Point de départ · 1

Soit le système $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - y = 4 \end{cases}$ . Quel tableau rectangulaire résume uniquement les coefficients placés devant les inconnues ?

En extrayant chaque coefficient à sa place respective, on forme la matrice des coefficients $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$ . Les constantes $7$ et $4$ forment quant à elles le vecteur du second membre.

Définition · 2

Écriture matricielle d'un système linéaire

Tout système linéaire de 3 équations à 3 inconnues se résume en une seule égalité matricielle.

$A \times X = B$

$A$ est la matrice carrée des coefficients, $X$ le vecteur-colonne des inconnues et $B$ le vecteur-colonne des termes constants.

Vocabulaire

Matrice du système — A
Vecteur des inconnues — X
Vecteur des constantes — B

Exemple travaillé · 3

Écris sous la forme matricielle $A \times X = B$ le système linéaire suivant :
$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 3x + 5y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + 5z = 6 \end{cases}$

1

On isole les trois inconnues dans le vecteur-colonne $X$ :

2

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

3

On place les constantes du second membre dans le vecteur-colonne $B$ :

4

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}

5

On extrait les coefficients de chaque équation pour former les lignes de la matrice $A$ :

6

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}

7

Le système s'écrit alors $A \times X = B$ avec ces trois matrices.

Exemple travaillé · 4

Donne l'écriture matricielle $A \times X = B$ du système aux inconnues $x_1, x_2, x_3$ :
$\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \\ x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \end{cases}$

1

Dans la première équation, l'inconnue $x_3$ est absente : son coefficient est donc $0$ .

2

2x_1 + 1x_2 + 0x_3 = 3

3

On construit la matrice carrée $A$ en plaçant $0$ à la première ligne et troisième colonne :

4

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

5

On complète avec le vecteur des inconnues et le vecteur des constantes :

6

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

Piège classique · 5

On considère l'équation $3x - 4z = 5$ comme première ligne d'un système à trois inconnues $(x, y, z)$ . Quelle est la première ligne de la matrice $A$ ?

Attention

Écrire $\begin{pmatrix} 3 & -4 & 0 \end{pmatrix}$ ou omettre la colonne de $y$ en décalant le coefficient de $z$ .

À la place : Chaque colonne est réservée à une variable fixe : colonne 1 pour $x$ , colonne 2 pour $y$ , colonne 3 pour $z$ . L'absence de $y$ impose le coefficient $0$ au milieu : $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \end{pmatrix}$ .

Vérification · 6

Quelle est la matrice $A$ associée au système linéaire suivant ?
$\begin{cases} x + 2z = 5 \\ -x + 4y = 0 \\ 3y - z = 7 \end{cases}$

Remarque

Ligne 1 : $1x + 0y + 2z$ . Ligne 2 : $-1x + 4y + 0z$ . Ligne 3 : $0x + 3y - 1z$ . Les zéros maintiennent l'alignement strict des colonnes pour $(x, y, z)$ .

Point de départ · 7

On considère la matrice carrée $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ . Que vaut la quantité $3 \times 4 - 2 \times 6$ ?

Ce calcul donne $12 - 12 = 0$ . Les deux lignes sont proportionnelles, ce qui rend impossible l'inversion de la matrice. Ce nombre déterminant s'appelle le déterminant de la matrice.

Définition · 8

Déterminant d'ordre 2 et condition d'inversibilité

Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 se calcule par produit en croix :

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

\det(A) \neq 0

Définition · 9

Déterminant d'ordre 3 par développement

Pour une matrice carrée d'ordre 3, on développe suivant une ligne ou une colonne en affectant à chaque coefficient le signe $(-1)^{i+j}$ :

$\det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - b_1 \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}$

De même qu'à l'ordre 2, la matrice d'ordre 3 est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Exemple travaillé · 10

Calcule le déterminant de la matrice $M = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 2 \\ -4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ et précise si $M$ est inversible.

1

On choisit de développer suivant la première colonne pour exploiter le zéro présent sur la troisième ligne.

2

\det(M) = 6 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - (-4) \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

3

On évalue les déterminants d'ordre 2 :

4

6(1 \times 2 - 2 \times 1) + 4(5 \times 2 - 2 \times 1) = 6(0) + 4(8) = 32

5

Comme $\det(M) = 32 \neq 0$ , la matrice $M$ est inversible.

Piège classique · 11

Dans le développement suivant la première ligne de $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ , quel signe précède le produit du coefficient $3$ par son mineur ?

Attention

Écrire $+3 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$ en conservant un signe positif pour chaque terme.

À la place : Les signes suivent la règle du damier $(-1)^{i+j}$ . En ligne 1 colonne 2, l'exposant $1+2=3$ est impair, imposant un signe négatif : $-3 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$ .

Vérification · 12

Soit la matrice triangulaire supérieure $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Quelle est la valeur de $\det(A)$ et la matrice est-elle inversible ?

Remarque

Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit des termes de la diagonale principale : $1 \times 4 \times 2 = 8$ . Comme $\det(A) \neq 0$ , $A$ est inversible.

Point de départ · 13

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ de déterminant $\det(M) = 1$ . Quelle est la matrice $M'$ vérifiant $M \times M' = I_2$ ?

À l'ordre 2, pour inverser une matrice de déterminant 1, on échange les deux termes diagonaux et on prend l'opposé des deux autres termes : $M' = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ .

Définition · 14

Inverse d'une matrice d'ordre 3 et comatrice

Pour toute matrice carrée $A$ d'ordre 3 telle que $\det(A) \neq 0$ , la matrice inverse $A^{-1}$ s'exprime à l'aide de la transposée de sa comatrice :

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} {}^t(\text{Com}(A))$

Chaque coefficient $C_{ij}$ de la comatrice est le cofacteur associé à $a_{ij}$ , formé du mineur d'ordre 2 affecté du signe $(-1)^{i+j}$ :

$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$

Exemple travaillé · 15

Détermine la matrice inverse de $A = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 6 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ , sachant que $\det(A) = -1$ .

1

On calcule les 9 cofacteurs $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$ pour construire la comatrice $\text{Com}(A)$ :

2

\text{Com}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & -3 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3

On transpose la comatrice en transformant ses lignes en colonnes :

4

{}^t(\text{Com}(A)) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

5

On multiplie par $\frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{-1} = -1$ pour obtenir $A^{-1}$ :

6

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

Exemple travaillé · 16

Détermine la matrice inverse de $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ dont le déterminant vaut $1$ .

1

Les zéros de la troisième ligne simplifient le calcul des cofacteurs. La comatrice s'écrit :

2

\text{Com}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -6 & 3 & 1 \end{pmatrix}

3

On échange les lignes et les colonnes pour former la transposée :

4

{}^t(\text{Com}(B)) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -6 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

5

Puisque $\det(B) = 1$ , l'inverse est directement égale à cette transposée :

6

B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -6 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Piège classique · 17

Une matrice $A$ vérifie $\det(A) = 2$ et sa comatrice est $\text{Com}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Quel est le coefficient situé à la 1ère ligne et 2ème colonne de $A^{-1}$ ?

Attention

Diviser directement le coefficient $C_{12} = 4$ par $\det(A) = 2$ pour obtenir $2$ , en oubliant la transposition.

À la place : La formule impose la transposée ${}^t(\text{Com}(A))$ . Le terme en position $(1,2)$ de l'inverse provient du cofacteur $C_{21} = 6$ . Le résultat est donc $\frac{6}{2} = 3$ .

Vérification · 18

Soit une matrice $M$ telle que $\det(M) = 1$ et $\text{Com}(M) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Quelle est la matrice inverse $M^{-1}$ ?

Remarque

Puisque $\det(M) = 1$ , $M^{-1} = {}^t(\text{Com}(M))$ . Les lignes de $\text{Com}(M)$ deviennent les colonnes de $M^{-1}$ .

Point de départ · 19

On donne deux matrices carrées $A$ et $B$ d'ordre 3 vérifiant $A \times B = 3 I_3$ . Quelle égalité permet d'isoler la matrice unité $I_3$ au second membre ?

En divisant par $3$ , on obtient $A \times \left(\frac{1}{3} B\right) = I_3$ . On reconnaît directement la relation $A \times A^{-1} = I_3$ sans calcul de déterminant.

Définition · 20

Inversion par relation algébrique ou polynomiale

Si le produit de deux matrices carrées fait apparaître la matrice unité $I_n$ , l'inversion est immédiate :

$A \times M = I_n \iff A^{-1} = M$

Plus généralement, si $A \times B = k I_n$ avec $k \neq 0$ :

$A^{-1} = \frac{1}{k} B$

De même, lorsqu'une relation polynomiale s'annule, on factorise par la matrice $A$ en associant la matrice unité $I_n$ à tout terme constant.

Exemple travaillé · 21

On donne les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 21 & -3 & -3 \\ -9 & 2 & 1 \\ -9 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
Sachant que $A \times B = 3 I_3$ , déduis-en $A^{-1}$ puis résous le système $A \times X = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

1

On isole la matrice identité $I_3$ dans l'égalité donnée :

2

A \times \left(\frac{1}{3} B\right) = I_3 \implies A^{-1} = \frac{1}{3} B

3

On résout le système directement par produit matriciel sans poser de pivot de Gauss :

4

X = A^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} B \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}

5

On effectue le produit matriciel de $B$ par la colonne des constantes :

6

B \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21(0) - 3(-7) - 3(5) \\ -9(0) + 2(-7) + 1(5) \\ -9(0) + 1(-7) + 2(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}

7

On multiplie par le scalaire $\frac{1}{3}$ pour conclure :

8

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}

Exemple travaillé · 22

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ vérifiant $M^2 + 2M = -I_3$ . Démontre que $M$ est inversible et détermine $M^{-1}$ .

1

On factorise par $M$ au premier membre en associant $I_3$ au coefficient $2$ :

2

M(M + 2I_3) = -I_3

3

On absorbe le signe négatif pour faire apparaître $I_3$ seul au second membre :

4

M(-M - 2I_3) = I_3

5

La matrice $M$ est donc inversible et son inverse est donnée par :

6

M^{-1} = -M - 2I_3

7

On explicite les coefficients de la matrice inverse :

8

M^{-1} = -\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Piège classique · 23

Une matrice carrée $A$ vérifie $A^2 - 4A + 2I_3 = O_3$ . Quelle est l'expression correcte de son inverse $A^{-1}$ ?

Attention

Écrire un scalaire seul comme $2 - \frac{1}{2}A$ ou $4 - A$ en omettant la matrice unité.

À la place : On ne peut pas soustraire un nombre réel à une matrice. La factorisation s'écrit $A(4I_3 - A) = 2I_3$ , d'où $A^{-1} = \frac{1}{2}(4I_3 - A) = 2I_3 - \frac{1}{2}A$ .

Vérification · 24

Une matrice carrée $B$ vérifie la relation $B^2 - 5B + 4I_3 = O_3$ . Quelle est l'expression de $B^{-1}$ ?

Remarque

On isole $4I_3$ : $B(5I_3 - B) = 4I_3$ , d'où $B \times \left[\frac{1}{4}(5I_3 - B)\right] = I_3$ . L'inverse est donc $B^{-1} = \frac{1}{4}(5I_3 - B)$ .

Point de départ · 25

Dans un système linéaire $A \times X = B$ de 3 équations à 3 inconnues, si l'on souhaite déterminer uniquement la valeur de $x$ , est-il indispensable de calculer tous les coefficients de la matrice inverse $A^{-1}$ ?

Non, la méthode de Cramer permet de calculer directement la valeur d'une inconnue ciblée grâce à un quotient de deux déterminants, sans avoir à déterminer la matrice inverse complète.

Définition · 26

Système de Cramer et formules de Cramer

Un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues d'écriture matricielle $A \times X = B$ est appelé un système de Cramer si sa matrice $A$ est inversible :

\det(A) \neq 0

Dans ce cas, le système admet une solution unique $(x, y, z)$ donnée par les formules de Cramer :

$x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} \quad ; \quad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} \quad ; \quad z = \frac{\det(A_3)}{\det(A)}$

La matrice $A_i$ est obtenue en remplaçant la $i$ -ième colonne de $A$ par le vecteur-colonne des constantes $B$ .

Exemple travaillé · 27

Résous dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode de Cramer le système suivant :
$\begin{cases} x + 3y + 2z = 1 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 2y + 4z = 1 \end{cases}$

1

On évalue le déterminant principal de la matrice des coefficients $A$ :

2

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 6) - 3(8 - 9) + 2(4 - 3) = 3

3

Comme $\det(A) = 3 \neq 0$ , le système admet une solution unique. On remplace la première colonne par les termes constants pour calculer $x$ :

4

\det(A_1) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 9 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -67 \implies x = \frac{-67}{3} = -\frac{67}{3}

5

On substitue successivement la deuxième colonne puis la troisième colonne pour obtenir $y$ et $z$ :

6

\det(A_2) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 9 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -16 \implies y = -\frac{16}{3}

7

\det(A_3) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 59 \implies z = \frac{59}{3}

8

Le système admet pour unique solution le triplet $\left(-\frac{67}{3}, -\frac{16}{3}, \frac{59}{3}\right)$ .

Piège classique · 28

Un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues vérifie $\det(A) = 0$ . Que peut-on affirmer avec certitude sur ses solutions ?

Attention

Conclure que le système n'admet aucune solution ( $S = \emptyset$ ) dès que le déterminant s'annule.

À la place : La nullité du déterminant signifie uniquement que le système n'est pas de Cramer : il n'y a pas de solution unique. Si les équations sont compatibles, il admet une infinité de solutions. Il n'est impossible ( $S = \emptyset$ ) que si les équations sont contradictoires.

Exemple travaillé · 29

On considère le système suivant dont la matrice $A$ vérifie $\det(A) = 0$ :
$\begin{cases} x - y + z = 2 \quad (L_1) \\ 2x - y + z = 5 \quad (L_2) \\ -x + y - z = -2 \quad (L_3) \end{cases}$
Détermine le nombre de solutions de ce système.

1

La ligne $L_3$ est opposée à la ligne $L_1$ ( $-1 \times L_1$ ) : elle est redondante et n'apporte aucune nouvelle contrainte.

2

On soustrait $L_1$ à $L_2$ pour éliminer les inconnues $y$ et $z$ :

3

(2x - y + z) - (x - y + z) = 5 - 2 \iff x = 3

4

On remplace $x = 3$ dans la première équation pour exprimer $y$ en fonction de $z$ :

5

3 - y + z = 2 \iff y = z + 1

6

Pour tout réel $z$ , le triplet $(3, z + 1, z)$ est solution. Bien que $\det(A) = 0$ , le système admet une infinité de solutions.

Vérification · 30

À quelle condition nécessaire et suffisante un système carré $A \times X = B$ admet-il une solution unique dans $\mathbb{R}^3$ ?

Remarque

D'après le théorème de Cramer, le système admet une solution unique si et seulement si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .

Systèmes d'équations linéaires — cours

Le cours

Écriture matricielle d'un système linéaire

Déterminant d'ordre 2 et condition d'inversibilité

Déterminant d'ordre 3 par développement

Inverse d'une matrice d'ordre 3 et comatrice

Inversion par relation algébrique ou polynomiale

Système de Cramer et formules de Cramer

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