Produit scalaire dans le plan — exercices corrigés

On considère un triangle $ABC$ quelconque inscrit dans son cercle circonscrit de centre $O$, et on désigne par $G$ son centre de gravité. On définit un point $H$ par la relation vectorielle :
$$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$$.

1. 1. Montrer que $\vec{AH} = \vec{OB} + \vec{OC}$.

   Indice — Pense à intercaler le point O dans le vecteur AH en utilisant la relation de Chasles.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles, on introduit le point $O$ pour décomposer le vecteur $\vec{AH}$ : $\vec{AH} = \vec{AO} + \vec{OH} = -\vec{OA} + \vec{OH}$. En remplaçant $\vec{OH}$ par $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$, on obtient $\vec{AH} = -\vec{OA} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{OB} + \vec{OC}$.

2. 2. Écrire le produit scalaire $\vec{AH} \cdot \vec{BC}$ sous la forme $(\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot \vec{BC}$.

   Indice — Substitue l'expression obtenue pour $\vec{AH}$ dans le produit scalaire avec le vecteur $\vec{BC}$.

   Correction

   En remplaçant le vecteur $\vec{AH}$ par son expression obtenue à la question précédente, le produit scalaire $\vec{AH} \cdot \vec{BC}$ devient $(\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot \vec{BC}$.

3. 3. Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Montrer que $\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA'}$.

   Indice — Pense au théorème de la médiane en considérant le milieu $A'$ du segment $[BC]$.

   Correction

   Puisque $A'$ est le milieu du segment $[BC]$, la relation de Chasles appliquée aux points $B$ et $C$ par rapport au point $O$ donne $\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA'}$.

4. 4. Montrer que $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$.

   Indice — Observe la position du point $O$ par rapport au segment $[BC]$ et rappelle-toi de la propriété géométrique de la médiatrice.

   Correction

   En combinant les résultats précédents, on a $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (2\vec{OA'}) \cdot \vec{BC} = 2(\vec{OA'} \cdot \vec{BC})$. Comme $O$ est le centre du cercle circonscrit, la droite $(OA')$ est la médiatrice du segment $[BC]$, elle lui est donc perpendiculaire, ce qui implique que les vecteurs $\vec{OA'}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux. Leur produit scalaire est donc nul, et par conséquent $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$.

5. 5. Montrer que $\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$.

   Indice — Applique un raisonnement symétrique en considérant le vecteur $\vec{BH}$ et le côté $[AC]$ du triangle.

   Correction

   En introduisant le milieu $J$ du segment $[AC]$, on écrit $\vec{BH} = \vec{BO} + \vec{OH} = \vec{BO} + \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OC} = 2\vec{OJ}$. Or, le vecteur $\vec{OJ}$ est orthogonal à la corde $[AC]$ car $O$ est le centre du cercle circonscrit. On en déduit immédiatement que le produit scalaire $\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$.

6. 6. Montrer que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

   Indice — Interprète géométriquement l'annulation des produits scalaires précédents pour les droites supports du triangle.

   Correction

   Les questions précédentes établissent que $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ et $\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$. Par conséquent, la droite $(AH)$ est perpendiculaire à la droite $(BC)$, et la droite $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$. Le point $H$ est donc l'intersection de deux hauteurs du triangle $ABC$, ce qui signifie géométriquement que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

7. 7. Établir que $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$.

   Indice — Rappelle la propriété fondamentale reliant le centre de gravité $G$ aux sommets du triangle et au point $O$.

   Correction

   Par définition du centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ par rapport à n'importe quel point du plan $O$, on a la relation vectorielle fondamentale : $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$. Equivalemment, on peut l'écrire sous la forme $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$.

8. 8. Montrer que $\vec{OH} = 3\vec{OG}$ et en déduire que les points $O$, $G$ et $H$ sont alignés.

   Indice — Combine la définition vectorielle initiale du point $H$ et la relation du centre de gravité rappelée précédemment.

   Correction

   En combinant la définition initiale $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ et la relation du centre de gravité $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$, on obtient directement la relation de proportionnalité vectorielle : $\vec{OH} = 3\vec{OG}$. Cette relation montre que les vecteurs $\vec{OH}$ et $\vec{OG}$ sont colinéaires, ce qui prouve que les points $O$, $G$ et $H$ sont alignés (ils appartiennent à la droite d'Euler du triangle).

Dans le plan orienté, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$.

1. 1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

   Indice — Pense à la définition géométrique du produit scalaire lorsque deux vecteurs sont orthogonaux.

   Correction

   Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux puisque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par conséquent, leur produit scalaire est nul : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.

2. 2. Calculer $BC$.

   Indice — Applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$.

   Correction

   En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, d'où $BC = 5$.

3. 3. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$.

   Indice — Utilise le projeté orthogonal.

   Correction

   Le point $A$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$. Ainsi, $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BA} = -AB^2 = -4^2 = -16$.

4. 4. Développer l'expression $\|\vec{AB} + \vec{AC}\|^2$.

   Indice — Exprime la norme au carré d'une somme vectorielle.

   Correction

   En développant le carré scalaire, on obtient $\|\vec{AB} + \vec{AC}\|^2 = \vec{AB}^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC}^2 = AB^2 + 0 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$.

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$.

1. 1. Montrer que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.

   Indice — Pense aux propriétés du produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux.

   Correction

   Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, ce qui signifie que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. Par conséquent, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, ce qui implique que leur produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ est égal à $0$.

2. 2. Déterminer le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

   Indice — Le point $A$ est le sommet de l'angle droit formé par les droites $(AB)$ et $(AC)$. Où se trouve son projeté sur $(AB)$ ?

   Correction

   Puisque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ au point $A$. Le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$ est donc le point $A$ lui-même.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\mathcal{O}, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$ et $C(-2\,;\,4)$.

1. 1. Déterminer les composantes du vecteur $\vec{AB}$ et du vecteur $\vec{AC}$.

   Indice — Rappelle-toi de la définition des composantes d'un vecteur défini par deux points dans un repère.

   Correction

   Pour déterminer les composantes d'un vecteur défini par deux points, on soustrait les coordonnées du point d'origine de celles du point d'arrivée. Pour $\vec{AB}$ : $x_B - x_A = 4 - 1 = 3$ et $y_B - y_A = 6 - 2 = 4$. Donc $\vec{AB}(3\,;\,4)$. Pour $\vec{AC}$ : $x_C - x_A = -2 - 1 = -3$ et $y_C - y_A = 4 - 2 = 2$. Donc $\vec{AC}(-3\,;\,2)$.

2. 2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

   Indice — Utilise l'expression analytique du produit scalaire à l'aide des composantes dans une base orthonormée.

   Correction

   Dans un repère orthonormé, l'expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs de composantes $(x\,;\,y)$ et $(x'\,;\,y')$ est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$. En appliquant cette formule avec les vecteurs $\vec{AB}(3\,;\,4)$ et $\vec{AC}(-3\,;\,2)$, on obtient : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times (-3) + 4 \times 2 = -9 + 8 = -1$.

3. 3. Calculer la norme du vecteur $\vec{AB}$, notée $||\vec{AB}||$.

   Indice — Applique la formule de la norme d'un vecteur en fonction de ses composantes cartésiennes.

   Correction

   La norme d'un vecteur de composantes $(x\,;\,y)$ dans un repère orthonormé est donnée par la formule $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Pour le vecteur $\vec{AB}(3\,;\,4)$, on a : $||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

4. 4. Soit $\vec{u}$ le vecteur de composantes $(4\,;\,k)$, où $k \in \mathbb{R}$. Déterminer la valeur de $k$ pour que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{u}$ soient orthogonaux.

   Indice — Soit un nouveau vecteur $\vec{u}$ de composantes $(x\,;\,y)$. Exprime la condition pour que $\vec{AB}$ et $\vec{u}$ soient orthogonaux en utilisant leurs composantes.

   Correction

   Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Avec $\vec{AB}(3\,;\,4)$ et $\vec{u}(4\,;\,k)$, la condition d'orthogonalité s'écrit $3 \times 4 + 4 \times k = 0$, soit $12 + 4k = 0$. En résolvant cette équation, on trouve $4k = -12$, soit $k = -3$.

5. 5. En déduire $\vec{AB} \cdot \vec{u}$ pour cette valeur de $k$.

   Indice — Vérifie la valeur du produit scalaire des deux vecteurs en remplaçant $k$ par la valeur trouvée à la question précédente.

   Correction

   En remplaçant $k$ par sa valeur dans les composantes, on calcule le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{u}$ en appliquant la formule analytique dans le repère orthonormé (somme des produits des coordonnées). On trouve que ce produit scalaire est nul, ce qui confirme l'orthogonalité des deux vecteurs.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(2, -1)$ et $\vec{v}(3, 4)$.

   Correction

   $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + (-1) \times 4 = 6 - 4 = 2$.

2. 2. Calculer la distance $AB$ sachant que $\vec{AB}(3, 4)$.

   Correction

   $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. 3. Soit $H$ un point de la droite $(AB)$ tel que $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 2$. Calculer la distance $BH$.

   Correction

   On a $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = AB \times BH = 2$, donc $5 \times BH = 2$, d'où $BH = \frac{2}{5}$.

4. 4. Soit $M$ un point du plan tel que $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 2$. Montrer que $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BH}$.

   Correction

   D'après les hypothèses, $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 2$ et $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 2$, donc $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BH}$.

5. 5. Montrer que $\vec{AB} \cdot (\vec{BM} - \vec{BH}) = 0$.

   Correction

   On a $\vec{AB} \cdot \vec{BM} - \vec{AB} \cdot \vec{BH} = 0$, et par bilinéarité on obtient $\vec{AB} \cdot (\vec{BM} - \vec{BH}) = 0$.

6. 6. Montrer que $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

   Indice — Utilise la bilinéarité du produit scalaire pour factoriser par le vecteur commun $\vec{AB}$.

   Correction

   D'après la relation de Chasles, $\vec{BM} - \vec{BH} = \vec{HM}$, donc $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

7. 7. En déduire la nature géométrique de l'ensemble des points $M$ du plan.

   Correction

   L'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$ signifie que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{HM}$ sont orthogonaux. L'ensemble des points $M$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$.