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Produit scalaire dans le plan — cours

3ème année · section Sciences expérimentales · mathématiques, programme officiel tunisien.

Exercices corrigés : Produit scalaire dans le plan Maths 3ème année Sciences expérimentales

Le cours

Rappel · 1

Définition géométrique du produit scalaire

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡((u⃗,v⃗)^)\vec{u} \cdot \vec{v} = \Vert\vec{u}\Vert \times \Vert\vec{v}\Vert \times \cos(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})})

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Pour tout vecteur u⃗\vec{u}, le carré scalaire vérifie u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \Vert\vec{u}\Vert^2.

Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non nuls formant un angle obtus (c'est-à-dire π2<θ≤π\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi), quel est le signe de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

Remarque

Le cosinus d'un angle obtus est strictement négatif (cos⁡θ<0\cos\theta < 0). Comme les normes sont strictement positives, le produit scalaire est strictement négatif.

Définition · 2

Produit scalaire par projection orthogonale

Soient A,BA, B et CC trois points du plan avec A≠BA \neq B. Soit HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).

AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}

AB⃗ et AH⃗ de meˆme sens   ⟹  AB⃗⋅AC⃗=AB×AH\vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ de même sens } \implies \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH
AB⃗ et AH⃗ de sens contraires   ⟹  AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH\vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ de sens contraires } \implies \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH

Exemple travaillé · 3

Calcul par projection sur un segment

Soit un triangle ABCABC tel que AB=6AB = 6. Le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) est le point HH appartenant au segment [AB][AB] tel que AH=2AH = 2. Calculer BA⃗⋅BC⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC}.

1

On choisit l'axe de projection porté par le vecteur BA⃗\vec{BA}.

2

Le point BB est invariant par projection sur (BA)(BA), et le projeté orthogonal de CC sur (BA)(BA) est HH. On a donc :

3
BA⃗⋅BC⃗=BA⃗⋅BH⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \vec{BA} \cdot \vec{BH}
4

Puisque H∈[AB]H \in [AB], on calcule la distance BH=AB−AH=6−2=4BH = AB - AH = 6 - 2 = 4.

5

Les vecteurs BA⃗\vec{BA} et BH⃗\vec{BH} sont colinéaires et de même sens. Le produit scalaire est donc positif :

6
BA⃗⋅BC⃗=BA×BH=6×4=24\vec{BA} \cdot \vec{BC} = BA \times BH = 6 \times 4 = 24

Piège classique · 4

Attention à l'orientation du projeté

Soit un segment [AB][AB] de longueur 55. Le projeté orthogonal d'un point CC sur la droite (AB)(AB) est un point HH situé à l'extérieur du segment [AB][AB], du côté de AA, tel que AH=2AH = 2. Que vaut AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} ?

Attention

Multiplier aveuglément les distances AB×AH=5×2=10AB \times AH = 5 \times 2 = 10 en oubliant l'orientation des vecteurs.

À la place : Puisque HH est à l'extérieur de [AB][AB] du côté de AA, le vecteur AH⃗\vec{AH} est opposé au vecteur AB⃗\vec{AB}. Le produit scalaire est strictement négatif : AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH=−5×2=−10\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH = -5 \times 2 = -10.

Exemple travaillé · 5

Projection orthogonale dans un carré

Soit ABCDABCD un carré de côté 44. On désigne par II le milieu du côté [DC][DC]. Calculer le produit scalaire AB⃗⋅AI⃗\vec{AB} \cdot \vec{AI}.

1

On projette orthogonalement les points AA et II sur la droite (AB)(AB).

2

Le point AA est son propre projeté sur (AB)(AB). Comme (AD)⊥(AB)(AD) \perp (AB) et (BC)⊥(AB)(BC) \perp (AB), le projeté orthogonal de DD sur (AB)(AB) est AA, et celui de CC est BB.

3

Le point II étant le milieu de [DC][DC], son projeté orthogonal sur (AB)(AB) est le milieu I′I' du segment [AB][AB].

4
AB⃗⋅AI⃗=AB⃗⋅AI′⃗\vec{AB} \cdot \vec{AI} = \vec{AB} \cdot \vec{AI'}
5

Les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AI′⃗\vec{AI'} sont de même sens, avec AI′=AB2=2AI' = \frac{AB}{2} = 2. On obtient :

6
AB⃗⋅AI⃗=AB×AI′=4×2=8\vec{AB} \cdot \vec{AI} = AB \times AI' = 4 \times 2 = 8

Vérification · 6

Vérification du calcul par projection

Soit un triangle ABCABC rectangle en AA tel que AB=3AB = 3 et AC=4AC = 4. Que vaut le produit scalaire BA⃗⋅BC⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC} ?

Remarque

Dans le triangle rectangle en AA, la droite (AC)(AC) est perpendiculaire à (AB)(AB). Le projeté orthogonal de CC sur la droite (BA)(BA) est donc le point AA. Ainsi, BA⃗⋅BC⃗=BA⃗⋅BA⃗=BA2=32=9\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \vec{BA} \cdot \vec{BA} = BA^2 = 3^2 = 9.

Point de départ · 7

Simplification et produit scalaire

Si trois vecteurs non nuls u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} vérifient u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}, peut-on simplifier par u⃗\vec{u} et en déduire que v⃗=w⃗\vec{v} = \vec{w} ?

Remarque

Non ! En calcul vectoriel, on ne peut pas « diviser » par un vecteur. L'égalité équivaut à u⃗⋅(v⃗−w⃗)=0\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0, ce qui signifie que u⃗\vec{u} est orthogonal à (v⃗−w⃗)(\vec{v} - \vec{w}), sans que v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} soient nécessairement égaux.

Définition · 8

Bilinéarité et factorisation du produit scalaire

Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition vectorielle. Pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} et tout réel kk :

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}

(ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})

Pour exploiter une égalité de produits scalaires, on transpose tous les termes dans un même membre pour factoriser par bilinéarité :

u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗  ⟺  u⃗⋅(v⃗−w⃗)=0  ⟺  u⃗⊥(v⃗−w⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w} \iff \vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0 \iff \vec{u} \perp (\vec{v} - \vec{w})

Piège classique · 9

Le piège de la simplification par un vecteur

Soit un triangle ABCABC. On cherche l'ensemble des points MM du plan vérifiant AB⃗⋅AM⃗=AC⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}. Quelle est la nature exacte de cet ensemble ?

Attention

Simplifier par AM⃗\vec{AM} pour écrire AB⃗=AC⃗\vec{AB} = \vec{AC}, ou affirmer que MM est équidistant de BB et CC.

À la place : On regroupe et on factorise : AB⃗⋅AM⃗−AC⃗⋅AM⃗=0  ⟺  (AB⃗−AC⃗)⋅AM⃗=0  ⟺  CB⃗⋅AM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0 \iff (\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0 \iff \vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0. L'ensemble des points MM est donc la droite passant par AA et perpendiculaire à (BC)(BC), c'est-à-dire la hauteur issue de AA.

Exemple travaillé · 10

Factorisation et réduction avec le milieu

Soit un triangle ABCABC. Déterminer l'ensemble (F)(F) des points MM du plan tels que AB⃗⋅AM⃗=−AC⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -\vec{AC} \cdot \vec{AM}.

1

On transpose tous les termes dans le membre de gauche :

2
AB⃗⋅AM⃗+AC⃗⋅AM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AM} + \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0
3

Par bilinéarité du produit scalaire, on factorise par le vecteur commun AM⃗\vec{AM} :

4
(AB⃗+AC⃗)⋅AM⃗=0(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0
5

Soit A′A' le milieu du segment [BC][BC]. D'après la propriété du milieu, AB⃗+AC⃗=2AA′⃗\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AA'}. L'équation devient :

6
2AA′⃗⋅AM⃗=0  ⟺  AA′⃗⋅AM⃗=02\vec{AA'} \cdot \vec{AM} = 0 \iff \vec{AA'} \cdot \vec{AM} = 0
7

Les vecteurs AA′⃗\vec{AA'} et AM⃗\vec{AM} sont orthogonaux. L'ensemble (F)(F) est donc la droite passant par AA et perpendiculaire à la médiane (AA′)(AA') du triangle ABCABC.

Exemple travaillé · 11

Identités remarquables et produit scalaire des diagonales

Soit ABCDABCD un parallélogramme. Montrer que AC⃗⋅DB⃗=AB2−AD2\vec{AC} \cdot \vec{DB} = AB^2 - AD^2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que ses diagonales soient perpendiculaires.

1

On exprime les diagonales AC⃗\vec{AC} et DB⃗\vec{DB} à l'aide des vecteurs des côtés adjacents AB⃗\vec{AB} et AD⃗\vec{AD} :

2
AC⃗=AB⃗+AD⃗etDB⃗=AB⃗−AD⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \quad \text{et} \quad \vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}
3

On applique l'identité remarquable vectorielle (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v}) = \Vert\vec{u}\Vert^2 - \Vert\vec{v}\Vert^2 :

4
AC⃗⋅DB⃗=(AB⃗+AD⃗)⋅(AB⃗−AD⃗)=AB2−AD2\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} - \vec{AD}) = AB^2 - AD^2
5

Les diagonales (AC)(AC) et (BD)(BD) sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul :

6
AC⃗⋅DB⃗=0  ⟺  AB2−AD2=0  ⟺  AB=AD\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0 \iff AB^2 - AD^2 = 0 \iff AB = AD
7

Un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si deux côtés consécutifs ont la même longueur, c'est-à-dire si et seulement si c'est un losange.

Vérification · 12

Vérification de la factorisation vectorielle

Soit un triangle ABCABC. L'ensemble des points MM du plan vérifiant (MA⃗−MB⃗)⋅MC⃗=0(\vec{MA} - \vec{MB}) \cdot \vec{MC} = 0 est :

Remarque

D'après la relation de Chasles, MA⃗−MB⃗=BA⃗\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BA}. L'égalité s'écrit donc BA⃗⋅MC⃗=0\vec{BA} \cdot \vec{MC} = 0, ce qui équivaut à MC⃗⊥AB⃗\vec{MC} \perp \vec{AB}. L'ensemble des points MM est la droite passant par CC et perpendiculaire à (AB)(AB), c'est-à-dire la hauteur issue de CC dans le triangle ABCABC.

Point de départ · 13

Au-delà du théorème de Pythagore

Dans un triangle quelconque ABCABC où l'angle en AA n'est pas droit (A^≠90∘\widehat{A} \neq 90^\circ), l'égalité BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2 reste-t-elle valable ?

Remarque

Non ! Dès que l'angle n'est plus droit, le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} n'est plus nul. En développant BC⃗2=(AC⃗−AB⃗)2\vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2, un terme correctif en −2AB×ACcos⁡(A^)-2AB \times AC \cos(\widehat{A}) apparaît.

Définition · 14

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans tout triangle ABCABC, les longueurs des côtés et les angles sont liés par les relations :

BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})

AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos⁡(ABC^)AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})
AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cos⁡(ACB^)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \times BC \times \cos(\widehat{ACB})

Exemple travaillé · 15

Calcul d'une longueur par le théorème d'Al-Kashi

Soit un triangle ABCABC tel que AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 et BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}. Calculer la longueur exacte du côté [BC][BC].

1

On applique le théorème d'Al-Kashi pour le côté opposé au sommet AA :

2
BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})
3
BC2=52+82−2×5×8×cos⁡(π3)BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
4

Comme cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, on obtient :

5
BC2=25+64−80×12=89−40=49BC^2 = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49
6

Une longueur étant positive, on en déduit que BC=49=7BC = \sqrt{49} = 7.

Piège classique · 16

Le signe du cosinus pour un angle obtus

Soit un triangle ABCABC tel que AB=4AB = 4, AC=3AC = 3 et BAC^=2π3\widehat{BAC} = \frac{2\pi}{3}. Que vaut BC2BC^2 ?

Attention

Oublier que cos⁡(2π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} et soustraire à tort : 42+32−2(4)(3)(12)=25−12=134^2 + 3^2 - 2(4)(3)\left(\frac{1}{2}\right) = 25 - 12 = 13.

À la place : L'angle étant obtus, son cosinus est strictement négatif : cos⁡(2π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}. Le terme −2bccos⁡θ-2bc\cos\theta devient positif : BC2=16+9−2(4)(3)(−12)=25+12=37BC^2 = 16 + 9 - 2(4)(3)\left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 12 = 37.

Exemple travaillé · 17

Détermination d'un angle connaissant les trois côtés

Soit un triangle ABCABC tel que AB=5AB = 5, BC=7BC = 7 et AC=8AC = 8. Déterminer la valeur exacte de cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ABC}).

1

On écrit la relation d'Al-Kashi associée au sommet BB :

2
AC2=BA2+BC2−2BA×BC×cos⁡(ABC^)AC^2 = BA^2 + BC^2 - 2 BA \times BC \times \cos(\widehat{ABC})
3

On isole le produit contenant le cosinus :

4
2BA×BC×cos⁡(ABC^)=BA2+BC2−AC22 BA \times BC \times \cos(\widehat{ABC}) = BA^2 + BC^2 - AC^2
5
cos⁡(ABC^)=BA2+BC2−AC22BA×BC\cos(\widehat{ABC}) = \frac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2 BA \times BC}
6
cos⁡(ABC^)=52+72−822×5×7=25+49−6470=1070=17\cos(\widehat{ABC}) = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

Vérification · 18

Vérification sur la loi des cosinus

Dans un triangle MNPMNP, quelle est l'expression correcte donnant NP2NP^2 en fonction de l'angle NMP^\widehat{NMP} ?

Remarque

Le côté opposé à l'angle au sommet MM est [NP][NP]. D'après le théorème d'Al-Kashi, NP2=MN2+MP2−2MN×MP×cos⁡(NMP^)NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 MN \times MP \times \cos(\widehat{NMP}).

Point de départ · 19

Relier les distances au milieu d'un segment

Soit un segment [AB][AB] et son milieu II. Pour un point MM quelconque du plan, l'expression MA2+MB2MA^2 + MB^2 dépend-elle uniquement de la distance MIMI et de la longueur fixe ABAB ?

Remarque

Oui ! En décomposant les vecteurs MA⃗=MI⃗+IA⃗\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA} et MB⃗=MI⃗+IB⃗\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB}, les termes croisés s'annulent car IA⃗+IB⃗=0⃗\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}. L'expression MA2+MB2MA^2 + MB^2 se réduit alors simplement en fonction de MI2MI^2 et AB2AB^2.

Définition · 20

Théorème de la médiane

Soient AA et BB deux points du plan et II le milieu du segment [AB][AB]. Pour tout point MM du plan :

MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}

MA2−MB2=2IM⃗⋅AB⃗MA^2 - MB^2 = 2\vec{IM} \cdot \vec{AB}
MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}

Exemple travaillé · 21

Calcul de la longueur d'une médiane

Soit un triangle ABCABC tel que AB=5AB = 5, AC=7AC = 7 et BC=6BC = 6. Soit A′A' le milieu de [BC][BC]. Calculer la longueur de la médiane AA′AA'.

1

On applique le théorème de la médiane pour la somme des carrés issus du sommet AA :

2
AB2+AC2=2AA′2+BC22AB^2 + AC^2 = 2AA'^2 + \frac{BC^2}{2}
3

On remplace par les valeurs numériques données :

4
52+72=2AA′2+622  ⟺  25+49=2AA′2+185^2 + 7^2 = 2AA'^2 + \frac{6^2}{2} \iff 25 + 49 = 2AA'^2 + 18
5

On isole AA′2AA'^2 :

6
74=2AA′2+18  ⟺  2AA′2=56  ⟺  AA′2=2874 = 2AA'^2 + 18 \iff 2AA'^2 = 56 \iff AA'^2 = 28
7

Une longueur étant strictement positive, on obtient : AA′=28=27AA' = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.

Piège classique · 22

Confusion entre somme et différence de carrés

Soient AA et BB deux points distincts et II le milieu de [AB][AB]. Quelle est la nature de l'ensemble des points MM vérifiant MA2−MB2=4MA^2 - MB^2 = 4 ?

Attention

Appliquer la formule de la somme des carrés et conclure à tort que l'ensemble est un cercle de centre II.

À la place : Pour une différence de carrés, on utilise MA2−MB2=2IM⃗⋅AB⃗=4  ⟺  AB⃗⋅IM⃗=2MA^2 - MB^2 = 2\vec{IM} \cdot \vec{AB} = 4 \iff \vec{AB} \cdot \vec{IM} = 2. Ce produit scalaire constant caractérise une droite perpendiculaire à (AB)(AB), et non un cercle !

Exemple travaillé · 23

Caractérisation de l'ensemble MA⃗⋅MB⃗=k\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k

Soient deux points AA et BB tels que AB=6AB = 6. Soit II le milieu de [AB][AB]. Déterminer l'ensemble (E)(E) des points MM du plan tels que MA⃗⋅MB⃗=7\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 7.

1

On utilise la relation de la médiane pour le produit scalaire :

2
MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}
3

On substitue la distance AB=6AB = 6 et la valeur imposée :

4
MI2−624=7  ⟺  MI2−9=7  ⟺  MI2=16MI^2 - \frac{6^2}{4} = 7 \iff MI^2 - 9 = 7 \iff MI^2 = 16
5

Comme 16>016 > 0 et qu'une distance est positive, on en déduit que MI=16=4MI = \sqrt{16} = 4.

6

L'ensemble (E)(E) est le cercle de centre II et de rayon R=4R = 4.

Vérification · 24

Vérification sur les ensembles de points

Soit II le milieu de [AB][AB] avec AB=4AB = 4. Si MA2+MB2=8MA^2 + MB^2 = 8, que vaut la distance MIMI et quelle est la nature géométrique de l'ensemble des points MM ?

Remarque

D'après le théorème de la médiane : MA2+MB2=2MI2+AB22=8  ⟺  2MI2+162=8  ⟺  2MI2+8=8  ⟺  2MI2=0  ⟺  MI=0MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} = 8 \iff 2MI^2 + \frac{16}{2} = 8 \iff 2MI^2 + 8 = 8 \iff 2MI^2 = 0 \iff MI = 0. L'ensemble des points MM est réduit au singleton {I}\{I\}.

Point de départ · 25

Réduire une somme pondérée de carrés

Pour un triangle ABCABC et des réels α,β,γ\alpha, \beta, \gamma tels que α+β+γ≠0\alpha + \beta + \gamma \neq 0, quel point remarquable permet de simplifier l'expression αMA2+βMB2+γMC2\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 pour tout point MM ?

Remarque

En introduisant le barycentre GG des points pondérés (A,α),(B,β),(C,γ)(A,\alpha), (B,\beta), (C,\gamma), la relation vectorielle αGA⃗+βGB⃗+γGC⃗=0⃗\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} + \gamma\vec{GC} = \vec{0} annule les doubles produits croisés lors du développement.

Définition · 26

Fonction scalaire de Leibniz

Soient des points A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n affectés des coefficients α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n de somme non nulle S=∑i=1nαi≠0S = \sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0. Soit GG leur barycentre.

∑i=1nαiMAi2=(∑i=1nαi)MG2+∑i=1nαiGAi2\sum_{i=1}^n \alpha_i MA_i^2 = \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right) MG^2 + \sum_{i=1}^n \alpha_i GA_i^2

Pour trois points (A,α),(B,β),(C,γ)(A,\alpha), (B,\beta), (C,\gamma) avec α+β+γ≠0\alpha+\beta+\gamma \neq 0 et G=bar{(A,α);(B,β);(C,γ)}G = \text{bar}\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\} :

αMA2+βMB2+γMC2=(α+β+γ)MG2+αGA2+βGB2+γGC2\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 = (\alpha+\beta+\gamma) MG^2 + \alpha GA^2 + \beta GB^2 + \gamma GC^2

Piège classique · 27

Le coefficient total et le signe de la constante

Après réduction de l'expression −3MA2+MB2+4MC2=2ka2-3MA^2 + MB^2 + 4MC^2 = 2ka^2, on obtient 2MG2−2a2=2ka22MG^2 - 2a^2 = 2ka^2, soit MG2=a2(k+1)MG^2 = a^2(k+1) avec a>0a > 0. Quelle est la nature de l'ensemble des points MM si k<−1k < -1 ?

Attention

Conclure machinalement que l'ensemble est le cercle de rayon ak+1a\sqrt{k+1} sans vérifier le signe de (k+1)(k+1).

À la place : Si k<−1k < -1, alors k+1<0k+1 < 0, donc a2(k+1)<0a^2(k+1) < 0. Un carré de distance ne pouvant pas être strictement négatif, l'ensemble est vide : Γk=∅\Gamma_k = \emptyset.

Exemple travaillé · 28

Ligne de niveau avec somme des coefficients nulle

Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté aa. On considère l'ensemble (Δ)(\Delta) des points MM tels que 2MA2−MB2−MC2=a22MA^2 - MB^2 - MC^2 = a^2. Déterminer la nature de (Δ)(\Delta).

1

On examine la somme des coefficients : 2−1−1=02 - 1 - 1 = 0. Il n'existe pas de barycentre global.

2

On introduit le milieu II de [BC][BC] pour réduire MB2+MC2MB^2 + MC^2 à l'aide du théorème de la médiane :

3
MB2+MC2=2MI2+BC22=2MI2+a22MB^2 + MC^2 = 2MI^2 + \frac{BC^2}{2} = 2MI^2 + \frac{a^2}{2}
4

L'égalité devient :

5
2MA2−(2MI2+a22)=a2  ⟺  2(MA2−MI2)=3a222MA^2 - \left(2MI^2 + \frac{a^2}{2}\right) = a^2 \iff 2(MA^2 - MI^2) = \frac{3a^2}{2}
6

On factorise la différence de carrés : MA2−MI2=(MA⃗−MI⃗)⋅(MA⃗+MI⃗)=IA⃗⋅(2IM⃗+IA⃗)=IA2−2IA⃗⋅IM⃗MA^2 - MI^2 = (\vec{MA}-\vec{MI}) \cdot (\vec{MA}+\vec{MI}) = \vec{IA} \cdot (2\vec{IM}+\vec{IA}) = IA^2 - 2\vec{IA} \cdot \vec{IM}.

7

Comme IA=a32IA = \frac{a\sqrt{3}}{2}, on a IA2=3a24IA^2 = \frac{3a^2}{4}. L'équation devient :

8
2(3a24−2IA⃗⋅IM⃗)=3a22  ⟺  −4IA⃗⋅IM⃗=0  ⟺  IA⃗⋅IM⃗=02\left(\frac{3a^2}{4} - 2\vec{IA} \cdot \vec{IM}\right) = \frac{3a^2}{2} \iff -4\vec{IA} \cdot \vec{IM} = 0 \iff \vec{IA} \cdot \vec{IM} = 0
9

Les vecteurs IA⃗\vec{IA} et IM⃗\vec{IM} sont orthogonaux. L'ensemble (Δ)(\Delta) est la droite perpendiculaire à (IA)(IA) passant par II, c'est-à-dire la droite (BC)(BC).

Définition · 29

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon RR. Pour tout point MM du plan, la puissance de MM par rapport à C\mathscr{C} est définie par :

PC(M)=MO2−R2\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = MO^2 - R^2

Pour toute droite passant par MM coupant C\mathscr{C} en deux points AA et BB (éventuellement confondus si la droite est tangente) :

MA⃗⋅MB⃗=MO2−R2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - R^2

En particulier, si une droite issue de MM est tangente au cercle au point TT :

MT2=MO2−R2MT^2 = MO^2 - R^2

Vérification · 30

Calcul de longueur de tangente

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon R=3R = 3. Soit MM un point situé à une distance OM=5OM = 5. Une droite passant par MM est tangente à C\mathscr{C} en TT. Que vaut la distance MTMT ?

Remarque

D'après la formule de la puissance d'un point par rapport au cercle : MT2=MO2−R2=52−32=25−9=16MT^2 = MO^2 - R^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16. Une distance étant positive, MT=16=4MT = \sqrt{16} = 4.

Point de départ · 31

Expression analytique du produit scalaire

Dans quel type de repère la formule u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' est-elle valable ?

Remarque

Cette formule n'est valable que dans un repère **orthonormé** (∣∣i⃗∣∣=∣∣j⃗∣∣=1||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 et i⃗⊥j⃗\vec{i} \perp \vec{j}). Dans un repère non orthonormé, les carrés scalaires des vecteurs de base ne valent pas 11 et leur produit scalaire n'est pas nul.

Définition · 32

Formules analytiques et équation de cercle

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

u⃗(xy)⋅v⃗(x′y′)=xx′+yy′\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = xx' + yy'

∥u⃗∥=x2+y2\Vert\vec{u}\Vert = \sqrt{x^2 + y^2}
u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0

L'équation cartésienne du cercle C\mathscr{C} de centre I(a,b)I(a, b) et de rayon R>0R > 0 est :

(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Piège classique · 33

Calcul de la distance d'un point à une droite

Quelle est la distance du point A(1,2)A(1, 2) à la droite (Δ):3x+4y−16=0(\Delta) : 3x + 4y - 16 = 0 ?

Attention

Oublier la valeur absolue au numérateur et obtenir une distance négative : 3(1)+4(2)−1632+42=−55=−1\frac{3(1)+4(2)-16}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{-5}{5} = -1.

À la place : Une distance est toujours positive ou nulle. La formule impose la valeur absolue au numérateur : d(A,Δ)=∣axA+byA+c∣a2+b2=∣3(1)+4(2)−16∣32+42=∣−5∣5=55=1d(A, \Delta) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|3(1)+4(2)-16|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-5|}{5} = \frac{5}{5} = 1.

Exemple travaillé · 34

Position relative d'une droite et d'un cercle

Soit (C)(\mathscr{C}) le cercle de centre I(1,1)I(1, 1) et de rayon R=2R = 2, et (Δ)(\Delta) la droite d'équation 3x−4y+11=03x - 4y + 11 = 0. Déterminer la position relative de (Δ)(\Delta) et (C)(\mathscr{C}).

1

On calcule la distance dd du centre I(1,1)I(1, 1) à la droite (Δ)(\Delta) :

2
d(I,Δ)=∣3(1)−4(1)+11∣32+(−4)2=∣3−4+11∣9+16=∣10∣5=2d(I, \Delta) = \frac{|3(1) - 4(1) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 4 + 11|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{5} = 2
3

On compare la distance d(I,Δ)d(I, \Delta) au rayon R=2R = 2 :

4

Comme d(I,Δ)=R=2d(I, \Delta) = R = 2, la distance du centre à la droite est exactement égale au rayon.

5

La droite (Δ)(\Delta) est donc tangente au cercle (C)(\mathscr{C}) en un point de contact unique.

Exemple travaillé · 35

Équation cartésienne d'une tangente au cercle

Soit (C)(\mathscr{C}) le cercle de centre I(2,−1)I(2, -1) passant par le point A(5,3)A(5, 3). Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T)(T) à (C)(\mathscr{C}) au point AA.

1

La tangente (T)(T) en AA est la droite perpendiculaire au rayon [IA][IA] passant par AA. Le vecteur IA⃗\vec{IA} est donc un vecteur normal à (T)(T).

2

Calculons les composantes du vecteur IA⃗\vec{IA} :

3
IA⃗(5−23−(−1))=(34)\vec{IA}\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}
4

Un point M(x,y)M(x, y) appartient à la tangente (T)(T) si et seulement si AM⃗⋅IA⃗=0\vec{AM} \cdot \vec{IA} = 0 :

5
3(x−5)+4(y−3)=0  ⟺  3x−15+4y−12=0  ⟺  3x+4y−27=03(x - 5) + 4(y - 3) = 0 \iff 3x - 15 + 4y - 12 = 0 \iff 3x + 4y - 27 = 0
6

Une équation cartésienne de la tangente (T)(T) est donc 3x+4y−27=03x + 4y - 27 = 0.

Vérification · 36

Vérification sur l'intersection droite-cercle

Soit un cercle (C)(\mathscr{C}) de centre I(0,0)I(0, 0) et de rayon R=3R = 3. La droite (Δ):x+y−6=0(\Delta) : x + y - 6 = 0 rencontre-t-elle le cercle (C)(\mathscr{C}) ?

Remarque

On calcule la distance : d(I,Δ)=∣0+0−6∣12+12=62=32≈4,24d(I, \Delta) = \frac{|0 + 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4,24. Comme d(I,Δ)>3d(I, \Delta) > 3, la distance est strictement supérieure au rayon : la droite et le cercle n'ont aucun point d'intersection.

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