Rappel · 1

La fonction logarithme népérien $\ln$ est continue et strictement croissante. Sur quel intervalle de départ réalise-t-elle une bijection vers $\mathbb{R}$ ?

Remarque

La fonction $\ln$ est définie, continue et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ . Comme $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , elle réalise une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$ .

Point de départ · 2

Pour toute bijection $f$ , il existe une fonction réciproque $f^{-1}$ qui inverse son action : si $y = f(x)$ , alors $x = f^{-1}(y)$ .

Puisque $\ln$ est une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$ , pour tout réel $y$ , il existe un unique réel $x > 0$ tel que $\ln x = y$ . Comment nomme-t-on la fonction qui associe ce réel $x$ à $y$ ?

Cette fonction réciproque s'appelle la fonction exponentielle. Elle prend un nombre réel quelconque et lui associe son unique antécédent strictement positif par le logarithme népérien.

Définition · 3

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $\exp$ , est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$ .

$\exp : \mathbb{R} \to ]0 ; +\infty[, \quad x \mapsto \exp(x) = e^x$

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $y > 0$ , l'équivalence fondamentale s'écrit :

$y = e^x \iff x = \ln y$

Identités directes pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $y > 0$ :

$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln y} = y$

e^x > 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}

Exemple travaillé · 4

Simplifier les trois écritures suivantes : $A = e^{\ln 5}$ , $B = e^{-\ln 2}$ et $C = e^{2 + \ln 3}$ .

1

Pour $A$ , on applique directement l'identité $e^{\ln u} = u$ pour $u = 5 > 0$ .

2

A = e^{\ln 5} = 5

3

Pour $B$ , on transforme d'abord l'exposant avec la propriété $-\ln 2 = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ .

4

B = e^{\ln(1/2)} = \frac{1}{2}

5

Pour $C$ , on transforme la somme d'exposants en produit de puissances : $e^{a+b} = e^a e^b$ .

6

C = e^2 \times e^{\ln 3} = e^2 \times 3 = 3e^2

Exemple travaillé · 5

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les deux équations : $e^{2x - 1} = 5$ et $e^{x + 3} = -1$ .

1

Pour $e^{2x - 1} = 5$ , le membre de droite est strictement positif ( $5 > 0$ ). On applique l'équivalence $e^u = k \iff u = \ln k$ .

2

2x - 1 = \ln 5

3

2x = 1 + \ln 5 \iff x = \frac{1 + \ln 5}{2}

4

Pour $e^{x + 3} = -1$ , on examine le signe de chaque membre.

5

Pour tout réel $x$ , $e^{x + 3} > 0$ . Or $-1 \le 0$ , donc l'égalité est impossible. L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$ .

Piège classique · 6

On cherche à résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x = -3$ . Quelle est la conclusion correcte ?

Attention

Appliquer mécaniquement le logarithme népérien aux deux membres et écrire $x = \ln(-3)$ .

À la place : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $e^x > 0$ . Un nombre strictement positif ne peut jamais être égal à $-3$ . De plus, $\ln$ n'est pas définie pour les nombres négatifs. L'équation n'a aucune solution réelle.

Vérification · 7

Calculer la valeur exacte du nombre $E = \ln(e^4) + e^{\ln 2}$ .

Remarque

D'après les identités réciproques fondamentales, $\ln(e^4) = 4$ et $e^{\ln 2} = 2$ . On trouve donc $E = 4 + 2 = 6$ .

Point de départ · 8

La fonction logarithme népérien transforme un produit en somme : $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$ .

Puisque l'exponentielle est la réciproque de $\ln$ , quelle opération fait-elle correspondre à une somme d'exposants $e^{a+b}$ ?

L'exponentielle inverse ce rôle : elle transforme une somme en exposant en un produit de puissances, soit $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

Définition · 9

Propriétés algébriques fondamentales

Pour tous réels $a$ et $b$ , et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ :

$e^{a+b} = e^a \times e^b$

$e^{-b} = \frac{1}{e^b}$

$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$

$(e^a)^n = e^{na}$

Remarque

En appliquant la dernière propriété avec $n = 2$ , on obtient l'égalité fondamentale $(e^x)^2 = e^{2x}$ .

Exemple travaillé · 10

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - e^x - 6 = 0$ .

1

On réécrit le premier terme à l'aide de l'égalité $e^{2x} = (e^x)^2$ .

2

(e^x)^2 - e^x - 6 = 0

3

On pose $X = e^x$ . Comme l'exponentielle est strictement positive, on impose la condition $X > 0$ .

4

X^2 - X - 6 = 0 \quad \text{avec } X > 0

5

On calcule le discriminant du trinôme : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 25 = 5^2$ . Les racines en $X$ sont :

6

X_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2

7

Puisque $X > 0$ , la valeur $X_2 = -2$ est rejetée. On retient uniquement $X_1 = 3$ .

8

On revient à la variable $x$ en appliquant le logarithme népérien :

9

e^x = 3 \iff x = \ln 3

10

L'ensemble des solutions réelles est $S = \{\ln 3\}$ .

Piège classique · 11

En posant $X = e^x$ , un élève résout une équation et trouve deux racines pour $X$ : $X_1 = 4$ et $X_2 = -1$ . Combien de solutions réelles l'équation de départ en $x$ possède-t-elle ?

Attention

Conserver les deux racines en écrivant $x_1 = \ln 4$ et $x_2 = \ln(-1)$ , soit deux solutions réelles.

À la place : Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . L'égalité $e^x = -1$ est impossible car $\ln$ n'est pas définie sur les nombres négatifs. Seule la racine strictement positive $X_1 = 4$ convient, ce qui donne l'unique solution $x = \ln 4$ .

Exemple travaillé · 12

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2e^x + e^{-x} - 3 = 0$ .

1

L'équation contient $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ . Pour éliminer ce dénominateur, on multiplie chaque membre par $e^x$ , qui est strictement positif.

2

e^x(2e^x + e^{-x} - 3) = e^x \times 0

3

On développe en utilisant $e^x \times e^x = (e^x)^2$ et $e^x \times e^{-x} = 1$ :

4

2(e^x)^2 - 3e^x + 1 = 0

5

On pose $X = e^x$ avec la condition $X > 0$ . L'équation devient :

6

2X^2 - 3X + 1 = 0

7

Les coefficients vérifient $2 - 3 + 1 = 0$ . Les deux racines sont :

8

X_1 = 1 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{1}{2}

9

Ces deux valeurs sont strictement positives, on les conserve toutes les deux pour trouver $x$ :

10

e^x = 1 \iff x = 0 \quad \text{ou} \quad e^x = \frac{1}{2} \iff x = -\ln 2

11

L'ensemble des solutions réelles est $S = \{-\ln 2 \;;\; 0\}$ .

Vérification · 13

On considère l'équation $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ . Quel est l'ensemble de ses solutions réelles ?

Remarque

En posant $X = e^x > 0$ , l'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$ . Ses racines sont $X = 2$ et $X = 3$ . Toutes deux étant strictement positives, on obtient $x = \ln 2$ et $x = \ln 3$ .

Point de départ · 14

La fonction logarithme népérien vérifie $(\ln)'(y) = \frac{1}{y}$ . Sachant que la fonction exponentielle est sa bijection réciproque, que vaut la dérivée de $e^x$ ?

La dérivation d'une fonction réciproque donne $(\exp)'(x) = \frac{1}{\ln'(e^x)} = \frac{1}{\frac{1}{e^x}} = e^x$ . La fonction exponentielle a la propriété remarquable d'être égale à sa propre dérivée.

Définition · 15

Dérivation de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et coïncide avec sa propre fonction dérivée.

$(e^x)' = e^x$

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . Sa dérivée est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$ .

$(e^x)' > 0$

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , la fonction composée $e^u$ est dérivable sur $I$ :

$(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$

Exemple travaillé · 16

Déterminer la fonction dérivée de $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ , puis étudier son signe.

1

On reconnaît un produit $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^{-x}$ .

2

On dérive chaque facteur. Pour $v(x) = e^{-x}$ , la dérivée de l'exposant $-x$ est $-1$ :

u'(x) = 2 \quad \text{et} \quad v'(x) = -e^{-x}

3

On applique la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ :

f'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x})

4

On factorise par le terme commun $e^{-x}$ :

f'(x) = (2 - (2x - 1))e^{-x} = (3 - 2x)e^{-x}

5

Pour tout réel $x$ , $e^{-x} > 0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $3 - 2x$ : strictement positif sur $]-\infty ; \frac{3}{2}[$ , nul en $\frac{3}{2}$ , et strictement négatif sur $]\frac{3}{2} ; +\infty[$ .

Piège classique · 17

Quelle est la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-3x}$ ?

Attention

Dériver $e^{-3x}$ comme $e^x$ en écrivant $e^{-3x}$ , ou oublier le signe moins et écrire $3e^{-3x}$ .

À la place : L'exposant est $u(x) = -3x$ , dont la dérivée est $u'(x) = -3$ . La formule $(e^u)' = u' e^u$ donne $g'(x) = -3e^{-3x}$ .

Exemple travaillé · 18

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe.

1

On applique la règle de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = e^x$ et $v(x) = e^x + 1$ .

2

Comme $(e^x)' = e^x$ et $(e^x + 1)' = e^x$ , on écrit :

f'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x(e^x)}{(e^x + 1)^2}

3

On développe le numérateur :

f'(x) = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2}

4

Les termes $e^{2x}$ s'annulent :

f'(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}

5

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ et $(e^x + 1)^2 > 0$ . On en déduit que $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Vérification · 19

Déterminer la fonction dérivée de $h(x) = e^{-x^2 + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Remarque

En posant $u(x) = -x^2 + 1$ , la dérivée est $u'(x) = -2x$ . Par la formule $(e^u)' = u' e^u$ , on obtient $h'(x) = -2x e^{-x^2 + 1}$ .

Point de départ · 20

Au voisinage de $+\infty$ , les deux termes de l'expression $e^x - 5x$ tendent vers $+\infty$ .

La différence présente une forme indéterminée $+\infty - \infty$ . D'après toi, qui croît le plus vite quand $x$ devient très grand : la puissance $x$ ou l'exponentielle $e^x$ ?

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance polynomiale au voisinage de $+\infty$ : on dit que l'exponentielle impose sa croissance comparée.

Définition · 21

Limites fondamentales et croissances comparées

Limites aux bornes de $\mathbb{R}$ :

$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Croissances comparées : pour tout entier naturel non nul $n \in \mathbb{N}^*$ :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

Taux d'accroissement en $0$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Exemple travaillé · 22

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} (e^x - 5x)$ puis $\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x$ .

1

Pour $x \to +\infty$ , la forme indéterminée est $+\infty - \infty$ . On factorise par le terme polynomial $x$ pour faire apparaître la croissance comparée :

2

e^x - 5x = x\left(\frac{e^x}{x} - 5\right)

3

Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ , donc $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^x}{x} - 5\right) = +\infty$ .

4

Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ , on conclut :

5

\lim_{x \to +\infty} (e^x - 5x) = +\infty

6

Pour $x \to -\infty$ , on développe l'expression afin de séparer les termes :

7

(2x - 1)e^x = 2x e^x - e^x

8

Par croissances comparées en $-\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ . Par somme :

9

\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = 0

Piège classique · 23

Pour calculer $\lim_{x \to -\infty} (e^x + 3x)$ , quelle est la démarche correcte ?

Attention

Factoriser par $e^x$ en $-\infty$ en écrivant $e^x(1 + 3\frac{x}{e^x})$ .

À la place : En $-\infty$ , $e^x \to 0$ et $3x \to -\infty$ . Il n'y a aucune forme indéterminée : la somme donne directement $-\infty$ . Factoriser par $e^x$ crée artificiellement une indétermination $0 \times \infty$ car $\frac{x}{e^x} \to -\infty$ .

Exemple travaillé · 24

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$ . Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ puis $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

1

En $-\infty$ , comme $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ , le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers $1$ . Il n'y a pas d'indétermination :

2

\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1

3

En $+\infty$ , le quotient présente l'indétermination $\frac{+\infty}{+\infty}$ . On factorise par le terme dominant $e^x$ au numérateur et au dénominateur :

4

\frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \frac{e^x(1 - e^{-x})}{e^x(1 + e^{-x})} = \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}

5

Comme $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ , on obtient par quotient de limites finies :

6

\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

Vérification · 25

Déterminer la valeur de la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$ .

Remarque

On fait apparaître le taux d'accroissement usuel en écrivant $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \times \frac{e^{3x} - 1}{3x}$ . En posant $u = 3x$ , quand $x \to 0$ , $u \to 0$ . Comme $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ , la limite vaut $3 \times 1 = 3$ .

Point de départ · 26

On sait que la fonction exponentielle vérifie $(e^x)' = e^x$ . Par conséquent, dériver ou chercher une primitive de $e^x$ redonne la même fonction.

Que se passe-t-il si l'exposant comporte un coefficient, comme dans $e^{3x}$ ? Si on dérive $e^{3x}$ , on obtient $3e^{3x}$ . Quelle fonction a donc pour dérivée $e^{3x}$ ?

Pour compenser le facteur $3$ qui apparaît lors de la dérivation, il faut diviser par $3$ : la fonction $\frac{1}{3}e^{3x}$ a bien pour dérivée $\frac{1}{3} \times 3e^{3x} = e^{3x}$ .

Définition · 27

Primitives des fonctions exponentielles

Les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto e^x$ sont les fonctions $x \mapsto e^x + k$ , où $k \in \mathbb{R}$ .

$\int e^x \, dx = e^x + k \quad (k \in \mathbb{R})$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , une primitive sur $I$ de $u' e^u$ est $e^u$ :

$\int u'(x)e^{u(x)} \, dx = e^{u(x)} + k \quad (k \in \mathbb{R})$

En particulier, pour tous réels $a$ et $b$ avec $a \neq 0$ , une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto e^{ax+b}$ est :

$x \mapsto \frac{1}{a} e^{ax+b} + k \quad (k \in \mathbb{R})$

Exemple travaillé · 28

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes : $f(x) = e^{4x - 1}$ et $g(x) = x e^{x^2}$ .

1

Pour $f(x) = e^{4x-1}$ , on reconnaît la forme $e^{ax+b}$ avec $a = 4 \neq 0$ et $b = -1$ .

2

F(x) = \frac{1}{4} e^{4x - 1}

3

Pour $g(x) = x e^{x^2}$ , l'exposant est $u(x) = x^2$ , dont la dérivée est $u'(x) = 2x$ .

4

On fait apparaître la dérivée intérieure $u'(x)$ en multipliant et en divisant par $2$ :

g(x) = \frac{1}{2} \times (2x e^{x^2}) = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}

5

On en déduit une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ :

G(x) = \frac{1}{2} e^{x^2}

Piège classique · 29

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h(x) = e^{3x}$ . Quelle est l'expression correcte ?

Attention

Multiplier par $3$ au lieu de diviser par $3$ en écrivant $H(x) = 3e^{3x}$ , par confusion entre dérivation et recherche de primitive.

À la place : La dérivation fait apparaître un facteur $3$ : $(e^{3x})' = 3e^{3x}$ . Pour compenser ce facteur lors de l'intégration, il faut diviser par $3$ : une primitive est $H(x) = \frac{1}{3}e^{3x}$ .

Exemple travaillé · 30

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx$ .

1

On reconnaît la forme $\frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2$ , car $(x^2)' = 2x$ .

2

Une primitive sur $[0 ; 1]$ de la fonction intégrande est donc :

F(x) = \frac{1}{2} e^{x^2}

3

On applique le théorème fondamental du calcul intégral :

I = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)

4

On évalue aux bornes en prenant garde à ne pas oublier $e^0 = 1$ :

I = \frac{1}{2} e^{1^2} - \frac{1}{2} e^{0^2} = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} = \frac{e - 1}{2}

Vérification · 31

Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx$ .

Remarque

Une primitive de $e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ est $x \mapsto -e^{-x}$ . On calcule donc $J = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = -e^{-1} + 1 = 1 - e^{-1}$ .

Point de départ · 32

Dans une fonction puissance usuelle comme $x \mapsto x^3$ , la variable $x$ est située à la base et l'exposant est un nombre fixe.

Que signifie l'écriture $3^x$ où la variable $x$ se trouve désormais à l'exposant, et comment peut-on la relier aux fonctions déjà étudiées ?

Pour donner un sens mathématique rigoureux à $3^x$ pour tout réel $x$ , on utilise la réciprocité entre le logarithme népérien et l'exponentielle : on pose $3^x = e^{x \ln 3}$ .

Définition · 33

Exponentielle de base $a$ et puissances rationnelles

Soit $a$ un réel strictement positif ( $a > 0$ ). Pour tout réel $x$ , la fonction exponentielle de base $a$ est définie par :

$a^x = e^{x \ln a}$

La fonction $f_a : x \mapsto a^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Par dérivation d'une fonction exponentielle composée, on obtient pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$f_a'(x) = (\ln a) a^x$

Comme $a^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , le signe de la dérivée dépend uniquement du signe de $\ln a$ :

\text{Si } a > 1, \quad \ln a > 0 \implies x \mapsto a^x \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}

\text{Si } 0 < a < 1, \quad \ln a < 0 \implies x \mapsto a^x \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb{R}

Remarque

Pour tout rationnel $r \in \mathbb{Q}$ et tout réel $x > 0$ , la puissance rationnelle $x^r$ est définie de même par $x^r = e^{r \ln x}$ .

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3^x$ . Justifier sa dérivabilité, calculer $f'(x)$ et déterminer son sens de variation.

1

On réécrit $f(x)$ sous sa forme canonique en base népérienne :

f(x) = e^{x \ln 3}

2

La fonction $u : x \mapsto x \ln 3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $u'(x) = \ln 3$ .

3

On applique la règle de dérivation $(e^u)' = u' e^u$ :

f'(x) = (\ln 3) e^{x \ln 3} = (\ln 3) \cdot 3^x

4

Comme $3 > 1$ , on a $\ln 3 > 0$ . De plus, pour tout réel $x$ , $3^x > 0$ .

5

Par produit de facteurs strictement positifs, $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 35

Quelle est la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 5^x$ ?

Attention

Dériver $5^x$ comme s'il s'agissait d'une fonction puissance $x^n$ en écrivant $x \cdot 5^{x-1}$ .

À la place : La variable $x$ se trouve à l'exposant et non à la base : la formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ ne s'applique pas. Il faut utiliser la forme $5^x = e^{x \ln 5}$ , dont la dérivée est $(\ln 5) \cdot 5^x$ .

Exemple travaillé · 36

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\left(\frac{1}{2}\right)^x \le 4$ .

1

Comme les deux membres sont strictement positifs, on applique la fonction logarithme népérien, strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ :

2

\ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) \le \ln 4

3

On utilise la propriété $\ln(a^x) = x \ln a$ :

4

x \ln\left(\frac{1}{2}\right) \le \ln 4

5

On simplifie chaque logarithme : $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$ et $\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$ :

6

-x \ln 2 \le 2\ln 2

7

On divise par $-\ln 2$ . Comme $\ln 2 > 0$ , $-\ln 2 < 0$ : le sens de l'inégalité s'inverse :

8

x \ge \frac{2\ln 2}{-\ln 2} \iff x \ge -2

9

L'ensemble des solutions réelles est $S = [-2 \;;\; +\infty[$ .

Vérification · 37

Déterminer l'unique solution réelle de l'équation $10^x = 7$ .

Remarque

En appliquant le logarithme népérien aux deux membres, on obtient $\ln(10^x) = \ln 7$ , ce qui équivaut à $x \ln 10 = \ln 7$ . Comme $\ln 10 \neq 0$ , on en déduit $x = \frac{\ln 7}{\ln 10}$ .

Fonctions exponentielles — cours

Le cours

Définition de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques fondamentales

Dérivation de la fonction exponentielle

Limites fondamentales et croissances comparées

Primitives des fonctions exponentielles

Exponentielle de base $a$ et puissances rationnelles

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