Rappel · 1

Pour tout entier $n \neq -1$ , une primitive de $x \mapsto x^n$ sur $]0 ; +\infty[$ est $x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}$ . Que se passe-t-il si l'on applique cette formule à la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x} = x^{-1}$ ?

Remarque

Pour $n = -1$ , l'exposant $n+1 = 0$ conduit à une division par zéro : les fonctions puissances usuelles ne permettent pas de trouver une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ .

Point de départ · 2

Puisque aucune fonction usuelle ne convient, comment appelle-t-on la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ dont la dérivée est $\frac{1}{x}$ et qui s'annule en $1$ ?

On introduit une nouvelle fonction appelée le logarithme népérien, notée $\ln$ . Ce symbole désigne exactement cette primitive manquante.

Définition · 3

Définition de la fonction logarithme népérien

$\text{La fonction } \ln \text{ est l'unique primitive de } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ sur } ]0 ; +\infty[ \text{ qui s'annule en } 1.$

D_{\ln} = ]0 ; +\infty[

\forall x \in ]0 ; +\infty[, \quad (\ln)'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad \ln(1) = 0

Pour tout $x > 0$ , la dérivée $(\ln)'(x) = \frac{1}{x}$ est strictement positive : la fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .

Remarque

Le réel $e$ est l'unique antécédent de $1$ par $\ln$ : on a $\ln(e) = 1$ , avec $e \approx 2{,}718$ .

Exemple travaillé · 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x) \le 0$ .

1

On pose la condition d'existence du logarithme.

x \in ]0 ; +\infty[

2

On exprime $0$ comme valeur de la fonction $\ln$ en utilisant $\ln(1) = 0$ .

\ln(x) \le \ln(1)

3

La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ , l'ordre est conservé.

x \le 1

4

On intersecte cette condition avec le domaine de définition $]0 ; +\infty[$ .

S = ]0 ; 1]

Piège classique · 5

Si un réel $x$ vérifie $\ln(x) < 0$ , à quel intervalle appartient nécessairement $x$ ?

Attention

Conclure que $x < 0$ en assimilant le signe de $\ln(x)$ au signe de la variable $x$ .

À la place : La fonction $\ln$ n'est pas définie pour $x \le 0$ . Sur son domaine $]0 ; +\infty[$ , $\ln(x) < 0$ équivaut à $0 < x < 1$ car $\ln(1) = 0$ et $\ln$ est strictement croissante.

Exemple travaillé · 6

Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point d'abscisse $1$ .

1

On rappelle l'équation générale de la tangente en un point d'abscisse $a = 1$ .

y = (\ln)'(1)(x - 1) + \ln(1)

2

On calcule les deux valeurs requises à l'aide de la définition de $\ln$ .

(\ln)'(1) = \frac{1}{1} = 1 \quad \text{et} \quad \ln(1) = 0

3

On remplace dans l'équation et on réduit l'expression.

y = 1(x - 1) + 0 \iff y = x - 1

Vérification · 7

Complète les égalités fondamentales issues de la définition de la fonction $\ln$ :

Remarque

Pour tout $x > 0$ , la fonction $\ln$ vérifie $(\ln)'(x) = \frac{1}{x}$ , $\ln(1) = 0$ et le nombre $e$ vérifie par définition $\ln(e) = 1$ .

Point de départ · 8

La fonction $\ln$ possède une propriété remarquable qui transforme les multiplications. À ton avis, quelle est la formule exacte pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ ?

Le logarithme transforme une multiplication en une addition : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ .

Définition · 9

Propriétés algébriques fondamentales

$\forall a > 0, \; \forall b > 0, \quad \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$

De cette règle découle le comportement du logarithme sur l'inverse, le quotient, les puissances et les racines carrées.

$\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \quad \text{et} \quad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\forall n \in \mathbb{Z}, \quad \ln(a^n) = n\ln(a) \quad \text{et} \quad \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Exemple travaillé · 10

Écris $\ln(108)$ sous la forme $a\ln(2) + b\ln(3)$ , où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.

1

On décompose $108$ en produit de facteurs premiers.

108 = 4 \times 27 = 2^2 \times 3^3

2

On applique la propriété du produit pour séparer les facteurs.

\ln(108) = \ln(2^2 \times 3^3) = \ln(2^2) + \ln(3^3)

3

On applique la règle de la puissance $\ln(x^n) = n\ln(x)$ à chaque terme.

\ln(2^2) = 2\ln(2) \quad \text{et} \quad \ln(3^3) = 3\ln(3)

4

On conclut en regroupant l'expression finale.

\ln(108) = 2\ln(2) + 3\ln(3)

Piège classique · 11

Parmi les égalités suivantes écrites pour des réels strictement positifs, laquelle est fausse ?

Attention

Écrire $\ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b)$ en appliquant la formule du produit à une addition.

À la place : Le logarithme transforme les produits en sommes, mais il n'existe aucune formule pour développer $\ln(a+b)$ . En particulier, $\ln(3+5) = \ln(8) \neq \ln(3) + \ln(5)$ car $\ln(3) + \ln(5) = \ln(15)$ .

Exemple travaillé · 12

Exprime le réel $A = \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$ en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$ .

1

On applique la propriété du quotient pour séparer le numérateur et le dénominateur.

A = \ln(\sqrt{3}) - \ln(8)

2

On utilise la règle de la racine carrée sur le premier terme.

\ln(\sqrt{3}) = \frac{1}{2}\ln(3)

3

On écrit $8 = 2^3$ , puis on applique la règle des puissances.

\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)

4

On soustrait les deux termes pour obtenir l'écriture réduite.

A = \frac{1}{2}\ln(3) - 3\ln(2)

Vérification · 13

Soit l'écriture $\ln(72) = a\ln(2) + b\ln(3)$ . Détermine les entiers $a$ et $b$ :

Remarque

Comme $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$ , on a $\ln(72) = \ln(2^3) + \ln(3^2) = 3\ln(2) + 2\ln(3)$ .

Point de départ · 14

Pour résoudre l'équation $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$ , quelle est la toute première démarche indispensable ?

Le logarithme n'est défini que sur $]0 ; +\infty[$ . Avant d'éliminer les logarithmes, il faut impérativement chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$ .

Définition · 15

Résolution d'équations et inéquations logarithmiques

$\forall A > 0, \; \forall B > 0, \quad \ln(A) = \ln(B) \iff A = B$

A > 0 \quad \text{et} \quad B > 0

$\forall A > 0, \; \forall B > 0, \quad \ln(A) < \ln(B) \iff A < B$

La stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0 ; +\infty[$ conserve l'égalité et le sens des inégalités, sous réserve expresse que chaque membre soit strictement positif.

Exemple travaillé · 16

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(x + 1) = 0$ .

1

On détermine l'ensemble de validité $D$ en imposant la stricte positivité de chaque argument.

x > 0 \quad \text{et} \quad x + 1 > 0 \iff D = ]0 ; +\infty[

2

On applique la propriété du produit pour regrouper les logarithmes et on écrit $0 = \ln(1)$ .

\ln(x(x + 1)) = \ln(1)

3

On applique l'équivalence $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ sur $D$ .

x(x + 1) = 1 \iff x^2 + x - 1 = 0

4

Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$ . Les racines du trinôme sont :

x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}

5

On confronte les racines trouvées avec le domaine $D = ]0 ; +\infty[$ . Comme $x_1 < 0$ , $x_1 \notin D$ . Seule la racine $x_2$ est strictement positive.

S = \left\{ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right\}

Piège classique · 17

Un élève résout $2\ln(x) = \ln(9)$ . Il transforme l'équation en $\ln(x^2) = \ln(9)$ , en déduit $x^2 = 9$ et écrit $S = \{-3 ; 3\}$ . Que penser de sa démarche ?

Attention

Conserver la solution négative $-3$ issue de la résolution de $x^2 = 9$ .

À la place : L'équation initiale comporte $2\ln(x)$ , ce qui impose $x > 0$ . Même si $(-3)^2 = 9 > 0$ , le réel $-3$ n'a pas d'image par $\ln$ . Seule la solution $3$ est admissible : $S = \{3\}$ .

Exemple travaillé · 18

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x^2 - 1) \le \ln(3)$ .

1

On détermine le domaine de validité : le trinôme sous le logarithme doit être strictement positif.

x^2 - 1 > 0 \iff x \in ]-\infty ; -1[ \;\cup\; ]1 ; +\infty[

2

Par stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0 ; +\infty[$ , on compare directement les arguments.

x^2 - 1 \le 3 \iff x^2 \le 4

3

On résout l'inégalité polynomiale.

x \in [-2 ; 2]

4

On intersecte cet ensemble avec le domaine de validité $D$ .

S = [-2 ; 2] \cap (]-\infty ; -1[ \;\cup\; ]1 ; +\infty[) = [-2 ; -1[ \;\cup\; ]1 ; 2]

Vérification · 19

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x - 2) = \ln(6 - x)$ :

Remarque

Le domaine d'existence impose $x - 2 > 0$ et $6 - x > 0$ , soit $x \in ]2 ; 6[$ . On résout ensuite $x - 2 = 6 - x \iff 2x = 8 \iff x = 4$ . Comme $4 \in ]2 ; 6[$ , $4$ est l'unique solution.

Point de départ · 20

On sait que $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ . À ton avis, quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(3x + 1)$ sur $]0 ; +\infty[$ ?

Il s'agit d'une fonction composée : la règle de dérivation impose de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure $(3x + 1)' = 3$ . La dérivée est donc $\frac{3}{3x + 1}$ et non $\frac{1}{3x + 1}$ .

Définition · 21

Dérivée de la fonction composée ln(u)

$(\ln \circ u)'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$

u \text{ est dérivable et strictement positive sur un intervalle } I

Pour dériver $\ln(u(x))$ , on divise la dérivée de la fonction intérieure $u'(x)$ par la fonction intérieure $u(x)$ .

Exemple travaillé · 22

Détermine le domaine de dérivabilité et la fonction dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 2)$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On pose $u(x) = x^2 + 2$ . On vérifie que $u(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

2

\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2 \ge 2 > 0

3

La fonction polynôme $u$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

4

On calcule la dérivée intérieure : $u'(x) = 2x$ .

5

On applique la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

6

f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 2}

Piège classique · 23

Quelle est la dérivée de la fonction $g(x) = \ln(5 - 2x)$ sur son domaine $]-\infty ; \frac{5}{2}[$ ?

Attention

Oublier la dérivée intérieure $u'(x)$ ou son signe négatif en écrivant $g'(x) = \frac{1}{5 - 2x}$ ou $g'(x) = \frac{2}{5 - 2x}$ .

À la place : La fonction intérieure est $u(x) = 5 - 2x$ , de dérivée $u'(x) = -2$ . La formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ donne impérativement $g'(x) = \frac{-2}{5 - 2x}$ .

Exemple travaillé · 24

Soit la fonction $f$ définie sur $]3 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$ . Calcule $f'(x)$ et détermine le sens de variation de $f$ .

1

On pose $u(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ . Pour tout $x > 3$ , $x - 1 > 0$ et $x - 3 > 0$ , donc $u(x) > 0$ .

2

On dérive le trinôme intérieur : $u'(x) = 2x - 4$ .

3

On applique la règle de dérivation $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

4

f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 3}

5

Comme le dénominateur $u(x)$ est strictement positif sur $]3 ; +\infty[$ , le signe de $f'(x)$ est celui de son numérateur $2x - 4$ .

6

Pour tout $x > 3$ , $2x > 6$ , donc $2x - 4 > 2 > 0$ . La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]3 ; +\infty[$ .

Vérification · 25

Soit la fonction $h$ définie sur $]1 ; +\infty[$ par $h(x) = \ln(x^3 - 1)$ . Complète les coefficients de sa dérivée $h'(x) = \frac{a x^n}{x^3 - 1}$ :

Remarque

Avec $u(x) = x^3 - 1$ , la dérivée intérieure est $u'(x) = 3x^2$ . On obtient directement $h'(x) = \frac{3x^2}{x^3 - 1}$ .

Point de départ · 26

Sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ , une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $x \mapsto \ln(x)$ . Quelle est une primitive de cette même fonction sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$ ?

Pour $x < 0$ , $\ln(x)$ n'existe pas car le logarithme n'accepte que des nombres strictement positifs. En revanche, $-x > 0$ : en dérivant $x \mapsto \ln(-x)$ , la dérivée composée donne $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$ . La primitive cherchée est donc $x \mapsto \ln(-x)$ .

Définition · 27

Primitives de la forme u'/u et rôle de la valeur absolue

$\text{Les primitives de } x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)} \text{ sur un intervalle } I \text{ sont les fonctions } x \mapsto \ln|u(x)| + k, \; k \in \mathbb{R}.$

u \text{ est dérivable et ne s'annule pas sur } I

Selon le signe de $u(x)$ sur l'intervalle d'étude $I$ :

$\ln|u(x)| = \begin{cases} \ln(u(x)) & \text{si } u(x) > 0 \\ \ln(-u(x)) & \text{si } u(x) < 0 \end{cases}$

Exemple travaillé · 28

Détermine les primitives de la fonction $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ sur l'intervalle $I = ]1 ; +\infty[$ .

1

On pose $u(x) = x^2 - 1$ . Pour tout $x > 1$ , on a $x^2 - 1 > 0$ , donc $u(x) > 0$ sur $I$ .

2

On calcule la dérivée de $u$ : $u'(x) = 2x$ .

3

On fait apparaître la dérivée exacte $u'(x)$ au numérateur en ajustant par le coefficient $\frac{1}{2}$ :

4

f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}

5

Comme $u(x) > 0$ sur $I$ , on a $|u(x)| = x^2 - 1$ . Les primitives de $f$ sur $I$ sont donc :

6

F(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 1) + k, \quad k \in \mathbb{R}

Piège classique · 29

On cherche une primitive de la fonction $g(x) = \frac{1}{x\ln(x)}$ sur l'intervalle $]0 ; 1[$ . Quelle écriture est correcte ?

Attention

Écrire $\ln(\ln(x))$ en oubliant que pour tout $x \in ]0 ; 1[$ , on a $\ln(x) < 0$ .

À la place : Pour tout $x \in ]0 ; 1[$ , $\ln(x) < 0$ . En posant $u(x) = \ln(x)$ , on a $g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ . La primitive générale est $\ln|u(x)|$ . Comme $u(x) < 0$ , $|u(x)| = -\ln(x)$ , ce qui donne impérativement $\ln(-\ln(x)) + k$ .

Exemple travaillé · 30

Détermine la primitive $F$ de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ qui s'annule en $1$ .

1

On réécrit l'expression pour analyser sa structure opératoire :

2

f(x) = \frac{1}{x} \times \ln(x)

3

En posant $u(x) = \ln(x)$ , on a $u'(x) = \frac{1}{x}$ . L'expression est de la forme $u'(x) \cdot (u(x))^1$ (forme $u'u^n$ avec $n=1$ ), et non de la forme $\frac{u'}{u}$ .

4

Une primitive de $u'u$ est $\frac{1}{2}u^2$ . L'ensemble des primitives de $f$ s'écrit donc :

5

F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + k, \quad k \in \mathbb{R}

6

On détermine la constante $k$ avec la condition $F(1) = 0$ :

7

F(1) = \frac{1}{2}(\ln(1))^2 + k = 0 + k = 0 \implies k = 0

8

L'unique primitive répondant à la condition est donc :

9

F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2

Vérification · 31

Pour la fonction $f(x) = x + 3 + \frac{1}{2x - 1}$ sur $I = ]\frac{1}{2} ; +\infty[$ , complète les coefficients de sa primitive $F(x) = a x^2 + b x + c\ln(2x - 1)$ :

Remarque

Sur $I$ , $2x - 1 > 0$ . Les termes polynomiaux donnent $\frac{1}{2}x^2 + 3x$ . Pour le terme rationnel, $\frac{1}{2x - 1} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x - 1} = \frac{1}{2} \frac{u'}{u}$ , d'où $c = \frac{1}{2}$ .

Point de départ · 32

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $x$ tend vers $+\infty$ et $\ln(x)$ tend vers $+\infty$ . Que vaut la limite du quotient $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ ?

Bien qu'il s'agisse d'une forme indéterminée du type « $\frac{\infty}{\infty}$ », la fonction polynôme $x \mapsto x$ l'emporte sur la fonction logarithme : $\frac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ . C'est le théorème des croissances comparées.

Définition · 33

Limites aux bornes et croissances comparées

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$

Ces résultats de croissance comparée se généralisent pour tout entier naturel non nul $n$ :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x^n\ln(x) = 0$

Remarque

Au point $1$ , le taux d'accroissement donne deux limites remarquables équivalentes : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ et $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 1$ .

Exemple travaillé · 34

Détermine la limite : $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x))$ .

1

En $+\infty$ , $x \to +\infty$ et $\ln(x) \to +\infty$ , ce qui donne une forme indéterminée du type « $+\infty - \infty$ ».

2

On factorise par le terme polynomial prépondérant $x$ :

3

x - \ln(x) = x\left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right)

4

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ , donc le facteur entre parenthèses tend vers $1 - 0 = 1$ .

5

Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ , on conclut :

6

\lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) = +\infty

Piège classique · 35

Quelle est la valeur de la limite $\lim_{x \to +\infty} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ ?

Attention

Conclure à $0$ en assimilant cette expression à la croissance comparée $x\ln(x) \to 0$ en $0$ .

À la place : Ici $x \to +\infty$ et $\frac{1}{x} \to 0$ . En posant le changement de variable $u = \frac{1}{x}$ , l'expression devient $\frac{\ln(1 + u)}{u}$ . Quand $u \to 0$ , il s'agit du taux d'accroissement de la fonction $\ln$ en $1$ , dont la limite vaut $1$ et non $0$ .

Exemple travaillé · 36

Détermine la limite : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 - 1}$ .

1

En évaluant en $x = 1$ , on obtient $\frac{\ln(1)}{1^2 - 1} = \frac{0}{0}$ , ce qui est une forme indéterminée.

2

On factorise le dénominateur à l'aide de l'identité remarquable $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ :

3

\frac{\ln(x)}{x^2 - 1} = \frac{\ln(x)}{x - 1} \times \frac{1}{x + 1}

4

On applique la limite remarquable du taux d'accroissement en $1$ : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ .

5

Comme $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$ , on conclut par produit de limites :

6

\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 - 1} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Vérification · 37

En utilisant les croissances comparées, détermine la valeur de la limite $\lim_{x \to 0^+} x^2(1 - \ln(x))$ :

Remarque

En développant l'expression, on obtient $x^2(1 - \ln(x)) = x^2 - x^2\ln(x)$ . Quand $x \to 0^+$ , $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$ et d'après le théorème des croissances comparées $\lim_{x \to 0^+} x^2\ln(x) = 0$ . Par différence, la limite vaut $0$ .

Point de départ · 38

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante telle que $f(1) = 2$ et $f'(1) = 3$ . La courbe de sa bijection réciproque $f^{-1}$ passe par le point $(2 ; 1)$ . Quelle est la pente de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ en ce point d'abscisse $2$ ?

La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ . Les pentes des tangentes se répondent par inversion : en l'abscisse $2$ , le coefficient directeur vaut $\frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3}$ , et non $\frac{1}{f'(2)}$ .

Définition · 39

Théorème de la bijection et dérivée de la fonction réciproque

$\text{Si } f \text{ est continue et strictement monotone sur } I, \text{ alors } f \text{ réalise une bijection de } I \text{ sur } J = f(I).$

$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

f(x_0) = y_0 \quad \text{et} \quad f'(x_0) \neq 0

Remarque

Si $f'(x_0) = 0$ , la courbe de $f$ présente une tangente horizontale en $(x_0 ; y_0)$ : la courbe symétrique de $f^{-1}$ admet alors une tangente verticale en $(y_0 ; x_0)$ , et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$ .

Exemple travaillé · 40

Soit $f(x) = \frac{\ln(x) - 2}{\ln(x) - 1}$ définie sur $]0 ; e[$ . On admet que $f$ est une bijection de $]0 ; e[$ sur $]1 ; +\infty[$ et que $f'(x) = \frac{1}{x(\ln(x) - 1)^2}$ . Calcule $(f^{-1})'(2)$ .

1

On détermine d'abord l'antécédent $x_0 \in ]0 ; e[$ tel que $f(x_0) = 2$ .

2

\frac{\ln(x_0) - 2}{\ln(x_0) - 1} = 2 \iff \ln(x_0) - 2 = 2\ln(x_0) - 2

3

\ln(x_0) = 0 \iff x_0 = 1

4

Comme $1 \in ]0 ; e[$ , on a bien $f^{-1}(2) = 1$ .

5

On évalue la dérivée $f'$ en cet antécédent $x_0 = 1$ :

6

f'(1) = \frac{1}{1 \times (\ln(1) - 1)^2} = \frac{1}{1 \times (-1)^2} = 1

7

Comme $f'(1) = 1 \neq 0$ , la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $2$ et :

8

(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{1} = 1

Piège classique · 41

Soit $g$ une fonction dérivable et bijective sur $]0 ; +\infty[$ vérifiant $g(1) = 3$ , $g(3) = 7$ , $g'(1) = 0$ et $g'(3) = 5$ . La fonction réciproque $g^{-1}$ est-elle dérivable en $3$ ?

Attention

Affirmer que $(g^{-1})'(3) = \frac{1}{g'(3)} = \frac{1}{5}$ en évaluant la dérivée $g'$ directement en la valeur cible $3$ .

À la place : Pour étudier la dérivabilité de $g^{-1}$ en $3$ , on cherche l'antécédent $x_0$ tel que $g(x_0) = 3$ . L'énoncé donne $g(1) = 3$ , donc $x_0 = 1$ . Comme $g'(1) = 0$ , la courbe de $g$ possède une tangente horizontale en $(1 ; 3)$ , ce qui donne une tangente verticale pour $g^{-1}$ en $(3 ; 1)$ : $g^{-1}$ n'est pas dérivable en $3$ .

Exemple travaillé · 42

Soit $\alpha > 0$ un réel annulant la fonction auxiliaire $g(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$ , c'est-à-dire vérifiant $1 + \alpha^2 - 2\alpha^2\ln(\alpha) = 0$ . On pose $f(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2}$ . Exprime $f(\alpha)$ sans aucun logarithme, uniquement sous forme rationnelle en $\alpha$ .

1

On part de la relation caractéristique $g(\alpha) = 0$ pour isoler $\ln(\alpha)$ :

2

1 + \alpha^2 - 2\alpha^2\ln(\alpha) = 0 \iff 2\alpha^2\ln(\alpha) = 1 + \alpha^2

3

Comme $\alpha > 0$ , le terme $2\alpha^2$ est non nul. On exprime $\ln(\alpha)$ :

4

\ln(\alpha) = \frac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}

5

On substitue cette expression de $\ln(\alpha)$ directement dans la formule de $f(\alpha)$ :

6

f(\alpha) = \frac{\ln(\alpha)}{1 + \alpha^2} = \frac{\frac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}}{1 + \alpha^2}

7

On simplifie par le facteur non nul $(1 + \alpha^2)$ pour obtenir l'écriture rationnelle finale :

8

f(\alpha) = \frac{1}{2\alpha^2}

Vérification · 43

Soit $f$ une fonction strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ telle que $f(e) = 2$ et $f'(e) = \frac{1}{e}$ . Détermine le nombre dérivé $(f^{-1})'(2)$ :

Remarque

Comme $f(e) = 2$ , l'antécédent de $2$ par $f$ est $e$ . On applique la formule de dérivation de la réciproque : $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(e)} = \frac{1}{\frac{1}{e}} = e$ .

Point de départ · 44

Pour mesurer des grandeurs physiques (comme les décibels ou le pH), on utilise une fonction logarithme adaptée aux puissances de $10$ . À ton avis, si $\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$ , que vaut $\log(100) = \log(10^2)$ ?

Comme $\log(10^p) = p$ , le logarithme décimal compte directement la puissance de $10$ : $\log(100) = \log(10^2) = 2$ .

Définition · 45

Fonction logarithme décimal

$\forall x > 0, \quad \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

D_{\log} = ]0 ; +\infty[

$\log(1) = 0, \quad \log(10) = 1 \quad \text{et} \quad \forall p \in \mathbb{Z}, \; \log(10^p) = p$

Pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$ , la fonction $\log$ vérifie les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ : $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ et $\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y)$ .

Remarque

Si un nombre s'écrit en notation scientifique $x = a \times 10^p$ avec $1 \le a < 10$ et $p \in \mathbb{Z}$ , alors $\log(x) = p + \log(a)$ , où $p$ est la partie entière de $\log(x)$ et $\log(a) \in [0 ; 1[$ sa partie décimale.

Exemple travaillé · 46

Sans calculatrice, déterminer la partie entière du réel $\log(42500)$ .

1

On écrit le nombre $42500$ sous sa forme scientifique standard $a \times 10^p$ avec $1 \le a < 10$ .

2

42500 = 4{,}25 \times 10^4

3

On applique les propriétés du logarithme décimal à ce produit.

4

\log(42500) = \log(4{,}25 \times 10^4) = \log(10^4) + \log(4{,}25) = 4 + \log(4{,}25)

5

Comme $1 \le 4{,}25 < 10$ et que la fonction $\log$ est strictement croissante avec $\log(1) = 0$ et $\log(10) = 1$ , on encadre le terme décimal.

6

0 \le \log(4{,}25) < 1

7

On en déduit l'encadrement de $\log(42500)$ entre deux entiers consécutifs.

8

4 \le \log(42500) < 5

9

La partie entière de $\log(42500)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre : c'est l'exposant $4$ .

Piège classique · 47

Quelle est la partie entière du réel $\log(0{,}0073)$ ?

Attention

Tronquer vers zéro en répondant $-2$ , en voyant que $\log(0{,}0073) \approx -2{,}14$ .

À la place : En écriture scientifique, $0{,}0073 = 7{,}3 \times 10^{-3}$ , d'où $\log(0{,}0073) = -3 + \log(7{,}3)$ . Comme $0 < \log(7{,}3) < 1$ , on a $-3 < \log(0{,}0073) < -2$ . La partie entière d'un nombre négatif est l'entier inférieur : elle vaut $-3$ et non $-2$ .

Exemple travaillé · 48

Le niveau sonore en décibels d'un son d'intensité $I$ est donné par $d(I) = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ . Calcule la hausse de niveau sonore $d(I_2) - d(I_1)$ lorsque l'intensité double ( $I_2 = 2I_1$ ), sachant que $\log(2) \approx 0{,}301$ .

1

On exprime la différence des niveaux sonores à partir de la définition.

2

d(I_2) - d(I_1) = 10\log\left(\frac{I_2}{I_0}\right) - 10\log\left(\frac{I_1}{I_0}\right)

3

On factorise par $10$ et on applique la propriété du quotient $\log(a) - \log(b) = \log(a/b)$ .

4

d(I_2) - d(I_1) = 10\left[\log\left(\frac{I_2}{I_0}\right) - \log\left(\frac{I_1}{I_0}\right)\right] = 10\log\left(\frac{I_2}{I_1}\right)

5

On utilise l'hypothèse $I_2 = 2I_1$ , ce qui donne $\frac{I_2}{I_1} = 2$ .

6

d(I_2) - d(I_1) = 10\log(2)

7

On calcule la valeur numérique arrondie au dixième.

8

10 \times 0{,}301 = 3{,}01 \text{ dB} \approx 3 \text{ dB}

Vérification · 49

Complète les valeurs remarquables du logarithme décimal :

Remarque

Pour tout entier $p \in \mathbb{Z}$ , $\log(10^p) = p$ . Ainsi $\log(1000) = \log(10^3) = 3$ et $\log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = -2$ .

Logarithme népérien — cours

Le cours

Définition de la fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques fondamentales

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Dérivée de la fonction composée ln(u)

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