Nombres complexes — exercices corrigés

Dans le cadre de l'étude algorithmique des nombres complexes en section Informatique, on considère les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z$ définis dans le plan complexe.

1. 1. Soient les nombres complexes $z_1 = 3 + 4i$ et $z_2 = 1 - i$. Déterminer la partie réelle $a_1$ et la partie imaginaire $b_1$ du nombre complexe $z_1$.

   Indice — Identifie clairement les coefficients de la forme algébrique $z_1 = a_1 + i b_1$.

   Correction

   Par identification avec la forme algébrique standard $z_1 = a_1 + i b_1$, on obtient directement la partie réelle $a_1 = 3$ et la partie imaginaire $b_1 = 4$.

2. 2. Déterminer la partie réelle $a_2$ et la partie imaginaire $b_2$ du nombre complexe $z_2$.

   Indice — Identifie les coefficients $a_2$ et $b_2$ de la forme algébrique de $z_2$.

   Correction

   De la même manière, en identifiant les termes de $z_2 = 1 - i$ sous la forme $a_2 + i b_2$, on trouve la partie réelle $a_2 = 1$ et la partie imaginaire $b_2 = -1$.

3. 3. Calculer la partie réelle $\text{ReP}$ du produit $z_1 z_2$.

   Indice — Applique la formule de la partie réelle du produit de deux complexes : $\text{ReP} = a_1 a_2 - b_1 b_2$.

   Correction

   En appliquant la formule de la partie réelle d'un produit de deux nombres complexes, on calcule $\text{ReP} = a_1 a_2 - b_1 b_2$. En remplaçant par les valeurs obtenues aux questions précédentes, on obtient $\text{ReP} = 3 \times 1 - 4 \times (-1) = 7$.

4. 4. Calculer la partie imaginaire $\text{ImP}$ du produit $z_1 z_2$.

   Indice — Applique la formule de la partie imaginaire du produit : $\text{ImP} = a_1 b_2 + a_2 b_1$.

   Correction

   En appliquant la formule de la partie imaginaire d'un produit, on calcule $\text{ImP} = a_1 b_2 + a_2 b_1$. En remplaçant par les valeurs identifiées précédemment, on obtient $\text{ImP} = 3 \times (-1) + 1 \times 4 = 1$.

5. 5. Donner l'écriture sous forme algébrique du produit $z_1 z_2$.

   Indice — Combine les résultats des deux questions précédentes sous la forme $\text{ReP} + i\,\text{ImP}$.

   Correction

   En regroupant la partie réelle $\text{ReP}$ et la partie imaginaire $\text{ImP}$ obtenues précédemment, l'écriture algébrique du produit est $z_1 z_2 = \text{ReP} + i\,\text{ImP}$.

6. 6. Soit le nombre complexe $z = -3 + 4i$. Calculer son module $M = \sqrt{a^2+b^2}$.

   Indice — Soit le nombre complexe $z = -3 + 4i$. Calcule son module $M = \sqrt{a^2 + b^2}$ en faisant attention aux signes.

   Correction

   Pour $z = -3 + 4i$, la partie réelle est $a = -3$ et la partie imaginaire est $b = 4$. Le module vaut $M = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

7. 7. Calculer la partie réelle $a_r$ d'une racine carrée de $z$.

   Indice — Utilise la formule de la partie réelle de la racine carrée : $a_r = \sqrt{\frac{a+M}{2}}$.

   Correction

   En appliquant la formule de la partie réelle avec $a = -3$ et $M = 5$, on obtient $a_r = \sqrt{\frac{-3 + 5}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

8. 8. Calculer la partie imaginaire $b_r$ de cette même racine carrée.

   Indice — Utilise la formule de la partie imaginaire de la racine carrée : $b_r = \frac{b}{2a_r}$.

   Correction

   En réutilisant $b = 4$ et $a_r = 1$, la formule donne $b_r = \frac{4}{2 \times 1} = 2$.

9. 9. Déduire l'expression finale de la racine carrée obtenue sous sa forme algébrique $a_r + i b_r$.

   Indice — Assemble la partie réelle et la partie imaginaire pour former le nombre complexe racine carrée.

   Correction

   En combinant la partie réelle $a_r$ et la partie imaginaire $b_r$ déterminées précédemment, on exprime la racine carrée sous sa forme algébrique finale $z_r = a_r + i b_r$.