Nombres complexes — exercices corrigés

Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation $(E) : z^3 - 1 = 0$.

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

   Indice — Utiliser l'identité $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

   Correction

   On factorise : $(z-1)(z^2+z+1) = 0$. Les solutions sont $1$, $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $j^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. 2. Montrer que la somme des solutions de $(E)$ est nulle.

   Indice — Utiliser les relations entre coefficients et racines.

   Correction

   La somme des racines d'un polynôme $z^3 + az^2 + bz + c = 0$ est $-a$. Ici $a=0$, donc la somme est $0$.

3. 3. Calculer $j^2$, $j^3$ et $j^4$.

   Indice — Utiliser la définition de $j$.

   Correction

   $j^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $j^3 = 1$, $j^4 = j$.

4. 4. Établir la factorisation de $z^3 - 1$ en produit de facteurs du premier degré dans $\mathbb{C}[z]$.

   Indice — Utiliser les racines trouvées à la question 1.

   Correction

   $z^3 - 1 = (z-1)(z-j)(z-j^2)$.

5. 5. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z - 1)^3 = z^3$.

   Indice — Développer et simplifier.

   Correction

   $(z-1)^3 - z^3 = 0 \iff 3z^2 - 3z + 1 = 0$. Les solutions sont $z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

6. 6. Calculer $S_n = 1^n + j^n + (j^2)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Distinguer les cas selon $n \equiv 0 \pmod 3$.

   Correction

   Si $n \equiv 0 \pmod 3$, $S_n = 1+1+1=3$. Sinon, $S_n = 1 + j^n + j^{2n} = 0$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = -1 + 3i$, $z_B = -2$ et $z_C = -\frac{3 - 3i}{2}$. Soit $f$ l'application du plan privé de $A$ dans le plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z \neq z_A$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \frac{z + 2}{z + 1 - 3i}$.

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 3iz - 2 = 0$.

   Indice — Utiliser $z = i$.

   Correction

   On vérifie que $i^2 - 3i(i) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. L'équation se factorise en $(z - i)(z - 2i) = 0$. Les solutions sont $i$ et $2i$.

2. 2. Déterminer les affixes des points invariants par $f$.

   Indice — Résoudre $f(z) = z$.

   Correction

   L'équation $f(z) = z$ équivaut à $z^2 - 3iz - 2 = 0$. Les points invariants sont d'affixes $i$ et $2i$.

3. 3. Montrer que $|z'| = 1$ équivaut à $AM = BM$.

   Indice — Utiliser le module d'un quotient.

   Correction

   $|z'| = 1 \iff |z + 2| = |z + 1 - 3i| \iff |z - (-2)| = |z - (-1 + 3i)| \iff BM = AM$.

4. 4. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'$ appartienne au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

   Indice — Utiliser le résultat précédent.

   Correction

   L'ensemble est la médiatrice du segment $[AB]$.

5. 5. Exprimer $\text{Im}(z')$ en fonction de $x$ et $y$ avec $z = x + iy$.

   Indice — Multiplier par le conjugué du dénominateur.

   Correction

   $\text{Im}(z') = \frac{-3x - y - 2}{(x + 1)^2 + (y - 3)^2}$.

6. 6. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'$ appartienne à l'axe des abscisses.

   Indice — $\text{Im}(z') = 0$.

   Correction

   L'ensemble est la droite d'équation $3x + y + 2 = 0$ privée du point $A$.

7. 7. Montrer que $z'$ est imaginaire pur si et seulement si $(z - z_C)(\bar{z} - \bar{z}_C) = R^2$ pour un réel $R$ à préciser.

   Indice — Utiliser $\bar{z}' = -z'$.

   Correction

   La condition $\bar{z}' = -z'$ conduit à $|z - z_C|^2 = R^2$ avec $z_C = -\frac{3-3i}{2}$ et $R = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

8. 8. Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $M'$ soit imaginaire pur.

   Indice — Interpréter $|z - z_C| = R$.

   Correction

   L'ensemble est le cercle de centre $C$ et de rayon $R = \frac{\sqrt{10}}{2}$ privé du point $A$.

On considère les nombres complexes dans l'ensemble $\mathbb{C}$.

1. 1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_1 = (2 + i)(3 - 2i)$.

   Indice — Développe le produit en remplaçant $i^2$ par $-1$.

   Correction

   On développe le produit en appliquant la distributivité et en utilisant la relation $i^2 = -1$ :
   $z_1 = (2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i - 2(-1) = 8 - i$.

2. 2. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_2 = \frac{1}{z_1}$.

   Indice — Multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

   Correction

   Pour obtenir la forme algébrique de $z_2 = \frac{1}{z_1}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $z_1$, soit $\bar{z}_1 = 8 + i$ :
   z_2 = rac{1}{8 - i} = rac{8 + i}{(8 - i)(8 + i)} = rac{8 + i}{64 - i^2} = rac{8 + i}{65} = rac{8}{65} + rac{1}{65}i.

3. 3. Calculer le module $|z_3|$ du nombre complexe $z_3 = 3 - 4i$.

   Indice — Utilise la formule du module d'un nombre complexe.

   Correction

   Le module de $z_3 = 3 - 4i$ se calcule par la formule $|z_3| = \sqrt{a^2 + b^2}$ :
   $|z_3| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

4. 4. En déduire le module $|z_2|$.

   Indice — Applique la propriété du module d'un quotient.

   Correction

   En utilisant la propriété du module d'un quotient, on a $|z_2| = \left|\frac{1}{z_1}\right| = \frac{1}{|z_1|}$. Comme $z_1 = 3 - 4i$ (d'après le calcul de $z_3$), son module est $|z_1| = 5$. On en déduit :
   $|z_2| = \frac{1}{5}$.

5. 5. Soit le nombre complexe $Z = 3 + 4i$. Déterminer le système d'équations vérifié par les parties réelle $x$ et imaginaire $y$ d'une racine carrée $z = x + iy$ de $Z$.

   Indice — Pose $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ et développe $z^2$.

   Correction

   En posant $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$, la condition $z^2 = Z$ s'écrit $(x + iy)^2 = 3 + 4i$, soit $(x^2 - y^2) + 2ixi = 3 + 4i$. Par identification des parties réelle et imaginaire, et en considérant l'égalité des modules $|z|^2 = |Z|$, on obtient le système : $x^2 - y^2 = 3$, $2xy = 4$ (donc $xy = 2$), et $x^2 + y^2 = 5$ (en utilisant $|z|^2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$).

6. 6. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ ce système pour déterminer les racines carrées de $Z$.

   Indice — Combine l'égalité des modules avec l'équation des parties réelles.

   Correction

   En combinant l'équation des modules $x^2 + y^2 = 5$ avec l'équation de la partie réelle $x^2 - y^2 = 3$, on trouve par somme et différence $2x^2 = 8$ (donc $x^2 = 4$) et $2y^2 = 2$ (donc $y^2 = 1$). Comme $xy = 2 > 0$, $x$ et $y$ sont de même signe. On obtient ainsi les deux solutions : $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = -2 - i$.

On considère les nombres complexes $z_1 = (2+i)^2$, $z_2 = (3-i)(1+2i)$ et $z_3 = 3+4i$.

1. 1)a). Écrire $z_1 = (2+i)^2$ sous forme algébrique.

   Indice — $i^2 = -1$

   Correction

   $z_1 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$

2. 1)b). Calculer $|z_1|$.

   Indice — $|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$

   Correction

   $|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

3. 2)a). Écrire $z_2 = (3-i)(1+2i)$ sous forme algébrique.

   Indice — $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$

   Correction

   $z_2 = 3 + 6i - i - 2i^2 = 5 + 5i$

4. 2)b). Écrire $\bar{z}_2$ sous forme algébrique.

   Indice — $\overline{a+ib} = a-ib$

   Correction

   $\bar{z}_2 = 5 - 5i$

5. 2)c). Calculer $|z_2|$.

   Indice — $|z_2| = |3-i| \times |1+2i|$

   Correction

   $|z_2| = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$

6. 3). Déterminer les racines carrées de $z_3 = 3+4i$.

   Indice — $x^2-y^2=3, \, x^2+y^2=5, \, 2xy=4$

   Correction

   Soit $z=x+iy$. On a $x^2+y^2=5$ et $x^2-y^2=3$, d'où $2x^2=8 \implies x=\pm 2$. Comme $2xy=4 > 0$, $x$ et $y$ sont de même signe. Les racines sont $2+i$ et $-2-i$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 3 - i$.

1. 1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 3 - i$. Rappeler l'affixe du point $A$ et l'affixe du point $B$.

   Indice — Rappelle-toi de la définition de l'affixe d'un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

   Correction

   Par simple lecture de l'énoncé, l'affixe du point A est z_A = 1 + 2i et l'affixe du point B est z_B = 3 - i.

2. 2. Calculer l'affixe du vecteur $\vec{AB}$.

   Indice — Utilise la relation vectorielle donnant l'affixe d'un vecteur à partir des affixes de son origine et de son extrémité.

   Correction

   L'affixe du vecteur AB est donnée par z_vec{AB} = z_B - z_A. En remplaçant par les valeurs, on obtient z_vec{AB} = (3 - i) - (1 + 2i) = 2 - 3i.

3. 3. Exprimer la distance $AB$ en fonction de l'affixe du vecteur $\vec{AB}$.

   Indice — Pense à la formule reliant la distance entre deux points et le module de la différence de leurs affixes.

   Correction

   La distance AB est égale au module de l'affixe du vecteur AB, c'est-à-dire AB = |z_vec{AB}|.

4. 4. Calculer le module du nombre complexe correspondant à l'affixe du vecteur $\vec{AB}$.

   Indice — Applique la définition du module d'un nombre complexe $z = x + iy$.

   Correction

   En utilisant la définition du module pour z_vec{AB} = 2 - 3i, on calcule AB = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

5. 5. En déduire la valeur exacte de la distance $AB$.

   Indice — Combine les résultats des questions précédentes pour aboutir à la valeur de la distance.

   Correction

   La distance $AB$ est donnée par le module de la différence des affixes des points $A$ et $B$, soit $|z_B - z_A|$. En calculant $|(3 - i) - (1 + 2i)| = |2 - 3i|$, on obtient $\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

6. 6. Déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$.

   Indice — Pense à la formule du milieu d'un segment dans le plan complexe en utilisant les affixes des extrémités.

   Correction

   L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ se calcule par la moyenne des affixes des points $A$ et $B$, soit $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$. En remplaçant par les valeurs, on trouve $z_I = \frac{(1 + 2i) + (3 - i)}{2} = 2 + \frac{1}{2}i$.

7. 7. Calculer la distance séparant l'origine du repère $O$ du point $I$.

   Indice — Utilise la définition de la distance d'un point à l'origine du repère à l'aide du module de son affixe.

   Correction

   La distance entre l'origine $O$ et le point $I$ correspond au module de l'affixe du point $I$, soit $|z_I|$. Avec $z_I = 2 + \frac{1}{2}i$, on calcule $|z_I| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.