Suites réelles — exercices corrigés

On considère la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1$, pour $n \in \mathbb{N}$.

1. 1) a. Montrer que la suite $u$ est croissante.

   Indice — Pense à étudier la fonction associée f(x) = x^2 - x + 1 et à exploiter son sens de variation sur l'intervalle d'étude.

   Correction

   On introduit la fonction associée $f(x) = x^2 - x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée $f'(x) = 2x - 1$ est positive sur $[1/2, +\infty[$. Par récurrence immédiate, les termes $u_n$ sont tous supérieurs ou égaux à $2$, intervalle sur lequel $f$ est croissante et $f(x) \ge x$. On en déduit que $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \ge 0$, ce qui prouve que la suite $u$ est croissante.

2. 1) b. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge n$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence, en exploitant le résultat de la question précédente.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 2 \ge 0$, ce qui est vrai. Hérédité : en supposant que $u_n \ge n$ pour un entier $n$ fixé, et sachant que $u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1$, l'étude de la fonction $g(x) = x^2 - x + 1 - x = (x-1)^2$ montre que $u_{n+1} \ge u_n$. Par hypothèse de récurrence, $u_n \ge n$, donc par transitivité $u_{n+1} \ge n + 1$. La propriété est ainsi démontrée pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. 1) c. En déduire la limite de la suite $u$.

   Indice — Mobilise le théorème de comparaison à l'infini en encadrant la suite par une suite de référence.

   Correction

   D'après la question précédente, on a l'inégalité $u_n \ge n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$, le théorème de comparaison (ou des gendarmes) permet de conclure directement que la limite de la suite $u$ est $+\infty$.

4. 2) a. Montrer que pour tout entier $n \ge 1$, $u_{n+1} \ge 2u_n$.

   Indice — Évalue la différence $u_{n+1} - 2u_n$ en utilisant le fait que les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 3 pour $n \ge 1$.

   Correction

   Pour tout entier $n \ge 1$, on étudie la différence $u_{n+1} - 2u_n = u_n^2 - 3u_n + 1$. En posant le polynôme $P(X) = X^2 - 3X + 1$, on remarque que pour $X \ge 3$, $P(X) \ge 1$. Comme la suite est croissante et que $u_1 = 3$, on a $u_n \ge 3$ pour tout $n \ge 1$. Par conséquent, $u_{n+1} - 2u_n \ge 0$, soit $u_{n+1} \ge 2u_n$.

5. 2) b. En déduire que pour tout entier $n \ge 1$, $u_n \ge 3 \times 2^{n-1}$, puis retrouver la limite de la suite $u$.

   Indice — Utilise une récurrence basée sur la minoration précédente, puis exploite la limite de la suite géométrique obtenue.

   Correction

   On procède par récurrence pour $n \ge 1$. L'initialisation se vérifie directement pour $n = 1$. Pour l'hérédité, en supposant $u_n \ge 3 \times 2^{n-1}$, on exploite la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n(u_n - 1) + 1$ combinée à la minoration précédente pour établir que $u_{n+1} \ge 3 \times 2^n$. Par minoration par une suite géométrique de raison $2 > 1$ et de limite $+\infty$, le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite $u$ diverge vers $+\infty$.

6. 3) a. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{u_k} = \frac{1}{u_k - 1} - \frac{1}{u_{k+1} - 1}$.

   Indice — Exprime $u_{k+1} - 1$ en factorisant par $u_k$, puis manipule les fractions pour obtenir la décomposition en éléments simples.

   Correction

   On part de la relation de récurrence en remarquant que $u_{k+1} - 1 = u_k^2 - u_k = u_k(u_k - 1)$. En écrivant la différence $\frac{1}{u_k - 1} - \frac{1}{u_{k+1} - 1}$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient $\frac{u_{k+1} - 1 - (u_k - 1)}{(u_k - 1)u_{k+1} - 1} = \frac{u_{k+1} - u_k}{u_k(u_k - 1)u_k} = \dots$ ce qui permet de retrouver par identification l'expression $\frac{1}{u_k}$.

7. 3) b. Calculer la limite de la somme partielle $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Écris la somme partielle en remplaçant chaque terme par sa forme télescopique, en faisant attention au nombre de termes et aux indices de la somme.

   Correction

   En utilisant la décomposition télescopique établie à la question précédente, chaque terme $\frac{1}{u_k}$ s'écrit $\frac{1}{u_k - 1} - \frac{1}{u_{k+1} - 1}$. La somme partielle $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k}$ se simplifie presque entièrement lors de son écriture développée (somme télescopique), ce qui donne $S_n = \frac{1}{u_0 - 1} - \frac{1}{u_n - 1}$. Comme $u_0 = 2$ et que $u_n$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, la limite de la somme est $\frac{1}{2 - 1} - 0 = 1$.

Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie par $u_{1} \in ]0\,;\,\frac{1}{2}[$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n+1} = u_{n}(1-u_{n})$.

1. 1) a). Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $0 < u_{n} < \frac{1}{2}$.

   Indice — Étudier les variations de $f(x) = x(1-x)$ sur $[0, 1/2]$.

   Correction

   Récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$. Initialisation : $u_1 \in ]0, \frac{1}{2}[$. Hérédité : $f(x) = x(1-x)$ est croissante sur $[0, \frac{1}{2}]$. Si $0 < u_n < \frac{1}{2}$, alors $f(0) < f(u_n) < f(\frac{1}{2})$, soit $0 < u_{n+1} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

2. 1) b). Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n} < \frac{1}{n+1}$.

   Indice — Étudier le signe de $\frac{n}{(n+1)^2} - \frac{1}{n+2}$.

   Correction

   Récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$. Initialisation : $u_1 < \frac{1}{2}$. Hérédité : $u_{n+1} = f(u_n) < f(\frac{1}{n+1}) = \frac{n}{(n+1)^2}$. Or $\frac{n}{(n+1)^2} - \frac{1}{n+2} = \frac{-1}{(n+1)^2(n+2)} < 0$, donc $u_{n+1} < \frac{1}{n+2}$.

3. 1) c). Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_{n}$.

   Indice — Utiliser le théorème d'encadrement.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $0 < u_n < \frac{1}{n+1}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, par le théorème d'encadrement, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

4. 2) a). Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n} = n u_{n}$. Montrer que $(v_{n})$ est croissante.

   Indice — Étudier le signe de $v_{n+1} - v_{n}$.

   Correction

   $v_{n+1} - v_{n} = (n+1)u_{n+1} - nu_{n} = u_{n}(1 - (n+1)u_{n})$. Comme $u_n < \frac{1}{n+1}$, on a $(n+1)u_n < 1$, donc $1 - (n+1)u_n > 0$. Ainsi $v_{n+1} - v_{n} > 0$.

5. 2) b). Montrer que $(v_{n})$ est convergente.

   Indice — Utiliser le théorème de convergence monotone.

   Correction

   On a $v_n = n u_n < n \cdot \frac{1}{n+1} < 1$. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par 1, elle converge donc vers une limite finie.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite réelle définie par $u_n = \dfrac{2n - 5}{n + 2}$.

1. 1. Calculer :
   • $u_0$
   • $u_1$
   • $u_2$

   Indice — Remplace $n$ successivement par $0$, $1$ et $2$ dans l'expression de $u_n$.

   Correction

   On évalue $u_n$ successivement en $n = 0$, $n = 1$ et $n = 2$ :
   - $u_0 = \dfrac{2(0) - 5}{0 + 2} = -\dfrac{5}{2}$
   - $u_1 = \dfrac{2(1) - 5}{1 + 2} = -1$
   - $u_2 = \dfrac{2(2) - 5}{2 + 2} = -\dfrac{1}{4}$

2. 2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

   Indice — Remplace $n$ par $(n+1)$ dans l'écriture de $u_n$.

   Correction

   On remplace $n$ par $(n+1)$ dans l'expression de $u_n$ :
   $u_{n+1} = \dfrac{2(n+1) - 5}{(n+1) + 2} = \dfrac{2n - 3}{n + 3}$.

3. 3. Exprimer $u_{n+1} - u_n$ sous la forme d'une différence de deux fractions rationnelles en fonction de $n$.

   Indice — Forme la différence avec l'expression de $u_{n+1}$ trouvée précédemment et celle de $u_n$.

   Correction

   D'après le résultat précédent et l'expression de $u_n$ :
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n - 3}{n + 3} - \dfrac{2n - 5}{n + 2}$.

4. 4. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{9}{(n+2)(n+3)}$$

   Indice — Mets au dénominateur commun $(n+2)(n+3)$ puis simplifie le numérateur.

   Correction

   On réduit la différence au même dénominateur $(n+2)(n+3)$ :
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(2n - 3)(n + 2) - (2n - 5)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)}$
   Après développement et simplification du numérateur, on obtient :
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{9}{(n+2)(n+3)}$.

5. 5. Déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En déduire le sens de variations de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

   Indice — Observe le signe du numérateur $9$ et celui des facteurs $(n+2)$ et $(n+3)$ pour $n \ge 0$.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on calcule la différence :
   $$u_{n+1} - u_n = \frac{2n-3}{n+3} - \frac{2n-5}{n+2} = \frac{9}{(n+2)(n+3)}$$
   Pour tout $n \ge 0$, les facteurs $n+2$ et $n+3$ sont strictement positifs, tout comme le numérateur $9$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n > 0$.

   La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc strictement croissante.

Soit la suite réelle $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \frac{n+1}{n+2}$.

1. 1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_3$.

   Indice — Calculer les termes en remplaçant $n$ par $0$, $1$ et $3$.

   Correction

   Pour $n=0$ : $u_0 = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$.
   Pour $n=1$ : $u_1 = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$.
   Pour $n=3$ : $u_3 = \frac{3+1}{3+2} = \frac{4}{5}$.

2. 2. Le nombre $2$ est-il un terme de la suite $(u_n)$ ? Justifier.

   Indice — Résoudre $u_n = 2$.

   Correction

   On résout l'équation $u_n = 2$, soit $\frac{n+1}{n+2} = 2$. On obtient $n+1 = 2(n+2)$, d'où $n+1 = 2n+4$, soit $n = -3$. Comme $-3 \notin \mathbb{N}$, $2$ n'est pas un terme de la suite.

3. 3. Calculer $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

   Indice — Réduire au même dénominateur.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{1}{(n+3)(n+2)}$.
   Comme $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2}$.

1. 1. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ selon les valeurs de $u_0$.

   Indice — Calculer $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $u_n$.

   Correction

   On a $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n+1}{2} - u_n = \frac{1-u_n}{2}$. La suite est croissante si $u_n \leq 1$, décroissante si $u_n \geq 1$.

2. 2. Montrer que si $u_0 > 1$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

   Indice — Utiliser un raisonnement par récurrence.

   Correction

   Par récurrence : $u_0 > 1$. Si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = \frac{u_n+1}{2} > \frac{1+1}{2} = 1$.

3. 3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - 1 = \frac{1}{2}(u_n - 1)$.

   Indice — Calculer $u_{n+1} - 1$.

   Correction

   $u_{n+1} - 1 = \frac{u_n+1}{2} - 1 = \frac{u_n-1}{2}$.

4. 4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n - 1 = (\frac{1}{2})^n (u_0 - 1)$.

   Indice — Utiliser le résultat de la question précédente.

   Correction

   La suite $(u_n - 1)$ est géométrique de raison $1/2$.

5. 5. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ lorsque $u_0 > 1$.

   Indice — Utiliser l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

   Correction

   Comme $\lim_{n \to +\infty} (1/2)^n = 0$, on a $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

6. 6. Déterminer $u_n$ lorsque $u_0 = 1$.

   Indice — Calculer $u_1$ et $u_2$.

   Correction

   Si $u_0 = 1$, alors $u_1 = 1$, et par récurrence $u_n = 1$ pour tout $n$.

7. 7. Montrer que si $u_0 < 1$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 1$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

   Indice — Utiliser la relation $u_n - 1 = (1/2)^n (u_0 - 1)$.

   Correction

   Si $u_0 < 1$, alors $u_0 - 1 < 0$, donc $u_n - 1 < 0$ pour tout $n$. La limite reste $1$.