Rappel · 1

Complète l'expression du nombre dérivé : si une fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$ , la limite du quotient différentiel est donnée par :

Remarque

Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est par définition la limite finie du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ .

Point de départ · 2

On cherche à évaluer $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ . Le remplacement direct donne la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Que remarque-t-on si l'on pose $f(x) = \sqrt{x+1}$ ?

Comme $f(0) = \sqrt{0+1} = 1$ , le numérateur s'écrit exactement $f(x) - f(0)$ .

Le quotient $\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ est donc le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ . La limite indéterminée devient simplement la valeur de $f'(0)$ .

Définition · 3

Calcul de limites indéterminées par le nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ , et dérivable en $a$ .

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$

Si le dénominateur présente un facteur constant non nul $k$ , on l'extrait du quotient :

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{k(x - a)} = \frac{1}{k} f'(a)$

Exemple travaillé · 4

Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x^2 - 2x} - 1}{x - 1}$ en utilisant la dérivabilité en un point.

1

On pose $f(x) = \sqrt{3x^2 - 2x}$ . On calcule $f(1) = \sqrt{3(1)^2 - 2(1)} = 1$ .

2

L'expression sous la racine est dérivable et strictement positive au voisinage de $1$ , donc $f$ est dérivable en $1$ .

3

f'(x) = \frac{6x - 2}{2\sqrt{3x^2 - 2x}} = \frac{3x - 1}{\sqrt{3x^2 - 2x}}

4

On évalue la dérivée en $x = 1$ :

5

f'(1) = \frac{3(1) - 1}{\sqrt{3(1)^2 - 2(1)}} = \frac{2}{1} = 2

6

L'expression initiale étant le taux d'accroissement de $f$ en $1$ , la limite vaut $f'(1) = 2$ .

Exemple travaillé · 5

Calculer $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x - 1}{\pi - 4x}$ à l'aide d'un nombre dérivé.

1

On factorise le dénominateur par $-4$ afin de faire apparaître le terme $(x - \frac{\pi}{4})$ :

2

\frac{\tan x - 1}{\pi - 4x} = -\frac{1}{4} \times \frac{\tan x - 1}{x - \frac{\pi}{4}}

3

On pose $g(x) = \tan x$ . La fonction $g$ est dérivable en $\frac{\pi}{4}$ et $g(\frac{\pi}{4}) = 1$ .

4

g'(x) = 1 + \tan^2 x \implies g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 1^2 = 2

5

On conclut par multiplication scalaire :

6

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x - 1}{\pi - 4x} = -\frac{1}{4} \times g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4} \times 2 = -\frac{1}{2}

Piège classique · 6

Pour calculer $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos x - 1}{3x - \pi}$ , quelle constante multiplicative doit-on extraire devant le taux $\frac{\cos x - \cos(\frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{3}}$ ?

Attention

Prendre $2$ ou $-1$ en factorisant uniquement le numérateur, sans extraire le coefficient $3$ du dénominateur.

À la place : Le numérateur s'écrit $2(\cos x - \frac{1}{2})$ et le dénominateur $3(x - \frac{\pi}{3})$ . La constante multiplicative globale est $\frac{2}{3}$ .

Vérification · 7

En utilisant la dérivabilité en $0$ de la fonction $x \mapsto \sqrt{x+1}$ , quelle est la valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ ?

Remarque

En posant $f(x) = \sqrt{x+1}$ , on a $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ . La limite est le nombre dérivé $f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$ .

Point de départ · 8

Si une fonction $f$ transforme $x$ en $y$ , sa bijection réciproque $f^{-1}$ fait le chemin inverse : elle transforme $y$ en $x$ . Que devient la pente de la tangente lorsqu'on échange les rôles des axes ?

Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

Si une tangente à $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $m$ (avec $m \neq 0$ ), la tangente symétrique à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ a pour coefficient directeur son inverse : $\frac{1}{m}$ .

Définition · 9

Dérivée d'une bijection réciproque

Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$ , et soit $x_0 \in I$ .

f \text{ est dérivable en } x_0 \quad \text{et} \quad f'(x_0) \neq 0

Alors la bijection réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ , et son nombre dérivé est donné par :

$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{où} \quad x_0 = f^{-1}(y_0)$

Remarque

Si $f'(x_0) = 0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale en $x_0$ . Par symétrie, $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admet une tangente verticale en $y_0$ , et $f^{-1}$ n'y est pas dérivable.

Exemple travaillé · 10

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x + 1$ . Déterminer le nombre dérivé $(f^{-1})'(3)$ .

1

On cherche l'antécédent $x_0$ de $3$ par $f$ , c'est-à-dire le réel $x_0$ vérifiant $f(x_0) = 3$ :

2

x_0^3 + x_0 + 1 = 3 \iff x_0 = 1 \quad (\text{car } 1^3 + 1 + 1 = 3)

3

On calcule la fonction dérivée de $f$ :

4

f'(x) = 3x^2 + 1

5

On évalue $f'$ en l'antécédent $x_0 = 1$ :

6

f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 4 \neq 0

7

On applique la formule de la dérivée de la fonction réciproque :

8

(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}

Exemple travaillé · 11

Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par $g(x) = \sin x$ . Calculer $(g^{-1})'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

1

On détermine l'antécédent $x_0 \in [0 ; \frac{\pi}{2}]$ tel que $g(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

2

\sin(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x_0 = \frac{\pi}{4}

3

On calcule la dérivée de $g$ :

4

g'(x) = \cos x

5

On évalue la dérivée en $x_0 = \frac{\pi}{4}$ :

6

g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0

7

On en déduit la valeur du nombre dérivé de la réciproque :

8

(g^{-1})'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{g'(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Piège classique · 12

Soit $f(x) = x^3 + x + 1$ . Sachant que $f(1) = 3$ , quelle formule donne la valeur de $(f^{-1})'(3)$ ?

Attention

Calculer $\frac{1}{f'(3)}$ en remplaçant directement $x$ par la valeur $3$ .

À la place : Le nombre $3$ est une image, pas un antécédent. La formule impose d'évaluer la dérivée en l'antécédent $1$ : $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)}$ .

Vérification · 13

Soit $f(x) = x^3 + x + 1$ . On donne $f(-2) = -9$ . Quelle est la valeur de $(f^{-1})'(-9)$ ?

Remarque

L'antécédent de $-9$ est $-2$ . Comme $f'(x) = 3x^2 + 1$ , on calcule $f'(-2) = 3(-2)^2 + 1 = 13$ . D'où $(f^{-1})'(-9) = \frac{1}{f'(-2)} = \frac{1}{13}$ .

Point de départ · 14

Peut-on dériver la fonction $f: x \mapsto \sqrt{x}$ en $0$ à l'aide de la formule usuelle $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ?

En remplaçant $x$ par $0$ , le dénominateur $2\sqrt{0}$ s'annule : la formule usuelle est inutilisable en ce point.

Pour déterminer si la courbe possède une direction tangente en $0$ , il faut revenir à la définition première : la limite du taux d'accroissement.

Définition · 15

Taux d'accroissement infini et demi-tangente verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[x_0 ; x_0 + h[$ et continue à droite en $x_0$ .

$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = +\infty \quad (\text{ou } -\infty)$

La limite étant infinie, $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_0$ .

Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $M_0(x_0, f(x_0))$ une demi-tangente verticale portée par la droite d'équation $x = x_0$ .

Remarque

La demi-tangente est dirigée vers le haut si la limite est $+\infty$ , et vers le bas si la limite est $-\infty$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $f(x) = \sqrt{x - 1}$ définie sur $[1 ; +\infty[$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On forme le quotient différentiel à droite en $x_0 = 1$ , avec $f(1) = 0$ :

2

\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}

3

Pour tout $x > 1$ , on simplifie l'expression en remarquant que $x - 1 = (\sqrt{x - 1})^2$ :

4

\frac{\sqrt{x - 1}}{(\sqrt{x - 1})^2} = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}

5

On calcule la limite quand $x$ tend vers $1^+$ :

6

\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x - 1}} = +\infty

7

La limite est infinie : $f$ n'est pas dérivable à droite en $1$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(1 ; 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut, d'équation $x = 1$ .

Exemple travaillé · 17

Soit $g(x) = 2 - \sqrt{x}$ définie sur $[0 ; +\infty[$ . Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ et préciser l'orientation de sa demi-tangente.

1

On calcule $g(0) = 2$ , puis on forme le taux d'accroissement pour $x > 0$ :

2

\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \frac{2 - \sqrt{x} - 2}{x} = -\frac{\sqrt{x}}{x} = -\frac{1}{\sqrt{x}}

3

On évalue la limite quand $x$ tend vers $0^+$ :

4

\lim_{x \to 0^+} \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = -\infty

5

La fonction $g$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ admet au point $(0 ; 2)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

Piège classique · 18

Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = +\infty$ . Que peut-on affirmer au sujet de la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$ ?

Attention

Penser que l'absence de dérivabilité (limite infinie) implique l'absence totale de tangente.

À la place : La fonction n'est pas dérivable, mais la courbe admet bien une demi-tangente : elle est verticale, portée par la droite $x = 2$ .

Vérification · 19

Soit $h(x) = \sqrt{3x}$ pour $x \ge 0$ . Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 0^+} \frac{h(x) - h(0)}{x}$ ?

Remarque

Pour tout $x > 0$ , $\frac{\sqrt{3x}}{x} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ . Quand $x$ tend vers $0^+$ , le quotient tend vers $+\infty$ . La courbe possède une demi-tangente verticale en $0$ .

Point de départ · 20

Si un automobiliste parcourt $120\text{ km}$ en $1\text{ h}$ , sa vitesse moyenne est de $120\text{ km/h}$ . Le compteur a-t-il obligatoirement indiqué exactement $120\text{ km/h}$ à au moins un instant ?

Oui, nécessairement. La vitesse moyenne correspond géométriquement à la pente de la sécante entre le point de départ et le point d'arrivée.

La vitesse instantanée correspond au nombre dérivé. Le théorème des accroissements finis garantit qu'il existe un instant où la pente de la tangente est égale à la pente de cette sécante.

Définition · 21

Théorème et inégalité des accroissements finis

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $[a ; b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $]a ; b[$ (avec $a < b$ ).

$\text{Il existe au moins un réel } c \in ]a ; b[ \text{ tel que : } f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$

Si de plus la dérivée est encadrée par deux réels $m$ et $M$ , c'est-à-dire $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in ]a ; b[$ , alors :

$m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$

Remarque

Géométriquement, il existe au moins un point de la courbe d'abscisse $c$ où la tangente est parallèle à la sécante passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ .

Exemple travaillé · 22

Soit $f(x) = x^2 + 2x$ définie sur $[0 ; 2]$ . Déterminer le réel $c \in ]0 ; 2[$ tel que $f(2) - f(0) = (2 - 0)f'(c)$ .

1

On évalue la fonction aux bornes de l'intervalle :

2

f(0) = 0 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^2 + 2(2) = 8

3

On calcule le taux moyen d'accroissement sur $[0 ; 2]$ :

4

\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8 - 0}{2} = 4

5

On calcule la fonction dérivée de $f$ :

6

f'(x) = 2x + 2

7

On résout l'équation $f'(c) = 4$ :

8

2c + 2 = 4 \iff 2c = 2 \iff c = 1

9

On vérifie que $c = 1$ appartient bien à l'intervalle ouvert $]0 ; 2[$ . Au point d'abscisse $1$ , la tangente est parallèle à la droite sécante reliant les extrémités.

Exemple travaillé · 23

En utilisant l'inégalité des accroissements finis sur $[0 ; x]$ avec $x \in ]0 ; \frac{\pi}{4}]$ , montrer que $x \leq \tan x \leq 2x$ .

1

Soit $f(t) = \tan t$ . La fonction $f$ est continue sur $[0 ; x]$ et dérivable sur $]0 ; x[$ , avec :

2

f'(t) = 1 + \tan^2 t

3

Pour tout $t \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ , on a $0 \leq \tan t \leq 1$ , d'où $0 \leq \tan^2 t \leq 1$ .

4

On encadre la dérivée sur l'intervalle :

5

1 \leq 1 + \tan^2 t \leq 2 \implies 1 \leq f'(t) \leq 2

6

On applique l'inégalité des accroissements finis à $f$ sur $[0 ; x]$ avec $m = 1$ et $M = 2$ :

7

1 \times (x - 0) \leq \tan x - \tan 0 \leq 2 \times (x - 0)

8

Comme $\tan 0 = 0$ , on conclut directement que $x \leq \tan x \leq 2x$ .

Piège classique · 24

Soit $g(x) = \sqrt{x}$ sur $[1 ; 4]$ , de dérivée $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Quelles sont les bornes $m$ et $M$ vérifiant $m \leq g'(x) \leq M$ pour tout $x \in [1 ; 4]$ ?

Attention

Poser $m = g'(1) = \frac{1}{2}$ et $M = g'(4) = \frac{1}{4}$ en substituant les bornes dans l'ordre d'écriture sans étudier la monotonie.

À la place : La fonction dérivée $g'$ est strictement décroissante sur $[1 ; 4]$ . La borne minimale $m$ est atteinte en $4$ ( $m = \frac{1}{4}$ ) et la borne maximale $M$ en $1$ ( $M = \frac{1}{2}$ ).

Vérification · 25

On applique l'inégalité des accroissements finis à $g(x) = \sqrt{x}$ sur $[100 ; 101]$ . Sachant que pour tout $x \in [100 ; 101]$ , $g'(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{100}} = 0{,}05$ , quelle majoration de $\sqrt{101}$ en déduit-on ?

Remarque

La longueur de l'intervalle est $101 - 100 = 1$ . L'inégalité des accroissements finis donne $\sqrt{101} - \sqrt{100} \leq 0{,}05 \times 1$ . Comme $\sqrt{100} = 10$ , on obtient $\sqrt{101} \leq 10{,}05$ .

Point de départ · 26

Une tangente à une courbe reste-t-elle toujours située d'un seul côté de celle-ci (entièrement au-dessus ou entièrement en dessous) ?

Pour une parabole d'équation $y = x^2$ , la tangente en tout point reste strictement sous la courbe.

En revanche, pour la courbe d'équation $y = x^3$ , la tangente en l'origine est l'axe des abscisses ( $y = 0$ ). Pour $x < 0$ , la courbe est en dessous de sa tangente ; pour $x > 0$ , elle passe au-dessus. La tangente traverse la courbe : ce point particulier est appelé point d'inflexion.

Définition · 27

Dérivée seconde et point d'inflexion

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ , de dérivée seconde notée $f'' = (f')'$ , et soit $x_0 \in I$ .

$\text{Le point } M_0(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion de } \mathcal{C}_f \iff f''(x_0) = 0 \text{ et } f'' \text{ change de signe en } x_0$

Remarque

Géométriquement, en un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 28

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ . Déterminer le point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ et donner l'équation de la tangente en ce point.

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule la dérivée première $f'$ puis la dérivée seconde $f''$ :

3

f'(x) = 3x^2 - 6x \implies f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

4

On étudie l'annulation et le signe de $f''(x)$ : $f''(x) = 0 \iff x = 1$ .

5

Pour $x \in ]-\infty ; 1[$ , $f''(x) < 0$ et pour $x \in ]1 ; +\infty[$ , $f''(x) > 0$ .

6

La dérivée seconde s'annule en $1$ en changeant de signe : le point $I(1 ; f(1))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ .

7

On calcule son ordonnée : $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5 = 3$ . Le point d'inflexion est $I(1 ; 3)$ .

8

On calcule la pente de la tangente en $1$ : $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3$ . L'équation de la tangente est $y = -3(x - 1) + 3$ , soit :

9

y = -3x + 6

Exemple travaillé · 29

Pour la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ et sa tangente $T : y = -3x + 6$ au point $I(1 ; 3)$ , étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

1

On étudie le signe de la différence $f(x) - (-3x + 6)$ :

2

f(x) - (-3x + 6) = x^3 - 3x^2 + 5 + 3x - 6 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1

3

On factorise l'expression sous la forme d'un cube :

4

f(x) - y_T = (x - 1)^3

5

Pour tout $x < 1$ , $(x - 1)^3 < 0$ , donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de $T$ .

6

Pour tout $x > 1$ , $(x - 1)^3 > 0$ , donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de $T$ .

7

La différence change de signe en $1$ : la tangente traverse bien la courbe au point d'abscisse $1$ .

Piège classique · 30

Soit la fonction $g(x) = (x + 1)^4$ . Sa dérivée seconde est $g''(x) = 12(x + 1)^2$ . Elle s'annule en $x = -1$ . Le point d'abscisse $-1$ est-il un point d'inflexion pour $\mathcal{C}_g$ ?

Attention

Conclure qu'un point est un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule, sans vérifier son changement de signe.

À la place : Pour tout $x \neq -1$ , $12(x + 1)^2 > 0$ : la dérivée seconde s'annule en $-1$ mais reste positive de part et d'autre. Elle ne change pas de signe, donc la courbe ne traverse pas sa tangente : il n'y a pas de point d'inflexion.

Vérification · 31

Soit la fonction $h(x) = x^4 - 6x^2 + 1$ définie sur $\mathbb{R}$ . Combien de points d'inflexion la courbe $\mathcal{C}_h$ possède-t-elle ?

Remarque

On calcule $h'(x) = 4x^3 - 12x$ puis $h''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)$ . La dérivée seconde s'annule en $-1$ et en $1$ . Ce trinôme du second degré change de signe à chaque racine simple (positif à l'extérieur, négatif à l'intérieur). Il y a donc exactement 2 points d'inflexion.

Point de départ · 32

Comment estimer rapidement la valeur de $\sqrt{1{,}0004}$ sans utiliser de calculatrice ?

Au voisinage de $0$ , la courbe de la fonction $f(x) = \sqrt{1+x}$ est quasiment confondue avec sa tangente au point d'abscisse $0$ .

L'équation de cette tangente est $y = 1 + \frac{1}{2}x$ . Pour $x = 0{,}0004$ , l'approximation affine donne simplement $1 + \frac{0{,}0004}{2} = 1{,}0002$ .

Définition · 33

Approximation affine locale

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$ .

Pour tout réel $h$ proche de $0$ , une valeur approchée de $f(a+h)$ est donnée par l'ordonnée sur la tangente en $a$ :

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$

La fonction affine $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ est l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ .

Remarque

Au voisinage de $0$ , pour tout entier $n \ge 1$ , on a l'approximation usuelle $(1+h)^n \approx 1 + nh$ .

Exemple travaillé · 34

Soit $f(x) = \sqrt{3x + 4}$ . Déterminer l'approximation affine de $f$ au voisinage de $0$ , puis en déduire une valeur approchée de $\sqrt{4{,}000048}$ .

1

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\frac{4}{3} ; +\infty[$ , donc en particulier en $0$ .

2

On évalue $f(0)$ et la dérivée $f'(x)$ :

3

f(0) = \sqrt{4} = 2 \quad \text{et} \quad f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}}

4

On évalue la dérivée en $0$ :

5

f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4}

6

Pour $h$ voisin de $0$ , l'approximation affine s'écrit :

7

f(h) \approx f(0) + f'(0)h = 2 + \frac{3}{4}h

8

Pour calculer $\sqrt{4{,}000048}$ , on identifie le terme sous la racine à $3h + 4$ :

9

3h + 4 = 4{,}000048 \iff 3h = 0{,}000048 \iff h = 0{,}000016

10

Comme $h$ est très proche de $0$ , on applique l'approximation trouvée :

11

\sqrt{4{,}000048} = f(0{,}000016) \approx 2 + \frac{3}{4}(0{,}000016) = 2{,}000012

Exemple travaillé · 35

Déterminer une approximation affine de $\sin\left(\frac{\pi}{6} + h\right)$ pour $h$ proche de $0$ , puis en déduire une valeur approchée de $\sin(31^\circ)$ .

1

Soit $g(x) = \sin x$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $g'(x) = \cos x$ .

2

On évalue la fonction et sa dérivée en $a = \frac{\pi}{6}$ :

3

g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad g'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

4

L'approximation affine locale s'écrit :

5

\sin\left(\frac{\pi}{6} + h\right) \approx \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}h

6

On décompose l'angle de $31^\circ$ en radians à partir de la valeur remarquable $30^\circ = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$ :

7

31^\circ = 30^\circ + 1^\circ = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{180}\text{ rad}

8

L'accroissement est $h = \frac{\pi}{180}$ . On applique l'approximation affine :

9

\sin(31^\circ) \approx \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\pi}{180}\right) \approx 0{,}5 + 0{,}866 \times 0{,}01745 \approx 0{,}5151

Piège classique · 36

Pour estimer $\sqrt{1{,}00024}$ à l'aide de l'approximation affine de $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ au voisinage de $0$ , quelle valeur de $h$ doit-on choisir ?

Attention

Prendre directement $h = 0{,}00024$ ou $h = 1{,}00024$ sans résoudre l'équation d'identification.

À la place : L'expression sous le radical est $2h + 1$ . Il faut résoudre $2h + 1 = 1{,}00024$ , ce qui donne $2h = 0{,}00024$ d'où $h = 0{,}00012$ .

Vérification · 37

En utilisant l'approximation affine canonique $(1+h)^7 \approx 1 + 7h$ au voisinage de $0$ , quelle est la valeur approchée de $(1{,}0003)^7$ ?

Remarque

On identifie $1+h = 1{,}0003$ , ce qui donne $h = 0{,}0003$ . L'approximation donne $1 + 7 \times 0{,}0003 = 1 + 0{,}0021 = 1{,}0021$ .

Point de départ · 38

Si une fonction $F$ vérifie $F'(x) = 2x$ , on pense immédiatement à $F(x) = x^2$ . Mais est-ce la seule fonction dont la dérivée est $2x$ ?

Si l'on dérive $x^2 + 1$ , $x^2 - 5$ ou $x^2 + 100$ , la dérivée d'une constante étant nulle, on retrouve toujours $(x^2 + c)' = 2x$ .

L'opération inverse de la dérivation ne donne donc pas une fonction unique, mais toute une famille de fonctions décalées d'une constante.

Définition · 39

Définition et ensemble des primitives

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

$\text{On appelle primitive de } f \text{ sur } I \text{ toute fonction } F \text{ dérivable sur } I \text{ telle que } F'(x) = f(x) \text{ pour tout } x \in I$

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par :

$G(x) = F(x) + c \quad (c \in \mathbb{R})$

Pour tout $x_0 \in I$ et tout $y_0 \in \mathbb{R}$ , il existe une unique primitive vérifiant la condition initiale $F(x_0) = y_0$ .

Exemple travaillé · 40

Déterminer l'unique primitive $F$ de la fonction $f(x) = 1 - 2x^3$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant la condition initiale $F(1) = 0$ .

1

La fonction $f$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ ; elle admet des primitives.

2

On détermine la forme générale des primitives à l'aide des puissances usuelles :

3

F(x) = x - 2\left(\frac{x^4}{4}\right) + c = x - \frac{1}{2}x^4 + c \quad (c \in \mathbb{R})

4

On traduit la condition initiale $F(1) = 0$ pour déterminer la constante $c$ :

5

1 - \frac{1}{2}(1)^4 + c = 0 \iff 1 - \frac{1}{2} + c = 0 \iff \frac{1}{2} + c = 0

6

On en déduit la valeur de la constante :

7

c = -\frac{1}{2}

8

L'unique primitive cherchée est donc :

9

F(x) = x - \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}

Exemple travaillé · 41

Déterminer l'unique primitive $G$ de la fonction $g(x) = -2\sin(2x)$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant la condition $G\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ .

1

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Elle est de la forme $-a\sin(ax+b)$ avec $a=2$ .

2

Sachant que $(\cos(2x))' = -2\sin(2x)$ , la forme générale des primitives est :

3

G(x) = \cos(2x) + c \quad (c \in \mathbb{R})

4

On applique la condition initiale $G\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ :

5

\cos\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) + c = 1 \iff \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + c = 1

6

Comme $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ , on obtient directement :

7

0 + c = 1 \iff c = 1

8

L'unique primitive est donc :

9

G(x) = \cos(2x) + 1

Piège classique · 42

On cherche la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant $F(2) = 11$ . Quelle équation permet de trouver la constante d'intégration ?

Attention

Calculer $2^3 = 8$ et affirmer que la condition $F(2) = 11$ est impossible car $8 \neq 11$ .

À la place : Une primitive n'est jamais unique sans sa constante. La primitive générale est $F(x) = x^3 + c$ . On résout $2^3 + c = 11$ , ce qui donne $8 + c = 11 \implies c = 3$ .

Vérification · 43

Soit $f(x) = 2x - 1$ . Quelle est l'unique primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(2) = 5$ ?

Remarque

Les primitives sont de la forme $F(x) = x^2 - x + c$ . En $x = 2$ : $F(2) = 2^2 - 2 + c = 2 + c$ . La condition $F(2) = 5$ donne $2 + c = 5 \iff c = 3$ . Ainsi, $F(x) = x^2 - x + 3$ .

Point de départ · 44

Comment déterminer une primitive de la fonction $f(x) = 2x(x^2 + 1)^3$ sans développer l'expression ?

On remarque que la dérivée de $x^2 + 1$ est exactement $2x$ .

L'expression s'écrit donc sous la forme $u'(x) \cdot (u(x))^3$ . En inversant la règle de dérivation d'une puissance, une primitive est immédiatement donnée par $\frac{1}{4}(x^2 + 1)^4$ .

Définition · 45

Primitives de formes composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$u' u^n \implies \frac{1}{n+1} u^{n+1} + c \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

$\frac{u'}{u^2} \implies -\frac{1}{u} + c \quad (u(x) \neq 0 \text{ sur } I)$

$\frac{u'}{\sqrt{u}} \implies 2\sqrt{u} + c \quad (u(x) > 0 \text{ sur } I)$

$u'\cos(u) \implies \sin(u) + c \quad \text{et} \quad u'\sin(u) \implies -\cos(u) + c$

Remarque

Si le facteur présent devant la parenthèse est proportionnel à $u'(x)$ , on ajuste le coefficient constant multiplicatif avant d'appliquer la formule.

Exemple travaillé · 46

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = x(x^2 + 1)^3$ .

1

On pose $u(x) = x^2 + 1$ . Sa fonction dérivée est $u'(x) = 2x$ .

2

Le facteur $x$ ne vaut pas directement $u'(x)$ . On multiplie et on divise par $2$ pour faire apparaître la dérivée exacte :

3

f(x) = \frac{1}{2} \times \left(2x(x^2 + 1)^3\right) = \frac{1}{2} u'(x)(u(x))^3

4

Une primitive de $u'u^3$ est $\frac{1}{4}u^4$ . On en déduit l'expression de la primitive $F$ :

5

F(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}(x^2 + 1)^4\right) = \frac{1}{8}(x^2 + 1)^4

Exemple travaillé · 47

Déterminer une primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $g(x) = \frac{x + 2}{(x^2 + 4x)^2}$ .

1

On pose $u(x) = x^2 + 4x$ . Sa dérivée est $u'(x) = 2x + 4 = 2(x + 2)$ .

2

Le numérateur vaut $x + 2 = \frac{1}{2}u'(x)$ . On réécrit le quotient sous la forme usuelle :

3

g(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x + 4}{(x^2 + 4x)^2} = \frac{1}{2} \times \frac{u'(x)}{(u(x))^2}

4

Une primitive de $\frac{u'}{u^2}$ étant $-\frac{1}{u}$ , on intègre terme à terme :

5

G(x) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{x^2 + 4x}\right) = -\frac{1}{2(x^2 + 4x)}

Piège classique · 48

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ de $h(x) = (3x - 1)^4$ . Quelle est la forme exacte ?

Attention

Oublier de diviser par la dérivée interne $a = 3$ et écrire directement $\frac{1}{5}(3x - 1)^5$ .

À la place : Pour $u(x) = 3x - 1$ , on a $u'(x) = 3$ . Il faut faire apparaître ce facteur : $h(x) = \frac{1}{3} \times 3(3x - 1)^4 = \frac{1}{3} u'(x) (u(x))^4$ . La primitive est donc $\frac{1}{3} \times \frac{1}{5}(3x - 1)^5 = \frac{1}{15}(3x - 1)^5$ .

Vérification · 49

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $k(x) = x\cos(x^2)$ .

Remarque

On pose $u(x) = x^2$ , d'où $u'(x) = 2x$ . On ajuste le facteur : $k(x) = \frac{1}{2}(2x\cos(x^2)) = \frac{1}{2}u'(x)\cos(u(x))$ . Comme une primitive de $u'\cos(u)$ est $\sin(u)$ , on obtient $K(x) = \frac{1}{2}\sin(x^2)$ .

Point de départ · 50

Peut-on primitiver directement la fraction rationnelle $f(x) = \frac{4x - 1}{(2x + 1)^3}$ à l'aide de la formule usuelle $\frac{u'}{u^3}$ ?

La dérivée de $u(x) = 2x + 1$ est la constante $2$ . Le numérateur contient un terme en $x$ ( $4x - 1$ ) : il n'est pas proportionnel à $u'(x)$ .

La formule immédiate ne s'applique pas directement. Pour pouvoir intégrer, il faut d'abord décomposer la fraction en une somme d'éléments simples de la forme $\frac{a}{(2x+1)^2} + \frac{b}{(2x+1)^3}$ .

Définition · 51

Primitives de fractions rationnelles par décomposition

Lorsque le numérateur d'une fraction rationnelle n'est pas proportionnel à la dérivée du dénominateur, on écrit l'expression sous forme décomposée en éléments simples :

$f(x) = ax + b + \frac{c}{(dx + e)^n} \quad \text{ou} \quad f(x) = \frac{a}{(dx + e)^{n-1}} + \frac{b}{(dx + e)^n}$

Après identification des coefficients, on intègre chaque terme en faisant apparaître la dérivée du binôme $(dx + e)' = d$ :

$\frac{1}{(dx + e)^n} = \frac{1}{d} \times \frac{(dx + e)'}{(dx + e)^n} \implies \text{Primitive : } -\frac{1}{d(n - 1)(dx + e)^{n-1}} \quad (n \ge 2)$

Exemple travaillé · 52

Soit $f(x) = \frac{4x - 1}{(2x + 1)^3}$ définie sur $]-\frac{1}{2} ; +\infty[$ . Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{(2x + 1)^2} + \frac{b}{(2x + 1)^3}$ , puis en déduire l'ensemble des primitives de $f$ .

1

On réduit au même dénominateur l'expression décomposée :

2

\frac{a}{(2x + 1)^2} + \frac{b}{(2x + 1)^3} = \frac{a(2x + 1) + b}{(2x + 1)^3} = \frac{2ax + (a + b)}{(2x + 1)^3}

3

Par identification avec le numérateur $4x - 1$ :

4

2a = 4 \implies a = 2 \quad \text{et} \quad a + b = -1 \implies 2 + b = -1 \implies b = -3

5

On réécrit $f(x)$ en faisant apparaître la dérivée interne $(2x + 1)' = 2$ :

6

f(x) = \frac{2}{(2x + 1)^2} - \frac{3}{2} \times \frac{2}{(2x + 1)^3} = (2x + 1)'(2x + 1)^{-2} - \frac{3}{2}(2x + 1)'(2x + 1)^{-3}

7

On applique la règle de primitivation de $u'u^n$ pour obtenir les primitives $F$ :

8

F(x) = -\frac{1}{2x + 1} + \frac{3}{4(2x + 1)^2} + c \quad (c \in \mathbb{R})

Exemple travaillé · 53

Soit $g(x) = 2x - 3 + \frac{1}{(x + 2)^2}$ définie sur $]-2 ; +\infty[$ . Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur cet intervalle.

1

La fonction $g$ est la somme d'une partie affine $2x - 3$ et d'un élément rationnel simple $\frac{1}{(x + 2)^2}$ .

2

Une primitive de la partie polynomiale $2x - 3$ est donnée par $x^2 - 3x$ .

3

Pour le terme rationnel, la dérivée de $(x + 2)$ est $1$ . L'expression est directement de la forme $\frac{u'}{u^2}$ :

4

\frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 2)'}{(x + 2)^2} \implies \text{Primitive : } -\frac{1}{x + 2}

5

En combinant les deux composantes, on obtient une primitive $G$ :

6

G(x) = x^2 - 3x - \frac{1}{x + 2}

Piège classique · 54

Quelle est une primitive de $h(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}$ sur $]-\frac{1}{2} ; +\infty[$ ?

Attention

Intégrer directement comme si le dénominateur était $x^2$ et écrire $-\frac{1}{2x+1}$ en oubliant la dérivée du binôme.

À la place : La dérivée de $(2x+1)$ est $2$ . Il faut compenser par $\frac{1}{2}$ : $h(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{(2x+1)^2} = \frac{1}{2} \frac{u'}{u^2}$ . Une primitive est donc $-\frac{1}{2(2x+1)}$ .

Vérification · 55

Soit $f(x) = 1 - \frac{3}{(3x - 1)^2}$ sur $]\frac{1}{3} ; +\infty[$ . Quelle est l'unique primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(1) = 1$ ?

Remarque

Comme $(3x - 1)' = 3$ , le terme $-\frac{3}{(3x - 1)^2}$ s'écrit $-\frac{u'}{u^2}$ , dont une primitive est $\frac{1}{u} = \frac{1}{3x - 1}$ . La forme générale des primitives est $F(x) = x + \frac{1}{3x - 1} + c$ . Pour $x = 1$ : $F(1) = 1 + \frac{1}{2} + c = \frac{3}{2} + c$ . La condition $F(1) = 1$ donne $c = -\frac{1}{2}$ . Ainsi, $F(x) = x + \frac{1}{3x - 1} - \frac{1}{2}$ .

Dérivation - primitives — cours

Le cours

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Dérivée seconde et point d'inflexion

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