Systèmes d'équations linéaires — exercices corrigés

On considère les systèmes d'équations linéaires et les matrices associés à des problèmes d'achats chez un commerçant, mettant en jeu des matrices carrées d'ordre 3, leur déterminant et leur inversion.

1. 1. On considère les matrices $$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ et $$A = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$. Écrire sous forme matricielle le produit $M \times A$ représentant les achats de trois clients.

   Indice — Organise les coefficients des articles pour chaque client selon l'ordre des trois espèces de poissons.

   Correction

   Par produit matriciel d'une matrice $3 \times 3$ par un vecteur colonne $3 \times 1$, on obtient :
   $$M \times A = \begin{pmatrix} 2x + 5y + 4z \\ 3x + 5y + z \\ x + y + z \end{pmatrix}$$

2. 2. Calculer le déterminant de la matrice $M$ et préciser si $M$ est inversible.

   Indice — Développe le déterminant suivant la première ligne ou la première colonne pour vérifier s'il est non nul.

   Correction

   En développant suivant la première ligne :
   $$\det(M) = 2(5 - 1) - 5(3 - 1) + 4(3 - 5) = 8 - 10 - 8 = -10$$
   Le déterminant est non nul ($\det(M) = -10 \neq 0$), donc la matrice $M$ est inversible.

3. 3. On considère la matrice $$N = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 15 \\ 2 & 2 & -10 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$$. Calculer le produit $M \times N$ et en déduire l'expression explicite de la matrice inverse $M^{-1}$.

   Indice — Effectue le produit matriciel $M \ני N$ en posant $N = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 15 \\ 2 & 2 & -10 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ pour faire apparaître un multiple de la matrice identité $I_3$.

   Correction

   Le calcul du produit donne $M \times N = -10 I_3$, ce qui s'écrit $M \times \left(-\frac{1}{10} N\right) = I_3$.
   Par définition de l'inverse, on en déduit que $M^{-1} = -\frac{1}{10} N = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}1 & -1{,}5 \\ -0{,}2 & -0{,}2 & 1 \\ -0{,}2 & 0{,}3 & -0{,}5 \end{pmatrix}$.

4. 4. Traduire les achats de la première cliente payant 62 DT et de la deuxième cliente payant 53 DT par deux équations linéaires vérifiées par $x$, $y$ et $z$.

   Indice — Traduis les achats de la première cliente (2 limandes, 5 maquereaux, 4 carrelets pour 62 DT) et de la deuxième (3 limandes, 5 maquereaux, 1 carrelet pour 53 DT) sous la forme d'un système d'équations.

   Correction

   Chaque ligne correspond au montant total dépensé par une cliente :
   - Première cliente : $2x + 5y + 4z = 62$
   - Deuxième cliente : $3x + 5y + z = 53$

5. 5. Soit la matrice $$A' = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$. Calculer $\det(A')$ et expliquer pourquoi cette matrice n'est pas inversible.

   Indice — Considère une autre matrice $A' = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 7 & 8 \end{pmatrix}$ dont le déterminant est nul, et cherche une combinaison linéaire entre ses lignes.

   Correction

   Pour calculer le déterminant de $A'$, on utilise la règle de Sarrus ou le développement suivant la première ligne :
   $$\det(A') = 2(5 \times 8 - 1 \times 7) - 5(3 \times 8 - 1 \times 2) + 4(3 \times 7 - 5 \times 2)$$
   $$\det(A') = 2(33) - 5(22) + 4(11) = 66 - 110 + 44 = 0$$
   Comme le déterminant de la matrice $A'$ est nul ($\det(A') = 0$), la matrice $A'$ n'est pas inversible.

6. 6. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la troisième ligne de $A'$ soit égale à $\alpha L_1 + \beta L_2$.

   Indice — Exprime la troisième ligne comme une combinaison linéaire $\alpha L_1 + \beta L_2$ des deux premières lignes du système.

   Correction

   On cherche les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $L_3 = \alpha L_1 + \beta L_2$, ce qui se traduit par le système d'équations suivant :
   $$\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = 2 \\ 5\alpha + 5\beta = 7 \\ 4\alpha + \beta = 8 \end{cases}$$
   En résolvant ce système, on obtient de manière unique :
   $$\alpha = \frac{11}{5} = 2,2 \quad \text{et} \quad \beta = -\frac{4}{5} = -0,8$$
   La troisième ligne est donc la combinaison linéaire : $L_3 = 2,2 L_1 - 0,8 L_2$.

7. 7. Une troisième cliente achète 2 limandes, 7 maquereaux et 8 carrelets. En utilisant la relation précédente entre les lignes, calculer sa dépense totale.

   Indice — Utilise la combinaison linéaire trouvée à la question précédente pour calculer la dépense de la troisième cliente sans avoir à déterminer les prix unitaires.

   Correction

   Puisque la composition de l'achat de la troisième cliente correspond à la combinaison linéaire des deux premières ($L_3 = 2,2 L_1 - 0,8 L_2$), sa dépense totale $D_3$ suit la même relation par rapport aux dépenses des deux premières clientes ($D_1 = 65$ DT et $D_2 = 55$ DT) :
   $$D_3 = 2,2 D_1 - 0,8 D_2$$
   $$D_3 = 2,2 \times 65 - 0,8 \times 55 = 143 - 44 = 99 \text{ DT}$$
   La dépense de la troisième cliente est de $99$ DT.

8. 8. Un quatrième client achète 2 limandes, 2 maquereaux et 2 carrelets pour un total de 38 DT. En combinant cette information avec les deux premières et en utilisant la matrice inverse $M^{-1}$, déterminer les prix unitaires $x$, $y$ et $z$ de chaque poisson.

   Indice — Utilise l'écriture matricielle $X = M^{-1} \times C$ en prenant en compte l'achat d'un quatrième client dont la somme totale est connue.

   Correction

   Le problème se traduit par le système matriciel $M X = C$ où :
   $$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C = \begin{pmatrix} 65 \\ 55 \\ 38 \end{pmatrix}$$
   La matrice inverse de $M$ est donnée par :
   $$M^{-1} = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} -8 & 2 & 15 \\ 4 & 4 & -10 \\ 4 & -6 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0,4 & 0,1 & 0,75 \\ 0,2 & 0,2 & -0,5 \\ 0,2 & -0,3 & 0,25 \end{pmatrix}$$
   On détermine les prix unitaires en calculant $X = M^{-1} \times C$ :
   $$X = \begin{pmatrix} -0,4 \times 65 + 0,1 \times 55 + 0,75 \times 38 \\ 0,2 \times 65 + 0,2 \times 55 - 0,5 \times 38 \\ 0,2 \times 65 - 0,3 \times 55 + 0,25 \times 38 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$$
   Les prix unitaires sont donc de $8$ DT pour une limande, $5$ DT pour un maquereau et $6$ DT pour un carrelet.

Dans une papeterie tunisienne, on étudie les relations financières entre différents achats d'articles scolaires à l'aide du calcul matriciel.

1. 1. Calculer le déterminant de la matrice $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$$.

   Indice — Utilise la méthode de développement suivant la première ligne pour calculer le déterminant.

   Correction

   On calcule le déterminant de la matrice $A$ en développant suivant la première ligne :
   $$\det(A) = 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$$
   En calculant les déterminants d'ordre 2, on obtient :
   $$\det(A) = 1(7 - 5) - 2(14 - 4) + 3(10 - 4) = 2 - 20 + 18 = 0$$
   Le déterminant de la matrice $A$ est donc égal à $0$.

2. 2. En déduire si la matrice $A$ est inversible.

   Indice — Rappelle-toi du lien entre la valeur du déterminant d'une matrice et son inversibilité.

   Correction

   Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
   Puisque $\det(A) = 0$, on en déduit que la matrice $A$ n'est pas inversible.

3. 3. On considère les matrices $$M =$$
   \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$\text{et}N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& -2& 5\\ 1& 1& -3\end{array}\right)$$
   \quad \text{et} \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} Calculer le produit $M \times N$ et en déduire la matrice inverse $M^{-1}$.

   Indice — Effectue le produit matriciel ligne par colonne et utilise le résultat pour identifier la matrice inverse de $M$.

   Correction

   En effectuant le produit matriciel ligne par colonne de $M$ et $N$, on obtient :
   $$M \times N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$$
   Puisque $M \times N = I_3$, la matrice $M$ est inversible et son inverse est la matrice $N$ :
   $$M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

4. 4. Un libraire vend trois types d'articles : des cahiers, des stylos et des classeurs. On note respectivement $x$, $y$ et $z$ leurs prix unitaires en dinars (DT).
   Trois clients effectuent des achats :
   - Le premier achète 1 cahier, 2 stylos et 3 classeurs et paie 14 DT.
   - Le deuxième achète 2 cahiers, 1 stylo et 1 classeur et paie 10 DT.
   - Le troisième achète 4 cahiers, 5 stylos et 7 classeurs.

   Traduire les achats des deux premiers clients sous forme d'un système de deux équations linéaires à trois inconnues.

   Indice — Associe chaque type d'article à une variable et traduis les achats de chaque client par une équation linéaire.

   Correction

   En traduisant les achats des deux premiers clients sous forme d'équations, on obtient le système linéaire de deux équations à trois inconnues suivant :
   $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + y + z = 10 \end{cases}$$

5. 5. Montrer que la dépense du troisième client peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des dépenses des deux premiers clients. Déterminer les coefficients de cette combinaison.

   Indice — Cherche deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la troisième ligne d'achats soit égale à $\alpha L_1 + \beta L_2$, où $L_1$ et $L_2$ sont les lignes du système précédent.

   Correction

   On cherche deux réels $\alpha$ and $\beta$ tels que la troisième ligne d'achats soit une combinaison linéaire des deux premières : $L_3 = \alpha L_1 + \beta L_2$.
   En identifiant les coefficients pour chaque article, on obtient le système :
   $$\begin{cases} 2\alpha + \beta = 5 \\ 3\alpha + 2\beta = 8 \\ \alpha + 2\beta = 4 \end{cases}$$
   La résolution de ce système donne de manière unique $\alpha = 2$ et $\beta = 1$. La dépense du troisième client s'exprime donc par la combinaison linéaire : $L_3 = 2 L_1 + L_2$.

6. 6. En déduire la somme payée par le troisième client sans calculer les prix unitaires $x$, $y$ et $z$.

   Indice — Utilise la relation de combinaison linéaire trouvée à la question précédente et les montants payés par les deux premiers clients.

   Correction

   La relation de combinaison linéaire sur les achats s'applique directement aux montants payés. Ainsi, la somme payée par le troisième client est :
   $$D_3 = 2 D_1 + D_2$$
   En remplaçant par les dépenses respectives des deux premiers clients ($D_1 = 12$ DT et $D_2 = 11$ DT), on obtient :
   $$D_3 = 2 \times 12 + 11 = 35\text{ DT}$$

7. 7. Un quatrième client achète 1 cahier, 1 stylo et 1 classeur pour un montant de 7 DT. Écrire le système d'équations linéaires formé par les achats du premier, du deuxième et du quatrième client, puis donner son écriture matricielle sous la forme $M \times X = C$, où $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $C$ est un vecteur colonne à déterminer.

   Indice — Ajoute l'équation du quatrième client au système des deux premiers et écris-le sous la forme $M \times X = C$.

   Correction

   En traduisant les achats du premier, du deuxième et du quatrième client, on obtient le système d'équations linéaires suivant :
   $$\begin{cases} 2x + 3y + z = 12 \\ x + 2y + 2z = 11 \\ x + y + z = 7 \end{cases}$$
   L'écriture matricielle associée sous la forme $M \times X = C$ est :
   $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 11 \\ 7 \end{pmatrix}$$
   Où $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 12 \\ 11 \\ 7 \end{pmatrix}$.

8. 8. Résoudre ce système en utilisant $M^{-1}$ et en déduire le prix unitaire de chaque article.

   Indice — Utilise la relation $X = M^{-1} \times C$ en remplaçant $M^{-1}$ par la matrice $N$ déterminée à la question 3.

   Correction

   La solution du système est donnée par la relation $X = M^{-1} \times C$. En remplaçant $M^{-1}$ par la matrice inverse $N$ déterminée précédemment, on calcule le produit :
   $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 11 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$
   On en déduit les prix unitaires des articles : le cahier coûte 3 DT, le stylo 1 DT et le classeur 3 DT.

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et on note $I_2$ la matrice identité d'ordre 2.

1. 1). Calculer la matrice $A^2$, puis vérifier que :
   $$A^2 - 7A = -10 I_2$$

   Indice — Calcule d'abord le produit $A \times A$ coefficient par coefficient, puis effectue la différence $A^2 - 7A$.

   Correction

   On calcule le produit matriciel $A^2 = A \times A$ :
   $A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 7 \\ 14 & 18 \end{pmatrix}$

   On effectue ensuite la différence $A^2 - 7A$ :
   $A^2 - 7A = \begin{pmatrix} 11 & 7 \\ 14 & 18 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 14 & 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 0 \\ 0 & -10 \end{pmatrix} = -10 I_2$

   L'égalité est donc bien vérifiée.

2. 2). En déduire, à l'aide d'une factorisation par la matrice $A$, que la matrice $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ sous la forme $c(7I_2 - A)$ où $c$ est un réel que l'on déterminera.

   Indice — Factorise par $A$ dans le membre de gauche de l'égalité $A^2 - 7A = -10 I_2$ pour obtenir une relation de la forme $A \times M = I_2$.

   Correction

   À partir de l'égalité $A^2 - 7A = -10 I_2$, on factorise le membre de gauche par la matrice $A$ :
   $A(A - 7I_2) = -10 I_2$

   En divisant par $-10$, on obtient :
   $A \times \left( \frac{1}{10}(7I_2 - A) \right) = I_2$

   Par définition, la matrice $A$ est donc inversible, et son inverse est :
   $A^{-1} = \frac{1}{10}(7I_2 - A)$

   On en déduit que le réel recherché est $c = \frac{1}{10}$ (ou $0{,}1$).

3. 3). Déterminer les coefficients de la matrice $A^{-1}$ sous forme explicite.

   Indice — Calcule d'abord la matrice $7I_2 - A$ puis multiplie chaque coefficient par le réel $c$ trouvé à la question précédente.

   Correction

   On détermine d'abord la matrice $7I_2 - A$ :
   $7I_2 - A = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

   En multipliant chaque coefficient par $c = \frac{1}{10}$, on obtient la forme explicite de $A^{-1}$ :
   $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{10} \end{pmatrix}$

4. 4). Écrire le système linéaire suivant sous forme matricielle, puis le résoudre en utilisant la matrice $A^{-1}$ :
   $$(S_1) : \begin{cases} 3x + y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$$

   Indice — Identifie la matrice des coefficients du système et calcule le produit matriciel $X = A^{-1} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$.

   Correction

   Le système linéaire $(S_1)$ s'écrit sous la forme matricielle $AX = B$ où :
   $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$

   La matrice $A$ étant inversible, l'unique solution du système est donnée par $X = A^{-1}B$ :
   $X = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 \times 5 - 0{,}1 \times 10 \\ -0{,}2 \times 5 + 0{,}3 \times 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

   La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, 2)$.

5. 5). Déterminer, en fonction des réels $m$ et $n$, l'unique solution du système paramétrique suivant :
   $$(S_2) : \begin{cases} 3x + y = m \\ 2x + 4y = n \end{cases}$$

   Indice — Exprime la solution sous la forme d'un produit matriciel $X = A^{-1} \times \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$ et développe le résultat.

   Correction

   Le système $(S_2)$ se réécrit sous la forme matricielle $AX = Y$ avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$.

   Comme la matrice $A$ est inversible, l'unique solution est donnée par $X = A^{-1} Y$.

   On détermine l'inverse de $A$ :
   $$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

   En effectuant le produit matriciel $X = A^{-1} Y$, on obtient :
   $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4m - n \\ -2m + 3n \end{pmatrix}$$

   L'unique solution du système est donc $x = \frac{4m - n}{10}$ et $y = \frac{-2m + 3n}{10}$.

Une entreprise textile produit trois types d'articles : des jupes, des robes et des pantalons.
Pour fabriquer une jupe, il faut 1 mètre de tissu, 2 boutons et 1 fermeture à glissière.
Pour fabriquer une robe, il faut 2 mètres de tissu, 1 bouton et 1 fermeture à glissière.
Pour fabriquer un pantalon, il faut 1 mètre de tissu, 1 bouton et 2 fermetures à glissière.

On note :
- $x$ le nombre de jupes produites,
- $y$ le nombre de robes produites,
- $z$ le nombre de pantalons produits,
- $a$, $b$ et $c$ les quantités totales respectives de tissu (en mètres), de boutons et de fermetures à glissière utilisées.

1. 1. Traduire les contraintes de consommation de cette entreprise sous la forme d'un système $(S)$ de trois équations linéaires à trois inconnues $x$, $y$ et $z$.

   Indice — Exprime la quantité totale de chaque matière première ($a$, $b$ et $c$) en fonction des quantités d'articles produits $x$, $y$ et $z$.

   Correction

   En traduisant la consommation de chaque matière première (tissu, boutons, fermetures à glissière) pour la production de $x$ jupes, $y$ robes et $z$ pantalons, on obtient le système linéaire $(S)$ suivant :
   $$\begin{cases} x + 2y + z = a \quad \text{(tissu)} \\ 2x + y + z = b \quad \text{(boutons)} \\ x + y + 2z = c \quad \text{(fermetures)} \end{cases}$$

2. 2. Donner l'écriture matricielle de ce système sous la forme $A \times X = B$, où $A$ est une matrice carrée d'ordre 3, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.

   Indice — Identifie les coefficients devant $x$, $y$ et $z$ dans chaque équation pour former les lignes de la matrice $A$.

   Correction

   En extrayant les coefficients des variables $x$, $y$ et $z$ de chaque équation du système $(S)$, on obtient l'écriture matricielle $A \times X = B$ avec :
   $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

3. 3. Calculer le déterminant de la matrice $A$ et en déduire que $A$ est inversible.

   Indice — Développe le déterminant suivant la première ligne ou utilise la règle de Sarrus, puis vérifie s'il est non nul.

   Correction

   Calculons le déterminant de la matrice $A$ en le développant suivant la première ligne :
   $$\det(A) = 1 \times (1 \times 2 - 1 \times 1) - 2 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (2 \times 1 - 1 \times 1)$$
   $$\det(A) = 1(1) - 2(3) + 1(1) = -4$$
   Comme $\det(A) \neq 0$, on en déduit que la matrice $A$ est inversible.

4. 4. On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$. Calculer le produit matriciel $A \times M$.

   Indice — Effectue le produit ligne par colonne entre $A$ et $M$ et exprime le résultat sous la forme $k I_3$ où $k$ est un réel.

   Correction

   Effectuons le produit matriciel ligne par colonne entre $A$ et $M$ :
   $$A \times M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$
   On obtient ainsi : $A \times M = -4 I_3$, où $I_3$ désigne la matrice identité d'ordre 3.

5. 5. En déduire, à partir du résultat de la question précédente, l'expression de la matrice inverse $A^{-1}$ de $A$.

   Indice — Utilise la relation $A \times M = k I_3$ pour isoler $I_3$ et identifier $A^{-1}$ sous la forme d'un produit d'un réel par la matrice $M$.

   Correction

   D'après la question précédente, on a la relation $A \times M = 4 I_3$, avec $M = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$.

   En divisant par $4$, on obtient :
   $A \times \left(\frac{1}{4} M\right) = I_3$

   Par définition de la matrice inverse, on en déduit :
   $A^{-1} = \frac{1}{4} M = \begin{pmatrix} -0,25 & 0,75 & -0,25 \\ 0,75 & -0,25 & -0,25 \\ -0,25 & -0,25 & 0,75 \end{pmatrix}$

6. 6. Montrer que si la matrice $A$ est inversible, alors l'unique solution du système $A \times X = B$ est donnée par $X = A^{-1} \times B$.

   Indice — Multiplie à gauche les deux membres de l'égalité $A \times X = B$ par la matrice $A^{-1}$ et utilise la propriété de la matrice identité $I_3$.

   Correction

   On part de l'égalité matricielle :
   $A \times X = B$

   En multipliant à gauche par $A^{-1}$ de chaque côté :
   $A^{-1} \times (A \times X) = A^{-1} \times B$

   Par associativité du produit matriciel, on a :
   $(A^{-1} \times A) \times X = A^{-1} \times B$

   Comme $A^{-1} \times A = I_3$ et $I_3 \times X = X$, on obtient directement l'unique solution :
   $X = A^{-1} \times B$

7. 7. Déterminer le nombre de jupes, de robes et de pantalons fabriqués par cette entreprise sachant qu'elle a consommé 140 mètres de tissu, 110 boutons et 110 fermetures à glissière.

   Indice — Remplace $a$, $b$ et $c$ par leurs valeurs respectives dans le vecteur $B$, puis calcule le produit $A^{-1} \times B$ pour trouver $x$, $y$ et $z$.

   Correction

   Les ressources consommées se traduisent par le vecteur $B = \begin{pmatrix} 140 \\ 110 \\ 110 \end{pmatrix}$.

   En utilisant la relation $X = A^{-1} \times B$ établie à la question précédente, on calcule :
   $X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 140 \\ 110 \\ 110 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 50 \\ 20 \end{pmatrix}$

   L'entreprise a donc fabriqué $20$ jupes, $50$ robes et $20$ pantalons.

Dans le cadre de l'étude de systèmes d'équations linéaires à trois inconnues et de leurs propriétés matricielles, on considère des matrices carrées associées aux coefficients des équations modélisant des achats de matériel informatique.

1. 1. Soit la matrice $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$. Calculer le déterminant de la matrice $A$.

   Indice — Développe le déterminant suivant la première ligne en faisant attention à l'alternance des signes des cofacteurs.

   Correction

   On calcule le déterminant de la matrice $A$ en le développant suivant la première ligne :
   $$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}$$
   En calculant ces déterminants d'ordre 2, on obtient :
   $$\det(A) = 2(33) - 5(22) + 4(11) = 0$$

2. 2. Justifier si la matrice $A$ est inversible ou non.

   Indice — Rappelle-toi de la condition nécessaire et suffisante d'inversibilité d'une matrice carrée liée à la valeur de son déterminant.

   Correction

   Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. D'après la question précédente, on a $\det(A) = 0$. Par conséquent, la matrice $A$ n'est pas inversible.

3. 3. On considère les matrices $$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ et $$N = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 15 \\ 2 & 2 & -10 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$$. Calculer le produit matriciel $M \times N$.

   Indice — Effectue le produit ligne par colonne et exprime la matrice obtenue sous la forme $k I_3$ où $k$ est un réel à déterminer et $I_3$ la matrice identité d'ordre 3.

   Correction

   En effectuant le produit matriciel ligne par colonne de $M$ et $N$, on obtient :
   $$M \times N = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$$
   Ce résultat s'écrit sous la forme :
   $$M \times N = 10 I_3$$
   où $I_3$ désigne la matrice identité d'ordre 3.

4. 4. En déduire que la matrice $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse $M^{-1}$.

   Indice — Utilise la relation obtenue à la question précédente pour identifier une écriture de la forme $M \times P = I_3$.

   Correction

   D'après la question précédente, on a la relation $M \times N = 10 I_3$. En multipliant par $\frac{1}{10}$, on obtient :
   $$M \times \left(\frac{1}{10} N\right) = I_3$$
   Par définition, cela prouve que la matrice $M$ est inversible et que sa matrice inverse $M^{-1}$ est :
   $$M^{-1} = \frac{1}{10} N = \begin{pmatrix} -0{,}4 & 0{,}1 & 1{,}5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & -1 \\ 0{,}2 & -0{,}3 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$

5. 5. Un club d'informatique d'un lycée tunisien achète du matériel chez un fournisseur :
   - Le premier groupe achète 2 clés USB, 5 souris et 4 câbles HDMI pour un montant total de 62 DT.
   - Le deuxième groupe achète 3 clés USB, 5 souris et un câble HDMI pour un montant total de 53 DT.
   - Le troisième groupe achète 2 clés USB, 7 souris et 8 câbles HDMI pour un montant total noté $S$ DT. En désignant par $x$, $y$ et $z$ les prix unitaires respectifs (en DT) d'une clé USB, d'une souris et d'un câble HDMI, traduire ces informations par un système de trois équations à trois inconnues.

   Indice — Associe chaque groupe d'achat à une équation linéaire où les coefficients correspondent aux quantités achetées.

   Correction

   En traduisant directement les achats de chaque groupe par une équation linéaire où $x$, $y$ et $z$ représentent les prix unitaires respectifs d'une clé USB, d'une souris et d'un câble HDMI, on obtient le système suivant :
   $$\begin{cases} 2x + 5y + 4z = 62 \\ 3x + 5y + z = 53 \\ 2x + 7y + 8z = S \end{cases}$$

6. 6. Expliquer pourquoi il est impossible de déterminer de manière unique les prix unitaires $x$, $y$ et $z$ à partir des seules données des trois groupes, en faisant le lien avec la matrice $A$.

   Indice — Observe la matrice des coefficients du système formé par les trois groupes et mets-la en relation avec la matrice $A$ étudiée à la question 2.

   Correction

   La matrice des coefficients du système est $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 7 & 8 \end{pmatrix}$. En calculant son déterminant, on trouve $\det(A) = 0$, ce qui montre que la matrice $A$ n'est pas inversible. Par conséquent, le système n'admet pas de solution unique, et il est impossible de déterminer de manière unique les prix unitaires $x$, $y$ et $z$.

7. 7. On cherche à exprimer la troisième ligne $L_3$ du système comme une combinaison linéaire des deux premières lignes $L_1$ et $L_2$ sous la forme $L_3 = \alpha L_1 + \beta L_2$. Établir le système d'équations d'inconnues $\alpha$ et $\beta$ traduisant cette relation.

   Indice — Identifie les coefficients de $x$, $y$ et $z$ de chaque côté de l'égalité $L_3 = \alpha L_1 + \beta L_2$ pour obtenir un système de trois équations à deux inconnues.

   Correction

   En identifiant les coefficients de $x$, $y$ et $z$ de chaque côté de la relation vectorielle $L_3 = \alpha L_1 + \beta L_2$, on obtient le système d'équations suivant :
   $$\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = 2 \\ 5\alpha + 5\beta = 7 \\ 4\alpha + \beta = 8 \end{cases}$$

8. 8. Résoudre le système obtenu à la question précédente pour déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$.

   Indice — Résous le système formé par deux des équations, puis vérifie impérativement que le couple solution trouvé $(\alpha, \beta)$ valide la troisième équation.

   Correction

   En résolvant le système formé par les deux dernières équations (par substitution ou combinaison), on obtient :
   $$\alpha = 2,2 \quad \text{et} \quad \beta = -0,8$$
   On vérifie ensuite que ce couple valide la première équation : $2(2,2) + 3(-0,8) = 4,4 - 2,4 = 2$, ce qui est correct. Les valeurs cherchées sont donc $\alpha = \frac{11}{5}$ et $\beta = -\frac{4}{5}$.

9. 9. En déduire la valeur du montant $S$ dépensé par le troisième groupe.

   Indice — Applique la combinaison linéaire trouvée pour les coefficients aux montants des dépenses des deux premiers groupes pour obtenir $S$.

   Correction

   La troisième ligne de la matrice des coefficients étant la somme des deux premières ($L_3 = L_1 + L_2$), le système n'est compatible que si le montant $S$ respecte cette même relation linéaire. On applique cette combinaison aux dépenses des deux premiers groupes pour obtenir : $S = 25 + 35 = 60$ DT.

10. 10. Un quatrième groupe achète 2 clés USB, 2 souris et 2 câbles HDMI pour un montant total de 38 DT. En utilisant la matrice $M^{-1}$, déterminer le prix unitaire de chaque article.

    Indice — Simplifie la nouvelle équation par un facteur commun pour faire apparaître la troisième ligne de la matrice $M$, puis résous le système matriciel $M \times X = B$ à l'aide de $M^{-1}$.

    Correction

    L'équation d'achat du quatrième groupe est $2x + 2y + 2z = 38$. En simplifiant par 2, on obtient $x + y + z = 19$, ce qui correspond à la troisième ligne de la matrice $M$. On pose le système matriciel $M X = B$ avec $B = \begin{pmatrix} 25 \\ 35 \\ 19 \end{pmatrix}$. Par résolution matricielle, on calcule $X = M^{-1} B$, ce qui donne $X = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$. Le prix unitaire est donc de 10 DT pour une clé USB, 6 DT pour une souris et 3 DT pour un câble HDMI.