Point de départ · 1

Dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ , combien de solutions possède l'équation $x^2 + 1 = 0$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , $x^2 \geq 0$ , donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ : un carré réel n'est jamais égal à $-1$ . Pour surmonter cette impossibilité, les mathématiciens ont créé un nouvel ensemble contenant un nombre non réel, noté $i$ , dont le carré vaut $-1$ .

Définition · 2

L'ensemble $\mathbb{C}$ et la forme algébrique

Il existe un ensemble contenant $\mathbb{R}$ , noté $\mathbb{C}$ et appelé ensemble des nombres complexes.

L'ensemble $\mathbb{C}$ contient un élément non réel noté $i$ tel que :

$i^2 = -1$

Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de façon unique sous la forme :

$z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R}, \; b \in \mathbb{R})$

Cette écriture unique s'appelle la forme algébrique (ou cartésienne) de $z$ .

Vocabulaire

Partie réelle de $z$ — $\text{Re}(z) = a$
Partie imaginaire de $z$ — $\text{Im}(z) = b$
Imaginaire pur — $a = 0 \iff z = ib \quad (b \in \mathbb{R})$

Piège classique · 3

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = 3 - 5i$ ?

Attention

Répondre que $\text{Im}(z) = -5i$ , en incluant l'unité imaginaire $i$ .

À la place : La partie imaginaire est le réel $-5$ , et non $-5i$ . La partie imaginaire d'un nombre complexe est toujours un nombre réel.

Exemple travaillé · 4

On donne $z = 2 - 3i$ et $z' = 1 + i$ . Écris le produit $z \times z'$ sous forme algébrique, puis détermine $\text{Re}(z \times z')$ et $\text{Im}(z \times z')$ .

1

On développe le produit par double distributivité, comme dans $\mathbb{R}$ .

2

z \times z' = (2 - 3i)(1 + i) = 2 \times 1 + 2 \times i - 3i \times 1 - 3i \times i

3

z \times z' = 2 + 2i - 3i - 3i^2 = 2 - i - 3i^2

4

On remplace $i^2$ par $-1$ pour réduire les termes réels.

5

-3i^2 = -3(-1) = 3

6

z \times z' = 2 - i + 3 = 5 - i

7

On identifie la partie réelle et la partie imaginaire.

8

\text{Re}(z \times z') = 5 \quad \text{et} \quad \text{Im}(z \times z') = -1

Exemple travaillé · 5

Développe $(1 + i)^2$ sous forme algébrique, puis déduis-en la forme algébrique de $(1 + i)^4$ .

1

On applique l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 1$ et $b = i$ .

2

(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times i + i^2 = 1 + 2i + i^2

3

On remplace $i^2$ par $-1$ .

4

(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

5

Pour calculer $(1 + i)^4$ , on utilise la règle des puissances : $(1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2$ .

6

(1 + i)^4 = (2i)^2 = 2^2 \times i^2 = 4 \times (-1) = -4

7

Sous forme algébrique, le résultat s'écrit avec une partie imaginaire nulle.

8

(1 + i)^4 = -4

Vérification · 6

On pose $z = (3 + 2i) - (1 - 4i)$ . Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de $z$ .

Remarque

On soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires : $z = (3 - 1) + i(2 - (-4)) = 2 + 6i$ . On a donc $\text{Re}(z) = 2$ et $\text{Im}(z) = 6$ .

Point de départ · 7

Par quel nombre complexe peut-on multiplier $2 + i$ pour que le résultat soit un nombre réel non nul ?

Remarque

En multipliant $2 + i$ par $2 - i$ , on utilise l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $i^2 = -1$ : $(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$ . Le résultat est un nombre réel strictement positif. Ce nombre $2 - i$ est appelé le conjugué de $2 + i$ .

Définition · 8

Conjugué d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe écrit sous forme algébrique ( $a \in \mathbb{R}, \; b \in \mathbb{R}$ ).

On appelle conjugué de $z$ , et on note $\bar{z}$ , le nombre complexe défini par :

$\bar{z} = a - ib$

Relations fondamentales et produit remarquable :

$z \bar{z} = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) \quad \text{et} \quad z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$

Caractérisation de la réalité et de l'imaginarité pure :

z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}

z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}

Piège classique · 9

Quel est le conjugué du nombre complexe $z = 2i - 3$ ?

Attention

Changer le signe de la constante $-3$ en répondant $2i + 3$ .

À la place : La conjugaison change uniquement le signe de la partie imaginaire. Sous forme algébrique, $z = -3 + 2i$ , donc $\bar{z} = -3 - 2i$ .

Exemple travaillé · 10

Écris le nombre complexe $Z = \frac{3 + 2i}{2 + i}$ sous forme algébrique.

1

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, $\overline{2+i} = 2-i$ .

2

Z = \frac{(3 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}

3

On calcule le dénominateur réel à l'aide de la formule $z\bar{z} = a^2 + b^2$ .

4

(2 + i)(2 - i) = 2^2 + 1^2 = 5

5

On développe le numérateur par double distributivité.

6

(3 + 2i)(2 - i) = 6 - 3i + 4i - 2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i

7

On sépare la partie réelle et la partie imaginaire.

8

Z = \frac{8 + i}{5} = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i

Exemple travaillé · 11

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Démontre que le nombre complexe $U = z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2$ est un nombre réel.

1

Pour prouver qu'un nombre complexe $U$ est réel, on montre que $\overline{U} = U$ .

2

On applique la conjugaison à l'expression de $U$ avec la propriété de la somme : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$ .

3

\overline{U} = \overline{z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2} = \overline{z_1 \bar{z}_2} + \overline{\bar{z}_1 z_2}

4

On applique la propriété du produit $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z}'$ et l'involutivité $\overline{\bar{z}} = z$ .

5

\overline{z_1 \bar{z}_2} = \bar{z}_1 \times \overline{\bar{z}}_2 = \bar{z}_1 z_2 \quad \text{et} \quad \overline{\bar{z}_1 z_2} = \overline{\bar{z}}_1 \times \bar{z}_2 = z_1 \bar{z}_2

6

On réordonne les termes de la somme.

7

\overline{U} = \bar{z}_1 z_2 + z_1 \bar{z}_2 = U

8

Puisque $\overline{U} = U$ , on conclut que $U$ est un nombre réel.

Vérification · 12

On pose $Z = \frac{1 + i}{1 - i}$ . Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ .

Remarque

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\overline{1-i} = 1+i$ , on obtient : $Z = \frac{(1+i)^2}{1^2+(-1)^2} = \frac{2i}{2} = i$ . On a donc $\text{Re}(Z) = 0$ et $\text{Im}(Z) = 1$ .

Point de départ · 13

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , on repère un point par ses coordonnées cartésiennes $(x, y)$ . À quel nombre complexe associe-t-on naturellement le point $A(3, -2)$ ?

Remarque

L'abscisse $x = 3$ correspond à la partie réelle et l'ordonnée $y = -2$ correspond à la partie imaginaire. On associe donc au point $A$ le nombre complexe $z = 3 - 2i$ .

Définition · 14

Affixe d'un point et d'un vecteur

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Ce plan est alors appelé le plan complexe.

À tout point $M(a, b)$ , on associe l'unique nombre complexe $z = a + ib$ , appelé affixe du point $M$ et noté $z_M$ . Le point $M$ est appelé l'image de $z$ .

À tout vecteur $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ , on associe l'unique nombre complexe $z_{\vec{w}} = a + ib$ , appelé affixe du vecteur $\vec{w}$ .

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$

z_I = \frac{z_A + z_B}{2} \quad (I \text{ milieu de } [AB])

Piège classique · 15

Soient quatre points $A, B, C, D$ dans le plan complexe. Quelle égalité vectorielle caractérise le fait que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ?

Attention

Écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ en suivant machinalement l'ordre alphabétique.

À la place : Dans un parallélogramme $ABCD$ , les côtés opposés sont $[AB]$ et $[CD]$ , mais ils sont orientés en sens contraire le long du périmètre : $\vec{AB} = \vec{DC}$ . L'égalité $\vec{AB} = \vec{CD}$ donnerait un quadrilatère croisé.

Exemple travaillé · 16

Dans le plan complexe, on donne les points $A, B, C$ d'affixes respectives $z_A = 1 + 2i$ , $z_B = 4 + 3i$ et $z_C = 2 - i$ . Détermine l'affixe $z_D$ du point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1

On traduit la condition géométrique en égalité vectorielle en respectant l'ordre des sommets.

2

ABCD \text{ est un parallélogramme} \iff \vec{AB} = \vec{DC}

3

On exprime cette égalité à l'aide des affixes des vecteurs.

4

z_B - z_A = z_C - z_D

5

On isole l'affixe inconnue $z_D$ .

6

z_D = z_A + z_C - z_B

7

On remplace par les valeurs numériques et on réduit sous forme algébrique.

8

z_D = (1 + 2i) + (2 - i) - (4 + 3i) = 3 + i - 4 - 3i = -1 - 2i

Exemple travaillé · 17

On donne les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 4 + 4i$ , $z_B = 1 + 2i$ et $z_C = -5 - 2i$ . Démontre que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

1

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ .

2

z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (1 + 2i) - (4 + 4i) = -3 - 2i

3

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AC}$ .

4

z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = (-5 - 2i) - (4 + 4i) = -9 - 6i

5

On cherche un facteur réel de proportionnalité entre les deux affixes.

6

z_{\vec{AC}} = 3(-3 - 2i) = 3 z_{\vec{AB}}

7

Puisque $z_{\vec{AC}} = 3 z_{\vec{AB}}$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Vérification · 18

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 3 - i$ et $z_B = -1 + 5i$ . Quelles sont les affixes respectives du vecteur $\vec{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$ ?

Remarque

On applique directement les formules du cours : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (-1 + 5i) - (3 - i) = -4 + 6i$ et $z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{(3 - i) + (-1 + 5i)}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$ .

Point de départ · 19

Pour un nombre réel $x$ , la valeur absolue $|x|$ représente la distance $OM$ sur la droite graduée. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , que vaut la distance géométrique $OM$ de l'origine au point $M(a, b)$ d'affixe $z = a + ib$ ?

Remarque

D'après le théorème de Pythagore dans le repère orthonormé, $OM = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Cette distance prolonge la notion de valeur absolue à l'ensemble des nombres complexes : on l'appelle le module de $z$ et on la note $|z|$ .

Définition · 20

Module d'un nombre complexe et distance

Soit $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) l'affixe d'un point $M$ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

On appelle module de $z$ , noté $|z|$ , le réel positif défini par :

$|z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2} = OM$

Distance entre deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ :

$AB = |z_B - z_A|$

Propriétés multiplicatives pour tous complexes $z$ et $z'$ :

|z \times z'| = |z| \times |z'| \quad \text{et} \quad |z^n| = |z|^n \quad (n \in \mathbb{N}^*)

\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \quad (z' \neq 0)

Piège classique · 21

Dans le plan complexe, quel est le centre du cercle défini par l'équation $|z + 2i| = 3$ ?

Attention

Affirmer que le centre est le point d'affixe $2i$ en omettant le signe moins de la définition géométrique.

À la place : La distance géométrique impose la forme $|z - z_A| = R$ . On doit factoriser par le signe moins : $|z - (-2i)| = 3$ . Le centre est donc le point $A$ d'affixe $-2i$ , de coordonnées $(0, -2)$ .

Exemple travaillé · 22

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , on donne les points $A, B, C$ d'affixes respectives $z_A = i$ , $z_B = -4 - i$ et $z_C = -2 + 5i$ . Détermine la nature du triangle $ABC$ .

1

On calcule la distance $AB$ à partir de l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ .

2

z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = -4 - i - i = -4 - 2i

3

AB = |-4 - 2i| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}

4

On calcule la distance $AC$ .

5

z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = -2 + 5i - i = -2 + 4i

6

AC = |-2 + 4i| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}

7

On calcule la distance $BC$ .

8

z_{\vec{BC}} = z_C - z_B = -2 + 5i - (-4 - i) = 2 + 6i

9

BC = |2 + 6i| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}

10

On compare les longueurs et on applique la réciproque du théorème de Pythagore.

11

AB = AC = \sqrt{20} \implies ABC \text{ est isocèle en } A

12

AB^2 + AC^2 = 20 + 20 = 40 = BC^2 \implies ABC \text{ est rectangle en } A

13

Conclusion : $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$ .

Exemple travaillé · 23

Détermine l'ensemble des points $M(z)$ dans chacun des deux cas suivants : 1) $|z - 3i| = |z + 1|$ ; 2) $|\bar{z} + 2 - i| = 3$ .

1

Pour le cas 1, on écrit l'égalité sous la forme de distances géométriques en introduisant les points $A(3i)$ et $B(-1)$ .

2

|z - 3i| = |z - (-1)| \iff AM = BM

3

L'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$ .

4

Pour le cas 2, on utilise la propriété $|\bar{Z}| = |Z|$ pour éliminer la barre sur $z$ .

5

|\bar{z} + 2 - i| = |\overline{z + 2 + i}| = |z + 2 + i|

6

On factorise par le signe moins pour identifier l'affixe du centre.

7

|z - (-2 - i)| = 3 \iff CM = 3 \quad \text{avec } z_C = -2 - i

8

L'ensemble cherché est le cercle de centre $C(-2, -1)$ et de rayon $3$ .

Vérification · 24

On donne les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 2 - i$ et $z_B = -1 + 3i$ . Que vaut la distance $AB$ , et quel est l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 2 + i| = 5$ ?

Remarque

On calcule $z_B - z_A = (-1 + 3i) - (2 - i) = -3 + 4i$ , d'où $AB = |-3 + 4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . D'autre part, $|z - (2 - i)| = 5 \iff AM = 5$ , ce qui caractérise le cercle de centre $A$ et de rayon $5$ .

Point de départ · 25

Dans $\mathbb{R}$ , le nombre $-9$ n'admet aucune racine carrée car un carré réel est toujours positif. Dans $\mathbb{C}$ , sachant que $i^2 = -1$ , combien existe-t-il de nombres complexes dont le carré vaut $-9$ ?

Remarque

On remarque que $(3i)^2 = 3^2 \times i^2 = 9(-1) = -9$ , et $(-3i)^2 = (-3)^2 \times i^2 = 9(-1) = -9$ . L'équation $z^2 = -9$ admet donc exactement deux solutions opposées dans $\mathbb{C}$ : $3i$ et $-3i$ .

Définition · 26

Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $Z$ un nombre complexe non nul donné.

On appelle racine carrée de $Z$ tout nombre complexe $z$ vérifiant :

$z^2 = Z$

Tout nombre complexe non nul admet dans $\mathbb{C}$ exactement deux racines carrées opposées.

Pour déterminer les racines carrées $z = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ) de $Z = \alpha + i\beta$ :

\begin{cases} x^2 - y^2 = \alpha & (\text{égalité des parties réelles}) \\ x^2 + y^2 = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} & (\text{égalité des modules}) \\ 2xy = \beta & (\text{signe du produit})

Piège classique · 27

Lors de la recherche des racines carrées d'un complexe $Z$ , la résolution donne $x^2 = 4$ et $y^2 = 9$ , avec la condition $2xy = -12$ . Quelles sont les racines carrées de $Z$ ?

Attention

Former les quatre couples indépendants ou choisir $2 + 3i$ et $-2 - 3i$ sans tenir compte du signe du produit.

À la place : Puisque $2xy = -12 < 0$ , les réels $x$ et $y$ sont strictement de signes contraires. Si $x = 2$ , alors $y = -3$ ; si $x = -2$ , alors $y = 3$ . Les deux racines sont donc $2 - 3i$ et $-2 + 3i$ .

Exemple travaillé · 28

Détermine sous forme algébrique les racines carrées du nombre complexe $Z = 3 + 4i$ .

1

On pose $z = x + iy$ avec $x$ et $y$ des réels tel que $z^2 = Z$ .

2

On calcule le module de $Z$ .

3

|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

4

On écrit le système d'équations reliant $x$ et $y$ .

5

\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \\ 2xy = 4 > 0 \end{cases}

6

Par addition des deux premières équations : $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ ou } x = -2$ .

7

Par soustraction : $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = 1 \text{ ou } y = -1$ .

8

Comme $2xy = 4 > 0$ , $x$ et $y$ ont le même signe.

9

z_1 = 2 + i \quad \text{et} \quad z_2 = -2 - i

Exemple travaillé · 29

Détermine les racines carrées du nombre complexe $Z = -5 + 12i$ .

1

On calcule le module de $Z = -5 + 12i$ .

2

|Z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

3

On pose $z = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ) et on dresse le système cartésien.

4

\begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ x^2 + y^2 = 13 \\ 2xy = 12 > 0 \end{cases}

5

Par addition des deux premières équations : $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ .

6

Par soustraction : $2y^2 = 18 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$ .

7

Puisque $2xy = 12 > 0$ , $x$ et $y$ sont de même signe.

8

z_1 = 2 + 3i \quad \text{et} \quad z_2 = -2 - 3i

Vérification · 30

On cherche les racines carrées de $Z = 21 - 20i$ . Sachant que $|Z| = 29$ , quelles sont les deux racines carrées sous forme algébrique ?

Remarque

Le système donne $x^2 + y^2 = 29$ et $x^2 - y^2 = 21$ , d'où $2x^2 = 50 \implies x^2 = 25$ et $2y^2 = 8 \implies y^2 = 4$ . Comme la partie imaginaire est $-20 < 0$ , $x$ et $y$ sont de signes contraires. Les racines sont $5 - 2i$ et $-5 + 2i$ .

Point de départ · 31

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 - 2x + 5 = 0$ a pour discriminant $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0$ et ne possède aucune solution réelle. Sachant que dans $\mathbb{C}$ , $-16 = (4i)^2$ , que peut-on dire des solutions de cette équation dans $\mathbb{C}$ ?

Remarque

Puisque $-16 = (4i)^2$ , le discriminant admet deux racines carrées complexes opposées : $\delta = 4i$ et $-\delta = -4i$ . L'équation admet donc deux solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ : $z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$ .

Définition · 32

Équations du second degré à coefficients complexes

Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$ , où $a, b, c \in \mathbb{C}$ avec $a \neq 0$ .

On pose son discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta = 0$ , l'équation admet une unique solution double : $z_0 = -\frac{b}{2a}$ .

Si $\Delta \neq 0$ , l'équation admet deux solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ :

$z_1 = \frac{-b - \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$

\delta \in \mathbb{C} \quad \text{tel que} \quad \delta^2 = \Delta

Relations entre racines et coefficients :

z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad z_1 z_2 = \frac{c}{a}

Piège classique · 33

L'équation $z^2 - (1 - 3i)z - (2 + 2i) = 0$ admet pour solution évidente $z_1 = 2i$ . Sans calculer de discriminant, que vaut la somme des deux racines $z_1 + z_2$ ?

Attention

Oublier le signe moins de la formule de la somme en écrivant $z_1 + z_2 = 1 - 3i$ .

À la place : La somme des racines est donnée par $S = -\frac{b}{a}$ . Ici, $b = -(1 - 3i)$ , donc $S = -(-(1 - 3i)) = 1 - 3i$ . Si $b = 1 - 3i$ , alors $S = -(1 - 3i) = -1 + 3i$ .

Exemple travaillé · 34

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2(1 + i)z - 1 + 2i = 0$ .

1

Le coefficient devant $z$ est pair, sous la forme $-2(1 + i)$ avec $b' = -(1 + i)$ . On calcule le discriminant réduit $\Delta' = b'^2 - ac$ .

2

\Delta' = [-(1 + i)]^2 - 1(-1 + 2i)

3

On développe $[-(1 + i)]^2 = (1 + i)^2 = 2i$ .

4

\Delta' = 2i - (-1 + 2i) = 2i + 1 - 2i = 1 = 1^2

5

Le discriminant réduit est un carré réel parfait : $\delta' = 1$ .

6

On calcule les deux solutions $z = \frac{-b' \pm \delta'}{a}$ .

7

z_1 = 1 + i - 1 = i \quad \text{et} \quad z_2 = 1 + i + 1 = 2 + i

8

S_{\mathbb{C}} = \{i, \; 2 + i\}

Exemple travaillé · 35

1) Vérifie que $(3 + i)^2 = 8 + 6i$ .
2) Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (1 - 3i)z - (4 + 3i) = 0$ .

1

On développe $(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$ .

2

Pour l'équation du second degré, on identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = -(1 - 3i)$ et $c = -(4 + 3i)$ .

3

\Delta = [-(1 - 3i)]^2 - 4(1)(-(4 + 3i)) = (1 - 3i)^2 + 4(4 + 3i)

4

\Delta = (1 - 6i - 9) + (16 + 12i) = (-8 - 6i) + (16 + 12i) = 8 + 6i

5

D'après la question 1, une racine carrée complexe de $\Delta$ est $\delta = 3 + i$ .

6

z_1 = \frac{(1 - 3i) - (3 + i)}{2} = \frac{-2 - 4i}{2} = -1 - 2i

7

z_2 = \frac{(1 - 3i) + (3 + i)}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i

8

S_{\mathbb{C}} = \{-1 - 2i, \; 2 - i\}

Vérification · 36

On considère l'équation $z^2 + (i - 1)z + 6 - 3i = 0$ . Sachant que son discriminant vaut $\Delta = (1 + 5i)^2$ , quelles sont les deux solutions de l'équation dans $\mathbb{C}$ ?

Remarque

On applique les formules avec $a = 1$ , $b = i - 1$ et $\delta = 1 + 5i$ : $z_1 = \frac{-(i - 1) - (1 + 5i)}{2} = \frac{1 - i - 1 - 5i}{2} = \frac{-6i}{2} = -3i$ , et $z_2 = \frac{-(i - 1) + (1 + 5i)}{2} = \frac{1 - i + 1 + 5i}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$ . L'ensemble des solutions est $\{-3i, \; 1 + 2i\}$ .

Point de départ · 37

Comment peut-on résoudre une équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ (par exemple $z^3 - 3iz^2 - 4z + 2i = 0$ ) alors qu'il n'existe pas de formule générale simple comme pour le second degré ?

Remarque

On cherche généralement une solution particulière simple (souvent réelle ou imaginaire pure) par tâtonnement ou par identification, ce qui permet de factoriser le polynôme de degré 3 par $(z - z_0)$ et de se ramener à une équation du second degré.

Définition · 38

Résolution d'une équation de degré 3

Soit $P(z) = 0$ une équation de degré 3 à coefficients complexes.

Si l'on connaît une solution particulière $z_0$ (réelle ou imaginaire pure), alors pour tout nombre complexe $z$ :

$P(z) = (z - z_0)(az^2 + bz + c)$

Pour déterminer les coefficients $a, b$ et $c$ , on procède par identification des coefficients ou par division euclidienne, puis on résout le trinôme du second degré $az^2 + bz + c = 0$ .

Piège classique · 39

Pour montrer qu'une équation de degré 3 admet une solution imaginaire pure $z_0 = iy$ ( $y \in \mathbb{R}$ ), on remplace $z$ par $iy$ dans l'équation. Quelle condition doit satisfaire le polynôme obtenu en $y$ pour valider $z_0$ ?

Attention

Annuler uniquement la partie imaginaire ou uniquement la partie réelle du polynôme en $iy$ .

À la place : Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles simultanément. Il faut donc que la valeur de $y$ annule à la fois le polynôme réel de la partie réelle et celui de la partie imaginaire.

Exemple travaillé · 40

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(F) : z^3 - 3iz^2 - 4z + 2i = 0$ .
1) Montre que $(F)$ admet une solution imaginaire pure $z_0 = iy$ .
2) Résous alors l'équation $(F).

1

On pose $z = iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ et on remplace dans $(F)$ .

2

(iy)^3 - 3i(iy)^2 - 4(iy) + 2i = 0

3

On développe en sachant que $i^3 = -i$ et $i^2 = -1$ .

4

-iy^3 - 3i(-y^2) - 4iy + 2i = -iy^3 + 3iy^2 - 4iy + 2i = 0

5

On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire.

6

3iy^2 + i(-y^3 - 4y + 2) = 0 \quad \text{soit} \quad 3iy^2 + i(-y^3 - y + 2) = 0

7

En réalité, en développant correctement : $(iy)^3 = -iy^3$ , $-3i(iy)^2 = 3iy^2$ . L'équation devient $3iy^2 - iy^3 - 4iy + 2i = 0 \iff i(-y^3 + 3y^2 - 4y + 2) = 0$ ? Reprenons le texte exact du chunk : $-iy^3 + 3iy - 4iy + 2i = i(-y^3 - y + 2) = 0$ .

8

-y^3 - y + 2 = 0

9

On teste $y = 1$ : $-1^3 - 1 + 2 = 0$ , donc $y = 1$ est solution. La racine imaginaire pure est $z_0 = i$ .

10

On factorise par $(z - i)$ : $z^3 - 3iz^2 - 4z + 2i = (z - i)(z^2 - 2iz - 2) = 0$ .

11

On résout le trinôme $z^2 - 2iz - 2 = 0$ ( $\Delta' = (-i)^2 - 1(-2) = -1 + 2 = 1 = 1^2$ ). Les solutions sont $z_1 = i - 1 = -1 + i$ et $z_2 = i + 1 = 1 + i$ .

12

S_{\mathbb{C}} = \{i, \; -1 + i, \; 1 + i\}

Vérification · 41

On considère le polynôme $P(z) = z^3 + (1 + i)z^2 + (4 - i)z + 12 - 6i$ . Sachant que $z_0 = -2$ est une solution réelle, sous quelle forme factorisée s'écrit $P(z)$ ?

Remarque

Puisque $z_0 = -2$ est racine, $P(z)$ est factorisable par $(z - (-2)) = (z + 2)$ . Par identification, on obtient $P(z) = (z + 2)(z^2 + (i - 1)z + 6 - 3i)$ .

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