Rappel · 1

Rappel : Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$ . Quelle condition garantit que $f$ est continue en $a$ ?

Remarque

Pour que $f$ soit continue en $a$ , il faut et il suffit qu'elle soit continue à gauche et continue à droite en $a$ , c'est-à-dire : $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ .

Définition · 2

Continuité sur un intervalle et raccordement

La continuité sur un intervalle fermé combine la continuité en tout point intérieur et la continuité latérale aux extrémités.

$f \text{ est continue sur } [a \;;\; b] \iff \begin{cases} f \text{ est continue en tout point de } ]a \;;\; b[ \\ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \\ \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \end{cases}$

Remarque

Pour une fonction définie par morceaux sur des intervalles adjacents, la continuité globale dépend de la concordance des limites latérales en chaque point frontière $x_0$ avec la valeur $f(x_0)$ .

Exemple travaillé · 3

Raccordement de deux expressions avec un paramètre

Soit $a \in \mathbb{R}$ et la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} x^3 + 2ax + 1 & \text{si } x \ge 1 \\ ax^2 + 3x & \text{si } x < 1 \end{cases}$
Déterminer la valeur du réel $a$ pour que $f$ soit continue en $1$ .

1

On évalue l'image en $1$ et la limite à droite : pour $x \ge 1$ , $f(1) = 1^3 + 2a(1) + 1 = 2a + 2$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2a + 2$ .

2

On calcule la limite à gauche en $1$ :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 + 3x) = a(1)^2 + 3(1) = a + 3

3

La fonction $f$ est continue en $1$ si et seulement si la limite à gauche coïncide avec la limite à droite et avec $f(1)$ :

2a + 2 = a + 3 \iff a = 1

4

Pour $a = 1$ , la fonction $f$ est continue en $1$ .

Piège classique · 4

Attention : Fonction déjà continue ou prolongeable ?

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = 2$ . Peut-on affirmer que $f$ admet un prolongement par continuité en $1$ ?

Attention

Affirmer que $f$ admet un prolongement par continuité en $1$ sous prétexte que sa limite existe et est finie ( $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ ).

À la place : $f$ est déjà définie en $1$ et $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$ : $f$ est donc déjà continue en $1$ . La notion de prolongement par continuité ne s'applique qu'à une fonction non définie au point considéré.

Exemple travaillé · 5

Prolongement par continuité d'une fonction irrationnelle

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1 \;;\; +\infty[ \setminus \{0\}$ par $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ .
Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ , puis expliciter ce prolongement $g$ .

1

La fonction $f$ n'est pas définie en $0$ . L'évaluation directe donne une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Pour $x \neq 0$ , on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{x+1}+1$ :

f(x) = \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}

2

Pour tout $x \in [-1 \;;\; +\infty[ \setminus \{0\}$ , on simplifie par $x$ :

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}

3

On calcule la limite en $0$ :

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{2}

4

Comme $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ , $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ , noté $g$ et défini sur $[-1 \;;\; +\infty[$ par :

g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases}

Vérification · 6

Vérification : Continuité latérale et raccordement

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} \frac{|x-2|}{x-2} + x & \text{si } x \neq 2 \\ 3 & \text{si } x = 2 \end{cases}$
La fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?

Remarque

Pour $x > 2$ , on a $|x-2| = x-2$ , donc $f(x) = 1 + x$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 = f(2)$ : $f$ est continue à droite en $2$ . En revanche, pour $x < 2$ , $|x-2| = -(x-2)$ , donc $f(x) = -1 + x$ et $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \neq f(2)$ : $f$ n'est pas continue à gauche. Les deux limites latérales étant distinctes, $f$ n'est pas continue en $2$ .

Point de départ · 7

Pourquoi une condition d'inclusion ?

Soient les fonctions $u(x) = x - 2$ définie sur $\mathbb{R}$ et $v(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0 \;;\; +\infty[$ . Peut-on évaluer la fonction composée $v \circ u$ en $x = 1$ ?

Remarque

On a $u(1) = 1 - 2 = -1$ . Or la fonction racine carrée $v$ n'accepte que des réels positifs ou nuls : l'expression $v(u(1)) = \sqrt{-1}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ . Pour composer deux fonctions, les valeurs fournies par la première doivent impérativement appartenir au domaine de la seconde.

Définition · 8

Théorème : Continuité d'une fonction composée

La continuité se transmet par composition à la condition expresse que l'ensemble des images de la première fonction soit contenu dans le domaine de continuité de la seconde.

$\text{Si } u \text{ est continue sur } I, \; v \text{ continue sur } J \text{ et } u(I) \subset J, \text{ alors } v \circ u \text{ est continue sur } I.$

Remarque

En un point $x_0 \in I$ : si $u$ est continue en $x_0$ et $v$ continue en $u(x_0)$ , alors la fonction composée $v \circ u$ est continue en $x_0$ .

Exemple travaillé · 9

Méthode : Justifier la continuité d'une composée avec radical

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \sqrt{x^2+1}$ .
Justifier que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

1

On identifie la chaîne de composition : $h = v \circ u$ , avec la fonction intérieure $u(x) = x^2+1$ et la fonction extérieure $v(y) = \sqrt{y}$ .

2

La fonction polynôme $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

3

On détermine l'ensemble des images : pour tout réel $x$ , $x^2 \ge 0$ , donc $u(x) = x^2+1 \ge 1$ . Par conséquent :

u(\mathbb{R}) \subset [1 \;;\; +\infty[ \subset [0 \;;\; +\infty[

4

La fonction racine carrée $v$ est continue sur $[0 \;;\; +\infty[$ . Comme $u(\mathbb{R}) \subset [0 \;;\; +\infty[$ , le théorème de composition s'applique : $h = v \circ u$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 10

Méthode : Continuité d'une composée trigonométrique et rationnelle

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \cos\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ .
Justifier que $f$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty \;;\; 1[$ et $]1 \;;\; +\infty[$ .

1

On écrit $f = v \circ u$ avec $u(x) = \frac{x+1}{x-1}$ et $v(X) = \cos(X)$ .

2

La fonction $u$ est une fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Elle est donc continue sur chacun des intervalles ouverts $]-\infty \;;\; 1[$ et $]1 \;;\; +\infty[$ .

3

Pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , $u(x) \in \mathbb{R}$ . L'image de chaque intervalle par $u$ est incluse dans $\mathbb{R}$ .

4

La fonction cosinus $v$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Par composition, $f$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty \;;\; 1[$ et $]1 \;;\; +\infty[$ .

Piège classique · 11

Attention : L'inclusion de l'intervalle image est indispensable

Soient $u(x) = x - 3$ définie sur $[0 \;;\; 4]$ et $v(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0 \;;\; +\infty[$ .
Un élève affirme : « Comme $u$ est continue sur $[0 \;;\; 4]$ et $v$ est continue sur $[0 \;;\; +\infty[$ , la composée $v \circ u$ est continue sur $[0 \;;\; 4]$ . »
Ce raisonnement est-il correct ?

Attention

Conclure qu'une composée est continue sur un intervalle $I$ simplement parce que $u$ et $v$ sont continues sur leurs domaines respectifs, sans vérifier $u(I) \subset D_v$ .

À la place : L'inclusion est obligatoire. Ici, pour $x \in [0 \;;\; 3[$ , $u(x) < 0$ . Ces réels n'appartiennent pas au domaine $[0 \;;\; +\infty[$ de la racine : $v(u(x)) = \sqrt{x-3}$ n'est même pas définie sur $[0 \;;\; 3[$ .

Vérification · 12

Vérification : Domaine de continuité d'une fonction irrationnelle

Sur quel ensemble la fonction $g : x \mapsto \sqrt{2x - 6}$ est-elle continue ?

Remarque

La fonction affine $u : x \mapsto 2x - 6$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Elle est positive ou nulle sur $[3 \;;\; +\infty[$ , d'où $u([3 \;;\; +\infty[) = [0 \;;\; +\infty[$ . La fonction racine carrée étant continue sur $[0 \;;\; +\infty[$ (y compris à droite en $0$ ), la fonction composée $g$ est continue sur $[3 \;;\; +\infty[$ .

Point de départ · 13

Extraction d'un carré et signe de la variable

Si $x = -5$ , que vaut le réel $\sqrt{x^2}$ exprimé en fonction de $x$ ?

Remarque

On a $(-5)^2 = 25$ , et par définition la racine carrée est toujours positive : $\sqrt{25} = 5$ . Comme $x = -5$ , le résultat $5$ est l'opposé de $x$ , c'est-à-dire $-x$ . Ainsi, lorsque $x < 0$ , on a toujours $\sqrt{x^2} = -x$ .

Définition · 14

Comportement asymptotique avec radicaux : factorisation ou conjugué

Pour extraire la puissance dominante d'un radical quadratique au voisinage de l'infini, la valeur absolue est obligatoire.

$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x > 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Remarque

Face à une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$ faisant intervenir des radicaux : si les termes dominants ne s'annulent pas, on factorise par $|x|$ ; s'ils se compensent exactement, on multiplie par l'expression conjuguée.

Exemple travaillé · 15

Méthode : Factorisation par le terme dominant en $-\infty$

Calculer la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + 1} + x)$

1

L'expression présente la forme indéterminée $+\infty - \infty$ . Sous la racine, le terme dominant est $4x^2$ , dont la racine pour $x < 0$ est $\sqrt{4x^2} = 2|x| = -2x$ . Comme $-2x + x = -x \neq 0$ , les termes prépondérants ne se compensent pas : la factorisation par $|x|$ lève l'indétermination.

2

Pour $x < 0$ , on factorise par $x^2$ sous le radical en extrayant $|x| = -x$ :

\sqrt{4x^2+1} = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}

3

On factorise l'expression globale par $x$ :

\sqrt{4x^2+1} + x = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + x = x\left(-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 1\right)

4

On calcule la limite de chaque facteur : $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ , donc la parenthèse tend vers $-\sqrt{4} + 1 = -1$ . Comme $\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$ , par produit de limites :

\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2+1} + x) = (-\infty) \times (-1) = +\infty

Exemple travaillé · 16

Méthode : Levée d'indétermination par l'expression conjuguée

Calculer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x+3} - x)$

1

En $+\infty$ , le terme dominant sous la racine est $\sqrt{x^2} = x$ . Comme les termes prépondérants s'annulent mutuellement ( $x - x = 0$ ), la factorisation mènerait à une indétermination $\infty \times 0$ . On multiplie donc par l'expression conjuguée.

2

Pour tout $x > 0$ , on multiplie et on divise par $\sqrt{x^2+2x+3} + x$ :

\sqrt{x^2+2x+3} - x = \frac{(\sqrt{x^2+2x+3} - x)(\sqrt{x^2+2x+3} + x)}{\sqrt{x^2+2x+3} + x}

3

On développe le numérateur avec l'identité $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ :

\frac{(x^2+2x+3) - x^2}{\sqrt{x^2+2x+3} + x} = \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3} + x}

4

Pour $x > 0$ , on factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur :

\frac{x\left(2 + \frac{3}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1\right)} = \frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1}

5

Par passage à la limite, le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur tend vers $\sqrt{1} + 1 = 2$ :

\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x+3} - x) = \frac{2}{2} = 1

Piège classique · 17

Attention : Sortie d'un carré sous radical en $-\infty$

Pour tout réel $x < 0$ , quelle est l'écriture simplifiée de $\sqrt{x^2 + 5}$ après factorisation par $x^2$ sous le radical ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ même lorsque $x$ est négatif, ce qui inverse silencieusement le signe du terme prépondérant et fausse la limite.

À la place : Pour tout réel strictement négatif, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ . La factorisation exacte donne obligatoirement $-x\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}$ .

Vérification · 18

Vérification : Déterminer la méthode et la limite en $-\infty$

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 1} + x)$

Remarque

En $-\infty$ , on a $\sqrt{x^2+1} \approx |x| = -x$ . Les termes prépondérants se compensent car $-x + x = 0$ : la factorisation directe mènerait à une indétermination. On applique l'expression conjuguée : $\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$ . Quand $x \to -\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc le quotient tend vers $0$ .

Point de départ · 19

Image d'un intervalle : les bornes suffisent-elles ?

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 \;;\; 3]$ par $f(x) = x^2 - 2x$ . On calcule $f(0) = 0$ et $f(3) = 3$ . L'ensemble des images $f([0 \;;\; 3])$ est-il égal à $[0 \;;\; 3]$ ?

Remarque

Pour tout $x \in [0 \;;\; 3]$ , $f(x) = (x-1)^2 - 1$ . En $x = 1$ , la fonction atteint son minimum absolu $-1$ , qui est inférieur à $f(0) = 0$ . L'image de $[0 \;;\; 3]$ par $f$ est l'intervalle $[-1 \;;\; 3]$ , et non $[0 \;;\; 3]$ .

Définition · 20

Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

$f \text{ continue sur } I \implies f(I) \text{ est un intervalle.}$

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un segment $[a \;;\; b]$ :

$\begin{cases} f([a \;;\; b]) = [f(a) \;;\; f(b)] & \text{si } f \text{ est strictement croissante} \\ f([a \;;\; b]) = [f(b) \;;\; f(a)] & \text{si } f \text{ est strictement décroissante} \end{cases}$

Remarque

Si $f$ n'est pas strictement monotone sur $[a \;;\; b]$ , l'image est le segment $[m \;;\; M]$ , où $m$ désigne le minimum absolu et $M$ le maximum absolu atteints par $f$ sur $[a \;;\; b]$ .

Piège classique · 21

Attention : Image d'un intervalle sans monotonie

Une fonction $f$ continue sur $[-2 \;;\; 1]$ vérifie $f(-2) = 0$ et $f(1) = 3$ . Son tableau de variations montre qu'elle décroît de $0$ à $-1$ sur $[-2 \;;\; -1]$ , puis croît de $-1$ à $3$ sur $[-1 \;;\; 1]$ . Que vaut $f([-2 \;;\; 1])$ ?

Attention

Écrire directement $f([-2 \;;\; 1]) = [f(-2) \;;\; f(1)] = [0 \;;\; 3]$ en ne regardant que les images des extrémités.

À la place : La fonction n'est pas monotone : elle atteint un minimum absolu $m = -1$ en $-1$ . L'image de l'intervalle est $[m \;;\; M] = [-1 \;;\; 3]$ .

Définition · 22

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'antécédents pour toute valeur intermédiaire prise par une fonction continue.

$\text{Si } f \text{ est continue sur } [a \;;\; b], \text{ alors pour tout réel } k \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b), \text{ l'équation } f(x) = k \text{ admet au moins une solution dans } [a \;;\; b].$

Cas particulier pour la recherche d'un zéro ( $k = 0$ ) :

$\text{Si } f \text{ est continue sur } [a \;;\; b] \text{ et } f(a) \cdot f(b) \le 0, \text{ alors l'équation } f(x) = 0 \text{ admet au moins une solution dans } [a \;;\; b].$

Remarque

Ce théorème garantit l'existence d'au moins une solution, mais ne permet pas à lui seul d'en prouver l'unicité.

Exemple travaillé · 23

Méthode : Prouver l'existence d'une solution par le TVI

Démontrer que l'équation $x^3 - 4x^2 + 6 = 2$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-1 \;;\; 4]$ .

1

On pose $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$ . La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur le segment $[-1 \;;\; 4]$ .

2

On calcule l'image de la borne inférieure :

f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 6 = -1 - 4 + 6 = 1

3

On calcule l'image de la borne supérieure :

f(4) = 4^3 - 4(4)^2 + 6 = 64 - 64 + 6 = 6

4

Le réel cible $k = 2$ est compris entre les deux images obtenues :

f(-1) \le 2 \le f(4)

5

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution dans $[-1 \;;\; 4]$ .

Vérification · 24

Vérification : Conditions d'application du TVI

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^4 - x - 1$ . L'équation $g(x) = 0$ admet-elle au moins une solution dans l'intervalle $[1 \;;\; 2]$ ?

Remarque

La fonction polynôme $g$ est continue sur $[1 \;;\; 2]$ . De plus, $g(1) = 1^4 - 1 - 1 = -1 < 0$ et $g(2) = 2^4 - 2 - 1 = 13 > 0$ . On a $g(1) \cdot g(2) < 0$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[1 \;;\; 2]$ .

Point de départ · 25

Existence ou unicité ?

Si une fonction continue $f$ vérifie $f(0) = -2$ et $f(3) = 4$ , l'équation $f(x) = 0$ admet-elle nécessairement une seule solution sur $[0 \;;\; 3]$ ?

Remarque

Pas obligatoirement. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'il y a au moins une solution. Cependant, la courbe peut monter et descendre en coupant l'axe des abscisses plusieurs fois. Pour avoir la certitude que la solution est unique, il faut empêcher la fonction de changer de direction : elle doit être strictement monotone.

Définition · 26

Théorème de la bijection : unicité de la solution

Lorsque la stricte monotonie s'ajoute à la continuité, chaque valeur intermédiaire est atteinte une seule fois.

$f \text{ continue et strictement monotone sur } [a \;;\; b] \implies \forall k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b), \; \exists! c \in [a \;;\; b] \text{ tel que } f(c) = k$

Remarque

En particulier, si $f(a) \cdot f(b) < 0$ , l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle ouvert $]a \;;\; b[$ .

Piège classique · 27

Attention : Conclure à l'unicité sans stricte monotonie

Une fonction $f$ est continue sur $[1 \;;\; 5]$ avec $f(1) = -3$ et $f(5) = 2$ . Un élève écrit : « Comme $f(1) \cdot f(5) < 0$ , l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[1 \;;\; 5]$ . » Que manque-t-il à son argumentation ?

Attention

Conclure à l'unicité d'une solution dès que les images des bornes sont de signes contraires, sans vérifier le sens de variation.

À la place : Le changement de signe $f(a) \cdot f(b) < 0$ prouve seulement l'existence d'au moins une solution. Pour garantir l'unicité, il faut obligatoirement démontrer que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle.

Exemple travaillé · 28

Méthode : Prouver l'existence d'une unique solution

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - x^2 - 1$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1 \;;\; 2]$ .

1

On justifie la continuité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur le segment $[1 \;;\; 2]$ .

2

On étudie la monotonie : la fonction $f$ est dérivable sur $[1 \;;\; 2]$ et sa dérivée est :

f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)

3

Pour tout $x \in [1 \;;\; 2]$ , on a $x > 0$ et $3x - 2 \ge 1 > 0$ , donc $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[1 \;;\; 2]$ .

4

On calcule les images des bornes de l'intervalle :

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1 < 0 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^3 - 2^2 - 1 = 3 > 0

5

On constate le changement de signe :

f(1) \cdot f(2) < 0

6

La fonction $f$ étant continue et strictement croissante sur $[1 \;;\; 2]$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [1 \;;\; 2]$ .

Exemple travaillé · 29

Méthode : Encadrer une racine unique par balayage

On sait que l'équation $x^3 - x^2 - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1 \;;\; 2]$ .
Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

1

La fonction $f(x) = x^3 - x^2 - 1$ est strictement croissante sur $[1 \;;\; 2]$ . Pour localiser $\alpha$ au dixième, on calcule les images de valeurs successives espacées de $0{,}1$ jusqu'à observer un changement de signe.

2

On évalue la fonction en $x = 1{,}4$ :

f(1{,}4) = (1{,}4)^3 - (1{,}4)^2 - 1 = 2{,}744 - 1{,}96 - 1 = -0{,}216 < 0

3

On évalue la fonction au cran suivant $x = 1{,}5$ :

f(1{,}5) = (1{,}5)^3 - (1{,}5)^2 - 1 = 3{,}375 - 2{,}25 - 1 = 0{,}125 > 0

4

Comme $f$ est strictement croissante et que $f(1{,}4) < 0 < f(1{,}5)$ , le réel $\alpha$ est strictement compris entre ces deux valeurs :

1{,}4 < \alpha < 1{,}5

Vérification · 30

Vérification : Verrouiller l'unicité

Soit une fonction $g$ continue sur $[0 \;;\; 3]$ telle que $g(0) = -2$ et $g(3) = 5$ . Laquelle des propriétés suivantes garantit que l'équation $g(x) = 1$ admet une unique solution dans $[0 \;;\; 3]$ ?

Remarque

La continuité de $g$ et le fait que $1 \in [-2 \;;\; 5]$ assurent l'existence d'au moins une solution. Pour garantir que cette solution est unique, il faut que la fonction ne repasse jamais par la même valeur : elle doit être strictement monotone sur tout l'intervalle $[0 \;;\; 3]$ .

Point de départ · 31

Inverser une fonction : est-ce toujours possible ?

On considère la fonction $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ . Si $f(x) = 4$ , peut-on retrouver la valeur initiale de $x$ de façon unique ?

Remarque

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 = 4$ admet deux solutions : $x = 2$ et $x = -2$ . On ne peut donc pas remonter à l'antécédent de façon unique. En revanche, si on restreint $f$ à l'intervalle $[0 \;;\; +\infty[$ , chaque réel $y \ge 0$ possède un antécédent unique : $x = \sqrt{y}$ . C'est le principe fondamental de la fonction réciproque.

Définition · 32

Théorème de la bijection et fonction réciproque

Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ .

$\forall x \in J, \; \forall y \in I, \quad y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$

La fonction réciproque $f^{-1}$ vérifie les propriétés fondamentales suivantes :

Remarque

1. $f^{-1}$ est continue sur l'intervalle $J = f(I)$ .
2. $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$ .
3. Les courbes représentatives $C_f$ et $C_{f^{-1}}$ dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$ .

Exemple travaillé · 33

Méthode : Expliciter la réciproque d'une fonction homographique

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 \;;\; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x}{1+x}$ .
1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[0 \;;\; +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser.
2. Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ .

1

On étudie les variations de $f$ : $f$ est dérivable sur $[0 \;;\; +\infty[$ et pour tout $x \ge 0$ , $f'(x) = \frac{1(1+x) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$ . La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur $[0 \;;\; +\infty[$ .

2

On détermine l'intervalle image $J$ : $f(0) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ . Ainsi :

J = f([0 \;;\; +\infty[) = [f(0) \;;\; \lim_{x \to +\infty} f(x)[ = [0 \;;\; 1[

3

Pour tout $x \in [0 \;;\; 1[$ et tout $y \in [0 \;;\; +\infty[$ , on traduit la réciproque :

y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) \iff x = \frac{y}{1+y}

4

On isole $y$ en fonction de $x$ :

x(1+y) = y \iff x + xy = y \iff y(1-x) = x

5

Comme $x \in [0 \;;\; 1[$ , $1-x > 0$ . On peut diviser par $1-x$ :

y = \frac{x}{1-x}

6

On conclut : pour tout $x \in [0 \;;\; 1[$ , $f^{-1}(x) = \frac{x}{1-x}$ .

Piège classique · 34

Attention : Choix de la branche lors de l'extraction d'une racine

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty \;;\; 2]$ par $f(x) = (x-2)^2 - 1$ . Elle réalise une bijection de $]-\infty \;;\; 2]$ sur $[-1 \;;\; +\infty[$ .
Pour tout $x \in [-1 \;;\; +\infty[$ , quelle est l'expression correcte de $f^{-1}(x)$ ?

Attention

Choisir $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x+1}$ en appliquant machinalement un signe positif devant le radical.

À la place : Pour tout $x \in [-1 \;;\; +\infty[$ , la valeur $y = f^{-1}(x)$ appartient à l'ensemble de départ $]-\infty \;;\; 2]$ . On a donc $y \le 2$ , c'est-à-dire $y - 2 \le 0$ . L'égalité $(y-2)^2 = x+1$ impose alors $y - 2 = -\sqrt{x+1}$ , soit $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x+1}$ .

Exemple travaillé · 35

Méthode : Inversion d'un trinôme et calcul d'images réciproques

Soit la fonction $f$ définie sur $[2 \;;\; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .
1. Vérifier que $f(x) = (x-2)^2 - 1$ et déterminer l'intervalle $J = f([2 \;;\; +\infty[)$ .
2. Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ .
3. Calculer $f^{-1}(0)$ et $f^{-1}(3)$ .

1

Pour tout $x \ge 2$ , on a $(x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3 = f(x)$ . La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[2 \;;\; +\infty[$ . Comme $f(2) = -1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , on a :

J = [-1 \;;\; +\infty[

2

Pour $x \in [-1 \;;\; +\infty[$ et $y \in [2 \;;\; +\infty[$ , on résout $x = f(y)$ :

(y-2)^2 - 1 = x \iff (y-2)^2 = x + 1

3

Comme $y \in [2 \;;\; +\infty[$ , on a $y - 2 \ge 0$ . On extrait la racine avec le signe positif :

y - 2 = \sqrt{x+1} \iff y = 2 + \sqrt{x+1}

4

Ainsi, pour tout $x \in [-1 \;;\; +\infty[$ , $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x+1}$ .

5

On évalue les images demandées :

f^{-1}(0) = 2 + \sqrt{0+1} = 3 \quad \text{et} \quad f^{-1}(3) = 2 + \sqrt{3+1} = 2 + 2 = 4

Vérification · 36

Vérification : Points et symétrie de la courbe réciproque

Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$ . Si la courbe $C_f$ passe par le point $A(1 \;;\; 4)$ , que peut-on affirmer sur la courbe $C_{f^{-1}}$ ?

Remarque

Dire que $C_f$ passe par $A(1 \;;\; 4)$ signifie que $f(1) = 4$ . Par définition de la fonction réciproque, cela équivaut à $f^{-1}(4) = 1$ . La courbe $C_{f^{-1}}$ passe donc nécessairement par le point $A'(4 \;;\; 1)$ , qui est le symétrique orthogonal de $A$ par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$ .

Point de départ · 37

Au-delà de la racine carrée

Pour trouver le réel positif $x$ vérifiant $x^2 = 9$ , on applique la racine carrée : $x = \sqrt{9} = 3$ . Quel réel positif $x$ vérifie l'égalité $x^3 = 8$ ?

Remarque

Comme $2^3 = 8$ , l'unique solution positive est $x = 2$ . Pour noter l'opération réciproque de la puissance troisième, quatrième ou plus généralement $n$ -ième, on utilise le symbole de la racine $n$ -ième : $\sqrt[n]{\phantom{x}}$ .

Définition · 38

Définition de la racine $n$ -ième

Pour tout entier $n \ge 2$ , la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0 \;;\; +\infty[$ . Elle réalise une bijection de $[0 \;;\; +\infty[$ sur $[0 \;;\; +\infty[$ .

$\text{Sa bijection réciproque est appelée fonction racine } n\text{-ième, notée } \sqrt[n]{\phantom{x}}.$

$\forall x \in [0 \;;\; +\infty[, \; \forall y \in [0 \;;\; +\infty[, \quad y = \sqrt[n]{x} \iff y^n = x$

Remarque

Conséquences directes : pour tout réel $x \ge 0$ , $(\sqrt[n]{x})^n = x$ et $\sqrt[n]{x^n} = x$ . Pour $n = 2$ , la racine deuxième est la racine carrée usuelle : $\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$ .

Exemple travaillé · 39

Méthode : Simplifier une racine $n$ -ième d'une puissance exacte

Déterminer la valeur exacte de chacun des réels suivants :
$A = \sqrt[3]{27} \quad ; \quad B = \sqrt[4]{16} \quad ; \quad C = \sqrt[5]{32}$

1

Pour chaque expression, on décompose l'entier sous le radical en facteurs premiers pour faire apparaître une puissance $n$ -ième.

2

Pour $A$ : on sait que $27 = 3^3$ . Par la propriété $\sqrt[n]{x^n} = x$ sur $\mathbb{R}_+$ :

A = \sqrt[3]{3^3} = 3

3

Pour $B$ : on sait que $16 = 2^4$ . Par conséquent :

B = \sqrt[4]{2^4} = 2

4

Pour $C$ : on sait que $32 = 2^5$ . Par conséquent :

C = \sqrt[5]{2^5} = 2

Exemple travaillé · 40

Méthode : Règles opératoires sur les racines $n$ -ièmes

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Écrire sous la forme d'une seule racine les expressions suivantes :
$D = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \quad ; \quad E = \sqrt[3]{\sqrt{a}} \quad ; \quad F = \sqrt[6]{a^2}$

1

Pour le produit de deux racines de même indice, on applique la règle $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ :

D = \sqrt[3]{ab}

2

Pour des racines imbriquées, on applique la règle $\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[np]{a}$ . La racine carrée ayant pour indice $2$ , on multiplie les indices :

E = \sqrt[3]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[3 \times 2]{a} = \sqrt[6]{a}

3

Pour simplifier l'indice et l'exposant, on applique la propriété $\sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}$ en simplifiant par $2$ :

F = \sqrt[3 \times 2]{a^{1 \times 2}} = \sqrt[3]{a}

Piège classique · 41

Attention : Manipulation des indices lors d'un produit

Que vaut le produit $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ ?

Attention

Additionner ou multiplier les indices en écrivant $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{8}$ ou $\sqrt[9]{8}$ .

À la place : Lorsqu'on multiplie deux racines de même indice, l'indice reste inchangé : $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ . On a donc $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \times 4} = \sqrt[3]{8} = 2$ .

Vérification · 42

Vérification : Racines imbriquées et calcul de valeur

Quelle est la valeur simplifiée du réel $X = \sqrt[3]{\sqrt{64}}$ ?

Remarque

On combine les deux radicaux en multipliant leurs indices : $\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3 \times 2]{64} = \sqrt[6]{64}$ . Comme $64 = 2^6$ , on obtient $\sqrt[6]{2^6} = 2$ .

Continuité — cours

Le cours

Rappel : Continuité en un point

Continuité sur un intervalle et raccordement

Raccordement de deux expressions avec un paramètre

Attention : Fonction déjà continue ou prolongeable ?

Prolongement par continuité d'une fonction irrationnelle

Vérification : Continuité latérale et raccordement

Pourquoi une condition d'inclusion ?

Théorème : Continuité d'une fonction composée

Méthode : Justifier la continuité d'une composée avec radical

Méthode : Continuité d'une composée trigonométrique et rationnelle

Attention : L'inclusion de l'intervalle image est indispensable

Vérification : Domaine de continuité d'une fonction irrationnelle

Extraction d'un carré et signe de la variable

Comportement asymptotique avec radicaux : factorisation ou conjugué

Méthode : Factorisation par le terme dominant en −∞-\infty−∞

Méthode : Levée d'indétermination par l'expression conjuguée

Attention : Sortie d'un carré sous radical en −∞-\infty−∞

Vérification : Déterminer la méthode et la limite en −∞-\infty−∞

Image d'un intervalle : les bornes suffisent-elles ?

Image d'un intervalle par une fonction continue

Attention : Image d'un intervalle sans monotonie

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Méthode : Prouver l'existence d'une solution par le TVI

Vérification : Conditions d'application du TVI

Existence ou unicité ?

Théorème de la bijection : unicité de la solution

Attention : Conclure à l'unicité sans stricte monotonie

Méthode : Prouver l'existence d'une unique solution

Méthode : Encadrer une racine unique par balayage

Vérification : Verrouiller l'unicité

Inverser une fonction : est-ce toujours possible ?

Théorème de la bijection et fonction réciproque

Méthode : Expliciter la réciproque d'une fonction homographique

Attention : Choix de la branche lors de l'extraction d'une racine

Méthode : Inversion d'un trinôme et calcul d'images réciproques

Vérification : Points et symétrie de la courbe réciproque

Au-delà de la racine carrée

Définition de la racine nnn-ième

Méthode : Simplifier une racine nnn-ième d'une puissance exacte

Méthode : Règles opératoires sur les racines nnn-ièmes

Attention : Manipulation des indices lors d'un produit

Vérification : Racines imbriquées et calcul de valeur

Chapitres liés

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Attention : Sortie d'un carré sous radical en $-\infty$

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