Suites réelles — exercices corrigés

On considère la suite réelle $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$.

1. 1)a). Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}$. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in [0\,;\,1]$, on ait $f(x) = a + \dfrac{b}{x + 4}$.

   Indice — Réduis l'expression au même dénominateur pour identifier les coefficients.

   Correction

   En réduisant au même dénominateur, on a $a + \dfrac{b}{x+4} = \dfrac{ax + (4a + b)}{x+4}$. Par identification des coefficients avec $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}$, on obtient le système $a = 2$ et $4a + b = 3$, d'où $b = -5$.

   On a donc $f(x) = 2 - \dfrac{5}{x+4}$ pour tout $x \in [0\,;\,1]$.

2. 1)b). Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$.

   Indice — Observe l'expression obtenue à la question précédente pour étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle considéré.

   Correction

   Procédons par récurrence :
   - **Initialisation :** Pour $n = 0$, $u_0 = 0 \in [0\,;\,1]$, la propriété est vraie.
   - **Hérédité :** Supposons $0 \le u_n \le 1$ pour un entier $n \ge 0$.
   Grâce à l'écriture $f(x) = 2 - \dfrac{5}{x+4}$, on constate que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$.
   En appliquant $f$ à l'encadrement, on obtient $f(0) \le f(u_n) \le f(1)$. Or $f(0) = \dfrac{3}{4} \ge 0$ et $f(1) = 1$, donc $0 \le u_{n+1} \le 1$.
   - **Conclusion :** Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$.

3. 2)a). Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1 - u_n)(u_n + 3)}{u_n + 4}$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

   Indice — Exprime $u_{n+1} - u_n$ en factorisant par $u_n$ et utilise l'encadrement établi précédemment.

   Correction

   En exprimant la différence $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} - u_n$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient $\dfrac{-u_n^2 - 2u_n + 3}{u_n + 4}$. La factorisation du numérateur donne immédiatement $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1 - u_n)(u_n + 3)}{u_n + 4}$.

   D'après la question 1)b), $0 \le u_n \le 1$. Ainsi, $u_n + 3 > 0$, $u_n + 4 > 0$ et $1 - u_n > 0$ (car $u_0 = 0 < 1$ et $f([0,1[) \subset [0,1[$). La différence $u_{n+1} - u_n$ est donc strictement positive, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4. 2)b). Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,1]$.

   Indice — Jalonne ta conclusion en citant le théorème de convergence monotone du cours, sans chercher à calculer la limite par l'algèbre à ce stade.

   Correction

   La suite $(u_n)$ est strictement croissante (d'après 2)a)) et majorée par $1$ (d'après 1)b)).

   D'après le **théorème de convergence monotone**, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $l$.

   De plus, comme $0 \le u_n \le 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, le passage à la limite garantit que $l \in [0\,;\,1]$.

5. 3)a). On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$.

   Indice — Remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ dans la fraction définissant $v_{n+1}$.

   Correction

   On calcule $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}$. En remplaçant $u_{n+1}$ par $\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient $v_{n+1} = \dfrac{u_n-1}{5(u_n+3)} = \dfrac{1}{5}v_n$.
   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{0-1}{0+3} = -\dfrac{1}{3}$.

6. 3)b). Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Exprime d'abord le terme général $v_n$ en fonction de $n$, puis isole $u_n$ dans l'égalité définissant la suite auxiliaire.

   Correction

   D'après la formule du terme général d'une suite géométrique, $v_n = v_0 \times q^n = -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
   Pour exprimer $u_n$, on isole $u_n$ dans la relation $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n+3}$, ce qui donne $u_n = \dfrac{1+3v_n}{1-v_n}$. En remplaçant $v_n$ par son expression, on trouve $u_n = \dfrac{3 - 3\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{3 + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$.

7. 3)c). Déterminer la valeur exacte de la limite $l$ de la suite $(u_n)$, et expliquer comment l'encadrement préalable permet d'écarter l'autre solution de l'équation de point fixe.

   Indice — Calcule la limite de l'expression explicite de $u_n$, puis compare ce résultat aux solutions de l'équation $f(x) = x$.

   Correction

   Comme $-1 < \dfrac{1}{5} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n = 0$, donc par quotient $\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{3}{3} = 1$.
   Par ailleurs, les solutions de l'équation de point fixe $f(x) = x \iff x^2 + 2x - 3 = 0$ sont $x = 1$ et $x = -3$. L'encadrement préalable assurant que $u_n \ge 0$ pour tout $n$, la valeur négative $-3$ est écartée, ne laissant que la limite $l = 1$.

On considère la suite réelle $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 5n + 2(-1)^n$.

1. 1)a). Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $-2 \le 2(-1)^n \le 2$.

   Indice — Que vaut $(-1)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ?

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $(-1)^n$ vaut $1$ ou $-1$, d'où l'encadrement $-1 \le (-1)^n \le 1$. En multipliant chaque membre par $2$, on obtient directement $-2 \le 2(-1)^n \le 2$.

2. 1)b). En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n \ge 5n - 2$.

   Indice — Ajoute $5n$ aux membres de l'inégalité précédente.

   Correction

   En repartant de minoration $2(-1)^n \ge -2$ établie précédemment et en ajoutant $5n$ de chaque côté, on obtient $5n + 2(-1)^n \ge 5n - 2$, soit $u_n \ge 5n - 2$.

3. 2)a). Déterminer la limite de la suite $w$ définie par $w_n = 5n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Étudie la limite du terme dominant lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Correction

   Puisque $\lim_{n \to +\infty} 5n = +\infty$, par addition de la constante $-2$, on a $\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$.

4. 2)b). Déduire de ce qui précède la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Pense au théorème de comparaison pour les limites infinies.

   Correction

   On sait que $u_n \ge w_n$ et que $\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$. D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

5. 3). Expliquer pourquoi la minoration établie à la question 1)b) suffit à conclure quant au comportement de $(u_n)$ en $+\infty$, et préciser pourquoi la recherche d'un encadrement bilatéral n'est pas nécessaire ici.

   Indice — Examine l'effet d'une majoration de type $u_n \le 5n + 2$ sur la recherche d'une limite infinie.

   Correction

   D'après la question 1)b), on a la minoration $u_n \ge 5n - 2$. Comme $\lim_{n \to +\infty} (5n - 2) = +\infty$, le théorème de comparaison pour les limites infinies permet d'affirmer directement que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

   La recherche d'un encadrement bilatéral (ou théorème des gendarmes) n'est pas nécessaire car pour démontrer une limite infinie en $+\infty$, seule une minoration par une suite tendant vers $+\infty$ est requise. Une majoration du type $u_n \le 5n + 2$ n'apporterait aucune contrainte utile pour conclure à une divergence vers $+\infty$.

On considère la suite réelle $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}$.

1. 1. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ est bien définie et vérifie $u_n \ge 1$.

   Indice — Vérifie l'initialisation pour $n = 0$ puis utilise la relation de récurrence en supposant $u_n \ge 1$.

   Correction

   Pour $n = 0$, $u_0 = 1 \ge 1$, la propriété est initialisée.

   Supposons $u_n \ge 1$ pour un entier $n \ge 0$. Alors $u_n \neq 0$, donc $u_{n+1}$ est bien défini. De plus, $\dfrac{1}{u_n} > 0$, d'où $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} > 1$.

   Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien définie et $u_n \ge 1$.

2. 2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ et en déduire son comportement global.

   Indice — Exprime la différence $u_{n+1} - u_n$ à l'aide de la relation de récurrence et du résultat précédent.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{u_n}$.

   Comme $u_n \ge 1 > 0$, la différence est strictement positive : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. 3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ en $+\infty$.

   Indice — Pense au lien entre monotonie et absence de majorant pour une suite réelle.

   Correction

   La suite $(u_n)$ étant strictement croissante, soit elle converge vers une limite réelle $L \ge 1$, soit elle tend vers $+\infty$.

   Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$, la relation de récurrence donne $L = L + \dfrac{1}{L}$, ce qui impliquerait $\dfrac{1}{L} = 0$, impossible.

   On en déduit par le théorème de la limite monotone que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

4. 4. Établir que pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a l'égalité $$u_{k+1}^2 - u_k^2 = 2 + \dfrac{1}{u_k^2}$$.

   Indice — Développe l'expression $u_{k+1}^2$ en utilisant l'égalité de récurrence.

   Correction

   Pour tout $k \in \mathbb{N}$, on développe le carré de $u_{k+1}$ :
   $$u_{k+1}^2 = \left(u_k + \dfrac{1}{u_k}\right)^2 = u_k^2 + 2 + \dfrac{1}{u_k^2}$$

   En soustrayant $u_k^2$ des deux côtés, on obtient directement $u_{k+1}^2 - u_k^2 = 2 + \dfrac{1}{u_k^2}$.

5. 5. En sommant la relation précédente, exprimer $u_n^2$ en fonction de $n$ et de la somme des $\dfrac{1}{u_k^2}$, puis en déduire que pour tout $n \ge 1$, on a $u_n > \sqrt{2n}$.

   Indice — Écris cette relation pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ et effectue la somme membre à membre.

   Correction

   En élevant au carré la relation de récurrence, on obtient $u_{k+1}^2 = u_k^2 + 2 + \dfrac{1}{u_k^2}$. En sommant pour $k$ allant de $0$ à $n-1$, la somme se téléscope à gauche :
   $$u_n^2 - u_0^2 = 2n + \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2}$$
   Comme $u_0 = 1$, il vient $u_n^2 = 2n + 1 + \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2}$. Chaque terme de la somme étant strictement positif, on en déduit que $u_n^2 > 2n$, d'où $u_n > \sqrt{2n}$ pour tout $n \ge 1$ par croissance de la racine carrée.

6. 6. Démontrer que pour tout entier $k \ge 1$, l'inégalité $\dfrac{1}{u_k^2} < \dfrac{1}{2k}$ est vérifiée.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente en passant à l'inverse.

   Correction

   D'après le résultat de la question précédente, pour tout entier $k \ge 1$, on a $u_k > \sqrt{2k} > 0$. En élevant au carré puis en passant à l'inverse (la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$), on obtient directement $\dfrac{1}{u_k^2} < \dfrac{1}{2k}$.

7. 7. Établir que pour tout entier $k \ge 1$, on a l'inégalité $\dfrac{1}{2k} < \sqrt{k} - \sqrt{k-1}$.

   Indice — Compare $\dfrac{1}{2k}$ avec la différence de deux racines consécutives.

   Correction

   En multipliant par la quantité conjuguée, on a $\sqrt{k} - \sqrt{k-1} = \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$. Comme pour tout $k \ge 1$, $\sqrt{k-1} < \sqrt{k}$, le dénominateur vérifie $\sqrt{k} + \sqrt{k-1} < 2\sqrt{k} \le 2k$. En passant à l'inverse, il vient bien $\dfrac{1}{2k} < \sqrt{k} - \sqrt{k-1}$.

8. 8. En déduire une majoration de la somme $\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2}$, puis prouver que pour tout $n \ge 1$, on a $u_n^2 < 2n + 2 + \sqrt{n}$.

   Indice — Combine les sommes télescopiques obtenues aux questions précédentes pour majorer $u_n^2$.

   Correction

   En combinant les inégalités des questions 6 et 7, on a $\dfrac{1}{u_k^2} < \sqrt{k} - \sqrt{k-1}$ pour tout $k \ge 1$. Par sommation téléscopique, on obtient :
   $$\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2} < \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{k} - \sqrt{k-1}) = \sqrt{n-1} < \sqrt{n}$$
   En réinjectant cette majoration dans l'expression de la question 5 avec $u_0 = 1$, il vient $u_n^2 = 2n + 1 + \dfrac{1}{u_0^2} + \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2} = 2n + 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{u_k^2} < 2n + 2 + \sqrt{n}$.

9. 9. Déterminer l'encadrement de $u_n$ pour $n \ge 1$, puis calculer $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{\sqrt{2n}}$.

   Indice — Encadre le quotient par deux expressions dont la limite est immédiate.

   Correction

   En élevant la relation au carré, on obtient $u_{k+1}^2 - u_k^2 = 2 + \dfrac{1}{u_k^2} > 2$. Par sommation télescopique, on en déduit la minoration $u_n^2 > 2n + 1$.

   Pour la majoration, $u_k^2 > 2k$ implique $\dfrac{1}{u_k^2} < \dfrac{1}{2k}$ pour $k \ge 1$. En sommant à nouveau et par comparaison à une intégrale, on obtient $u_n^2 \le 2n + \dfrac{1 + \ln n}{2}$.

   On en déduit l'encadrement $\sqrt{2n+1} < u_n \le \sqrt{2n + \dfrac{1+\ln n}{2}}$. En divisant par $\sqrt{2n}$, les deux bornes tendent vers $1$. D'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{\sqrt{2n}} = 1$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 3$.

1. 1. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de la suite $(u_n)$.

   Indice — Remplace $n$ successivement par $0$, $1$ et $2$ dans la relation de récurrence.

   Correction

   En appliquant la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 3$ :
   - $u_1 = \frac{1}{2} \times 1 + 3 = \frac{7}{2} = 3{,}5$
   - $u_2 = \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} + 3 = \frac{19}{4} = 4{,}75$
   - $u_3 = \frac{1}{2} \times \frac{19}{4} + 3 = \frac{43}{8} = 5{,}375$

2. 2. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n < 6$.

   Indice — Teste l'hérédité en comparant $\frac{1}{2}u_n + 3$ à $6$ en utilisant l'hypothèse de récurrence.

   Correction

   Démontrons par récurrence la propriété $P(n) : u_n < 6$.

   - **Initialisation :** Pour $n = 0$, $u_0 = 1 < 6$. La propriété $P(0)$ est vraie.
   - **Hérédité :** Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $u_n < 6$.
   On a alors $\frac{1}{2} u_n < 3$, d'où $\frac{1}{2} u_n + 3 < 6$, c'est-à-dire $u_{n+1} < 6$. La propriété est héréditaire.
   - **Conclusion :** Par principe de récurrence, $u_n < 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. 3. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = u_n - 6$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   Indice — Exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis substitue $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{2} u_n + 3 - 6 = \frac{1}{2} u_n - 3 = \frac{1}{2}(u_n - 6) = \frac{1}{2} v_n$$

   La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 6 = 1 - 6 = -5$.

4. 4. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Exprime d'abord $v_n$ en fonction de $n$, puis déduis-en l'expression de $u_n$.

   Correction

   D'après les résultats précédents sur la suite géométrique $(v_n)$ :
   - Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = v_0 \times q^n = -5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
   - Comme $v_n = u_n - 6$, on en déduit $u_n = v_n + 6 = 6 - 5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

5. 5. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Justifier pourquoi la simple résolution de l'équation $f(l) = l$, où $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$, ne suffisait pas à elle seule pour affirmer que la suite converge vers cette valeur sans l'étude préalable de la limite.

   Indice — Regarde le comportement de la puissance $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$, puis examine ce que garantit l'existence de cette limite sur l'équation de point fixe.

   Correction

   Puisque $-1 < \frac{1}{2} < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$. On en déduit directement que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 6$.

   L'équation de point fixe $f(l) = l$ (soit $l = \frac{1}{2}l + 3$) donne bien $l = 6$. Néanmoins, l'égalité $f(l) = l$ n'est valable que **sous la condition préalable que la suite converge**. Résoudre cette équation permet seulement de trouver des candidats pour la limite, mais ne prouve en aucun cas l'existence de cette limite (par exemple, la suite définie par $v_{n+1} = 2v_n - 3$ possède aussi un point fixe $l=3$, mais diverge si $v_0 \neq 3$).

On considère la suite réelle $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$$u_{n+1} = \frac{4 u_n + 3}{u_n + 2}$$

1. 1)a). Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n < 3$.

   Indice — Vérifie la propriété pour $n=0$, puis suppose qu'elle est vraie au rang $n$ et étudie l'expression $f(x) = 4 - \frac{5}{x+2}$.

   Correction

   Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0 \in [0, 3[$, la propriété est vraie.

   Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$, supposons $0 \le u_n < 3$. On introduit la fonction $f(x) = \frac{4x+3}{x+2} = 4 - \frac{5}{x+2}$, strictement croissante sur $[0, 3[$. En appliquant $f$ à l'encadrement de récurrence, on obtient $f(0) \le f(u_n) < f(3)$, soit $\frac{3}{2} \le u_{n+1} < 3$, ce qui garantit $0 \le u_{n+1} < 3$.

   Conclusion : Par principe de récurrence, $0 \le u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. 1)b). Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, puis justifier qu'elle converge vers une limite réelle.

   Indice — Étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ en utilisant l'encadrement établi précédemment.

   Correction

   On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n^2 + 2u_n + 3}{u_n+2} = \frac{(3-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}$.

   D'après la question précédente, $0 \le u_n < 3$, donc $3-u_n > 0$, $u_n+1 > 0$ et $u_n+2 > 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

   Étant croissante et majorée par 3, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$ d'après le théorème de la limite monotone.

3. 2)a). Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \frac{u_n - 3}{u_n + 1}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$.

   Indice — Exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis substitue $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :
   $v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 3}{u_{n+1} + 1} = \frac{\frac{4u_n+3}{u_n+2} - 3}{\frac{4u_n+3}{u_n+2} + 1}$

   En réduisant les fractions au même dénominateur et en simplifiant, on trouve $v_{n+1} = \frac{u_n - 3}{5(u_n + 1)} = \frac{1}{5} v_n$.

   La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$.

4. 2)b). Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Détermine le premier terme $v_0$ à partir de $u_0$.

   Correction

   On calcule le premier terme : $v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 + 1} = \frac{0 - 3}{0 + 1} = -3$.

   Comme $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $v_n = v_0 \cdot q^n = -3 \left(\frac{1}{5}\right)^n$.

5. 2)c). Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Observe la valeur de $|q|$ pour en déduire le comportement limite de $(v_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Correction

   La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$. Comme $-1 < \frac{1}{5} < 1$, la limite de $q^n$ en $+\infty$ est $0$. On en déduit directement que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.

6. 3)a). Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.

   Indice — Isole $u_n$ dans la relation définissant $v_n$.

   Correction

   À partir de la relation $v_n = \frac{u_n - 3}{u_n + 1}$, on isole $u_n$ en résolvant l'égalité $v_n(u_n + 1) = u_n - 3$. On obtient $u_n = \frac{v_n + 3}{1 - v_n}$.

7. 3)b). Calculer la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Utilise l'expression précédente et la limite de $(v_n)$ pour trouver la valeur exacte de la limite de $(u_n)$.

   Correction

   On sait que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$. Par opérations sur les limites appliquées à l'expression de $u_n$ en fonction de $v_n$, on trouve $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{0 + 3}{1 - 0} = 3$.

8. 4). Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $\mathbb{R}$. Expliquer pourquoi déterminer la limite de $(u_n)$ directement par cette équation dès le début de l'étude aurait constitué une erreur de raisonnement logique.

   Indice — Recherche les solutions de l'équation $f(x) = x$ et compare-les aux bornes de l'intervalle de stabilité.

   Correction

   L'équation $f(x) = x$ s'écrit $\frac{4x + 3}{x + 2} = x$, ce qui se ramène à l'équation du second degré $x^2 - 2x - 3 = 0$. Ses solutions sont $x = 3$ et $x = -1$.

   Résoudre $f(l) = l$ avant d'avoir prouvé la convergence est une erreur de logique : cette équation donne seulement les candidats possibles pour la limite sous réserve qu'elle existe, mais ne démontre en aucun cas que la suite $(u_n)$ converge.