Rappel · 1

Pour tout réel $x < 0$ , à quoi est égale l'expression $\sqrt{x^2}$ ?

Remarque

Par définition, pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé, donc $|x| = -x$ .

Point de départ · 2

On cherche $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$ . Si on factorise par $x$ pour $x > 0$ , on obtient $x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}} - 1\right)$ . Quelle est la limite de la parenthèse ?

La parenthèse tend vers $1 - 1 = 0$ , tandis que $x$ tend vers $+\infty$ . La factorisation mène à l'indétermination $\infty \times 0$ : elle ne permet pas de conclure.

Définition · 3

Règle de décision : factorisation ou expression conjuguée

Pour lever l'indétermination d'une forme irrationnelle $\sqrt{ax^2+bx+c} + dx$ au voisinage de l'infini, on compare les termes de plus haut degré.

\sqrt{a} \neq |d| \text{ ou les termes ne s'annulent pas}

$\text{On factorise par } |x| \text{ sous le radical et globalement.}$

\text{Les termes dominants se compensent exactement (somme nulle)}

$\text{On multiplie et on divise par l'expression conjuguée.}$

Exemple travaillé · 4

Déterminer $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+2x-5}}{2x}$ .

1

Pour $x < 0$ , on factorise par $x^2$ sous le radical :

2

\sqrt{x^2+2x-5} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}}

3

Comme $x \to -\infty$ , on a $x < 0$ , donc $|x| = -x$ :

4

\frac{\sqrt{x^2+2x-5}}{2x} = \frac{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}}}{2x} = -\frac{1}{2}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}}

5

Comme $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x^2} = 0$ , on passe à la limite :

6

\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+2x-5}}{2x} = -\frac{1}{2}

Piège classique · 5

Un élève calcule $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}$ . Il écrit : $\sqrt{4x^2+1} = 2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ , simplifie par $x$ et trouve $2$ . Quelle est la valeur correcte de cette limite ?

Attention

Écrire $\sqrt{4x^2} = 2x$ quand la variable tend vers $-\infty$ .

À la place : Pour $x < 0$ , $\sqrt{4x^2} = 2|x| = -2x$ . Le rapport vaut $-2\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ , ce qui donne une limite égale à $-2$ .

Exemple travaillé · 6

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$ .

1

En $+\infty$ , les termes dominants sont $\sqrt{x^2} = x$ et $-x$ : ils ont le même coefficient et s'annulent ( $x - x = 0$ ). On multiplie et on divise par l'expression conjuguée :

2

\sqrt{x^2+2x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+2x} - x)(\sqrt{x^2+2x} + x)}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x}

3

Pour $x > 0$ , on factorise le dénominateur par $x$ :

4

\frac{2x}{x\sqrt{1+\frac{2}{x}} + x} = \frac{2x}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1\right)} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1}

5

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$ , le dénominateur tend vers $1 + 1 = 2$ :

6

\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x) = \frac{2}{2} = 1

Piège classique · 7

Pour calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+3x} - 2x)$ , quelle méthode doit-on impérativement employer ?

Attention

Tenter de factoriser par $x$ , ce qui donne $x\left(\sqrt{4+\frac{3}{x}} - 2\right)$ et produit la forme indéterminée $\infty \times (2-2) = \infty \times 0$ .

À la place : Comme $\sqrt{4x^2} = 2x$ pour $x > 0$ , les termes dominants se compensent exactement ( $2x - 2x = 0$ ). Il faut impérativement multiplier et diviser par l'expression conjuguée $\sqrt{4x^2+3x} + 2x$ .

Vérification · 8

Quelle est la limite de $f(x) = \sqrt{x^2+2x} - x$ lorsque $x \to -\infty$ ?

Remarque

Quand $x \to -\infty$ , on a $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+2x} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$ . Il n'y a aucune forme indéterminée : par somme de limites infinies de même signe, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ . L'expression conjuguée était inutile ici.

Point de départ · 9

On cherche $\lim_{x \to +\infty} (x + \cos x)$ . Pour tout réel $x$ , on a $x - 1 \le x + \cos x \le x + 1$ . A-t-on besoin de la borne supérieure $x + 1$ pour conclure ?

Remarque

Comme $\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$ , la seule minoration $x + \cos x \ge x - 1$ suffit à entraîner la fonction vers $+\infty$ . Le théorème des gendarmes, lui, est réservé aux limites finies.

Définition · 10

Théorèmes de comparaison et d'encadrement

f(x) \ge g(x) \text{ au voisinage de } +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

f(x) \le g(x) \text{ au voisinage de } +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

u(x) \le f(x) \le v(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to +\infty} v(x) = L \in \mathbb{R}

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$

Exemple travaillé · 11

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{3 - \sin x}$ .

1

Pour tout réel $x$ , on encadre le sinus :

2

-1 \le -\sin x \le 1 \implies 2 \le 3 - \sin x \le 4

3

Par décroissance de la fonction inverse sur $]0\,;\,+\infty[$ :

4

\frac{1}{4} \le \frac{1}{3 - \sin x} \le \frac{1}{2}

5

Pour $x > 0$ , on multiplie par $x$ sans changer l'ordre :

6

\frac{x}{4} \le \frac{x}{3 - \sin x}

7

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{4} = +\infty$ , le théorème de comparaison donne :

8

\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{3 - \sin x} = +\infty

Exemple travaillé · 12

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \frac{x\sin x}{x^2+1}$ .

1

Pour tout réel $x$ , on a $-1 \le \sin x \le 1$ . Pour $x > 0$ , on multiplie par $x$ :

2

-x \le x\sin x \le x

3

Comme $x^2 + 1 > 0$ , on divise chaque membre par $x^2 + 1$ :

4

-\frac{x}{x^2+1} \le \frac{x\sin x}{x^2+1} \le \frac{x}{x^2+1}

5

On calcule la limite des bornes en $+\infty$ :

6

\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0

7

Les deux bornes tendent vers $0$ . D'après le théorème des gendarmes :

8

\lim_{x \to +\infty} \frac{x\sin x}{x^2+1} = 0

Piège classique · 13

Quelle méthode permet de déterminer $\lim_{x \to +\infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ ?

Attention

Écrire $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1 \implies -x \le x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x$ : les bornes tendent vers $-\infty$ et $+\infty$ , ce qui ne permet pas de conclure.

À la place : Quand $x \to +\infty$ , l'argument $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ . En posant $X = \frac{1}{x}$ , on se ramène à la limite remarquable $\lim_{X \to 0} \frac{\sin X}{X} = 1$ .

Vérification · 14

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x^2)}{\sqrt{x}}$ .

Remarque

Pour tout $x > 0$ , $-1 \le \cos(x^2) \le 1$ , donc $-\frac{1}{\sqrt{x}} \le \frac{\cos(x^2)}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{\sqrt{x}}$ . Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $0$ .

Point de départ · 15

Soit $f(x) = x - 1 + \frac{2}{x+3}$ pour tout $x > 0$ . Que devient l'écart vertical entre la courbe $C_f$ et la droite $D : y = x - 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

Remarque

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x+3} = 0$ , la différence $f(x) - (x - 1)$ tend vers $0$ : la courbe se rapproche indéfiniment de la droite $D$ . On dit que $D$ est une asymptote oblique à $C_f$ .

Définition · 16

Asymptote oblique et position relative

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \quad (a \neq 0)

$\text{La droite } D : y = ax + b \text{ est une asymptote oblique à } C_f \text{ au voisinage de } +\infty$

Pour étudier la position relative de $C_f$ par rapport à $D$ , on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax + b)$ :

d(x) > 0 \implies C_f \text{ est au-dessus de } D

d(x) < 0 \implies C_f \text{ est au-dessous de } D

Exemple travaillé · 17

Soit $f(x) = \frac{x^2+2x+7}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . Démontrer que la droite $D : y = x + 1$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ , puis préciser la position relative de $C_f$ par rapport à $D$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ .

1

On calcule la différence $f(x) - (x + 1)$ pour tout $x \neq -1$ :

2

f(x) - (x + 1) = \frac{x^2+2x+7}{x+1} - \frac{(x+1)^2}{x+1} = \frac{x^2+2x+7 - (x^2+2x+1)}{x+1} = \frac{6}{x+1}

3

On évalue la limite de cette différence en $+\infty$ :

4

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{6}{x+1} = 0

5

La limite étant nulle, la droite $D : y = x + 1$ est bien asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ .

6

Pour tout $x \in ]-1\,;\,+\infty[$ , $x + 1 > 0$ , donc $\frac{6}{x+1} > 0$ : la courbe $C_f$ est strictement au-dessus de $D$ sur cet intervalle.

Piège classique · 18

Soit $f(x) = x + 1 + \frac{6}{x+1}$ et $D : y = x + 1$ . Un élève affirme : « Comme le numérateur $6$ est strictement positif, $C_f$ est au-dessus de $D$ sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . » Que penser de cette affirmation ?

Attention

Conclure sur le signe de $f(x) - (ax+b)$ en regardant uniquement le numérateur, en oubliant que le dénominateur change de signe.

À la place : Pour $x < -1$ , on a $x + 1 < 0$ , donc $f(x) - (x+1) = \frac{6}{x+1} < 0$ : sur $]-\infty\,;\,-1[$ , la courbe $C_f$ est strictement au-dessous de $D$ .

Exemple travaillé · 19

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+4x+7}$ . Démontrer que la droite $D : y = x + 2$ est asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

1

On étudie la différence $f(x) - (x + 2) = \sqrt{x^2+4x+7} - (x + 2)$ au voisinage de $+\infty$ (forme indéterminée $\infty - \infty$ ) :

2

f(x) - (x + 2) = \frac{(\sqrt{x^2+4x+7} - (x + 2))(\sqrt{x^2+4x+7} + (x + 2))}{\sqrt{x^2+4x+7} + (x + 2)}

3

On développe le numérateur avec l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ :

4

\frac{(x^2+4x+7) - (x+2)^2}{\sqrt{x^2+4x+7} + x + 2} = \frac{x^2+4x+7 - (x^2+4x+4)}{\sqrt{x^2+4x+7} + x + 2} = \frac{3}{\sqrt{x^2+4x+7} + x + 2}

5

Quand $x \to +\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc :

6

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x + 2)] = 0

7

La droite $D : y = x + 2$ est donc une asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ .

Vérification · 20

Soit $g(x) = 2x - 3 + \frac{1}{x-1}$ pour tout $x > 1$ . Quelle est l'asymptote oblique à la courbe de $g$ en $+\infty$ , et comment se situe la courbe par rapport à celle-ci ?

Remarque

Comme $\lim_{x \to +\infty} [g(x) - (2x - 3)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-1} = 0$ , la droite $y = 2x - 3$ est asymptote oblique. Pour $x > 1$ , $x - 1 > 0$ donc la différence $\frac{1}{x-1}$ est strictement positive : la courbe est au-dessus de l'asymptote.

Point de départ · 21

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par deux formules distinctes selon que $x \ge 1$ ou $x < 1$ . Pour s'assurer que sa courbe se trace sans rupture au point d'abscisse $1$ , suffit-il que l'image $f(1)$ existe ?

Remarque

Non. Même si $f(1)$ est bien défini, la courbe peut présenter un saut en $1$ si les valeurs approchées à gauche et à droite ne convergent pas vers cette même valeur $f(1)$ .

Définition · 22

Continuité en un point et limites latérales

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ .

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

$f \text{ est continue en } x_0$

Pour une fonction définie par morceaux autour de $x_0$ , la continuité équivaut à la coïncidence des deux limites latérales avec l'image :

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)

$f \text{ est continue à droite et à gauche en } x_0$

Exemple travaillé · 23

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3x + 1$ si $x \ge 0$ , et $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ si $x < 0$ . Démontrer que $f$ est continue en $0$ .

1

On évalue l'image de $0$ à l'aide de la formule valable pour $x \ge 0$ :

2

f(0) = 0^2 + 3(0) + 1 = 1

3

On étudie la limite à droite en $0$ :

4

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 3x + 1) = 1 = f(0)

5

On étudie la limite à gauche en $0$ via la limite remarquable du sinus :

6

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1

7

On confronte les résultats obtenus :

8

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 1

9

Les limites latérales étant finies et égales à $f(0)$ , la fonction $f$ est continue en $0$ .

Piège classique · 24

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$ si $x \le 1$ et $f(x) = \frac{x^2+7}{x}$ si $x > 1$ . Un élève affirme : « Comme $f(1) = 1^2 + 3 = 4$ , la fonction est continue en $1$ . » Que penser de cette déduction ?

Attention

Conclure à la continuité en évaluant uniquement la branche fermée qui fournit l'image $f(x_0)$ .

À la place : Il faut impérativement évaluer la limite sur l'autre branche : $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+7}{x} = \frac{8}{1} = 8$ . Comme $8 \ne 4$ , $f$ présente un saut et n'est pas continue en $1$ .

Exemple travaillé · 25

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ si $x \ne 4$ , et $f(4) = \lambda$ . Déterminer le réel $\lambda$ pour que $f$ soit continue en $4$ .

1

Par définition, $f$ est continue en $4$ si et seulement si sa limite en $4$ existe et vaut $\lambda$ :

2

\lim_{x \to 4} f(x) = f(4) = \lambda

3

Pour $x \ne 4$ , l'expression donne la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . On multiplie par l'expression conjuguée du numérateur :

4

\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}

5

Pour tout $x \ne 4$ , on simplifie par le facteur non nul $x - 4$ :

6

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+2}

7

On calcule la limite finie en $4$ :

8

\lim_{x \to 4} f(x) = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}

9

On en déduit la valeur unique assurant la continuité : $\lambda = \frac{1}{4}$ .

Vérification · 26

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 3x - 1$ si $x \le 2$ , et $g(x) = x^2 + 1$ si $x > 2$ . La fonction $g$ est-elle continue en $2$ ?

Remarque

On a $g(2) = 3(2) - 1 = 5$ . À gauche : $\lim_{x \to 2^-} (3x - 1) = 5$ . À droite : $\lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$ . Comme $\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^+} g(x) = g(2) = 5$ , la fonction $g$ est continue en $2$ .

Point de départ · 27

Si une fonction $f$ est continue sur $[1\,;\,4]$ , avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 3$ , est-on certain que la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses au moins une fois ?

Remarque

Pour passer d'une valeur négative ( $-2$ ) à une valeur positive ( $3$ ) sans lever le crayon (continuité), la courbe doit obligatoirement traverser l'axe $y = 0$ : c'est le principe du théorème des valeurs intermédiaires.

Définition · 28

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle fermé $[a\,;\,b]$ .

f \text{ est continue sur } [a\,;\,b]

$\text{Pour tout réel } k \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b), \text{ l'équation } f(x) = k \text{ admet au moins une solution dans } [a\,;\,b]$

En particulier, si $f(a) \times f(b) < 0$ , l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ .

Exemple travaillé · 29

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$ .

2

On évalue les images des bornes de l'intervalle :

3

f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 6 = -1 - 4 + 6 = 1

4

f(4) = 4^3 - 4(4)^2 + 6 = 64 - 64 + 6 = 6

5

On compare la valeur cible $k = 2$ aux deux images obtenues :

6

f(-1) = 1 < 2 < 6 = f(4)

7

Le réel $2$ est compris entre $f(-1)$ et $f(4)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution sur $[-1\,;\,4]$ .

Piège classique · 30

Pour prouver que l'équation $x^3 - 4x^2 + 6 = 2$ admet au moins une solution sur $[-1\,;\,4]$ , est-il obligatoire de calculer la dérivée et d'étudier les variations de $f$ ?

Attention

Calculer systématiquement la dérivée pour chercher la monotonie alors que la question demande seulement « au moins une solution ».

À la place : La stricte monotonie n'est exigée que pour garantir l'unicité de la solution. Pour prouver l'existence d'au moins une solution, la continuité et l'encadrement des bornes suffisent.

Définition · 31

Théorème de la bijection (unicité)

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\,;\,b]$ .

f \text{ est continue et strictement monotone sur } [a\,;\,b]

$\text{Pour tout réel } k \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b), \text{ l'équation } f(x) = k \text{ admet une unique solution dans } [a\,;\,b]$

Remarque

Si $f(a) \times f(b) < 0$ , l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [a\,;\,b]$ .

Exemple travaillé · 32

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - x^2 - 1$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur $[1\,;\,2]$ .

2

On détermine le signe de sa dérivée sur $[1\,;\,2]$ :

3

f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)

4

Pour tout $x \in [1\,;\,2]$ , $x > 0$ et $3x - 2 \ge 1 > 0$ , donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,2]$ .

5

On évalue les images des bornes :

6

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1 < 0

7

f(2) = 2^3 - 2^2 - 1 = 8 - 4 - 1 = 3 > 0

8

On constate que $f(1) \times f(2) < 0$ : le réel $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$ .

9

Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$ , d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1\,;\,2]$ .

Vérification · 33

Soit une fonction $g$ continue sur $[0\,;\,3]$ telle que $g(0) = -4$ et $g(3) = 5$ . La fonction n'est pas monotone sur cet intervalle. Que peut-on affirmer avec certitude concernant l'équation $g(x) = 0$ ?

Remarque

Comme $g$ est continue et $0$ est compris entre $g(0) = -4$ et $g(3) = 5$ , le TVI garantit l'existence d'au moins une solution. En l'absence de stricte monotonie, on ne peut en revanche pas affirmer que la solution est unique.

Limites de fonctions — cours

Le cours

Règle de décision : factorisation ou expression conjuguée

Théorèmes de comparaison et d'encadrement

Asymptote oblique et position relative

Continuité en un point et limites latérales

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème de la bijection (unicité)

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