Rappel · 1

Rappel : Notion de primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Que signifie l'affirmation « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?

Remarque

Par définition, $F$ est dérivable sur $I$ et vérifie $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ . Dériver la primitive redonne la fonction de départ.

Point de départ · 2

Aire sous une droite et primitive

On considère la fonction $f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$ . La région sous la droite forme un trapèze de bases $f(1) = 2$ et $f(2) = 4$ , et de hauteur $2 - 1 = 1$ .

L'aire de ce trapèze vaut $\frac{(2 + 4) \times 1}{2} = 3\text{ u.a.}$ Compare cette valeur avec $F(2) - F(1)$ pour la primitive $F(x) = x^2$ .

On a $F(2) - F(1) = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$ . L'aire sous la courbe coïncide exactement avec la variation de la primitive entre les deux bornes.

Définition · 3

Définition de l'intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ .

$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

F \text{ est une primitive quelconque de } f \text{ sur } I

Vocabulaire

a et b — Bornes de l'intégrale (a est la borne inférieure, b est la borne supérieure)
x — Variable muette : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$
[F(x)]_a^b — Notation entre crochets désignant la différence $F(b) - F(a)$

Remarque

Le réel obtenu ne dépend pas de la primitive choisie : si $G(x) = F(x) + k$ , alors $G(b) - G(a) = (F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) - F(a)$ .

Exemple travaillé · 4

Calcul direct d'une intégrale polynomiale

Calculer l'intégrale $I = \int_{-1}^2 (x^2 - 4x + 3)\,dx$ .

1

La fonction $f : x \mapsto x^2 - 4x + 3$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme, donc continue sur le segment $[-1\,;\,2]$ .

2

On détermine une primitive $F$ de $f$ sur $[-1\,;\,2]$ :

F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x

3

On écrit l'intégrale sous la notation entre crochets :

I = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{-1}^2

4

On évalue la primitive en la borne supérieure $x = 2$ :

F(2) = \frac{2^3}{3} - 2(2)^2 + 3(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 = \frac{2}{3}

5

On évalue la primitive en la borne inférieure $x = -1$ :

F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 + 3(-1) = -\frac{1}{3} - 2 - 3 = -\frac{16}{3}

6

On calcule la différence $F(2) - F(-1)$ :

I = \frac{2}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{18}{3} = 6

Exemple travaillé · 5

Intégrale d'une fraction rationnelle composée

Calculer l'intégrale $J = \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2}\,dx$ .

1

Pour tout $x \in [0\,;\,2]$ , $x^2 + 1 \neq 0$ . La fonction rationnelle $g : x \mapsto \frac{3x}{(x^2+1)^2}$ est donc continue sur le segment $[0\,;\,2]$ .

2

On fait apparaître la forme $\frac{u'(x)}{u(x)^2}$ en posant $u(x) = x^2 + 1$ , d'où $u'(x) = 2x$ :

\frac{3x}{(x^2+1)^2} = \frac{3}{2} \times \frac{2x}{(x^2+1)^2} = \frac{3}{2} \frac{u'(x)}{(u(x))^2}

3

Une primitive de $\frac{u'}{u^2}$ étant $-\frac{1}{u}$ , on obtient une primitive $G$ sur $[0\,;\,2]$ :

G(x) = -\frac{3}{2(x^2+1)}

4

On applique la formule fondamentale avec les crochets :

J = \left[ -\frac{3}{2(x^2+1)} \right]_0^2 = \left(-\frac{3}{2(2^2+1)}\right) - \left(-\frac{3}{2(0^2+1)}\right)

5

On simplifie le calcul numérique :

J = -\frac{3}{10} - \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{10} + \frac{15}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

Piège classique · 6

Attention : La condition d'existence d'une intégrale

Que vaut l'intégrale $\int_0^2 \frac{1}{x-1}\,dx$ ?

Attention

Calculer aveuglément $[\ln|x-1|]_0^2 = \ln(1) - \ln(1) = 0$ sans examiner l'intervalle.

À la place : La fonction $x \mapsto \frac{1}{x-1}$ n'est pas définie en $1 \in [0\,;\,2]$ . N'étant pas continue sur le segment $[0\,;\,2]$ , cette intégrale n'existe pas.

Vérification · 7

Vérification : Calcul avec crochets

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ dont une primitive est $F(x) = x^3 - 2x$ . Quelle est la valeur de $\int_1^2 f(x)\,dx$ ?

Remarque

On applique la formule : $\int_1^2 f(x)\,dx = [F(x)]_1^2 = F(2) - F(1)$ . Comme $F(2) = 2^3 - 2(2) = 4$ et $F(1) = 1^3 - 2(1) = -1$ , on obtient $4 - (-1) = 5$ .

Point de départ · 8

Regrouper deux intégrales

On veut calculer la somme suivante :
$S = \int_1^2 \frac{x^2}{(x+1)^2}\,dx + \int_1^2 \frac{2x+1}{(x+1)^2}\,dx$
Quelle démarche permet d'éviter la recherche de primitives complexes ?

Remarque

Comme les deux intégrales ont les mêmes bornes ( $1$ et $2$ ), les regrouper sous un même signe intégral donne $\int_1^2 \frac{x^2+2x+1}{(x+1)^2}\,dx = \int_1^2 1\,dx = 1$ .

Définition · 9

Linéarité, inversion des bornes et relation de Chasles

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ , et soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels de $I$ .

$\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$

Pour la coïncidence et l'inversion des bornes :

$\int_a^a f(x)\,dx = 0 \quad \text{et} \quad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$

La relation de Chasles permet de décomposer l'intervalle d'intégration :

$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

Exemple travaillé · 10

Combinaison linéaire d'intégrales

Soient les intégrales $I = \int_0^1 \frac{e^x}{e^x + e^{-x}}\,dx$ et $J = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx$ .
Calculer $I + J$ et $I - J$ , puis en déduire la valeur exacte de $I$ .

1

On utilise la linéarité pour calculer la somme $I + J$ :

I + J = \int_0^1 \frac{e^x + e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx = \int_0^1 1\,dx = [x]_0^1 = 1

2

On calcule la différence $I - J$ par linéarité :

I - J = \int_0^1 \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx

3

On reconnaît la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = e^x + e^{-x}$ et $u'(x) = e^x - e^{-x}$ :

I - J = [\ln(e^x + e^{-x})]_0^1 = \ln(e + e^{-1}) - \ln(1 + 1) = \ln\left(\frac{e + e^{-1}}{2}\right)

4

On résout le système linéaire pour isoler $I$ :

I = \frac{(I + J) + (I - J)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{e + e^{-1}}{2}\right)

Exemple travaillé · 11

Intégration d'une fonction avec valeur absolue par Chasles

Calculer l'intégrale $A = \int_0^3 |2x - 3|\,dx$ .

1

On détermine le signe de l'expression $2x - 3$ : elle s'annule en $x = \frac{3}{2}$ .
Pour $x \le \frac{3}{2}$ , $|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x$ .
Pour $x \ge \frac{3}{2}$ , $|2x - 3| = 2x - 3$ .

2

On applique la relation de Chasles au point de coupure $x = \frac{3}{2}$ :

A = \int_0^{\frac{3}{2}} (3 - 2x)\,dx + \int_{\frac{3}{2}}^3 (2x - 3)\,dx

3

On calcule la première intégrale :

\int_0^{\frac{3}{2}} (3 - 2x)\,dx = [3x - x^2]_0^{\frac{3}{2}} = \left(3 \times \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - 0 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}

4

On calcule la seconde intégrale :

\int_{\frac{3}{2}}^3 (2x - 3)\,dx = [x^2 - 3x]_{\frac{3}{2}}^3 = (9 - 9) - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) = -\left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}

5

On additionne les deux résultats :

A = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}

Piège classique · 12

Attention : Valeur absolue et primitivation directe

On cherche à calculer $\int_0^2 |x - 1|\,dx$ . Quelle démarche est correcte ?

Attention

Calculer $\left[\left|\frac{x^2}{2} - x\right|\right]_0^2 = |2 - 2| - 0 = 0$ en appliquant la valeur absolue à la primitive.

À la place : La valeur absolue modifie l'expression de la fonction selon l'intervalle. On doit découper avec Chasles en $x = 1$ : $\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^2 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

Vérification · 13

Vérification : Calcul avec changement de signe

Quelle est la valeur de l'intégrale $K = \int_{-1}^2 |x|\,dx$ ?

Remarque

Par la relation de Chasles : $K = \int_{-1}^0 (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = 2{,}5$ .

Point de départ · 14

Intégrer une inégalité et ordre des bornes

Pour tout $t \in [0\,;\,1]$ , on a $t^2 \le t$ . A-t-on toujours $\int_a^b t^2\,dt \le \int_a^b t\,dt$ pour n'importe quelles bornes $a$ et $b$ choisies dans $[0\,;\,1]$ ?

Remarque

L'intégration ne conserve le sens de l'inégalité que si la borne inférieure est plus petite que la borne supérieure ( $a \le b$ ). Si $a = 1$ et $b = 0$ , l'inversion des bornes donne $\int_1^0 t^2\,dt = -\frac{1}{3}$ et $\int_1^0 t\,dt = -\frac{1}{2}$ : comme $-\frac{1}{3} \ge -\frac{1}{2}$ , le sens de l'inégalité est inversé.

Définition · 15

Positivité, conservation de l'ordre et valeur moyenne

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ , et soient $a, b \in I$ avec $a \le b$ .

$f(x) \ge 0 \text{ sur } [a\,;\,b] \implies \int_a^b f(x)\,dx \ge 0$

$f(x) \le g(x) \text{ sur } [a\,;\,b] \implies \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$

Si pour tout $x \in [a\,;\,b]$ , $m \le f(x) \le M$ , on en déduit l'inégalité de la moyenne :

$m(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b - a)$

On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ le réel noté $\overline{f}$ défini par :

$\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx$

Remarque

La condition $a \le b$ est impérative : sans elle, le sens des inégalités est inversé lors de l'intégration.

Exemple travaillé · 16

Encadrement d'une intégrale sans calcul de primitive

On pose $I = \int_1^2 \frac{1}{x^3 + 1}\,dx$ .
Montrer que pour tout $x \in [1\,;\,2]$ , on a $0 \le \frac{1}{x^3 + 1} \le \frac{1}{2}$ , puis en déduire un encadrement de l'intégrale $I$ .

1

La fonction cube est strictement croissante sur $[1\,;\,2]$ :

2

1 \le x \le 2 \implies 1 \le x^3 \le 8

3

On ajoute 1 à chaque membre :

2 \le x^3 + 1 \le 9

4

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ :

\frac{1}{9} \le \frac{1}{x^3 + 1} \le \frac{1}{2}

5

Comme $\frac{1}{9} \ge 0$ , on en déduit pour tout $x \in [1\,;\,2]$ :

0 \le \frac{1}{x^3 + 1} \le \frac{1}{2}

6

Comme $1 \le 2$ , on intègre l'encadrement sur $[1\,;\,2]$ par conservation de l'ordre :

\int_1^2 0\,dx \le \int_1^2 \frac{1}{x^3 + 1}\,dx \le \int_1^2 \frac{1}{2}\,dx

7

On évalue les intégrales des fonctions constantes (longueur $2 - 1 = 1$ ) :

0 \le I \le \frac{1}{2}

Exemple travaillé · 17

Valeur moyenne et rectangle d'aire équivalente

Soit la fonction $f(x) = -x^2 + 2x$ sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ .
Calculer la valeur moyenne $\overline{f}$ de $f$ sur $[0\,;\,2]$ et interpréter géométriquement ce résultat à l'aide d'un rectangle de base $[0\,;\,2]$ .

1

On calcule d'abord l'intégrale de $f$ sur $[0\,;\,2]$ :

\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{4}{3}

2

On applique la formule de la valeur moyenne avec $b - a = 2 - 0 = 2$ :

\overline{f} = \frac{1}{2 - 0} \int_0^2 f(x)\,dx = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

3

Interprétation géométrique : l'aire sous la parabole ( $\frac{4}{3}\text{ u.a.}$ ) est égale à l'aire d'un rectangle de même base $[0\,;\,2]$ de longueur $2$ et de hauteur égale à la valeur moyenne $\overline{f} = \frac{2}{3}$ .

Piège classique · 18

Attention : Inversion des bornes et sens de l'inégalité

Soit $f$ une fonction continue telle que pour tout $x \in [0\,;\,3]$ , on a $f(x) \ge 2$ .
Que peut-on affirmer au sujet de l'intégrale $\int_3^0 f(x)\,dx$ ?

Attention

Écrire $\int_3^0 f(x)\,dx \ge 2(0 - 3) = -6$ en conservant machinalement le symbole $\ge$ .

À la place : Comme la borne inférieure $3$ est plus grande que $0$ , on remet d'abord les bornes dans l'ordre croissant : $\int_0^3 f(x)\,dx \ge 2(3 - 0) = 6$ . En inversant les bornes, on multiplie par $-1$ , ce qui renverse l'inégalité : $\int_3^0 f(x)\,dx = -\int_0^3 f(x)\,dx \le -6$ .

Vérification · 19

Vérification : Calcul de valeur moyenne

Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f(x) = 3x - 1$ sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ ?

Remarque

L'intégrale sur $[0\,;\,2]$ vaut $\int_0^2 (3x - 1)\,dx = \left[\frac{3}{2}x^2 - x\right]_0^2 = (6 - 2) - 0 = 4$ . Pour trouver la valeur moyenne, on divise par la longueur du segment $b - a = 2 - 0 = 2$ , ce qui donne $\overline{f} = \frac{4}{2} = 2$ .

Point de départ · 20

Intégrale algébrique ou aire géométrique ?

On considère $f(x) = x$ sur $[-1\,;\,1]$ . L'intégrale vaut :
$\int_{-1}^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
Quelle est l'aire géométrique totale des deux triangles colorés délimités par la droite et l'axe des abscisses ?

Remarque

Chaque triangle a pour aire $\frac{1 \times 1}{2} = 0{,}5\text{ u.a.}$ , donc l'aire géométrique totale vaut $0{,}5 + 0{,}5 = 1\text{ u.a.}$ L'intégrale simple calcule un bilan algébrique où la partie sous l'axe annule la partie au-dessus.

Définition · 21

Calcul d'aires planes et unité d'aire

Dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , l'unité d'aire (notée $\text{u.a.}$ ) est l'aire du rectangle formé par $\vec{i}$ et $\vec{j}$ :

$1\text{ u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|\text{ cm}^2$

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a \le b$ . L'aire géométrique $\mathcal{A}$ de la région délimitée par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut :

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx \quad (\text{en u.a.})$

f(x) \ge 0 \implies \mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx \quad ; \quad f(x) \le 0 \implies \mathcal{A} = -\int_a^b f(x)\,dx

Pour l'aire comprise entre deux courbes $C_f$ et $C_g$ entre $x = a$ et $x = b$ :

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx \quad (\text{en u.a.})$

f(x) \ge g(x) \text{ sur } [a\,;\,b] \implies \mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx

Exemple travaillé · 22

Aire avec changement de signe et conversion en cm²

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ définie sur $[0\,;\,3]$ . Le repère est orthogonal avec $\|\vec{i}\| = 2\text{ cm}$ et $\|\vec{j}\| = 3\text{ cm}$ .
Calculer en $\text{cm}^2$ l'aire $\mathcal{A}$ délimitée par $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ .

1

On étudie le signe de $f(x) = x(x - 2)$ sur $[0\,;\,3]$ : $f(x) \le 0$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) \ge 0$ sur $[2\,;\,3]$ .

2

On applique la relation de Chasles pour lever la valeur absolue :

\mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \int_0^2 (-f(x))\,dx + \int_2^3 f(x)\,dx

3

On calcule l'aire de la première portion située sous l'axe :

\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}\text{ u.a.}

4

On calcule l'aire de la seconde portion située au-dessus de l'axe :

\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_2^3 = (9 - 9) - \left(\frac{8}{3} - 4\right) = \frac{4}{3}\text{ u.a.}

5

On additionne les deux aires pour obtenir la mesure en unités d'aire :

\mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\text{ u.a.}

6

On convertit en centimètres carrés avec l'échelle graphique : $1\text{ u.a.} = 2\text{ cm} \times 3\text{ cm} = 6\text{ cm}^2$ .

\mathcal{A} = \frac{8}{3} \times 6 = 16\text{ cm}^2

Exemple travaillé · 23

Aire délimitée par deux courbes sécantes

On considère $f(x) = x$ et $g(x) = x^3$ sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ .
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par les deux courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites $x = 0$ et $x = 2$ .

1

On détermine les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ :

x^3 - x = 0 \iff x(x - 1)(x + 1) = 0

2

Sur $[0\,;\,2]$ , les courbes se coupent en $x = 0$ et $x = 1$ . On étudie leur position relative :
- Sur $[0\,;\,1]$ , $x \ge x^3$ : la droite $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$ .
- Sur $[1\,;\,2]$ , $x^3 \ge x$ : la courbe $C_g$ est au-dessus de la droite $C_f$ .

3

On découpe l'intégrale en $x = 1$ en intégrant toujours $(\text{courbe supérieure} - \text{courbe inférieure})$ :

\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^3)\,dx + \int_1^2 (x^3 - x)\,dx

4

On calcule la première intégrale sur $[0\,;\,1]$ :

\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\text{ u.a.}

5

On calcule la seconde intégrale sur $[1\,;\,2]$ :

\int_1^2 (x^3 - x)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = (4 - 2) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = 2 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{4}\text{ u.a.}

6

On additionne les deux aires partielles :

\mathcal{A} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ u.a.}

Piège classique · 24

Attention : Intégrer une différence sans découper aux intersections

Pour calculer l'aire entre $C_f : y = x$ et $C_g : y = x^3$ sur $[0\,;\,2]$ , quelle écriture est correcte ?

Attention

Intégrer directement $\int_0^2 (x - x^3)\,dx = 2 - 4 = -2$ , ou prendre sa valeur absolue $|-2| = 2$ .

À la place : Comme $C_f$ et $C_g$ se croisent en $x = 1$ , la courbe située au-dessus change. Intégrer d'un seul bloc soustrait une aire à l'autre par compensation. L'écriture correcte est $\int_0^1 (x - x^3)\,dx + \int_1^2 (x^3 - x)\,dx = 2{,}5\text{ u.a.}$

Vérification · 25

Vérification : Aire négative et facteur d'échelle

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique $2\text{ cm}$ . On donne $f(x) = -2$ sur $[1\,;\,4]$ .
Quelle est l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine limité par la droite d'équation $y = f(x)$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = 4$ ?

Remarque

La fonction étant négative, l'aire en unités d'aire est $\int_1^4 -(-2)\,dx = [2x]_1^4 = 6\text{ u.a.}$ Avec $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2\text{ cm}$ , l'unité d'aire vaut $1\text{ u.a.} = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2$ . L'aire vaut donc $6 \times 4 = 24\text{ cm}^2$ .

Point de départ · 26

Intégrale d'un produit de fonctions

Peut-on calculer l'intégrale d'un produit $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$ en multipliant l'intégrale de $f$ par l'intégrale de $g$ ?

Remarque

Non, l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. Par exemple, $\int_0^1 x \times x\,dx = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ , alors que $\left(\int_0^1 x\,dx\right) \times \left(\int_0^1 x\,dx\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . Pour intégrer un produit, on utilise une méthode issue de la dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ : l'intégration par parties.

Définition · 27

Théorème de l'intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ telles que leurs dérivées $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ .

$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

u' \text{ et } v' \text{ continues sur le segment d'extrémités } a \text{ et } b

Cette formule transforme le calcul de l'intégrale du produit $uv'$ en celui d'une nouvelle intégrale $u'v$ . L'objectif est de choisir $u$ et $v'$ de façon à ce que l'intégrale résiduelle $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx$ soit plus simple à calculer que l'intégrale initiale.

Exemple travaillé · 28

Intégration par parties d'un produit polynôme-trigonométrique

Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale suivante :
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\,dx$

1

On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = \cos x$ . Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables et leurs dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[0\,;\,\frac{\pi}{2}]$ .

2

On calcule la dérivée $u'$ et une primitive $v$ :

u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v(x) = \sin x

3

On applique la formule d'intégration par parties :

I = [x \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \times \sin x\,dx

4

On évalue le terme entre crochets :

[x \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}

5

On calcule l'intégrale résiduelle :

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1

6

On conclut en effectuant la différence :

I = \frac{\pi}{2} - 1

Exemple travaillé · 29

Intégration par parties d'un produit avec logarithme

Calculer l'intégrale suivante :
$J = \int_1^e x \ln x\,dx$

1

La fonction logarithme n'ayant pas de primitive immédiate simple dans ce produit, on pose $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x$ .

2

On calcule la dérivée $u'$ et une primitive $v$ sur $[1\,;\,e]$ :

u'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad v(x) = \frac{x^2}{2}

3

On applique la formule d'intégration par parties :

J = \left[ \frac{x^2}{2}\ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2}\,dx

4

On évalue le terme entre crochets :

\left[ \frac{x^2}{2}\ln x \right]_1^e = \frac{e^2}{2}\ln(e) - \frac{1^2}{2}\ln(1) = \frac{e^2}{2} - 0 = \frac{e^2}{2}

5

On simplifie l'expression sous l'intégrale résiduelle :

\int_1^e \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2}\,dx = \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \frac{e^2 - 1}{4}

6

On calcule la valeur finale de $J$ :

J = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{2e^2 - (e^2 - 1)}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}

Piège classique · 30

Attention : Choix des fonctions face à un logarithme

Pour calculer l'intégrale $K = \int_1^e x^2 \ln x\,dx$ par parties, quelle fonction doit-on poser pour $u(x)$ (la fonction que l'on dérive) ?

Attention

Poser systématiquement le facteur polynomial en $u(x)$ par réflexe acquis sur les produits de type $x e^x$ ou $x \cos x$ .

À la place : Si l'on pose $v'(x) = \ln x$ , on est bloqué car on ne dispose pas d'une primitive immédiate de $\ln x$ . Il faut au contraire dériver le logarithme en posant $u(x) = \ln x$ , ce qui donne $u'(x) = \frac{1}{x}$ et simplifie directement l'intégrale résiduelle.

Vérification · 31

Vérification : Primitiver le logarithme seul par parties

On souhaite calculer $\int_1^e \ln x\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties. Comment écrit-on astucieusement l'intégrande sous forme d'un produit $u(x)v'(x)$ ?

Remarque

On écrit $\ln x = 1 \times \ln x$ . En posant $u(x) = \ln x$ ( $u'(x) = \frac{1}{x}$ ) et $v'(x) = 1$ ( $v(x) = x$ ), la formule donne $[x\ln x]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx = e - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1$ .

Vérification · 32

Vérification : Formule d'intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,1]$ . Si l'on sait que $[u(x)v(x)]_0^1 = 5$ et $\int_0^1 u'(x)v(x)\,dx = 2$ , que vaut l'intégrale $\int_0^1 u(x)v'(x)\,dx$ ?

Remarque

D'après la formule d'intégration par parties : $\int_0^1 u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\,dx$ . On remplace par les valeurs numériques données : $5 - 2 = 3$ (attention au signe moins devant l'intégrale résiduelle).

Point de départ · 33

Approcher une aire par des rectangles

Pour approcher l'aire sous une courbe continue positive lorsqu'on ne dispose pas d'une primitive simple, on partage l'intervalle $[a\,;\,b]$ en $n$ sous-intervalles de même largeur et on remplace la région sous la courbe par des rectangles juxtaposés. Quelle dimension de chaque rectangle est déterminée par les valeurs prises par la fonction $f$ ?

Remarque

Chaque rectangle a pour largeur constante le pas $h = \frac{b-a}{n}$ , et pour hauteur la valeur de la fonction $f$ évaluée en un point du sous-intervalle. La somme des aires de ces rectangles fournit ainsi une approximation numérique de l'intégrale.

Définition · 34

Méthode des rectangles : subdivision et encadrement

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$ .

On partage $[a\,;\,b]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude $h = \frac{b-a}{n}$ à l'aide des points de subdivision :

$x_k = a + k h \quad \text{pour } k \in \{0, 1, \dots, n\}$

Si $f$ est strictement croissante sur $[a\,;\,b]$ , pour tout $t \in [x_k\,;\,x_{k+1}]$ , on a $f(x_k) \le f(t) \le f(x_{k+1})$ . En intégrant :

$h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \le \int_a^b f(t)\,dt \le h \sum_{k=1}^n f(x_k)$

Si $f$ est strictement décroissante sur $[a\,;\,b]$ , pour tout $t \in [x_k\,;\,x_{k+1}]$ , on a $f(x_{k+1}) \le f(t) \le f(x_k)$ . En intégrant :

$h \sum_{k=1}^n f(x_k) \le \int_a^b f(t)\,dt \le h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$

Remarque

La somme par défaut correspond toujours à la somme des rectangles inférieurs (minima locaux), et la somme par excès à celle des rectangles supérieurs (maxima locaux).

Exemple travaillé · 35

Encadrement par les rectangles d'une fonction décroissante

On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$ . En partageant $[1\,;\,2]$ en 2 sous-intervalles de même amplitude, déterminer un encadrement de $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$ par la méthode des rectangles.

1

On calcule le pas de discrétisation $h$ pour $n = 2$ sur $[1\,;\,2]$ :

h = \frac{2 - 1}{2} = 0{,}5

2

Les points de subdivision sont $x_0 = 1$ , $x_1 = 1{,}5$ et $x_2 = 2$ . On évalue $f$ en chacun de ces nœuds :

f(1) = 1 \quad ; \quad f(1{,}5) = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3} \quad ; \quad f(2) = \frac{1}{2}

3

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;\,2]$ . Sur chaque intervalle $[x_k\,;\,x_{k+1}]$ , le minimum est atteint à la borne droite $x_{k+1}$ et le maximum à la borne gauche $x_k$ .

4

On calcule la somme par défaut $s_2$ (rectangles inférieurs, évalués aux bornes droites $x_1$ et $x_2$ ) :

s_2 = h \times (f(x_1) + f(x_2)) = 0{,}5 \times \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{6} = \frac{7}{12}

5

On calcule la somme par excès $S_2$ (rectangles supérieurs, évalués aux bornes gauches $x_0$ et $x_1$ ) :

S_2 = h \times (f(x_0) + f(x_1)) = 0{,}5 \times \left(1 + \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}

6

On conclut l'encadrement de l'intégrale :

\frac{7}{12} \le \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx \le \frac{5}{6}

Piège classique · 36

Attention : Somme par défaut et sens de variation

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[0\,;\,1]$ . On subdivise $[0\,;\,1]$ en $n$ sous-intervalles de même pas $h$ . Quelle formule fournit la somme par défaut (l'aire totale des rectangles inférieurs) ?

Attention

Associer machinalement la somme indicée de 0 à n-1 aux rectangles inférieurs sans tenir compte du sens de variation.

À la place : Pour une fonction décroissante, la valeur en chaque borne gauche $f(x_k)$ est le maximum du sous-intervalle. La somme de $0$ à $n-1$ produit donc la somme par excès (rectangles supérieurs). La somme par défaut est formée par les bornes droites $f(x_{k+1})$ , soit la somme indicée de $1$ à $n$ .

Vérification · 37

Vérification : Calcul d'une somme par défaut pour une fonction croissante

On applique la méthode des rectangles à la fonction $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,1]$ avec 2 sous-intervalles ( $n = 2$ , pas $h = 0{,}5$ ). Comme $f$ est strictement croissante, quelle est la valeur de la somme par défaut $s_2$ ?

Remarque

Les nœuds sont $x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}5$ et $x_2 = 1$ . Comme $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$ , les minima locaux sont atteints aux bornes gauches : $s_2 = h \times (f(0) + f(0{,}5)) = 0{,}5 \times (0^2 + 0{,}5^2) = 0{,}5 \times 0{,}25 = 0{,}125$ . (La somme par excès avec les bornes droites vaudrait $0{,}5 \times (0{,}25 + 1) = 0{,}625$ ).

Calcul intégral — cours

Le cours

Rappel : Notion de primitive

Aire sous une droite et primitive

Définition de l'intégrale d'une fonction continue

Calcul direct d'une intégrale polynomiale

Intégrale d'une fraction rationnelle composée

Attention : La condition d'existence d'une intégrale

Vérification : Calcul avec crochets

Regrouper deux intégrales

Linéarité, inversion des bornes et relation de Chasles

Combinaison linéaire d'intégrales

Intégration d'une fonction avec valeur absolue par Chasles

Attention : Valeur absolue et primitivation directe

Vérification : Calcul avec changement de signe

Intégrer une inégalité et ordre des bornes

Positivité, conservation de l'ordre et valeur moyenne

Encadrement d'une intégrale sans calcul de primitive

Valeur moyenne et rectangle d'aire équivalente

Attention : Inversion des bornes et sens de l'inégalité

Vérification : Calcul de valeur moyenne

Intégrale algébrique ou aire géométrique ?

Calcul d'aires planes et unité d'aire

Aire avec changement de signe et conversion en cm²

Aire délimitée par deux courbes sécantes

Attention : Intégrer une différence sans découper aux intersections

Vérification : Aire négative et facteur d'échelle

Intégrale d'un produit de fonctions

Théorème de l'intégration par parties

Intégration par parties d'un produit polynôme-trigonométrique

Intégration par parties d'un produit avec logarithme

Attention : Choix des fonctions face à un logarithme

Vérification : Primitiver le logarithme seul par parties

Vérification : Formule d'intégration par parties

Approcher une aire par des rectangles

Méthode des rectangles : subdivision et encadrement

Encadrement par les rectangles d'une fonction décroissante

Attention : Somme par défaut et sens de variation

Vérification : Calcul d'une somme par défaut pour une fonction croissante

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