Rappel · 1

On rappelle que le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un réel $x_0$ est la limite du taux d'accroissement en ce point :

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Remarque

Lorsque cette limite est un réel fini, la fonction $f$ est dite dérivable en $x_0$ .

Définition · 2

Définition de la fonction dérivée

f \text{ est définie et dérivable en tout point d'un intervalle ouvert } I

$f' : I \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f'(x)$

La fonction qui à chaque réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Définition · 3

Dérivées des fonctions usuelles fondamentales

$(k)' = 0 \quad (k \in \mathbb{R} \text{ sur } \mathbb{R})$

$(x^n)' = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^* \text{ sur } \mathbb{R})$

$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \quad (\text{sur } \mathbb{R}^*)$

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (\text{sur } ]0 ; +\infty[)$

Exemple travaillé · 4

Déterminer le domaine de dérivabilité et calculer la fonction dérivée de $f : x \mapsto 2x^3 - 4x^2 + 5x - 3$ .

1

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

f'(x) = 2(3x^2) - 4(2x) + 5(1) - 0

3

f'(x) = 6x^2 - 8x + 5

Piège classique · 5

Sur quel ensemble la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est-elle dérivable ?

Attention

Affirmer que $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ car elle y est définie.

À la place : La fonction racine carrée est définie sur $[0 ; +\infty[$ , mais dérivable uniquement sur l'intervalle ouvert $]0 ; +\infty[$ . En 0, le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ , ce qui correspond à une demi-tangente verticale.

Vérification · 6

Soit $g(x) = x^4 - \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ . Quelle est l'expression de sa fonction dérivée $g'(x)$ ?

Remarque

On applique $(x^4)' = 4x^3$ et $-\left(\frac{1}{x}\right)' = -\left(-\frac{1}{x^2}\right) = +\frac{1}{x^2}$ .

Définition · 7

Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $\lambda$ un réel.

$(u + v)' = u' + v'$

$(\lambda u)' = \lambda u'$

$(u \times v)' = u'v + uv'$

\text{Si } v(x) \neq 0 \text{ pour tout } x \in I

$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \quad \text{et} \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Exemple travaillé · 8

Calculer la fonction dérivée de $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ .

1

$f$ est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = x + 3$ .

2

On calcule les dérivées : $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 1$ .

3

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{2(x + 3) - (2x - 1)(1)}{(x + 3)^2}

4

f'(x) = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}

Définition · 9

Dérivée de fonctions composées : puissance, racine et forme affine

u \text{ est dérivable sur } I \text{ et } n \in \mathbb{N}^*

$(u^n)' = n u' u^{n-1}$

u \text{ est dérivable et strictement positive sur } I

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

g(x) = f(ax + b) \text{ avec } a, b \in \mathbb{R}

$g'(x) = a f'(ax + b)$

Exemple travaillé · 10

Déterminer la fonction dérivée de $g(x) = (3x^2 - 1)^4$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$g$ est de la forme $u^4$ avec $u(x) = 3x^2 - 1$ et $n = 4$ .

2

La dérivée de la fonction interne est $u'(x) = 6x$ .

3

g'(x) = 4 \times u'(x) \times (u(x))^3 = 4 \times (6x) \times (3x^2 - 1)^3

4

g'(x) = 24x(3x^2 - 1)^3

Piège classique · 11

Quelle est la dérivée de $h(x) = \sqrt{2x + 3}$ sur $]-\frac{3}{2} ; +\infty[$ ?

Attention

Appliquer la formule usuelle $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sans dériver l'intérieur, ce qui donnerait $\frac{1}{2\sqrt{2x+3}}$ .

À la place : On applique $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x) = 2x + 3$ et $u'(x) = 2$ . On obtient $h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ .

Piège classique · 12

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{4 - 2x}$ est-elle dérivable en $x = 2$ ?

Attention

Affirmer que $f$ est dérivable en $2$ car $f(2) = \sqrt{0} = 0$ existe.

À la place : La fonction $\sqrt{u}$ n'est dérivable que là où $u(x) > 0$ strictement. En $x = 2$ , $u(2) = 0$ : le dénominateur de la dérivée s'annule et le taux d'accroissement tend vers l'infini. $f$ n'est pas dérivable en $2$ (demi-tangente verticale).

Vérification · 13

Soit $k(x) = (2x - 5)^3$ . Quelle est l'expression de sa fonction dérivée $k'(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

On pose $u(x) = 2x - 5$ , d'où $u'(x) = 2$ . En appliquant $(u^3)' = 3 u' u^2$ , on obtient $k'(x) = 3 \times 2 \times (2x - 5)^2 = 6(2x - 5)^2$ .

Définition · 14

Signe de la dérivée et sens de variation

f \text{ est une fonction dérivable sur un intervalle } I

$\forall x \in I, f'(x) \ge 0 \iff f \text{ est croissante sur } I$

$\forall x \in I, f'(x) \le 0 \iff f \text{ est décroissante sur } I$

$\forall x \in I, f'(x) = 0 \iff f \text{ est constante sur } I$

Définition · 15

Extremum local et dérivée

f \text{ est dérivable sur un intervalle ouvert } I \text{ et } x_0 \in I

$f'(x_0) = 0 \text{ et } f' \text{ change de signe en } x_0 \iff f \text{ admet un extremum local en } x_0$

Si $f'$ s'annule en passant du positif au négatif, $f(x_0)$ est un maximum local. Si $f'$ passe du négatif au positif, $f(x_0)$ est un minimum local.

Exemple travaillé · 16

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et déterminer ses extremums locaux.

1

$f$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée est :

2

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

3

Les racines de $f'(x)$ sont $-1$ et $1$ . Le coefficient dominant $3$ est strictement positif : $f'(x) > 0$ à l'extérieur des racines et $f'(x) < 0$ entre $-1$ et $1$ .

4

On évalue la fonction aux points critiques : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$ et $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$ .

x	$-\infty$	-1	1	$+\infty$
f'(x)		+	0	-	+
f(x)		↗	3	↘

5

$f$ admet un maximum local en $-1$ qui vaut $3$ , et un minimum local en $1$ qui vaut $-1$ .

Piège classique · 17

On donne le tableau de variations de la fonction dérivée $f'$ sur $[-3 ; 3]$ : $f'(x)$ décroît de $2$ à $-3$ sur $[-3 ; 0]$ , puis croît de $-3$ à $0$ sur $[0 ; 3]$ . Que peut-on déduire pour le sens de variation de $f$ sur $[-3 ; 0]$ ?

Attention

Penser que parce que la dérivée $f'$ décroît sur $[-3 ; 0]$ , la fonction $f$ est elle-même décroissante.

À la place : C'est le signe de $f'(x)$ qui détermine les variations de $f$ , et non pas le sens de variation de $f'$ . Comme $f'(x)$ décroît de $2$ à $-3$ , elle est d'abord strictement positive puis strictement négative : $f$ est donc croissante puis décroissante.

Vérification · 18

Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est donnée par $g'(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ . La fonction $g$ admet-elle un extremum local en $x = 2$ ?

Remarque

En $x = 2$ , on a bien $g'(2) = 0$ . Cependant, pour tout $x > -1$ , le facteur $(x-2)^2 \ge 0$ ne change pas de signe : $g'(x)$ reste positive avant et après $2$ . L'annulation sans changement de signe n'induit aucun extremum local.

Définition · 19

Équation de la tangente en un point

f \text{ est une fonction dérivable en un réel } x_0

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ . Si $f'(x_0) = 0$ , la tangente est horizontale d'équation $y = f(x_0)$ .

Exemple travaillé · 20

Soit $f(x) = x^2 - 3x + 1$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ qui est parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 2$ .

1

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme. Sa dérivée est $f'(x) = 2x - 3$ .

2

Une tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 2$ si et seulement si son coefficient directeur vaut $5$ .

3

f'(x) = 5 \iff 2x - 3 = 5 \iff 2x = 8 \iff x = 4

4

On évalue la fonction au point de contact : $f(4) = 4^2 - 3(4) + 1 = 5$ .

5

y = f'(4)(x - 4) + f(4) = 5(x - 4) + 5 = 5x - 15

Définition · 21

Dérivées successives

f' \text{ est elle-même dérivable sur un intervalle } I

$f'' = (f')'$

La dérivée de la fonction $f'$ est appelée la fonction dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ . Les dérivées suivantes sont notées $f''', \dots, f^{(n)}$ .

Remarque

Toute fonction polynôme est dérivable indéfiniment sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 22

Soit $(\mathscr{C})$ la courbe d'une fonction $f$ et $A(2 ; 1)$ un point du plan n'appartenant pas à $(\mathscr{C})$ . Pour déterminer les tangentes à $(\mathscr{C})$ passant par $A$ , que doit-on faire ?

Attention

Calculer $f'(2)$ et écrire directement $y = f'(2)(x - 2) + 1$ , en traitant à tort le point $A$ comme le point de contact de la courbe.

À la place : Puisque $A$ n'est pas sur la courbe, son abscisse $2$ n'est pas le point de contact. On écrit l'équation de la tangente en une abscisse inconnue $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , puis on résout l'équation $1 = f'(a)(2 - a) + f(a)$ d'inconnue $a$ .

Vérification · 23

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . En combien de points la courbe de $f$ admet-elle une tangente horizontale ?

Remarque

Une tangente est horizontale si et seulement si $f'(x) = 0$ . Ici $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ , ce qui donne exactement deux solutions distinctes : $x = 0$ et $x = 2$ .

Fonction dérivée — cours

Le cours

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