Rappel · 1

Soit $f$ une fonction vérifiant $\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty$ . Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

Quand $x$ tend vers une valeur finie $a$ et que $f(x)$ tend vers l'infini, la droite $x = a$ est une asymptote verticale. À l'inverse, si $x \to \pm\infty$ et $f(x) \to b$ , la droite $y = b$ est une asymptote horizontale.

Point de départ · 2

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}$ . Lorsque $x$ devient de plus en plus grand, de quelle droite la courbe de $f$ se rapproche-t-elle indéfiniment ?

Remarque

Le terme $\frac{1}{x}$ devient négligeable devant $2x + 1$ : la différence $f(x) - (2x + 1) = \frac{1}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ .

Définition · 3

Définition et décomposition directe

$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \quad (a \neq 0)$

La droite $\Delta : y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ). En pratique, si $f(x)$ se décompose sous la forme $f(x) = ax + b + g(x)$ avec $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0$ , alors $\Delta$ est asymptote oblique. Le signe de $g(x) = f(x) - (ax + b)$ donne la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1}$ .
1. Vérifier que pour tout $x > -1$ , $f(x) = 2x - 1 - \frac{2}{x + 1}$ .
2. Montrer que la droite $\Delta : y = 2x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ , puis étudier leur position relative.

1

On met l'expression décomposée au même dénominateur :

2x - 1 - \frac{2}{x + 1} = \frac{(2x - 1)(x + 1) - 2}{x + 1} = \frac{2x^2 + x - 1 - 2}{x + 1} = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1}

2

On forme la différence entre $f(x)$ et l'équation de la droite $\Delta$ :

f(x) - (2x - 1) = -\frac{2}{x + 1}

3

On évalue la limite de cette différence en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{2}{x + 1}\right) = 0

4

La droite $\Delta : y = 2x - 1$ est donc une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

5

Pour la position relative, pour tout $x \in ]-1 ; +\infty[$ , on a $x + 1 > 0$ , donc :

f(x) - (2x - 1) = -\frac{2}{x + 1} < 0

6

La courbe $\mathcal{C}_f$ est située strictement au-dessous de l'asymptote $\Delta$ sur $]-1 ; +\infty[$ .

Exemple travaillé · 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ .
Montrer que la droite $\Delta : y = x$ est une asymptote oblique commune à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , puis préciser la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

1

La fonction se présente directement sous la forme $f(x) = x + g(x)$ avec :

g(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

2

On étudie la différence $f(x) - x$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . Comme $\lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 1) = +\infty$ , on a :

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) = 0

3

De même en $-\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) = 0

4

La droite $\Delta : y = x$ est donc une asymptote oblique commune à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

5

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\sqrt{x^2 + 1} > 0$ , d'où :

f(x) - x = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} < 0

6

La courbe $\mathcal{C}_f$ est strictement située au-dessous de son asymptote $\Delta$ sur tout $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 6

Pour trouver l'asymptote oblique en $+\infty$ de la fonction définie par $f(x) = 3x - 5 + \frac{4}{x^2 + 2}$ , quelle démarche est la plus directe ?

Attention

Calculer systématiquement le rapport $\frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la pente $a = 3$ , puis la limite de $f(x) - 3x$ pour trouver l'ordonnée à l'origine $b = -5$ .

À la place : Observer que la fonction est déjà écrite sous la forme $ax + b + g(x)$ . Former directement $f(x) - (3x - 5) = \frac{4}{x^2 + 2}$ dont la limite est immédiatement $0$ .

Vérification · 7

Soit la fonction $f$ définie sur $]2 ; +\infty[$ par $f(x) = -x + 4 + \frac{3}{x - 2}$ .
Que peut-on affirmer au voisinage de $+\infty$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta : y = -x + 4$ ?

Remarque

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x - 2} = 0$ , la droite d'équation $y = -x + 4$ est bien asymptote oblique. De plus, pour tout $x > 2$ , $f(x) - (-x + 4) = \frac{3}{x - 2} > 0$ , donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est située strictement au-dessus de $\Delta$ .

Point de départ · 8

Soit $f$ une fonction vérifiant $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ . Peut-on affirmer directement que la droite d'équation $y = x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

Non : obtenir $\frac{f(x)}{x} \to 1$ indique seulement la direction suivie par la courbe. Pour qu'une droite soit asymptote, il faut vérifier que l'écart vertical $f(x) - x$ se rapproche d'un réel fixe $b$ , et ne part pas lui-même vers l'infini.

Définition · 9

Plan d'étude des branches infinies en l'infini

Lorsque $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ , on étudie le comportement du quotient $\frac{f(x)}{x}$ :

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \implies \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (Ox)$

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty \implies \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (Oy)$

Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \mathbb{R}^*$ , on calcule $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$ :

$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b \in \mathbb{R} \implies \text{la droite } y = ax + b \text{ est asymptote oblique}$

$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = \pm\infty \implies \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction } y = ax$

Exemple travaillé · 10

Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = x\sqrt{x - 1}$ .

1

On détermine la limite de $f$ en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x - 1} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

2

Pour tout $x > 1$ , on calcule le rapport $\frac{f(x)}{x}$ :

\frac{f(x)}{x} = \frac{x\sqrt{x - 1}}{x} = \sqrt{x - 1}

3

On évalue la limite de ce rapport en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x - 1} = +\infty

4

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ .

Exemple travaillé · 11

Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$ pour la fonction $f$ définie sur $[-1 ; +\infty[$ par $f(x) = x + 1 + \sqrt{x + 1}$ .

1

On calcule d'abord la limite en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

2

Pour $x > 0$ , on forme le rapport $\frac{f(x)}{x}$ :

\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x} = 1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}

3

On en déduit la limite de $\frac{f(x)}{x}$ en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 + 0 + 0 = 1

4

La limite valant $a = 1 \neq 0$ , on étudie la différence $f(x) - 1 \cdot x$ :

f(x) - x = 1 + \sqrt{x + 1}

5

On calcule la limite de cette différence :

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} (1 + \sqrt{x + 1}) = +\infty

6

La limite étant infinie, la courbe $\mathcal{C}_f$ n'admet pas d'asymptote oblique : elle admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ .

Piège classique · 12

Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 2$ . Que peut-on affirmer avec certitude à cette étape ?

Attention

Conclure immédiatement que la droite d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique à la courbe.

À la place : Le rapport donne seulement la direction asymptotique. Si $\lim [f(x) - 2x] = \pm\infty$ , la courbe s'éloigne indéfiniment de la droite : c'est alors une branche parabolique de direction $y = 2x$ .

Vérification · 13

Soit la fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = 3x - \sqrt{x}$ . On donne $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 3$ . Quelle est la nature de la branche infinie de $\mathcal{C}_g$ au voisinage de $+\infty$ ?

Remarque

On forme la différence : $g(x) - 3x = -\sqrt{x}$ . Comme $\lim_{x \to +\infty} (-\sqrt{x}) = -\infty$ , la distance verticale entre la courbe et la droite d'équation $y = 3x$ devient infiniment grande : $\mathcal{C}_g$ admet donc une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = 3x$ .

Point de départ · 14

Pour tout nombre réel strictement négatif $x < 0$ , que vaut l'expression $\sqrt{x^2}$ ?

Remarque

Une racine carrée est toujours positive ou nulle : on a $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , la valeur absolue donne $|x| = -x$ . Par exemple, pour $x = -5$ : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = -(-5)$ .

Définition · 15

Sortie du radical et levée d'indétermination en l'infini

Pour factoriser le terme de plus haut degré sous une racine carrée au voisinage de l'infini, on applique :

$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x > 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Face à une forme indéterminée « $\infty - \infty$ » sur une somme comportant un radical :

\text{Si les termes d'ordre dominant s'annulent} \implies \text{recourir à l'expression conjuguée}

\text{Si les termes d'ordre dominant ne s'annulent pas} \implies \text{la factorisation par } |x| \text{ suffit}

Exemple travaillé · 16

Déterminer l'asymptote oblique au voisinage de $-\infty$ à la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}$ .

1

Pour $x < 0$ , on factorise $x^2$ sous la racine en appliquant $\sqrt{x^2} = -x$ :

f(x) = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}

2

On évalue la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ en $-\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\right) = -1

3

La pente $a = -1$ étant finie non nulle, on étudie la différence $f(x) - (-1)x = f(x) + x$ . Les termes d'ordre dominant se compensant (forme « $\infty - \infty$ »), on multiplie par l'expression conjuguée :

f(x) + x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} - x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} - x}

4

Pour $x < 0$ , on met $x$ en facteur au numérateur et au dénominateur avec $\sqrt{x^2} = -x$ :

f(x) + x = \frac{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - x} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1}

5

On en déduit la limite de la différence en $-\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} [f(x) + x] = \frac{1 + 0}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}

6

La droite d'équation $y = -x - \frac{1}{2}$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Exemple travaillé · 17

Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de $-\infty$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$ .

1

Quand $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ et $\sqrt{x^2 + 1} \to +\infty$ : c'est une forme indéterminée « $-\infty + \infty$ » où les coefficients dominants se compensent ( $1$ et $\sqrt{1}$ ).

2

On transforme directement l'expression par la quantité conjuguée pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1})}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-1}{x - \sqrt{x^2 + 1}}

3

On évalue la limite du dénominateur quand $x \to -\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} x = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{x^2 + 1}) = -\infty \implies \lim_{x \to -\infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) = -\infty

4

On en déduit la limite du quotient :

\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = 0

5

La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Piège classique · 18

Pour déterminer la limite en $-\infty$ de $f(x) = \sqrt{4x^2 + 1} + 2x$ , un élève factorise sous la racine et écrit :
$\sqrt{4x^2 + 1} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}$
puis conclut que $f(x) = x\left(\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2\right)$ . Pourquoi cette étape est-elle fausse ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ au voisinage de $-\infty$ au lieu de $|x| = -x$ .

À la place : Pour $x < 0$ , $\sqrt{4x^2 + 1} = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}$ . De plus, comme les termes dominants s'annulent ( $-2x + 2x = 0$ ), la factorisation produit une indétermination secondaire $0 \times \infty$ : il faut recourir à l'expression conjuguée.

Vérification · 19

Soit la fonction $g$ définie sur $]-\infty ; 0]$ par $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x}$ . Quelle est la valeur de $\lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x}$ ?

Remarque

Pour tout $x < 0$ , on extrait le terme dominant : $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{x^2\left(1 - \frac{3}{x}\right)} = -x\sqrt{1 - \frac{3}{x}}$ . En divisant par $x$ , on obtient $\frac{g(x)}{x} = -\sqrt{1 - \frac{3}{x}}$ , dont la limite en $-\infty$ est $-1$ .

Point de départ · 20

On sait que la fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est définie en $0$ , avec $f(0) = 0$ . La formule usuelle de dérivation donne $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , ce qui produit une division par zéro en $x = 0$ .
Que se passe-t-il géométriquement pour la courbe au point $(0,0)$ ?

Remarque

Le point $(0,0)$ appartient à la courbe : ce n'est donc pas une asymptote verticale (qui correspond à $x \to a$ avec $f(x) \to \pm\infty$ ). La courbe démarre verticalement : elle admet une demi-tangente verticale.

Définition · 21

Dérivabilité unilatérale et demi-tangente verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ayant $x_0$ pour borne. Si les règles habituelles de dérivation ne s'appliquent pas en $x_0$ , on étudie la limite du taux d'accroissement à droite (ou à gauche) :

$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm\infty$

La fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_0$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $M_0(x_0, f(x_0))$ une demi-tangente verticale.

Exemple travaillé · 22

Soit la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image en $1$ :

f(1) = \sqrt{1^2 - 1} = 0

2

Pour tout $x > 1$ , on exprime le taux d'accroissement en $1$ :

\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{x - 1}

3

Comme $x > 1$ , on a $x - 1 = \sqrt{(x - 1)^2}$ . On simplifie le radical :

\frac{\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}

4

On étudie la limite quand $x \to 1^+$ :

\lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0^+ \implies \lim_{x \to 1^+} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = +\infty

5

La fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $1$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $(1, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 23

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2 ; 2]$ par $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $2$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image en $2$ :

f(2) = \sqrt{4 - 4} = 0

2

Pour $x \in [-2 ; 2[$ , on forme le taux d'accroissement en $2$ :

\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{\sqrt{(2 - x)(2 + x)}}{x - 2}

3

Comme $x < 2$ , $x - 2$ est strictement négatif : on écrit $x - 2 = -(2 - x) = -\sqrt{(2 - x)^2}$ :

\frac{\sqrt{2 - x}\sqrt{2 + x}}{-\sqrt{2 - x}\sqrt{2 - x}} = -\sqrt{\frac{2 + x}{2 - x}}

4

On calcule la limite quand $x \to 2^-$ :

\lim_{x \to 2^-} (2 + x) = 4 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^-} (2 - x) = 0^+ \implies \lim_{x \to 2^-} \left(-\sqrt{\frac{2 + x}{2 - x}}\right) = -\infty

5

La fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $2$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $(2, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Piège classique · 24

Pour étudier le comportement de $f(x) = \sqrt{x - 3}$ en $x = 3$ , un élève dérive directement :
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 3}}$
Constatant que le dénominateur s'annule en $3$ , il affirme que « la droite d'équation $x = 3$ est une asymptote verticale à la courbe ».
Que faut-il en penser ?

Attention

Déduire une asymptote verticale du fait que la formule de la dérivée présente une division par zéro en un point du domaine.

À la place : Le point $(3, 0)$ appartient à la courbe car $f(3) = 0$ existe. Le taux de variation tend vers $+\infty$ , ce qui caractérise une demi-tangente verticale, pas une asymptote (qui exigerait $\lim f(x) = \pm\infty$ ).

Vérification · 25

Soit $g$ une fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - 2}{x} = +\infty$ .
Quelle est la propriété géométrique de la courbe $\mathcal{C}_g$ au point $A(0, 2)$ ?

Remarque

Le point $A(0, 2)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_g$ . Comme la limite du taux d'accroissement en $0$ à droite est infinie, $\mathcal{C}_g$ admet au point $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Point de départ · 26

Si une droite verticale d'équation $x = a$ est un axe de symétrie pour une courbe, alors pour tout écart $h$ , les points d'abscisses $a + h$ et $a - h$ ont la même ordonnée : $f(a - h) = f(a + h)$ . En posant la variable $x = a + h$ (ce qui donne $h = x - a$ ), quelle expression prend l'abscisse symétrique $a - h$ ?

Remarque

En remplaçant $h$ par $x - a$ , on a $a - h = a - (x - a) = 2a - x$ . L'égalité géométrique $f(a - h) = f(a + h)$ devient ainsi la relation algébrique fondamentale : $f(2a - x) = f(x)$ .

Définition · 27

Éléments de symétrie d'une courbe

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$\text{La droite } x = a \text{ est un axe de symétrie} \iff \forall x \in D_f, \ (2a - x) \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x)$

$\text{Le point } I(a, b) \text{ est un centre de symétrie} \iff \forall x \in D_f, \ (2a - x) \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) + f(x) = 2b$

La condition $(2a - x) \in D_f$ est impérative : elle garantit que le domaine d'étude est lui-même symétrique par rapport à $a$ .

Exemple travaillé · 28

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$ .
1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ .
2. Montrer que la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

Le radicande doit être positif ou nul : $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \ge 0$ . Les racines sont $1$ et $3$ :

D_f = ]-\infty ; 1] \cup [3 ; +\infty[

2

On vérifie la stabilité du domaine pour $a = 2$ . Pour tout $x \in D_f$ , on a $x \le 1$ ou $x \ge 3$ . Si $x \le 1$ , alors $-x \ge -1$ , d'où $4 - x \ge 3$ , ce qui signifie que $(4 - x) \in [3 ; +\infty[$ . De même, si $x \ge 3$ , alors $4 - x \le 1$ , donc $(4 - x) \in ]-\infty ; 1]$ . Ainsi :

\forall x \in D_f, \quad (4 - x) \in D_f

3

On calcule ensuite $f(4 - x)$ pour tout $x \in D_f$ :

f(4 - x) = \sqrt{(4 - x)^2 - 4(4 - x) + 3} = \sqrt{16 - 8x + x^2 - 16 + 4x + 3}

4

On simplifie l'expression sous la racine :

f(4 - x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} = f(x)

5

Les deux conditions étant vérifiées, la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 29

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ .
Montrer que le point $A(-1, -2)$ est un centre de symétrie pour sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ .

1

L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . Avec $a = -1$ , la condition d'appartenance s'écrit :

x \in D_f \iff x \neq -1 \iff -x \neq 1 \iff -2 - x \neq -1 \implies (-2 - x) \in D_f

2

On exprime $f(-2 - x)$ :

f(-2 - x) = \frac{(-2 - x)^2 + 3}{(-2 - x) + 1} = \frac{x^2 + 4x + 7}{-x - 1} = -\frac{x^2 + 4x + 7}{x + 1}

3

On calcule la somme $f(-2 - x) + f(x)$ sur le même dénominateur :

f(-2 - x) + f(x) = \frac{-(x^2 + 4x + 7) + (x^2 + 3)}{x + 1} = \frac{-4x - 4}{x + 1}

4

On factorise le numérateur :

\frac{-4(x + 1)}{x + 1} = -4

5

Comme $-4 = 2 \times (-2) = 2b$ , l'égalité $f(2a - x) + f(x) = 2b$ est établie pour tout $x \in D_f$ . Le point $A(-1, -2)$ est donc un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Piège classique · 30

Pour prouver que la droite $x = 1$ est un axe de symétrie d'une fonction $f$ , un élève calcule directement $f(2 - x)$ et constate que $f(2 - x) = f(x)$ sur les réels où la formule a du sens. Peut-il conclure immédiatement que $x = 1$ est axe de symétrie ?

Attention

Conclure à la symétrie uniquement sur la base de l'égalité $f(2a - x) = f(x)$ , sans examiner le domaine de définition.

À la place : Il faut d'abord justifier que pour tout $x \in D_f$ , le symétrique $(2a - x)$ appartient aussi à $D_f$ . Si une valeur interdite n'admet pas son symétrique également interdit, la courbe n'est pas symétrique.

Vérification · 31

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $g(x) = 3 + \frac{2}{x - 1}$ .
Quelle égalité permet de prouver que le point $\Omega(1, 3)$ est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_g$ ?

Remarque

Ici $a = 1$ et $b = 3$ , donc $2a - x = 2 - x$ et $2b = 6$ . La relation à vérifier est bien $g(2 - x) + g(x) = 6$ . En effet : $g(2 - x) + g(x) = \left(3 + \frac{2}{1 - x}\right) + \left(3 + \frac{2}{x - 1}\right) = 6 + \frac{2}{1 - x} - \frac{2}{1 - x} = 6$ .

Point de départ · 32

On observe la courbe d'une fonction qui change de courbure en un point : d'un côté la courbe est située au-dessus de sa tangente, et de l'autre côté elle passe au-dessous. Que fait géométriquement la tangente à la courbe en ce point particulier ?

Remarque

En ce point de basculement de concavité, la tangente ne reste pas d'un seul côté : elle traverse la courbe. C'est la signature géométrique d'un point d'inflexion.

Définition · 33

Point d'inflexion et concavité

Un point $I(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en ce point.

$f''(x_0) = 0 \quad \text{et } f'' \text{ change de signe en } x_0 \iff I(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion}$

Caractérisation équivalente : la différence $f(x) - y_T$ (où $y_T = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ est l'équation de la tangente) s'annule et change de signe en $x_0$ .

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .
Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . On calcule la dérivée première :

f'(x) = 3x^2 - 6x

2

On calcule la dérivée seconde :

f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

3

On étudie le signe de $f''(x)$ :

f''(x) = 0 \iff x = 1

4

Pour $x < 1$ , $f''(x) < 0$ et pour $x > 1$ , $f''(x) > 0$ . La dérivée seconde s'annule en $1$ en changeant de signe : la courbe admet un point d'inflexion en $x = 1$ .

5

On calcule l'ordonnée de ce point :

f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0

6

Le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ est $I(1, 0)$ .

Exemple travaillé · 35

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x - 1$ et $T$ la tangente à sa courbe au point d'abscisse $0$ .
1. Écrire une équation de $T$ .
2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ et en déduire que $A(0, -1)$ est un point d'inflexion.

1

On calcule $f(0) = -1$ . La dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 2$ , d'où $f'(0) = 2$ .

2

L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ est :

y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x - 1

3

On étudie le signe de la différence $f(x) - y_T$ :

f(x) - (2x - 1) = (x^3 + 2x - 1) - (2x - 1) = x^3

4

Pour $x < 0$ , $x^3 < 0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessous de $T$ . Pour $x > 0$ , $x^3 > 0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de $T$ .

5

La différence s'annule en $0$ en changeant de signe : la tangente $T$ traverse la courbe au point $A(0, -1)$ . Ce point est donc un point d'inflexion.

Piège classique · 36

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^4$ . On constate que $g''(0) = 0$ . Le point $O(0, 0)$ est-il un point d'inflexion de la courbe de $g$ ?

Attention

Conclure que tout point où $f''$ s'annule est un point d'inflexion.

À la place : Pour qu'il y ait point d'inflexion, la dérivée seconde doit obligatoirement changer de signe. Pour $g(x) = x^4$ , on a $g''(x) = 12x^2 \ge 0$ pour tout $x$ : $g''$ ne change pas de signe, la courbe reste au-dessus de sa tangente et n'admet aucun point d'inflexion.

Vérification · 37

On donne le signe de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ :
- Sur $]-\infty ; -2[$ , $f''(x) > 0$ .
- En $-2$ , $f''(-2) = 0$ .
- Sur $]-2 ; 3[$ , $f''(x) < 0$ .
- En $3$ , $f''(3) = 0$ .
- Sur $]3 ; +\infty[$ , $f''(x) < 0$ .
Combien de points d'inflexion la courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle ?

Remarque

En $x = -2$ , $f''$ s'annule en passant de positive à négative : il y a un changement de signe, donc un point d'inflexion. En $x = 3$ , $f''$ s'annule mais reste négative avant et après : il n'y a pas d'inflexion. La courbe admet donc un unique point d'inflexion.

Point de départ · 38

On dispose de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ . Si un point $M(x, y)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ avec une ordonnée strictement négative ( $y < 0$ ), quel point de même abscisse appartiendra à la courbe de la fonction $g(x) = |f(x)|$ ?

Remarque

Comme $g(x) = |f(x)| = -f(x) = -y > 0$ , le point correspondant sur la courbe de $g$ est $M'(x, -y)$ . Les ordonnées négatives sont transformées en leurs opposées positives : cela correspond géométriquement à une symétrie axiale orthogonale par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$ .

Définition · 39

Courbes de $|f|$ et de $x \mapsto f(|x|)$

Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

$\mathcal{C}_{|f|} \text{ : on conserve la portion de } \mathcal{C}_f \text{ située dans } y \ge 0, \text{ et on remplace la portion située dans } y < 0 \text{ par sa symétrique par rapport à } (Ox).$

$\mathcal{C}_{f(|\cdot|)} \text{ : la fonction } x \mapsto f(|x|) \text{ est paire. Sa courbe coïncide avec } \mathcal{C}_f \text{ pour } x \ge 0, \text{ et se complète sur } x < 0 \text{ par symétrie par rapport à } (Oy).$

Exemple travaillé · 40

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 1$ et $\mathcal{C}_f$ sa parabole représentative. Expliquer comment déduire la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g(x) = |x^2 - 1|$ à partir de $\mathcal{C}_f$ .

1

On étudie le signe du trinôme $f(x) = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ :

x^2 - 1 \ge 0 \iff x \in ]-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty[

2

Sur $]-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty[$ , $f(x) \ge 0$ , donc $g(x) = f(x)$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ coïncide avec $\mathcal{C}_f$ .

3

Sur $]-1 ; 1[$ , $f(x) < 0$ , donc $g(x) = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ .

4

Sur $]-1 ; 1[$ , la courbe $\mathcal{C}_g$ s'obtient donc en traçant la symétrique de la portion de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$ .

5

La courbe complète $\mathcal{C}_g$ est entièrement contenue dans le demi-plan $y \ge 0$ et admet deux points anguleux en $(-1, 0)$ et $(1, 0)$ .

Exemple travaillé · 41

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . On pose pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $h(x) = x^2 - 4|x| + 3$ . Montrer que $h$ est paire et expliquer comment construire sa courbe $\mathcal{C}_h$ à partir de celle de $f$ .

1

Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

h(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = h(x)

2

La fonction $h$ est donc une fonction paire : sa courbe $\mathcal{C}_h$ admet l'axe des ordonnées $(Oy)$ comme axe de symétrie.

3

Pour tout $x \ge 0$ , on a $|x| = x$ , d'où :

h(x) = x^2 - 4x + 3 = f(x)

4

Sur $[0 ; +\infty[$ , la courbe $\mathcal{C}_h$ coïncide avec la courbe $\mathcal{C}_f$ .

5

On trace $\mathcal{C}_h$ sur $[0 ; +\infty[$ en reprenant $\mathcal{C}_f$ , puis on complète la courbe sur $]-\infty ; 0]$ par symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Piège classique · 42

Quelle transformation géométrique permet de tracer la courbe de $g(x) = f(|x|)$ à partir de la portion de $\mathcal{C}_f$ située sur $[0 ; +\infty[$ ?

Attention

Confondre $|f(x)|$ (valeur absolue sur l'ordonnée) avec $f(|x|)$ (valeur absolue sur la variable) et appliquer une symétrie par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$ .

À la place : Dans $f(|x|)$ , la valeur absolue est interne à la variable : la fonction obtenue est paire ( $g(-x) = g(x)$ ). La symétrie s'effectue donc par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ , jamais par rapport à $(Ox)$ .

Vérification · 43

On donne la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 3]$ . Pour construire la courbe de la fonction $k(x) = -|f(x)|$ , dans quel demi-plan la courbe $\mathcal{C}_k$ se situera-t-elle entièrement ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , $|f(x)| \ge 0$ , donc $k(x) = -|f(x)| \le 0$ . Toutes les ordonnées des points de $\mathcal{C}_k$ sont négatives ou nulles : la courbe $\mathcal{C}_k$ est donc située entièrement dans le demi-plan inférieur $y \le 0$ .

Etude de fonctions — cours

Le cours

Définition et décomposition directe

Plan d'étude des branches infinies en l'infini

Sortie du radical et levée d'indétermination en l'infini

Dérivabilité unilatérale et demi-tangente verticale

Éléments de symétrie d'une courbe

Point d'inflexion et concavité

Courbes de $|f|$ et de $x \mapsto f(|x|)$

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Courbes de ∣f∣|f|∣f∣ et de x↦f(∣x∣)x \mapsto f(|x|)x↦f(∣x∣)

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