ?

Attention

Écrire $n-1 \le u_n \le n+1$ et conclure que $\lim u_n = +\infty$ par le « théorème des gendarmes ».

À la place : Le théorème des gendarmes s'applique exclusivement aux limites finies dans $\mathbb{R}$ . Pour une limite infinie, une simple minoration unilatérale $u_n \ge n-1$ suffit, par le théorème de comparaison.

Exemple travaillé · 21

Encadrement global d'une somme dépendante de n

Soit la suite $(S_n)_{n \ge 1}$ définie par $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$ . Justifier que $(S_n)$ converge et déterminer sa limite.

1

Pour tout entier $k$ vérifiant $1 \le k \le n$ , on encadre le dénominateur $n^2+k$ par ses valeurs extrêmes.

2

n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n

3

Tous les termes étant strictement positifs, la fonction inverse renverse l'ordre des inégalités.

4

\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}

5

On multiplie chaque membre par le numérateur $n > 0$ .

6

\frac{n}{n^2 + n} \le \frac{n}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1}

7

On somme ces $n$ inégalités pour $k$ variant de 1 à $n$ . Les bornes gauche et droite ne dépendant pas de $k$ , elles sont multipliées par le nombre de termes $n$ .

8

\frac{n^2}{n^2 + n} \le S_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}

9

On étudie la limite des deux expressions encadrantes.

10

\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1

11

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(S_n)$ converge et sa limite est 1.

12

\lim_{n \to +\infty} S_n = 1

Vérification · 22

Pour déterminer la limite à l'infini de la suite définie par $w_n = n^2 + (-1)^n n$ , quelle méthode est théoriquement adaptée ?

Remarque

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $(-1)^n \ge -1$ , d'où $w_n \ge n^2 - n = n(n-1)$ . Comme $\lim_{n \to +\infty} n(n-1) = +\infty$ , le théorème de comparaison à l'infini permet de conclure que $\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$ . Le théorème des gendarmes est exclu car la limite recherchée n'est pas finie.

Définition · 23

Théorème du point fixe

Soit $f$ une fonction continue d'un intervalle $I$ dans lui-même et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 \in I$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = f(u_n)$

Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l \in I$ , alors la continuité de $f$ en $l$ garantit que $l$ est solution de l'équation de point fixe :

f(l) = l

Remarque

L'égalité $f(l) = l$ résulte du passage à la limite : $\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ et $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)$ . Elle suppose impérativement d'avoir établi l'existence de la limite au préalable.

Exemple travaillé · 24

Convergence et calcul de la limite par point fixe

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

1

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{3x+4}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ .

2

On montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \le u_n < u_{n+1} \le 4$ . L'initialisation est vérifiée car $u_0 = 0$ et $u_1 = 2$ . Si $0 \le u_n < u_{n+1} \le 4$ , la croissance de $f$ donne $f(0) \le f(u_n) < f(u_{n+1}) \le f(4)$ , soit $2 \le u_{n+1} < u_{n+2} \le 4$ .

3

La suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $l \in [0\,;\,4]$ .

4

Puisque $f$ est continue sur $[0\,;\,4]$ , la limite $l$ vérifie l'équation de point fixe $f(l) = l$ .

5

\sqrt{3l + 4} = l \iff 3l + 4 = l^2 \iff l^2 - 3l - 4 = 0

6

Le discriminant est $\Delta = 25$ . Les racines sont $-1$ et $4$ . Comme $l \in [0\,;\,4]$ , la valeur $-1$ est rejetée car elle est strictement négative.

7

\lim_{n \to +\infty} u_n = 4

Piège classique · 25

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$ . Un élève écrit : « Soit $l$ la limite. Alors $l = 2l - 3 \iff l = 3$ , donc la suite converge vers 3 ». Que penser de cette démarche ?

Attention

Écrire l'équation $f(l) = l$ avant d'avoir prouvé que la suite converge vers un réel fini.

À la place : L'équation de point fixe n'a de sens que si l'existence de la limite est démontrée. Ici, les premiers termes sont $u_0 = 4$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 7$ , $u_3 = 11$ : la suite diverge vers $+\infty$ .

Exemple travaillé · 26

Majoration contractante et vitesse géométrique

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ . On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \le u_n \le 3$ . Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \le 3 - u_{n+1} \le \frac{1}{3}(3 - u_n)$ , puis déterminer la limite de $(u_n)$ .

1

On multiplie par l'expression conjuguée $3 + \sqrt{u_n + 6}$ pour transformer la différence $3 - u_{n+1}$ .

2

3 - u_{n+1} = 3 - \sqrt{u_n + 6} = \frac{9 - (u_n + 6)}{3 + \sqrt{u_n + 6}} = \frac{3 - u_n}{3 + \sqrt{u_n + 6}}

3

Comme $u_n \ge 0$ , on a $\sqrt{u_n + 6} \ge \sqrt{6} > 0$ , d'où $3 + \sqrt{u_n + 6} \ge 3$ .

4

\frac{1}{3 + \sqrt{u_n + 6}} \le \frac{1}{3}

5

Puisque $u_n \le 3$ , le numérateur $3 - u_n$ est positif ou nul. En multipliant l'inégalité par $3 - u_n$ :

6

0 \le 3 - u_{n+1} \le \frac{1}{3}(3 - u_n)

7

Par récurrence immédiate, on en déduit pour tout entier naturel $n$ :

8

0 \le 3 - u_n \le (3 - u_0)\left(\frac{1}{3}\right)^n = 3\left(\frac{1}{3}\right)^n

9

Comme $\lim_{n \to +\infty} 3\left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$ , le théorème des gendarmes permet de conclure :

10

\lim_{n \to +\infty} u_n = 3

Vérification · 27

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{5u_n}{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ est croissante et converge vers un réel $l$ . Les solutions de l'équation $f(l) = l$ sont 0 et 3. Quelle est la limite $l$ ?

Remarque

Comme $(u_n)$ est croissante et que $u_0 = 1$ , tous les termes vérifient $u_n \ge 1$ . Par passage à la limite dans les inégalités, on a $l \ge 1$ . La solution 0 est donc rejetée, et la limite est $l = 3$ .

Définition · 28

Suites homographiques et suites auxiliaires

Une suite homographique est définie par une relation de récurrence de la forme :

$u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d}$

Pour expliciter le terme général $u_n$ et déterminer sa limite, on introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ qui transforme la relation non linéaire en une suite usuelle :

v_n = \frac{1}{u_n} \quad \text{ou} \quad v_n = \frac{u_n - \alpha}{u_n}

Remarque

Selon la structure des coefficients, cette transformation produit une suite $(v_n)$ arithmétique ou géométrique, que l'on sait expliciter directement.

Exemple travaillé · 29

Linéarisation par l'inverse

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}$ . On admet que $u_n > 0$ pour tout $n$ . En posant $v_n = \frac{1}{u_n}$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer sa limite.

1

On calcule la différence $v_{n+1} - v_n$ pour déterminer la nature de la suite $(v_n)$ .

2

v_{n+1} - v_n = \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{1 + 2u_n}{u_n} - \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_n} + 2 - \frac{1}{u_n} = 2

3

La différence étant constante, $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$ et de premier terme $v_0 = \frac{1}{u_0} = 1$ .

4

On applique la formule explicite du terme général d'une suite arithmétique : $v_n = v_0 + nr$ .

5

v_n = 1 + 2n

6

Puisque $v_n = \frac{1}{u_n}$ , on en déduit l'expression de $u_n$ en prenant l'inverse de $v_n$ .

7

u_n = \frac{1}{2n + 1}

8

Comme $\lim_{n \to +\infty} (2n + 1) = +\infty$ , on conclut sur la limite de $(u_n)$ .

9

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0

Piège classique · 30

Combien de termes comporte la somme $S_n = \sum_{k=0}^n 1 = 1 + 1 + \dots + 1$ allant de l'indice $k=0$ à l'indice $k=n$ ?

Attention

Penser que la somme comporte $n$ termes en regardant uniquement la borne supérieure $n$ .

À la place : L'indice de départ est $0$ . Le nombre de termes d'une sommation d'indices allant de $p$ à $n$ est $(n - p + 1)$ . Pour $k=0$ à $n$ , il y a donc $(n - 0 + 1) = n + 1$ termes. Ainsi, $\sum_{k=0}^n 1 = n + 1$ .

Exemple travaillé · 31

Calcul de somme et limite de moyenne

Soit la suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $w_n = 1 - v_n$ , où $(v_n)$ est la suite géométrique définie par $v_0 = -2$ et de raison $q = \frac{1}{4}$ . On pose $S_n = \sum_{k=0}^n w_k$ . Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{n}$ .

1

On sépare la constante et la suite géométrique dans la somme.

2

S_n = \sum_{k=0}^n (1 - v_k) = \sum_{k=0}^n 1 - \sum_{k=0}^n v_k

3

La première somme comporte $(n - 0 + 1) = n + 1$ termes tous égaux à 1, donc $\sum_{k=0}^n 1 = n + 1$ .

4

La seconde somme est la somme des $n+1$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{4} \neq 1$ .

5

\sum_{k=0}^n v_k = v_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = -2 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)

6

On regroupe les deux résultats pour exprimer la somme totale $S_n$ .

7

S_n = n + 1 + \frac{8}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)

8

Pour évaluer $\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{n}$ , on divise chaque terme par $n > 0$ .

9

\frac{S_n}{n} = \frac{n+1}{n} + \frac{8}{3n}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{8}{3n}\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)

10

Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1} = 0$ , la fraction résiduelle tend vers 0.

11

\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{n} = 1

Vérification · 32

Combien de termes comporte la somme $T_n = \sum_{k=2}^{n+3} 1$ pour tout entier naturel $n$ ?

Remarque

Le nombre de termes d'une sommation d'indices allant de $k = 2$ à $k = n + 3$ est donné par $(\text{dernier indice} - \text{premier indice} + 1) = (n + 3) - 2 + 1 = n + 2$ termes.

Point de départ · 33

Pour calculer le terme $u_{10}$ de la suite définie par $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ et $u_{n+2} = 6u_{n+1} - 5u_n$ , doit-on calculer successivement tous les termes intermédiaires ?

Remarque

Calculer $u_2, u_3, \dots, u_{10}$ de proche en proche devient vite fastidieux et source d'erreurs, et devient impraticable pour $u_{1000}$ . On cherche une méthode algébrique pour exprimer directement $u_n$ en fonction de $n$ .

Définition · 34

Suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite vérifiant pour tout $n \in \mathbb{N}$ la relation de récurrence :

$u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles avec $b \neq 0$ . L'équation caractéristique associée s'écrit :

r^2 - a r - b = 0

Si cette équation admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ , le terme général de la suite s'écrit pour tout entier naturel $n$ sous la forme :

$u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$

Remarque

Les constantes réelles $\alpha$ et $\beta$ sont uniquement déterminées par la donnée des deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ .

Exemple travaillé · 35

Détermination du terme général

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+2} = 6u_{n+1} - 5u_n$ . Déterminer l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ .

1

On écrit et on résout l'équation caractéristique associée : $r^2 - 6r + 5 = 0$ .

2

\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 = 4^2

3

Les deux racines réelles distinctes sont $r_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1$ et $r_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$ .

4

Le terme général est de la forme $u_n = \alpha \times 5^n + \beta \times 1^n = \alpha \times 5^n + \beta$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

5

On utilise les conditions initiales $u_0 = 1$ et $u_1 = 2$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$ :

6

\begin{cases} \alpha + \beta = 1 \\ 5\alpha + \beta = 2 \end{cases}

7

Par soustraction membre à membre, on trouve $4\alpha = 1$ , d'où $\alpha = \frac{1}{4}$ , puis $\beta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

8

On en déduit l'expression explicite pour tout entier naturel $n$ :

9

u_n = \frac{5^n + 3}{4}

Piège classique · 36

Pour $u_n = \alpha \times 5^n + \beta$ avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 2$ , quelle équation traduit la condition initiale au rang $n = 0$ ?

Attention

Écrire $5\alpha + \beta = 1$ en inversant les rangs $n = 0$ et $n = 1$ .

À la place : Au rang $n = 0$ , l'exposant est nul : $5^0 = 1$ , ce qui donne $\alpha + \beta = u_0 = 1$ . L'équation $5\alpha + \beta = 2$ correspond au rang $n = 1$ car $5^1 = 5$ .

Vérification · 37

Quelle est l'équation caractéristique associée à la suite vérifiant pour tout $n \in \mathbb{N}$ la relation $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ ?

Remarque

En transposant tous les termes dans le membre de gauche, la relation s'écrit $u_{n+2} - 5u_{n+1} + 6u_n = 0$ . L'équation caractéristique associée est donc $r^2 - 5r + 6 = 0$ (de racines 2 et 3).

Définition · 38

Définition des suites adjacentes

Deux suites réelles $(u_n)_{n \ge 0}$ et $(v_n)_{n \ge 0}$ sont dites adjacentes lorsqu'elles vérifient simultanément trois conditions :

1. \; u_n \le v_n \quad \text{pour tout entier } n \ge 0

2. \; (u_n) \text{ est croissante et } (v_n) \text{ est décroissante}

3. \; \lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0

Théorème fondamental des suites adjacentes :

$(u_n) \text{ et } (v_n) \text{ adjacentes} \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = l \in \mathbb{R}$

Remarque

Deux suites adjacentes convergent nécessairement vers une même limite réelle finie $l$ .

Exemple travaillé · 39

Preuve d'adjacence de deux suites récurrentes croisées

Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 12$ , $v_0 = 1$ , $u_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + 3v_n}{4}$ . On pose $w_n = u_n - v_n$ . Montrer que $(w_n)$ est géométrique, puis en déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

1

On exprime la différence $w_{n+1} = u_{n+1} - v_{n+1}$ au même dénominateur.

2

w_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} - \frac{u_n + 3v_n}{4} = \frac{4(u_n + 2v_n) - 3(u_n + 3v_n)}{12} = \frac{u_n - v_n}{12} = \frac{1}{12}w_n

3

$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{12}$ et de premier terme $w_0 = u_0 - v_0 = 12 - 1 = 11$ . Son terme général est $w_n = 11\left(\frac{1}{12}\right)^n > 0$ , donc $u_n > v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

4

On étudie la monotonie de chaque suite :

5

u_{n+1} - u_n = \frac{2(v_n - u_n)}{3} = -\frac{2}{3}w_n < 0 \implies (u_n) \text{ est strictement décroissante}

6

v_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{4} = \frac{1}{4}w_n > 0 \implies (v_n) \text{ est strictement croissante}

7

Comme $\left|\frac{1}{12}\right| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = \lim_{n \to +\infty} w_n = 0$ . Les suites $(v_n)$ et $(u_n)$ vérifient les trois conditions : elles sont adjacentes et convergent vers une même limite réelle.

Piège classique · 40

Pour déterminer la limite commune de deux suites adjacentes couplées comme $(u_n)$ et $(v_n)$ , quelle démarche doit-on privilégier ?

Attention

Tenter de trouver l'expression explicite de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$ en résolvant le système de récurrence.

À la place : Expliciter chaque terme général est souvent très lourd ou impraticable. On repère plutôt une combinaison linéaire invariante $a u_n + b v_n = \text{constante}$ : le passage à la limite donne directement $(a + b)l = \text{constante}$ , ce qui fournit la limite commune immédiatement.

Exemple travaillé · 41

Calcul de la limite commune par combinaison linéaire invariante

On considère les suites adjacentes définies par $u_0 = 12$ , $v_0 = 1$ , $u_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + 3v_n}{4}$ . On pose $t_n = 3u_n + 8v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que $(t_n)$ est constante et déterminer la limite commune $l$ des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ .

1

On exprime $t_{n+1}$ à l'aide des formules de récurrence de $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ .

2

t_{n+1} = 3\left(\frac{u_n + 2v_n}{3}\right) + 8\left(\frac{u_n + 3v_n}{4}\right) = (u_n + 2v_n) + 2(u_n + 3v_n)

3

t_{n+1} = u_n + 2v_n + 2u_n + 6v_n = 3u_n + 8v_n = t_n

4

La suite $(t_n)$ est donc constante : pour tout entier naturel $n$ , on a $t_n = t_0 = 3u_0 + 8v_0$ .

5

t_0 = 3(12) + 8(1) = 36 + 8 = 44

6

Puisque $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers une même limite réelle $l$ . Par passage à la limite dans la relation $3u_n + 8v_n = 44$ :

7

3l + 8l = 44 \iff 11l = 44 \iff l = 4

8

On en déduit que $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = 4$ .

Vérification · 42

Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ vérifient : $(a_n)$ croissante, $(b_n)$ décroissante, $a_n \le b_n$ , $\lim_{n \to +\infty} (b_n - a_n) = 0$ , et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $2a_n + 3b_n = 35$ . Vers quelle valeur commune convergent-elles ?

Remarque

Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ étant adjacentes, elles admettent une même limite réelle $l$ . Par passage à la limite dans l'égalité invariante $2a_n + 3b_n = 35$ , on obtient $2l + 3l = 35 \iff 5l = 35$ , d'où $l = 7$ .

Suites réelles — cours

Le cours

Définition d'une suite convergente

Détermination d'un rang de seuil

Preuve formelle avec $\epsilon$

Définition de la divergence vers l'infini

Seuil pour une limite infinie

Suite non majorée sans limite infinie

Rappel : Monotonie et bornes d'une suite

Théorème de convergence monotone

Convergence d'une suite monotone

Somme géométrique et convergence monotone

Théorème des gendarmes et théorèmes de comparaison

Écrasement d'un terme oscillant borné

Encadrement global d'une somme dépendante de n

Théorème du point fixe

Convergence et calcul de la limite par point fixe

Majoration contractante et vitesse géométrique

Suites homographiques et suites auxiliaires

Linéarisation par l'inverse

Calcul de somme et limite de moyenne

Suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

Détermination du terme général

Définition des suites adjacentes

Preuve d'adjacence de deux suites récurrentes croisées

Calcul de la limite commune par combinaison linéaire invariante

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