Limites de fonctions — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
$$f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 9}}{x}$$

Pour tout réel $a > 0$, on considère également la fonction $g_a$ définie sur $]-\infty\,;\,2[$ par :
$$g_a(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 x^2 + 1}}{x - 2}$$

1. 1. Calculer les valeurs exactes de $f(-3)$ et $f(-4)$ sous forme de fractions simplifiées. Expliquer pourquoi ces valeurs sont strictement négatives bien que le numérateur de $f(x)$ soit strictement positif.

   Indice — Étudie séparément le signe du numérateur et celui du dénominateur pour $x < 0$.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $-3$ et $-4$ dans l'expression de $f$, on obtient :
   - $f(-3) = \dfrac{\sqrt{(-3)^2 + 9}}{-3} = \dfrac{\sqrt{18}}{-3} = \dfrac{3\sqrt{2}}{-3} = -\sqrt{2}$
   - $f(-4) = \dfrac{\sqrt{(-4)^2 + 9}}{-4} = \dfrac{\sqrt{25}}{-4} = -\dfrac{5}{4}$

   Le numérateur $\sqrt{x^2 + 9}$ est strictement positif car il s'agit d'une racine carrée d'un nombre strictement positif. En revanche, pour $x = -3$ et $x = -4$, le dénominateur $x$ est strictement négatif. Par la règle des signes d'un quotient, $f(-3)$ et $f(-4)$ sont donc strictement négatifs.

2. 2. Pour tout réel $x < 0$, déterminer le signe de $f(x)$. En calculant les valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $f(-10)$ et $f(-100)$, conjecturer la valeur du rapport $\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}$ pour tout $x \in ]-\infty\,;\,0[$.

   Indice — Que vaut $\sqrt{x^2}$ lorsque $x$ est un nombre réel strictement négatif ?

   Correction

   Pour tout $x < 0$, le numérateur $\sqrt{x^2 + 9}$ est strictement positif et le dénominateur $x$ est strictement négatif, donc $f(x) < 0$.

   À l'aide d'une calculatrice, on trouve les valeurs approchées suivantes :
   - $f(-10) = \dfrac{\sqrt{109}}{-10} \approx -1{,}044$
   - $f(-100) = \dfrac{\sqrt{10009}}{-100} \approx -1{,}000$

   Lorsque $x$ prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, le terme $9$ devient négligeable devant $x^2$, de sorte que $f(x) \approx \dfrac{\sqrt{x^2}}{x}$. Comme les valeurs calculées se rapprochent de $-1$, on conjecture que pour tout $x \in ]-\infty\,;\,0[$, on a $\dfrac{\sqrt{x^2}}{x} = -1$ (ce qui est cohérent avec le fait que $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ pour $x < 0$).

3. 3. Pour tout réel $x < 0$, factoriser $x^2$ sous le radical de l'expression $\sqrt{x^2 + 9}$ afin d'établir l'égalité :
   $$\sqrt{x^2 + 9} = -x \sqrt{1 + \dfrac{9}{x^2}}$$

   Indice — Écris $\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{x^2 \left(1 + \dfrac{9}{x^2}\right)}$ et utilise la relation $\sqrt{A \times B} = \sqrt{A} \times \sqrt{B}$ pour $A \ge 0$ et $B \ge 0$.

   Correction

   Pour tout réel $x < 0$, on factorise par $x^2$ sous le radical :
   $$\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{x^2 \left(1 + \dfrac{9}{x^2}\right)}$$

   En utilisant la propriété de la racine carrée d'un produit $\sqrt{A \times B} = \sqrt{A} \times \sqrt{B}$ (valable car $x^2 \ge 0$ et $1 + \dfrac{9}{x^2} \ge 0$), on obtient :
   $$\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{x^2} \times \sqrt{1 + \dfrac{9}{x^2}}$$

   Comme $x < 0$, on a $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. On en déduit l'égalité cherchée :
   $$\sqrt{x^2 + 9} = -x \sqrt{1 + \dfrac{9}{x^2}}$$

4. 4. Soit $a$ un réel strictement positif. En s'inspirant de la méthode de la question précédente, montrer que pour tout $x \in ]-\infty\,;\,0[$, on a :
   $$g_a(x) = \dfrac{-\sqrt{a^2 + \dfrac{1}{x^2}}}{1 - \dfrac{2}{x}}$$

   Indice — Factorise $x^2$ sous le radical au numérateur, et factorise $x$ au dénominateur.

   Correction

   On applique la même méthode de factorisation au numérateur et au dénominateur de $g_a(x)$ pour $x < 0$ :
   - Au numérateur, on factorise par $x^2$ sous le radical :
   $$\sqrt{a^2 x^2 + 1} = \sqrt{x^2 \left(a^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{x^2}} = -x \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{x^2}}$$
   car $\sqrt{x^2} = -x$ pour $x < 0$.
   - Au dénominateur, on factorise par $x$ :
   $$x - 2 = x \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)$$

   En remplaçant dans l'expression de $g_a(x)$, on obtient :
   $$g_a(x) = \dfrac{-x \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{x^2}}}{x \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)}$$

   Après simplification par $x$ (qui est non nul), on obtient bien :
   $$g_a(x) = \dfrac{-\sqrt{a^2 + \dfrac{1}{x^2}}}{1 - \dfrac{2}{x}}$$

5. 5. Déterminer, pour tout réel $a > 0$, la limite $\lim_{x \to -\infty} g_a(x)$. En déduire la valeur de cette limite lorsque $a = 3$.

   Indice — Détermine les limites de $\dfrac{1}{x^2}$ et $\dfrac{2}{x}$ quand $x \to -\infty$.

   Correction

   Pour lever l'indétermination de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ en $-\infty$, on factorise par le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur.

   Pour tout $x < 0$ :
   - Au numérateur : $\sqrt{a^2 x^2 + 1} = \sqrt{x^2 \left(a^2 + \frac{1}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{a^2 + \frac{1}{x^2}} = -x \sqrt{a^2 + \frac{1}{x^2}}$ (car $x < 0$).
   - Au dénominateur : $x - 2 = x \left(1 - \frac{2}{x}\right)$.

   On en déduit, après simplification par $x$ :
   $$g_a(x) = -\dfrac{\sqrt{a^2 + \frac{1}{x^2}}}{1 - \frac{2}{x}}$$

   Comme $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} = 0$, on obtient par limite d'une somme, d'une racine et d'un quotient :
   $$\lim_{x \to -\infty} g_a(x) = -\sqrt{a^2} = -a \quad \text{(car } a > 0\text{)}$$

   Pour $a = 3$, on en déduit immédiatement :
   $$\lim_{x \to -\infty} g_3(x) = -3$$