Rappel · 1

Rappel — Équiprobabilité sur un univers fini

Dans une situation d'équiprobabilité sur un univers fini $\Omega$ , quelle est l'expression de la probabilité d'un événement $B$ ?

Remarque

La probabilité d'un événement $B$ est le rapport entre le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles : $p(B) = \frac{\text{card}(B)}{\text{card}(\Omega)}$ .

Point de départ · 2

Une classe de 36 élèves compte 24 garçons. Parmi ces 24 garçons, 14 adhèrent à un club. On choisit un garçon au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit adhérent au club ?

L'information « l'élève choisi est un garçon » restreint l'univers de référence. On ne rapporte plus le décompte aux 36 élèves de la classe, mais uniquement aux 24 garçons.

Définition · 3

Probabilité conditionnelle et probabilités composées

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité que l'événement $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé se note $p(A/B)$ ou $p_B(A)$ .

$p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$

p(B) > 0

En multipliant chaque membre par $p(B)$ , on obtient la formule des probabilités composées :

$p(A \cap B) = p(B) \times p(A/B)$

Vocabulaire

Probabilité conditionnelle de A sachant B — $p(A/B) \text{ ou } p_B(A)$
Probabilité conjointe (intersection) — $p(A \cap B)$

Piège classique · 4

Dans un lot de 100 composants, 20 proviennent de la ligne A. Parmi ces 20 composants, 3 sont défectueux ( $D$ ).
Quelle est la probabilité qu'un composant soit défectueux sachant qu'il provient de la ligne A ?

Attention

Diviser par l'effectif global de 100 en confondant la conditionnelle $p(D/A)$ avec la probabilité conjointe $p(A \cap D) = \frac{3}{100}$ .

À la place : La condition « sachant qu'il provient de la ligne A » restreint l'univers aux 20 composants de la ligne A : $p(D/A) = \frac{3}{20} = 0{,}15$ .

Exemple travaillé · 5

Dans un groupe de 36 élèves, la répartition selon le sexe et l'adhésion à un club est la suivante :
- Garçons ( $G$ ) : 14 adhérents ( $A$ ) et 10 non-adhérents ( $\overline{A}$ ), soit 24 garçons.
- Filles ( $\overline{G}$ ) : 8 adhérentes ( $A$ ) et 4 non-adhérentes ( $\overline{A}$ ), soit 12 filles.
Le nombre total d'adhérents est $14 + 8 = 22$ .
On choisit un élève au hasard.
1. Calculer la probabilité conjointe $p(G \cap A)$ .
2. Calculer la probabilité conditionnelle $p(G/A)$ .

1

1. L'événement $G \cap A$ désigne les garçons adhérents au club. L'univers global $\Omega$ comporte 36 élèves équiprobables.

p(G \cap A) = \frac{\text{card}(G \cap A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}

2

2. Pour calculer $p(G/A)$ , on évalue d'abord la probabilité de la condition $A$ sur l'ensemble de la classe.

p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}

3

On applique la définition de la probabilité conditionnelle.

p(G/A) = \frac{p(G \cap A)}{p(A)} = \frac{\frac{14}{36}}{\frac{22}{36}} = \frac{14}{22} = \frac{7}{11}

4

Sur l'univers restreint aux 22 élèves adhérents, 14 sont des garçons, ce qui confirme directement $p(G/A) = \frac{14}{22} = \frac{7}{11}$ .

Exemple travaillé · 6

Un joueur dispose de deux tentatives de service. La probabilité qu'il réussisse son premier service ( $S_1$ ) est égale à $\frac{2}{3}$ . S'il échoue, la probabilité qu'il réussisse son second service ( $S_2$ ) est $p(S_2/\overline{S_1}) = \frac{4}{5}$ .
1. Calculer la probabilité que le joueur commette une double faute (échec aux deux services : $\overline{S_1} \cap \overline{S_2}$ ).
2. En déduire la probabilité que la mise en jeu soit réussie.

1

1. On détermine la probabilité d'échouer au premier service par l'événement contraire.

p(\overline{S_1}) = 1 - p(S_1) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

2

Sachant l'échec au premier service, la probabilité d'échouer au second service est le complémentaire de son succès.

p(\overline{S_2}/\overline{S_1}) = 1 - p(S_2/\overline{S_1}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

3

On applique la formule des probabilités composées.

p(\overline{S_1} \cap \overline{S_2}) = p(\overline{S_1}) \times p(\overline{S_2}/\overline{S_1}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}

4

2. La mise en jeu est réussie si le joueur ne commet pas de double faute.

p(\text{Réussite}) = 1 - p(\overline{S_1} \cap \overline{S_2}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}

Vérification · 7

Soient deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A) = 0{,}4$ et $p(A \cap B) = 0{,}1$ .
Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p(B/A)$ ?

Remarque

D'après la formule de définition : $p(B/A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)} = \frac{0{,}1}{0{,}4} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .

Point de départ · 8

Dans une expérience aléatoire, on sait que $p(A) = 0{,}5$ . Si l'on apprend que l'événement $B$ est réalisé, et que cette information ne modifie en rien les chances de réalisation de $A$ , que vaut la probabilité conditionnelle $p(A/B)$ ?

Remarque

Puisque la réalisation de $B$ n'a aucune influence sur $A$ , la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité initiale : $p(A/B) = p(A) = 0{,}5$ .

Définition · 9

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé fini sont dits indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influe pas sur la probabilité de l'autre.

$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

Si $p(B) > 0$ , cette relation équivaut à :

$p(A/B) = p(A)$

De plus, si $A$ et $B$ sont indépendants, alors les paires d'événements $A$ et $\overline{B}$ , $\overline{A}$ et $B$ , ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont également indépendantes.

Piège classique · 10

Deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles ( $p(A) = 0{,}3$ et $p(B) = 0{,}4$ ) sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ). Sont-ils indépendants ?

Attention

Affirmer qu'ils sont indépendants au motif qu'ils « n'ont rien en commun » ou « ne se touchent pas ».

À la place : Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A \cap B = \emptyset$ , d'où $p(A \cap B) = 0$ . Or $p(A) \times p(B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12 \neq 0$ . Les événements ne sont donc pas indépendants : si l'un se réalise, l'autre est devenu impossible.

Exemple travaillé · 11

Soient deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A) = p(B)$ , $p(A \cup B) = 0{,}9$ et $p(A \cap B) = 0{,}5$ .
1. Calculer $p(A)$ et $p(B)$ .
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

1

1. On utilise la relation liant la probabilité de l'union à celle de l'intersection : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ .

2

Comme $p(A) = p(B)$ , on remplace par les valeurs connues.

0{,}9 = 2p(A) - 0{,}5

3

On isole $p(A)$ .

2p(A) = 1{,}4 \implies p(A) = 0{,}7 \text{ et } p(B) = 0{,}7

4

2. Pour tester l'indépendance, on calcule séparément le produit des deux probabilités.

p(A) \times p(B) = 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49

5

On compare ce résultat avec la probabilité de l'intersection fournie dans l'énoncé.

p(A \cap B) = 0{,}5 \neq 0{,}49

6

Comme $p(A \cap B) \neq p(A) \times p(B)$ , les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Exemple travaillé · 12

Deux salles d'un lycée fonctionnent de manière indépendante. La première est occupée avec une probabilité $p(A) = 0{,}6$ et la deuxième avec une probabilité $p(B) = 0{,}8$ .
1. Calculer la probabilité que les deux salles soient libres.
2. En déduire la probabilité qu'au moins l'une des salles soit occupée.

1

1. L'événement « la première salle est libre » est $\overline{A}$ et « la deuxième salle est libre » est $\overline{B}$ .

2

On calcule leurs probabilités respectives à l'aide de l'événement contraire.

p(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 \quad \text{et} \quad p(\overline{B}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2

3

Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont également indépendants. Leur intersection se calcule par simple produit.

p(\overline{A} \cap \overline{B}) = p(\overline{A}) \times p(\overline{B}) = 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}08

4

2. L'événement « au moins une des salles est occupée » est l'événement contraire de « les deux salles sont libres ».

5

On en déduit sa probabilité.

p(A \cup B) = 1 - p(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92

Vérification · 13

On considère deux événements indépendants $E$ et $F$ tels que $p(E) = 0{,}3$ et $p(F) = 0{,}5$ .
Quelle est la probabilité de l'événement $E \cup F$ ?

Remarque

Comme $E$ et $F$ sont indépendants, $p(E \cap F) = p(E) \times p(F) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$ .
Par la formule de l'union :
$p(E \cup F) = p(E) + p(F) - p(E \cap F) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65$

Point de départ · 14

Une entreprise possède deux ateliers. L'atelier A produit 80% des pièces avec un taux de défaut de 2%. L'atelier B produit les 20% restants avec un taux de défaut de 10%. Si l'on prélève une pièce au hasard dans toute la production, le pourcentage global de pièces défectueuses est-il égal à la moyenne simple $\frac{2\% + 10\%}{2} = 6\%$ ?

Remarque

L'atelier A fournit 80% du stock total : son faible taux de défaut (2%) pèse beaucoup plus lourd dans la production que les 10% de l'atelier B. La proportion globale est donc inférieure à 6%.

Définition · 15

Système complet d'événements et formule des probabilités totales

Soit $\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$ une partition de l'univers $\Omega$ (événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ , avec $p(A_i) > 0$ pour tout $i$ ).

Pour tout événement $E$ de $\Omega$ , la formule des probabilités totales s'écrit :

$p(E) = \sum_{i=1}^n p(E \cap A_i) = \sum_{i=1}^n p(A_i) \times p(E/A_i)$

En particulier, pour tout événement $A$ vérifiant $0 < p(A) < 1$ , le système $\{A, \overline{A}\}$ forme une partition de $\Omega$ :

$p(E) = p(A) \times p(E/A) + p(\overline{A}) \times p(E/\overline{A})$

Piège classique · 16

Une usine utilise deux machines $M_1$ et $M_2$ . $M_1$ fabrique 70% des pièces avec un taux de rejet de 4%, et $M_2$ fabrique 30% des pièces avec un taux de rejet de 8%. Quelle est la probabilité totale $p(R)$ qu'une pièce choisie au hasard soit rejetée ?

Attention

Additionner directement les taux de rejet sans les pondérer : $p(R) = 0{,}04 + 0{,}08 = 0{,}12$ .

À la place : Les pourcentages de rejet sont des probabilités conditionnelles : il faut obligatoirement multiplier chaque taux par la probabilité de la machine correspondante : $p(R) = 0{,}70 \times 0{,}04 + 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}028 + 0{,}024 = 0{,}052$ .

Exemple travaillé · 17

Dans une unité de production, 4% des articles présentent un défaut ( $D$ ). Un contrôle qualité déclare défectueux ( $R$ ) 95% des articles avec défaut, mais déclare aussi défectueux 2% des articles sans défaut.
1. Calculer $p(D \cap R)$ et $p(\overline{D} \cap R)$ .
2. En déduire la probabilité globale $p(R)$ qu'un article soit déclaré défectueux.

1

1. On traduit les données de l'énoncé. On a $p(D) = 0{,}04$ , d'où $p(\overline{D}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$ . Les probabilités conditionnelles sont $p(R/D) = 0{,}95$ et $p(R/\overline{D}) = 0{,}02$ .

2

Par la formule des probabilités composées :

p(D \cap R) = p(D) \times p(R/D) = 0{,}04 \times 0{,}95 = 0{,}038

3

De même pour les articles sans défaut :

p(\overline{D} \cap R) = p(\overline{D}) \times p(R/\overline{D}) = 0{,}96 \times 0{,}02 = 0{,}0192

4

2. Comme $\{D, \overline{D}\}$ constitue une partition de l'univers, on applique la formule des probabilités totales :

p(R) = p(D \cap R) + p(\overline{D} \cap R) = 0{,}038 + 0{,}0192 = 0{,}0572

Exemple travaillé · 18

Une fabrication d'appareils est répartie entre trois usines $U_1$ , $U_2$ et $U_3$ . L'usine $U_1$ assure 30% de la production et $U_2$ en assure 25%. Le reste est produit par $U_3$ .
Les pourcentages d'appareils défectueux ( $D$ ) sont 10% pour $U_1$ , 15% pour $U_2$ et 4% pour $U_3$ .
1. Déterminer la proportion de production de l'usine $U_3$ .
2. Calculer la probabilité $p(D)$ qu'un appareil prélevé au hasard soit défectueux.

1

1. Le système $\{U_1, U_2, U_3\}$ forme une partition de l'univers. La somme de leurs probabilités vaut 1 :

p(U_3) = 1 - (p(U_1) + p(U_2)) = 1 - (0{,}30 + 0{,}25) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45

2

2. On calcule la probabilité de chaque intersection $p(U_i \cap D) = p(U_i) \times p(D/U_i)$ :

p(U_1 \cap D) = 0{,}30 \times 0{,}10 = 0{,}03

3

p(U_2 \cap D) = 0{,}25 \times 0{,}15 = 0{,}0375

4

p(U_3 \cap D) = 0{,}45 \times 0{,}04 = 0{,}018

5

D'après la formule des probabilités totales associée à la partition $\{U_1, U_2, U_3\}$ :

p(D) = 0{,}03 + 0{,}0375 + 0{,}018 = 0{,}0855

Vérification · 19

Un stock de composants provient à 60% du fournisseur 1 ( $F_1$ ) et à 40% du fournisseur 2 ( $F_2$ ). La probabilité qu'un composant soit en panne ( $P$ ) est de 0,05 pour le fournisseur 1 et de 0,10 pour le fournisseur 2.
Quelle est la probabilité totale qu'un composant pris au hasard soit en panne ?

Remarque

D'après la formule des probabilités totales :
$p(P) = p(F_1) \times p(P/F_1) + p(F_2) \times p(P/F_2) = (0{,}60 \times 0{,}05) + (0{,}40 \times 0{,}10) = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07$

Point de départ · 20

Un contrôle qualité détecte 95% des composants défectueux ( $p(R/D) = 0{,}95$ ). Un composant prélevé est rejeté par le contrôle ( $R$ ). La probabilité qu'il soit réellement défectueux est-elle obligatoirement égale à 95% ?

Remarque

Non. La probabilité $p(R/D)$ part de la cause (être défectueux) pour évaluer l'effet (être rejeté). Une fois le rejet constaté, chercher la probabilité qu'il soit défectueux correspond à $p(D/R)$ , dont la valeur dépend du taux global de composants défectueux dans toute la production.

Définition · 21

Formule de Bayes (probabilité a posteriori)

Soit $\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$ une partition de l'univers $\Omega$ telle que $p(A_i) > 0$ pour tout $i$ , et soit $E$ un événement de probabilité non nulle.

Pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$ , la formule de Bayes s'écrit :

$p(A_k/E) = \frac{p(A_k \cap E)}{p(E)} = \frac{p(A_k) \times p(E/A_k)}{\sum_{i=1}^n p(A_i) \times p(E/A_i)}$

Pour une partition binaire $\{A, \overline{A}\}$ , l'égalité devient :

$p(A/E) = \frac{p(A) \times p(E/A)}{p(A) \times p(E/A) + p(\overline{A}) \times p(E/\overline{A})}$

Piège classique · 22

Un dispositif de tri élimine 94% des articles défectueux ( $D$ ). On constate qu'un article a été éliminé ( $E$ ). Comment note-t-on la probabilité que cet article soit défectueux ?

Attention

Noter $p(E/D)$ au lieu de $p(D/E)$ en confondant la condition constatée avec l'événement recherché.

À la place : L'événement déjà réalisé est l'élimination ( $E$ ) : c'est la condition qui doit figurer après la barre. On cherche s'il est défectueux ( $D$ ), ce qui s'écrit $p(D/E)$ .

Exemple travaillé · 23

Une usine produit des pièces dont 4% sont défectueuses ( $D$ ). Le contrôle qualité déclare défectueuses ( $R$ ) 95% des pièces avec défaut, et déclare défectueuses 2% des pièces sans défaut.
Une pièce est déclarée défectueuse par le contrôle. Calculer la probabilité qu'elle soit en réalité sans défaut.

1

On récapitule les données : $p(D) = 0{,}04$ , d'où $p(\overline{D}) = 0{,}96$ . Les probabilités conditionnelles données sont $p(R/D) = 0{,}95$ et $p(R/\overline{D}) = 0{,}02$ .

2

On cherche la probabilité a posteriori $p(\overline{D}/R)$ .

3

On calcule la probabilité de l'intersection favorable :

p(\overline{D} \cap R) = p(\overline{D}) \times p(R/\overline{D}) = 0{,}96 \times 0{,}02 = 0{,}0192

4

On calcule la probabilité totale de l'événement conditionnant $R$ :

p(R) = p(D \cap R) + p(\overline{D} \cap R) = (0{,}04 \times 0{,}95) + 0{,}0192 = 0{,}038 + 0{,}0192 = 0{,}0572

5

On applique la formule de Bayes :

p(\overline{D}/R) = \frac{p(\overline{D} \cap R)}{p(R)} = \frac{0{,}0192}{0{,}0572} = \frac{192}{572} = \frac{48}{143} \approx 0{,}336

Exemple travaillé · 24

Dans les classes terminales d'un lycée, 50% des élèves sont en section scientifique ( $A_1$ ), 30% en section économique ( $A_2$ ) et 20% en section lettres ( $A_3$ ).
L'option informatique ( $E$ ) est choisie par 75% des scientifiques, 50% des élèves d'économie et 25% des élèves de lettres.
On choisit au hasard un élève ayant opté pour l'informatique. Quelle est la probabilité qu'il soit en section scientifique ?

1

Les trois sections forment une partition de l'univers : $p(A_1) = 0{,}50$ , $p(A_2) = 0{,}30$ et $p(A_3) = 0{,}20$ .

2

Les choix d'option s'écrivent sous forme de probabilités conditionnelles : $p(E/A_1) = 0{,}75$ , $p(E/A_2) = 0{,}50$ et $p(E/A_3) = 0{,}25$ .

3

On évalue d'abord la probabilité totale $p(E)$ qu'un élève quelconque suive l'option informatique :

p(E) = (0{,}50 \times 0{,}75) + (0{,}30 \times 0{,}50) + (0{,}20 \times 0{,}25) = 0{,}375 + 0{,}150 + 0{,}050 = 0{,}575

4

On applique la formule de Bayes pour déterminer $p(A_1/E)$ :

p(A_1/E) = \frac{p(A_1) \times p(E/A_1)}{p(E)} = \frac{0{,}375}{0{,}575} = \frac{15}{23} \approx 0{,}652

Vérification · 25

Dans une région, 55% de la population active sont des femmes ( $F$ ) et 45% sont des hommes ( $\overline{F}$ ). Le taux de chômage ( $C$ ) est de 5% chez les femmes et de 4% chez les hommes.
Sachant qu'une personne active interrogée est au chômage, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

Remarque

Par la formule des probabilités totales :
$p(C) = (0{,}55 \times 0{,}05) + (0{,}45 \times 0{,}04) = 0{,}0275 + 0{,}0180 = 0{,}0455$
Par la formule de Bayes :
$p(F/C) = \frac{p(F \cap C)}{p(C)} = \frac{0{,}0275}{0{,}0455} = \frac{275}{455} = \frac{55}{91} \approx 0{,}604$

Point de départ · 26

On lance un dé équilibré à six faces. On gagne 6 dinars si l'on obtient la face 6, mais on perd 1 dinar pour toute autre face (de 1 à 5). Si l'on joue un très grand nombre de parties, peut-on espérer être gagnant en moyenne ?

Remarque

Sur 6 lancers en moyenne, on gagne 6 dinars une fois et on perd 1 dinar cinq fois. Le bilan net est de $6 - 5 = +1$ dinar pour 6 parties, soit un gain moyen de $+\frac{1}{6}$ dinar par partie : le jeu est donc favorable.

Définition · 27

Variable aléatoire discrète, espérance et variance

Une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers fini $\Omega$ est une application qui associe un réel à chaque issue. L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ .

La loi de probabilité de $X$ donne la probabilité $p(X = x_i)$ associée à chaque valeur. La somme de ces probabilités est égale à 1 :

$\sum_{i=1}^n p(X = x_i) = 1$

L'espérance mathématique de $X$ , notée $E(X)$ , représente la valeur moyenne prise par $X$ :

$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \, p(X = x_i)$

La variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ mesurent la dispersion des valeurs autour de l'espérance. D'après la formule de Koenig-Huygens :

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \quad \text{et} \quad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 \, p(X = x_i)

Piège classique · 28

Pour participer à une loterie, un joueur paie une mise de 10 dinars. S'il tire un billet gagnant, il reçoit 50 dinars ; sinon, il ne reçoit rien. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ représentant le gain algébrique net du joueur ?

Attention

Définir $X(\Omega) = \{0 ; 50\}$ en considérant les montants bruts remis sans déduire la mise payée.

À la place : Le gain algébrique net doit obligatoirement intégrer la mise de 10 dinars : en cas de billet gagnant, le gain net est $50 - 10 = +40$ dinars, et en cas de défaite, le joueur perd sa mise, soit $-10$ dinars. Ainsi, $X(\Omega) = \{-10 ; 40\}$ .

Exemple travaillé · 29

On lance un dé cubique équilibré à six faces. Si l'on obtient la face 6, on gagne 2 dinars. Si l'on obtient 2 ou 4, on gagne 1 dinar. Si l'on obtient un nombre impair (1, 3 ou 5), on perd 1 dinar (gain net de $-1$ dinar).
Soit $X$ la variable aléatoire du gain algébrique.
1. Donner la loi de probabilité de $X$ .
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et déterminer si le jeu est favorable au joueur.

1

1. L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Par équiprobabilité, chaque face apparaît avec la probabilité $\frac{1}{6}$ .

2

L'ensemble des valeurs prises par $X$ est $X(\Omega) = \{-1 ; 1 ; 2\}$ . On détermine la probabilité de chaque modalité en dénombrant les issues favorables :

3

p(X = -1) = p(\{1, 3, 5\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

4

p(X = 1) = p(\{2, 4\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad p(X = 2) = p(\{6\}) = \frac{1}{6}

5

On vérifie la condition de normalisation : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ .

6

2. On applique la formule de l'espérance mathématique :

E(X) = (-1) \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

7

Comme $E(X) = \frac{1}{6} > 0$ , le joueur gagne en moyenne environ $0{,}167$ dinar par partie : le jeu lui est favorable.

Exemple travaillé · 30

Une variable aléatoire $X$ admet la loi de probabilité suivante :
$p(X = 0) = 0{,}2$ , $p(X = 1) = 0{,}5$ et $p(X = 2) = 0{,}3$ .
1. Calculer l'espérance $E(X)$ .
2. Calculer la variance $V(X)$ à l'aide de la formule de Koenig-Huygens, puis déterminer l'écart-type $\sigma(X)$ .

1

1. On calcule l'espérance $E(X)$ en sommant les produits des valeurs par leurs probabilités :

E(X) = (0 \times 0{,}2) + (1 \times 0{,}5) + (2 \times 0{,}3) = 0 + 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1

2

2. Pour appliquer la formule de Koenig-Huygens, on évalue la moyenne des carrés $E(X^2)$ :

E(X^2) = (0^2 \times 0{,}2) + (1^2 \times 0{,}5) + (2^2 \times 0{,}3) = 0 + 0{,}5 + (4 \times 0{,}3) = 1{,}7

3

On soustrait le carré de l'espérance pour obtenir la variance :

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}7 - (1{,}1)^2 = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49

4

On en déduit l'écart-type :

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7

Vérification · 31

Une variable aléatoire $Y$ prend les valeurs $-2$ et $3$ avec les probabilités respectives $p(Y = -2) = 0{,}4$ et $p(Y = 3) = 0{,}6$ .
Quelle est la valeur de l'espérance $E(Y)$ ?

Remarque

On applique directement la définition sommatoire :
$E(Y) = (-2) \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}6 = -0{,}8 + 1{,}8 = 1$

Point de départ · 32

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$ , $1$ et $2$ . Si l'on s'intéresse à l'événement $(X \le 1{,}5)$ , quelles valeurs prises par $X$ sont incluses dans ce calcul ?

Remarque

L'événement $(X \le x)$ cumule toutes les valeurs de l'univers inférieures ou égales au réel $x$ . Pour $x = 1{,}5$ , seules les valeurs $-1$ et $1$ vérifient l'inégalité.

Définition · 33

Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète

Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ avec $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ .

On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$F(x) = p(X \le x)$

Propriétés fondamentales sur $\mathbb{R}$ :

\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1

$F$ est une fonction en escalier, croissante, constante par morceaux et continue à droite en tout point :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < x_1 \\ \sum_{k=1}^i p(X = x_k) & \text{si } x \in [x_i ; x_{i+1}[ \\ 1 & \text{si } x \ge x_n \end{cases}$

Piège classique · 34

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{1 ; 2 ; 3\}$ . Que vaut $F(0{,}5) = p(X \le 0{,}5)$ ?

Attention

Affirmer que $F(0{,}5)$ n'est pas définie car $0{,}5 \notin X(\Omega)$ , ou que la fonction n'existe que sur l'intervalle $[1 ; 3]$ .

À la place : La fonction de répartition $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Pour tout réel strictement inférieur à la plus petite valeur prise par $X$ , aucun résultat n'est possible, donc $p(X \le 0{,}5) = p(\emptyset) = 0$ .

Exemple travaillé · 35

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par : $p(X = -1) = 0{,}5$ , $p(X = 1) = 0{,}3$ et $p(X = 2) = 0{,}2$ .
Déterminer l'expression de la fonction de répartition $F(x)$ pour tout réel $x$ .

1

Pour $x \in ]-\infty ; -1[$ , aucune valeur de $X$ n'est inférieure ou égale à $x$ :

F(x) = 0

2

Pour $x \in [-1 ; 1[$ , la seule valeur de $X$ satisfaisant l'inégalité est $-1$ :

F(x) = p(X = -1) = 0{,}5

3

Pour $x \in [1 ; 2[$ , les valeurs de $X$ inférieures ou égales à $x$ sont $-1$ et $1$ :

F(x) = p(X = -1) + p(X = 1) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8

4

Pour $x \in [2 ; +\infty[$ , toutes les valeurs possibles de $X$ sont prises en compte :

F(x) = 0{,}8 + p(X = 2) = 0{,}8 + 0{,}2 = 1

5

Les paliers sont fermés à gauche et ouverts à droite : chaque saut s'effectue exactement à la valeur $x_i$ où la probabilité ponctuelle est ajoutée.

Exemple travaillé · 36

On considère une variable aléatoire $X$ de fonction de répartition $F$ vérifiant : $F(x) = 0$ sur $]-\infty ; -1[$ , $F(x) = 0{,}5$ sur $[-1 ; 1[$ , $F(x) = 0{,}8$ sur $[1 ; 2[$ et $F(x) = 1$ sur $[2 ; +\infty[$ .
1. Calculer $p(X > 1)$ .
2. Calculer $p(-0{,}5 < X \le 2)$ à l'aide de $F$ .

1

1. L'événement $(X > 1)$ est l'événement contraire de $(X \le 1)$ :

p(X > 1) = 1 - p(X \le 1) = 1 - F(1)

2

Puisque $1 \in [1 ; 2[$ , on lit $F(1) = 0{,}8$ :

p(X > 1) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2

3

2. Pour tous réels $a$ et $b$ avec $a \le b$ , la probabilité de l'intervalle semi-ouvert est donnée par :

p(a < X \le b) = F(b) - F(a)

4

On évalue les images aux bornes avec $a = -0{,}5$ et $b = 2$ :

-0{,}5 \in [-1 ; 1[ \implies F(-0{,}5) = 0{,}5

5

2 \in [2 ; +\infty[ \implies F(2) = 1

6

On effectue la soustraction :

p(-0{,}5 < X \le 2) = F(2) - F(-0{,}5) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5

Vérification · 37

Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de répartition $F$ vaut $0{,}3$ sur l'intervalle $[0 ; 2[$ et $0{,}7$ sur l'intervalle $[2 ; 5[$ .
Quelle est la valeur de la probabilité $p(0 < X \le 2)$ ?

Remarque

D'après la formule fondamentale des intervalles semi-ouverts :
$p(0 < X \le 2) = F(2) - F(0)$
Puisque $2 \in [2 ; 5[$ , on a $F(2) = 0{,}7$ , et puisque $0 \in [0 ; 2[$ , on a $F(0) = 0{,}3$ .
On en déduit : $p(0 < X \le 2) = 0{,}7 - 0{,}3 = 0{,}4$ .

Point de départ · 38

On lance 3 fois de suite une pièce équilibrée de manière indépendante. La probabilité d'obtenir la séquence précise (Pile, Face, Face) est égale à $\frac{1}{8}$ . La probabilité d'obtenir exactement un Pile au cours des 3 lancers est-elle aussi égale à $\frac{1}{8}$ ?

Remarque

Non. L'événement « obtenir exactement un Pile » regroupe 3 séquences distinctes : (Pile, Face, Face), (Face, Pile, Face) et (Face, Face, Pile). Sa probabilité est donc $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ .

Définition · 39

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'admettant que deux issues complémentaires : le succès $S$ de probabilité $p$ , et l'échec $\overline{S}$ de probabilité $1-p$ .

On appelle schéma de Bernoulli la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ représentant le nombre total de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n, p)$ .

$p(X = k) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n-k} \quad \text{pour tout } k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

L'espérance et la variance d'une variable $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ sont données par :

$E(X) = n p \quad \text{et} \quad V(X) = n p (1 - p)$

Piège classique · 40

Un tireur touche la cible avec une probabilité $p = 0{,}7$ . Il tire 4 fois de manière indépendante. Quelle est l'expression de la probabilité qu'il touche la cible exactement 3 fois ?

Attention

Écrire $(0{,}7)^3 \times (0{,}3)^1$ en oubliant le coefficient binomial $C_4^3$ .

À la place : Le produit $(0{,}7)^3 \times (0{,}3)^1$ donne la probabilité d'une seule séquence fixée (par exemple $S S S E$ ). Il faut multiplier par le nombre d'ordres possibles $C_4^3 = 4$ , ce qui donne $C_4^3 \times (0{,}7)^3 \times (0{,}3)^1$ .

Exemple travaillé · 41

Un candidat répond au hasard à un questionnaire de 5 questions indépendantes. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est correcte ( $p = 0{,}25$ ). Soit $X$ le nombre de réponses correctes.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 réponses correctes.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une réponse correcte.

1

1. L'épreuve est répétée $n = 5$ fois de manière identique et indépendante, avec deux issues (succès avec $p = 0{,}25$ , échec avec $1 - p = 0{,}75$ ). $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(5 ; 0{,}25)$ .

2

2. Pour $k = 2$ , on applique la formule de la loi binomiale :

p(X = 2) = C_5^2 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^3

3

Comme $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ , on calcule la valeur numérique :

p(X = 2) = 10 \times 0{,}0625 \times 0{,}421875 \approx 0{,}264

4

3. L'événement « au moins une réponse correcte » est $(X \ge 1)$ . Son événement contraire est $(X = 0)$ :

p(X = 0) = C_5^0 \times (0{,}25)^0 \times (0{,}75)^5 = (0{,}75)^5 \approx 0{,}237

5

On en déduit la probabilité recherchée :

p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - (0{,}75)^5 \approx 1 - 0{,}237 = 0{,}763

Exemple travaillé · 42

Une chaîne de fabrication produit des pièces dont 5% sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de 60 pièces. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit $Y$ le nombre de pièces défectueuses dans le lot.
1. Calculer l'espérance $E(Y)$ et la variance $V(Y)$ .
2. Interpréter la valeur de $E(Y)$ .

1

1. Le prélèvement est modélisé par la répétition de $n = 60$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p = 0{,}05$ . Donc $Y \sim \mathcal{B}(60 ; 0{,}05)$ .

2

On applique directement la formule de l'espérance mathématique :

E(Y) = n p = 60 \times 0{,}05 = 3

3

On applique la formule de la variance :

V(Y) = n p (1 - p) = 60 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 3 \times 0{,}95 = 2{,}85

4

2. Dans un lot de 60 pièces, l'entreprise s'attend à trouver en moyenne 3 pièces défectueuses.

Vérification · 43

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(4 ; 0{,}5)$ .
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 0 succès ( $X = 0$ ) ?

Remarque

On applique la formule binomiale pour $k = 0$ :
$p(X = 0) = C_4^0 \times (0{,}5)^0 \times (1 - 0{,}5)^4 = 1 \times 1 \times (0{,}5)^4 = 0{,}0625$
(soit $\frac{1}{16}$ ).

Point de départ · 44

On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0 ; 10]$ . Quelle est la probabilité d'obtenir exactement le nombre $3$ ?

Remarque

Dans un intervalle continu, il existe une infinité indénombrable de valeurs réelles possibles. La probabilité d'obtenir une valeur ponctuelle isolée est strictement nulle : $p(X = 3) = 0$ .

Définition · 45

Variable aléatoire continue et loi uniforme

Une variable aléatoire continue $X$ à valeurs dans $[a ; b]$ est caractérisée par une densité de probabilité $f$ , fonction positive et continue (ou continue par morceaux) sur $[a ; b]$ , vérifiant :

$\int_a^b f(t) \, dt = 1$

Pour tout réel $c$ , la probabilité ponctuelle est nulle : $p(X = c) = 0$ . Par conséquent, les inégalités strictes ou larges ont la même probabilité :

$p(x_1 \le X \le x_2) = p(x_1 < X \le x_2) = p(x_1 \le X < x_2) = p(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(t) \, dt$

On dit que $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a ; b]$ , notée $\mathcal{U}([a ; b])$ , si sa densité $f$ est la fonction constante définie sur $[a ; b]$ par $f(x) = \frac{1}{b - a}$ .

$p(x_1 \le X \le x_2) = \frac{x_2 - x_1}{b - a} \quad \text{pour tout } [x_1 ; x_2] \subset [a ; b]$

E(X) = \frac{a + b}{2}

Piège classique · 46

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0 ; 6]$ . Quelle est la relation entre $p(X < 4)$ et $p(X \le 4)$ ?

Attention

Considérer que $p(X < 4) < p(X \le 4)$ en transposant le réflexe du cas discret où l'égalité exclut une valeur entière.

À la place : Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'un point isolé est toujours nulle ( $p(X = 4) = 0$ ). On a donc rigoureusement $p(X < 4) = p(X \le 4)$ .

Exemple travaillé · 47

Un train arrive à une station entre 0h00 et 0h40. L'instant d'arrivée $X$ (en minutes) suit la loi uniforme $\mathcal{U}([0 ; 40])$ .
1. Calculer la probabilité que le train arrive entre 15 et 25 minutes.
2. Exprimer la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\mathbb{R}$ .

1

1. L'amplitude totale de l'intervalle est $b - a = 40 - 0 = 40$ .

2

On applique la formule de la loi uniforme pour le sous-intervalle $[15 ; 25]$ :

p(15 \le X \le 25) = \frac{25 - 15}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25

3

2. La fonction de répartition est définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = p(X \le x)$ .

4

Pour $x < 0$ , $F(x) = 0$ .

5

Pour $x \in [0 ; 40]$ :

F(x) = \int_0^x \frac{1}{40} \, dt = \frac{x - 0}{40 - 0} = \frac{x}{40}

6

Pour $x > 40$ , $F(x) = 1$ .

Exemple travaillé · 48

La durée de trajet d'un élève (en heures) est une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $[0 ; 1]$ .
Calculer la probabilité que son trajet dure entre 15 minutes et 20 minutes.

1

L'intervalle de définition de la loi uniforme est donné en heures. On convertit obligatoirement les bornes données en minutes en fractions d'heure :

2

15\text{ min} = \frac{15}{60}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h} \quad \text{et} \quad 20\text{ min} = \frac{20}{60}\text{ h} = \frac{1}{3}\text{ h}

3

On évalue la probabilité sur le sous-intervalle $\left[\frac{1}{4} ; \frac{1}{3}\right] \subset [0 ; 1]$ :

p\left(\frac{1}{4} \le X \le \frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}{1 - 0} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

4

On réduit au même dénominateur :

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083

Vérification · 49

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([2 ; 10])$ .
Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p(X \ge 6 \mid X \ge 4)$ ?

Remarque

Par définition de la probabilité conditionnelle :
$p(X \ge 6 \mid X \ge 4) = \frac{p(X \ge 6 \cap X \ge 4)}{p(X \ge 4)} = \frac{p(X \ge 6)}{p(X \ge 4)}$
Sur $[2 ; 10]$ d'amplitude $10 - 2 = 8$ :
- $p(X \ge 6) = \frac{10 - 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
- $p(X \ge 4) = \frac{10 - 4}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
On en déduit : $p(X \ge 6 \mid X \ge 4) = \frac{1/2}{3/4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Point de départ · 50

Un composant électronique fonctionne sans usure mécanique. S'il a déjà fonctionné pendant 5 ans sans panne, la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 3 années supplémentaires dépend-elle de ses 5 premières années de fonctionnement ?

Remarque

Pour un composant sans vieillissement (modélisé par une loi exponentielle), la durée passée n'influe pas sur la durée de vie résiduelle : la loi est dite « sans mémoire ».

Définition · 51

Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , notée $\mathcal{E}(\lambda)$ , si sa densité de probabilité $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$

Pour tout réel positif $a$ , la probabilité de survie au-delà de $a$ et la probabilité cumulée s'écrivent :

$p(X \ge a) = e^{-\lambda a} \quad \text{et} \quad p(X \le a) = 1 - e^{-\lambda a}$

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ vérifiant $a \le b$ :

$p(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$

L'espérance mathématique de $X$ donne la durée de vie moyenne :

$E(X) = \frac{1}{\lambda}$

Propriété sans mémoire (sans vieillissement) : pour tous réels positifs $t$ et $h$ :

$p(X \ge t + h \mid X \ge t) = p(X \ge h) = e^{-\lambda h}$

Piège classique · 52

La durée de vie $X$ d'une lampe suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . Sachant que la lampe a déjà fonctionné pendant 10 ans, on cherche la probabilité qu'elle dure au moins 5 années supplémentaires, soit $p(X \ge 15 \mid X \ge 10)$ . Quelle expression permet de conclure immédiatement ?

Attention

Recalculer un quotient complet d'intégrales ou soustraire les probabilités marginales en écrivant $p(X \ge 15) - p(X \ge 10)$ .

À la place : D'après la propriété d'absence de mémoire, $p(X \ge 10 + 5 \mid X \ge 10) = p(X \ge 5) = e^{-0{,}2 \times 5}$ : la durée déjà écoulée ne modifie pas la loi résiduelle.

Exemple travaillé · 53

La durée de vie $X$ (en années) d'un équipement suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ . La durée de vie moyenne observée est de 5 ans.
1. Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$ .
2. Calculer la probabilité que l'équipement fonctionne plus de 10 ans.
3. Sachant que l'équipement fonctionne depuis 10 ans, calculer la probabilité qu'il fonctionne au moins 5 années supplémentaires.

1

1. L'espérance mathématique d'une loi exponentielle est liée à son paramètre par $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ :

5 = \frac{1}{\lambda} \implies \lambda = \frac{1}{5} = 0{,}2

2

2. On évalue la probabilité de survie au-delà de 10 ans avec $\lambda = 0{,}2$ :

p(X > 10) = e^{-0{,}2 \times 10} = e^{-2} \approx 0{,}135

3

3. On cherche la probabilité conditionnelle $p(X \ge 15 \mid X \ge 10)$ . D'après la propriété d'absence de mémoire :

p(X \ge 10 + 5 \mid X \ge 10) = p(X \ge 5)

4

On évalue cette probabilité :

p(X \ge 5) = e^{-0{,}2 \times 5} = e^{-1} \approx 0{,}368

Piège classique · 54

Pour déterminer le nombre entier $n$ d'appareils indépendants garantissant qu'au moins l'un d'eux reste en service avec une probabilité d'au moins 99%, on aboutit à l'inéquation $(0{,}4)^n \le 0{,}01$ .
En appliquant le logarithme népérien, on obtient $n \ln(0{,}4) \le \ln(0{,}01)$ . Quelle est l'inégalité correcte pour $n$ ?

Attention

Conserver le sens $\le$ en divisant par $\ln(0{,}4)$ comme s'il s'agissait d'un nombre strictement positif.

À la place : Puisque $0{,}4 < 1$ , on a $\ln(0{,}4) < 0$ . Diviser chaque membre par un réel strictement négatif inverse obligatoirement le sens de l'inégalité : $n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}4)}$ .

Exemple travaillé · 55

La durée de vie $X$ (en années) d'un module suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ .
1. Calculer la probabilité $q$ qu'un module fonctionne plus de 5 ans.
2. On commande $n$ modules fonctionnant de manière indépendante. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ qu'au moins un module fonctionne plus de 5 ans.
3. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $p_n > 0{,}99$ .

1

1. On calcule la probabilité de survie au-delà de 5 ans :

q = p(X > 5) = e^{-0{,}1 \times 5} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61

2

2. L'événement « au moins un module fonctionne plus de 5 ans » a pour événement contraire « aucun des $n$ modules ne fonctionne plus de 5 ans » :

p_n = 1 - (1 - q)^n = 1 - (1 - 0{,}61)^n = 1 - (0{,}39)^n

3

3. On pose l'inéquation demandée :

1 - (0{,}39)^n > 0{,}99 \iff (0{,}39)^n < 0{,}01

4

On applique la fonction logarithme népérien, strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ :

n \ln(0{,}39) < \ln(0{,}01)

5

Comme $0{,}39 < 1$ , on a $\ln(0{,}39) < 0$ . On divise par $\ln(0{,}39)$ en inversant le sens de l'inégalité :

n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}39)} \approx \frac{-4{,}605}{-0{,}942} \approx 4{,}89

6

Puisque $n$ est un entier naturel, la plus petite valeur possible est $n = 5$ .

Vérification · 56

Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(0{,}5)$ .
Quelle est la valeur exacte de la probabilité conditionnelle $p(X \ge 6 \mid X \ge 2)$ ?

Remarque

Par la propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle :
$p(X \ge 2 + 4 \mid X \ge 2) = p(X \ge 4) = e^{-0{,}5 \times 4} = e^{-2}$
(soit environ $0{,}135$ ).

Probabilités — cours

Le cours

Rappel — Équiprobabilité sur un univers fini

Probabilité conditionnelle et probabilités composées

Indépendance de deux événements

Système complet d'événements et formule des probabilités totales

Formule de Bayes (probabilité a posteriori)

Variable aléatoire discrète, espérance et variance

Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Variable aléatoire continue et loi uniforme

Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement

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