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Produit scalaire dans le plan — exercices corrigés

3ème année · section Sciences expérimentales. Chaque question est suivie de sa correction complète, rédigée comme au tableau.

Cours : Produit scalaire dans le plan Maths 3ème année Sciences expérimentales

Les exercices

Exercice 1

intermediaire

Soit un segment [AB][AB] de longueur 44. On considère la droite (AB)(AB) munie de l'axe (A,i⃗)(A, \vec{i}) tel que i⃗=14AB⃗\vec{i} = \frac{1}{4}\vec{AB}. Soit MM un point quelconque du plan et HH son projeté orthogonal sur la droite (AB)(AB), dont l'abscisse sur l'axe (A,i⃗)(A, \vec{i}) est notée xx.

  1. 1. Établir l'égalité AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}, où HH désigne le projeté orthogonal du point MM sur la droite (AB)(AB).

    Indice — Pense à décomposer le vecteur AM⃗\vec{AM} en introduisant le projeté orthogonal HH de MM sur la droite (AB)(AB).

    Correction

    Par la relation de Chasles, on décompose AM⃗=AH⃗+HM⃗\vec{AM} = \vec{AH} + \vec{HM}. Le produit scalaire devient AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗+AB⃗⋅HM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} + \vec{AB} \cdot \vec{HM}. Comme HH est le projeté orthogonal de MM sur (AB)(AB), la droite (HM)(HM) est orthogonale à (AB)(AB), d'où AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0. On obtient donc AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}.

  2. 2. Caractériser les positions relatives du point HH sur la droite (AB)(AB) en distinguant trois cas selon la valeur de son abscisse xx : x<0x < 0, 0≤x≤40 \le x \le 4, et x>4x > 4.

    Indice — Exprime l'abscisse xx du point HH dans le repère d'axe (A,i⃗)(A, \vec{i}) avec i⃗=14AB⃗\vec{i} = \frac{1}{4}\vec{AB}.

    Correction

    Comme i⃗=14AB⃗\vec{i} = \frac{1}{4}\vec{AB}, on a AH⃗=xi⃗=x4AB⃗\vec{AH} = x\vec{i} = \frac{x}{4}\vec{AB}. On en déduit :
    - Si x<0x < 0, HH est sur la droite (AB)(AB), à l'extérieur du segment [AB][AB] du côté de AA.
    - Si 0≤x≤40 \le x \le 4, HH appartient au segment [AB][AB].
    - Si x>4x > 4, HH est sur la droite (AB)(AB), à l'extérieur du segment [AB][AB] du côté de BB.

  3. 3. Déterminer l'expression du produit scalaire AB⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} lorsque x∈]−∞ ; 0[x \in ]-\infty\,;\,0[.

    Indice — Quel est le sens relatif des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} lorsque x<0x < 0 ?

    Correction

    D'après la question 1, AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}. Pour x<0x < 0, les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont colinéaires de sens contraires, donc AB⃗⋅AH⃗=−AB×AH\vec{AB} \cdot \vec{AH} = - AB \times AH. Avec AB=4AB = 4 et AH=−xAH = -x, on trouve AB⃗⋅AM⃗=−4×(−x)=4x\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -4 \times (-x) = 4x.

  4. 4. Déterminer l'expression du produit scalaire AB⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} lorsque x∈[0 ; 4]x \in [0\,;\,4].

    Indice — Regarde le sens des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} lorsque HH appartient au segment [AB][AB].

    Correction

    Pour x∈[0 ; 4]x \in [0\,;\,4], les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont colinéaires et de même sens. En utilisant la formule du produit scalaire pour des vecteurs de même sens, on a AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗=AB×AH=4×x=4x\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH = 4 \times x = 4x.

  5. 5. Déterminer l'expression du produit scalaire AB⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} lorsque x∈]4 ; +∞[x \in ]4\,;\,+\infty[.

    Indice — Compare les orientations de AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} lorsque HH est situé sur la demi-droite d'origine BB ne contenant pas AA.

    Correction

    Par projection orthogonale, AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}. Pour x∈]4 ; +∞[x \in ]4\,;\,+\infty[, HH est situé au-delà de BB, donc les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont de même sens. Le produit scalaire vaut alors le produit des grandeurs colinéaires : AB⃗⋅AM⃗=AB×AH=4×x=4x\vec{AB} \cdot \vec{AM} = AB \times AH = 4 \times x = 4x.

  6. 6. En déduire l'expression générale de AB⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} sur R\mathbb{R}, puis résoudre l'inéquation AB⃗⋅AM⃗≥−8\vec{AB} \cdot \vec{AM} \ge -8.

    Indice — Rassemble les expressions obtenues sur les trois intervalles pour former une unique expression de AB⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} en fonction de xx, puis résous l'inéquation correspondante.

    Correction

    Sur l'ensemble de R\mathbb{R}, l'expression algébrique mesurée par le repère donne la formule unique AB⃗⋅AM⃗=4x\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 4x.
    L'inéquation AB⃗⋅AM⃗≥−8\vec{AB} \cdot \vec{AM} \ge -8 s'écrit alors 4x≥−84x \ge -8, ce qui donne immédiatement x≥−2x \ge -2.

  7. 7. Déterminer et représenter géométriquement l'ensemble des points MM du plan vérifiant l'inéquation AB⃗⋅AM⃗≥−8\vec{AB} \cdot \vec{AM} \ge -8.

    Indice — À quel ensemble géométrique de points MM correspond la condition portant sur l'abscisse de leur projeté orthogonal HH ?

    Correction

    La condition x≥−2x \ge -2 signifie que le projeté orthogonal HH de MM doit se trouver sur la demi-droite d'origine le point CC d'abscisse −2-2 et contenant AA.
    L'ensemble recherché est donc le demi-plan fermé délimité par la droite perpendiculaire à (AB)(AB) passant par le point CC (tel que AC⃗=−2i⃗\vec{AC} = -2\vec{i}), et contenant les points AA et BB.

Exercice 2

intermediaire

On considère deux points AA et BB du plan muni d'un repère orthonormé. L'objectif est de déterminer l'ensemble des points MM satisfaisant une condition de produit scalaire.

  1. 1. Sur votre copie, tracer une droite (AB)(AB) telle que AB=4AB = 4. Placer sur la droite (AB)(AB) le point HH tel que AB⃗⋅BH⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 3.

    Indice — Utilise la définition analytique du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires de même sens pour déterminer la distance recherchée.

    Correction

    Puisque le produit scalaire AB⃗⋅BH⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 3 est positif, les vecteurs colinéaires AB⃗\vec{AB} et BH⃗\vec{BH} sont de même sens. On a donc AB⃗⋅BH⃗=AB×BH=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} = AB \times BH = 3. Avec AB=4AB = 4, on obtient BH=34=0,75BH = \frac{3}{4} = 0,75. Le point HH est donc placé sur la demi-droite d'origine BB ne contenant pas AA, à une distance de 0,750,75 de BB.

  2. 2. Écrire l'égalité vectorielle reliant AB⃗⋅BM⃗\vec{AB} \cdot \vec{BM} et AB⃗⋅BH⃗\vec{AB} \cdot \vec{BH} en exploitant la valeur constante du produit scalaire.

    Indice — Utilise l'égalité des produits scalaires pour établir une relation de transitivité avec le point HH.

    Correction

    La condition définissant les points MM est AB⃗⋅BM⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 3. Par transitivité avec l'égalité AB⃗⋅BH⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 3 établie à la question précédente, on obtient directement : AB⃗⋅BM⃗=AB⃗⋅BH⃗\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BH}.

  3. 3. Transposer le terme constant pour ramener l'expression à une différence de produits scalaires égale à zéro.

    Indice — Transpose tous les termes du même côté de l'égalité afin d'obtenir une expression égale à zéro.

    Correction

    En transposant le terme de droite, on ramène l'égalité à une différence égale à zéro : AB⃗⋅BM⃗−AB⃗⋅BH⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{BM} - \vec{AB} \cdot \vec{BH} = 0.

  4. 4. Factoriser l'expression obtenue par le vecteur directeur AB⃗\vec{AB}.

    Indice — Pense à la bilinéarité du produit scalaire pour factoriser par le vecteur directeur commun AB⃗\vec{AB}.

    Correction

    En utilisant la bilinéarité (propriété de distributivité) du produit scalaire, on factorise par le vecteur AB⃗\vec{AB} : AB⃗⋅(BM⃗−BH⃗)=0\vec{AB} \cdot (\vec{BM} - \vec{BH}) = 0. Par la relation de Chasles, on a BM⃗−BH⃗=HB⃗+BM⃗=HM⃗\vec{BM} - \vec{BH} = \vec{HB} + \vec{BM} = \vec{HM}. L'expression factorisée est donc : AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0.

  5. 5. Simplifier le second facteur en utilisant la relation de Chasles pour introduire le point HH.

    Indice — Applique la relation de Chasles à l'intérieur du vecteur soustrait pour faire apparaître le segment caractéristique.

    Correction

    En appliquant la relation de Chasles, on décompose le vecteur BM⃗\vec{BM} en y introduisant le point HH, ce qui donne : BM⃗=BH⃗+HM⃗\vec{BM} = \vec{BH} + \vec{HM}.

  6. 6. Déduire la nature géométrique et la position exacte de l'ensemble des points MM du plan tels que AB⃗⋅BM⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 3.

    Indice — Interprète géométriquement l'annulation d'un produit scalaire en termes d'orthogonalité.

    Correction

    En substituant la décomposition précédente, l'équation AB⃗⋅BM⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 3 devient AB⃗⋅(BH⃗+HM⃗)=3\vec{AB} \cdot (\vec{BH} + \vec{HM}) = 3, soit AB⃗⋅BH⃗+AB⃗⋅HM⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} + \vec{AB} \cdot \vec{HM} = 3. En définissant le point HH sur la droite (AB)(AB) tel que AB⃗⋅BH⃗=3\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 3, l'égalité se simplifie en AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0. Ce produit scalaire nul signifie que les vecteurs AB⃗\vec{AB} et HM⃗\vec{HM} sont orthogonaux. L'ensemble des points MM est donc la droite perpendiculaire à (AB)(AB) passant par HH.

Exercice 3

intermediaire

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on s'intéresse aux propriétés géométriques d'un triangle ABCABC et à la détermination de lignes de niveau à l'aide du produit scalaire.

  1. 1) a). Sur votre copie, construire un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) (unité graphique : 1 cm1\text{ cm}) et y placer les points A(1 ; 4)A(1\,;\,4), B(1 ; 1)B(1\,;\,1) et C(5 ; 1)C(5\,;\,1) afin de former le triangle ABCABC.

    Indice — Utilise une règle graduée pour placer précisément les coordonnées des points AA, BB et CC dans le repère orthonormé.

    Correction

    On construit un repère orthonormé d'unité 1 cm1\text{ cm} et on y place les points en utilisant leurs coordonnées : A(1 ; 4)A(1\,;\,4), B(1 ; 1)B(1\,;\,1) et C(5 ; 1)C(5\,;\,1).

  2. 1) b). Déterminer les composantes des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}), puis calculer le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} à l'aide de ces composantes.

    Indice — Rappelle-toi que dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs u⃗(xy)\vec{u}\binom{x}{y} et v⃗(x′y′)\vec{v}\binom{x'}{y'} est donné par la formule analytique u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.

    Correction

    On détermine les coordonnées des vecteurs : AB⃗(1−11−4)=(0−3)\vec{AB}\binom{1-1}{1-4} = \binom{0}{-3} et AC⃗(5−11−4)=(4−3)\vec{AC}\binom{5-1}{1-4} = \binom{4}{-3}.
    Leur produit scalaire dans la base orthonormée est : AB⃗⋅AC⃗=0×4+(−3)×(−3)=9\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \times 4 + (-3) \times (-3) = 9.

  3. 2). Soit HH un point de la droite (AB)(AB). Déterminer la distance AHAH sachant que AB⃗⋅AH⃗=6\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 6 et que les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont de même sens. Placer le point HH sur votre figure.

    Indice — Puisque les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont colinéaires et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs normes : AB⃗⋅AH⃗=AB×AH\vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH. Calcule d'abord la distance ABAB.

    Correction

    On calcule la distance AB=02+(−3)2=3AB = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3.
    Puisque les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont colinéaires et de même sens, on a AB⃗⋅AH⃗=AB×AH=6\vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH = 6.
    On en déduit 3×AH=63 \times AH = 6, soit AH=2AH = 2.
    Le point HH se situe sur le segment [AB][AB] à une distance de 22 de AA, ce qui donne pour coordonnées H(1 ; 2)H(1\,;\,2).

  4. 3). En décomposant le vecteur AM⃗\vec{AM} à l'aide du point HH, montrer que la relation AB⃗⋅AM⃗=6\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 6 équivaut à AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0. En déduire la nature géométrique de l'ensemble (E1)(\mathcal{E}_1) des points MM du plan et le tracer sur la figure.

    Indice — Écris AM⃗=AH⃗+HM⃗\vec{AM} = \vec{AH} + \vec{HM} en utilisant la relation de Chasles, puis développe le produit scalaire en exploitant la valeur de AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AH} trouvée précédemment.

    Correction

    En utilisant la relation de Chasles avec le point HH, on a :
    AB⃗⋅AM⃗=AB⃗⋅(AH⃗+HM⃗)=AB⃗⋅AH⃗+AB⃗⋅HM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot (\vec{AH} + \vec{HM}) = \vec{AB} \cdot \vec{AH} + \vec{AB} \cdot \vec{HM}.
    Comme AB⃗⋅AH⃗=6\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 6, la relation AB⃗⋅AM⃗=6\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 6 équivaut à 6+AB⃗⋅HM⃗=66 + \vec{AB} \cdot \vec{HM} = 6, soit AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0.
    L'ensemble (E1)(\mathcal{E}_1) est donc la droite perpendiculaire à (AB)(AB) passant par HH. Puisque la droite (AB)(AB) est verticale, (E1)(\mathcal{E}_1) est la droite horizontale d'équation y=2y = 2.

  5. 4). On s'intéresse désormais à l'ensemble (E2)(\mathcal{E}_2) des points MM du plan tels que AB⃗⋅AM⃗=AC⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}. Transposer tous les termes du même côté de l'égalité et factoriser l'expression par le vecteur mobile AM⃗\vec{AM}.

    Indice — Attention à ne pas simplifier par le vecteur AM⃗\vec{AM} ! Ramène tous les termes à gauche du signe égal pour obtenir une différence égale à 00, puis factorise par le vecteur commun.

    Correction

    On transpose le terme de droite à gauche de l'égalité :
    AB⃗⋅AM⃗−AC⃗⋅AM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0

    En factorisant par le vecteur commun AM⃗\vec{AM} par distributivité du produit scalaire, on obtient :
    (AB⃗−AC⃗)⋅AM⃗=0(\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0

  6. 5). En utilisant la relation de Chasles sur le facteur vectoriel fixe obtenu à la question précédente, montrer que l'équation se simplifie sous la forme CB⃗⋅AM⃗=0\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0.

    Indice — Utilise la relation de Chasles pour simplifier la différence de vecteurs fixes AB⃗−AC⃗\vec{AB} - \vec{AC} présente dans la parenthèse.

    Correction

    Par la relation de Chasles, on simplifie la différence de vecteurs :
    AB⃗−AC⃗=CA⃗+AB⃗=CB⃗\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}

    En remplaçant dans l'équation obtenue à la question précédente, on obtient bien :
    CB⃗⋅AM⃗=0\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0

  7. 6). En déduire la nature géométrique de l'ensemble (E2)(\mathcal{E}_2) des points MM du plan. Quelle droite remarquable du triangle ABCABC représente cet ensemble ? Tracer (E2)(\mathcal{E}_2) sur votre figure.

    Indice — L'égalité CB⃗⋅AM⃗=0\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0 traduit l'orthogonalité de deux vecteurs. Cherche la droite passant par le point fixe AA et perpendiculaire au côté opposé [BC][BC].

    Correction

    L'égalité CB⃗⋅AM⃗=0\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0 signifie que les vecteurs CB⃗\vec{CB} et AM⃗\vec{AM} sont orthogonaux.

    L'ensemble (E2)(\mathcal{E}_2) est donc la droite passant par le point fixe AA et perpendiculaire à la droite (BC)(BC). Dans le triangle ABCABC, cette droite remarquable est la hauteur issue du sommet AA.

Exercice 4

avance

Soit un triangle ABCABC non aplati. On désigne par OO le centre de son cercle circonscrit, par GG son centre de gravité, et on définit un point HH du plan par la relation vectorielle OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}.

  1. 1)a). Soit II le milieu du segment [BC][BC]. Réduire la somme vectorielle OB⃗+OC⃗\vec{OB} + \vec{OC} à l'aide de ce point, puis exprimer le vecteur AH⃗\vec{AH} en fonction du vecteur OI⃗\vec{OI}.

    Indice — Pense au milieu du segment opposé pour simplifier la somme de vecteurs.

    Correction

    Puisque II est le milieu du segment [BC][BC], la propriété de la médiane/milieu donne OB⃗+OC⃗=2OI⃗\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OI}. Par la relation de Chasles, AH⃗=AO⃗+OH⃗=−OA⃗+(OA⃗+OB⃗+OC⃗)=OB⃗+OC⃗=2OI⃗\vec{AH} = \vec{AO} + \vec{OH} = -\vec{OA} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OI}.

  2. 1)b). Calculer le produit scalaire AH⃗⋅BC⃗\vec{AH} \cdot \vec{BC} en utilisant l'expression précédente, puis en déduire la nature géométrique de la droite (AH)(AH) pour le triangle ABCABC.

    Indice — Regarde l'orthogonalité de la médiatrice du segment [BC][BC] avec ce même segment.

    Correction

    On calcule le produit scalaire : AH⃗⋅BC⃗=2OI⃗⋅BC⃗\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 2\vec{OI} \cdot \vec{BC}. Comme OO est le centre du cercle circonscrit à ABCABC, la droite (OI)(OI) est la médiatrice du segment [BC][BC], donc OI⃗⊥BC⃗\vec{OI} \perp \vec{BC}. On en déduit que AH⃗⋅BC⃗=0\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0, ce qui implique (AH)⊥(BC)(AH) \perp (BC). La droite (AH)(AH) est donc la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC.

  3. 2). Établir la relation vectorielle OH⃗=3OG⃗\vec{OH} = 3\vec{OG} en décomposant la somme définissant le point HH. Conclure quant à l'alignement des points OO, GG et HH.

    Indice — Introduis le centre de gravité GG comme barycentre du système (A,1),(B,1),(C,1)(A, 1), (B, 1), (C, 1).

    Correction

    Par définition du centre de gravité GG, on a la relation vectorielle OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}. En identifiant avec la définition de HH, on obtient directement OH⃗=3OG⃗\vec{OH} = 3\vec{OG}. Cette relation de colinéarité prouve que les points OO, GG et HH sont alignés (sur la droite d'Euler).

  4. 3)a). Pour un paramètre réel kk, on considère l'expression fk(M)=MA⃗⋅(MB⃗+MC⃗)−k MA⃗⋅OI⃗f_k(M) = \vec{MA} \cdot (\vec{MB} + \vec{MC}) - k \, \vec{MA} \cdot \vec{OI}. Réduire cette expression en factorisant par le vecteur MA⃗\vec{MA}.

    Indice — Utilise le milieu II pour transformer la somme de vecteurs issue de la même origine mobile MM.

    Correction

    Comme II est le milieu de [BC][BC], la réduction de la somme donne MB⃗+MC⃗=2MI⃗\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MI}. En substituant dans fk(M)f_k(M) puis en factorisant par le vecteur commun MA⃗\vec{MA}, on obtient : fk(M)=MA⃗⋅(2MI⃗)−k MA⃗⋅OI⃗=MA⃗⋅(2MI⃗−kOI⃗)f_k(M) = \vec{MA} \cdot (2\vec{MI}) - k \,\vec{MA} \cdot \vec{OI} = \vec{MA} \cdot (2\vec{MI} - k\vec{OI}).

  5. 3)b). Exprimer le vecteur fixe obtenu dans la factorisation précédente en fonction de MO⃗\vec{MO} et de OI⃗\vec{OI}. Préciser la partition des valeurs de kk qui s'impose naturellement.

    Indice — Exprime le vecteur de base en faisant intervenir le centre OO du cercle circonscrit.

    Correction

    En introduisant le centre OO par la relation de Chasles, le vecteur considéré se décompose en (2−k)MO⃗+kOI⃗(2-k)\vec{MO} + k\vec{OI}. La partition naturelle des valeurs du paramètre kk oppose le cas singulier k=2k = 2 (annulant le coefficient de MO⃗\vec{MO}) au cas général keq2k
    eq 2    .

  6. 4)a). Déterminer et caractériser géométriquement l'ensemble E2\mathcal{E}_2 des points MM du plan tels que f2(M)=0f_2(M) = 0.

    Indice — Regarde ce que devient l'expression lorsque le paramètre annule la contribution du vecteur OI⃗\vec{OI}.

    Correction

    Pour k=2k = 2, la dépendance en MO⃗\vec{MO} disparaît dans la relation. L'équation f2(M)=0f_2(M) = 0 se réduit à un produit scalaire fixe du type MI⃗⋅u⃗=0\vec{MI} \cdot \vec{u} = 0, ce qui caractérise géométriquement E2\mathcal{E}_2 comme une droite affine perpendiculaire à la direction définie par le vecteur fixe.

  7. 4)b). Pour tout k≠2k \neq 2, déterminer la nature géométrique de l'ensemble Ek\mathcal{E}_k des points MM du plan tels que fk(M)=0f_k(M) = 0.

    Indice — Introduis un point intermédiaire PkP_k défini par une relation vectorielle faisant intervenir kk et OI⃗\vec{OI}.

    Correction

    Pour keq2k
    eq 2    , on introduit le point barycentrique PkP_k défini par la relation OPk⃗=kk−2OI⃗\vec{OP_k} = \frac{k}{k-2}\vec{OI}. En réduisant la relation vectorielle en ce point PkP_k, l'équation fk(M)=0f_k(M) = 0 se ramène à une condition de la forme PkM2=Rk2P_k M^2 = R_k^2, ce qui caractérise géométriquement Ek\mathcal{E}_k comme un cercle de centre PkP_k.

  8. 4)c). Vérifier l'appartenance du point AA à l'ensemble Ek\mathcal{E}_k pour toute valeur réelle de kk, et conclure sur l'unicité de ce passage remarquable.

    Indice — Teste l'égalité de départ en remplaçant le point mobile par l'un des sommets fixes du triangle.

    Correction

    En substituant le sommet AA au point mobile MM dans l'expression de fk(M)f_k(M), la relation s'annule identiquement pour tout réel kk, prouvant que A∈EkA \in \mathcal{E}_k. Tous les ensembles de la famille Ek\mathcal{E}_k constituent ainsi un faisceau passant par le point fixe remarquable AA.

Exercice 5

avance

On considère un triangle ABCABC non équilatéral du plan. On désigne par OO le centre de son cercle circonscrit et par GG son centre de gravité.

On définit le point HH du plan par la relation vectorielle :
OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}

  1. 1. Sur votre copie, construire un triangle ABCABC non équilatéral, tracer son cercle circonscrit de centre OO et placer son centre de gravité GG. Établir l'égalité vectorielle AH⃗=AO⃗+OH⃗\vec{AH} = \vec{AO} + \vec{OH}.

    Indice — Intercale le point OO dans le vecteur AH⃗\vec{AH} à l'aide d'une relation fondamentale de la géométrie vectorielle.

    Correction

    La construction du triangle ABCABC, de son cercle circonscrit de centre OO et de son centre de gravité GG est représentée sur la figure.

    Pour établir l'égalité vectorielle, on applique la relation de Chasles en introduisant le point OO dans le vecteur AH⃗\vec{AH} :
    AH⃗=AO⃗+OH⃗\vec{AH} = \vec{AO} + \vec{OH}

  2. 2. Déterminer une expression du vecteur AH⃗\vec{AH} ne faisant intervenir que les vecteurs OB⃗\vec{OB} et OC⃗\vec{OC}.

    Indice — Remplace le vecteur OH⃗\vec{OH} par sa définition vectorielle donnée dans l'énoncé et simplifie la somme AO⃗+OA⃗\vec{AO} + \vec{OA}.

    Correction

    En injectant la définition de OH⃗\vec{OH} dans la relation obtenue à la question précédente, on a :
    AH⃗=AO⃗+(OA⃗+OB⃗+OC⃗)\vec{AH} = \vec{AO} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})

    Comme AO⃗+OA⃗=0⃗\vec{AO} + \vec{OA} = \vec{0} (vecteurs opposés), l'expression se simplifie en :
    AH⃗=OB⃗+OC⃗\vec{AH} = \vec{OB} + \vec{OC}

  3. 3. On désigne par A′A' le milieu du segment [BC][BC]. Exprimer la somme vectorielle OB⃗+OC⃗\vec{OB} + \vec{OC} au moyen du vecteur OA′⃗\vec{OA'}.

    Indice — Pense à la propriété vectorielle caractérisant le milieu d'un segment à partir d'une origine quelconque.

    Correction

    Le point A′A' étant le milieu du segment [BC][BC], la caractérisation vectorielle du milieu par rapport à l'origine OO donne directement :
    OB⃗+OC⃗=2OA′⃗\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA'}

  4. 4. Déterminer la valeur exacte du produit scalaire AH⃗⋅BC⃗\vec{AH} \cdot \vec{BC}.

    Indice — Pense à l'orthogonalité de la médiatrice du segment [BC][BC] avec la droite (BC)(BC).

    Correction

    En combinant les résultats des questions 2 et 3, on obtient AH⃗=2OA′⃗\vec{AH} = 2\vec{OA'}. Le produit scalaire s'écrit donc :
    AH⃗⋅BC⃗=2OA′⃗⋅BC⃗\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 2\vec{OA'} \cdot \vec{BC}

    Le point OO étant le centre du cercle circonscrit à ABCABC, la droite (OA′)(OA') passant par le centre OO et le milieu A′A' de [BC][BC] est la médiatrice du segment [BC][BC]. Les droites (OA′)(OA') et (BC)(BC) sont donc perpendiculaires, ce qui implique que les vecteurs OA′⃗\vec{OA'} et BC⃗\vec{BC} sont orthogonaux.

    On en déduit la valeur exacte du produit scalaire :
    AH⃗⋅BC⃗=0\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0

  5. 5. Déduire de la question précédente la position relative de la droite (AH)(AH) par rapport à la droite (BC)(BC).

    Indice — Rappelle-toi de la relation entre la nullité du produit scalaire de deux vecteurs non nuls et la position relative de leurs droites supports.

    Correction

    La question précédente a établi que AH⃗⋅BC⃗=0\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0. Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, les vecteurs AH⃗\vec{AH} et BC⃗\vec{BC} sont orthogonaux. On en déduit directement que les droites (AH)(AH) et (BC)(BC) sont perpendiculaires.

  6. 6. Démontrer que le produit scalaire BH⃗⋅AC⃗\vec{BH} \cdot \vec{AC} est nul.

    Indice — Adopte une démarche analogue en introduisant le milieu du segment [AC][AC] et la médiatrice correspondante.

    Correction

    Par définition de HH, on a BH⃗=BO⃗+OH⃗=OA⃗+OC⃗\vec{BH} = \vec{BO} + \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OC}. En introduisant le milieu JJ du segment [AC][AC], on obtient OA⃗+OC⃗=2OJ⃗\vec{OA} + \vec{OC} = 2\vec{OJ}. Comme OO est le centre du cercle circonscrit à ABCABC, la droite (OJ)(OJ) est la médiatrice du segment [AC][AC], d'où (OJ)⊥(AC)(OJ) \perp (AC). Ainsi, BH⃗⋅AC⃗=2OJ⃗⋅AC⃗=0\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 2\vec{OJ} \cdot \vec{AC} = 0.

  7. 7. Identifier la nature géométrique du point HH pour le triangle ABCABC.

    Indice — Observe que la droite (AH)(AH) et la droite (BH)(BH) portent des droites remarquables du triangle ABCABC issues de ses sommets.

    Correction

    Les questions précédentes montrent que la droite (AH)(AH) est perpendiculaire au côté (BC)(BC) et que la droite (BH)(BH) est perpendiculaire au côté (AC)(AC). Les droites (AH)(AH) et (BH)(BH) sont donc deux hauteurs du triangle ABCABC. Leur point d'intersection HH est par conséquent l'orthocentre du triangle ABCABC.

  8. 8. Démontrer la relation vectorielle OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}.

    Indice — Pense à la relation vectorielle d'isobarycentre qui caractérise le centre de gravité d'un triangle par rapport à un point quelconque du plan.

    Correction

    Le point GG étant le centre de gravité (isobarycentre) du triangle ABCABC, il vérifie la relation vectorielle GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}. En appliquant la relation de Chasles avec le point OO, on obtient (GO⃗+OA⃗)+(GO⃗+OB⃗)+(GO⃗+OC⃗)=0⃗(\vec{GO} + \vec{OA}) + (\vec{GO} + \vec{OB}) + (\vec{GO} + \vec{OC}) = \vec{0}, ce qui donne immédiatement OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}.

  9. 9. Déterminer une relation de colinéarité reliant le vecteur OH⃗\vec{OH} au vecteur OG⃗\vec{OG}.

    Indice — Rapproche l'égalité de définition du point HH avec le résultat établi sur le centre de gravité GG.

    Correction

    Par définition du centre de gravité GG, on a la relation vectorielle OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}. En la comparant avec la définition du point HH, on obtient immédiatement la relation de colinéarité : OH⃗=3OG⃗\vec{OH} = 3\vec{OG}.

  10. 10. En déduire la position relative des points OO, GG et HH.

    Indice — Interprète géométriquement la colinéarité de deux vecteurs possédant la même origine.

    Correction

    La relation OH⃗=3OG⃗\vec{OH} = 3\vec{OG} montre que les vecteurs OH⃗\vec{OH} et OG⃗\vec{OG} sont colinéaires. Ayant le point OO en commun, on en déduit que les points OO, GG et HH sont alignés (ils forment la droite d'Euler du triangle, visible sur la figure).

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