Rappel · 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels distincts de $I$ . Quelle est l'expression du taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ ?

Remarque

Le taux d'accroissement $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ mesure le taux de variation moyen de la fonction entre $a$ et $b$ . Géométriquement, il s'agit du coefficient directeur de la sécante reliant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ .

Point de départ · 2

De la variation moyenne à la variation instantanée

Si un mobile parcourt une distance $q(t)$ en fonction du temps, son taux moyen entre $t_0$ et $t_0+h$ est $\frac{q(t_0+h)-q(t_0)}{h}$ . Que représente la limite de ce taux lorsque la durée $h$ devient infiniment petite ( $h \to 0$ ) ?

Lorsque la durée $h$ tend vers $0$ , le taux moyen se resserre en un instant unique : il devient la vitesse instantanée à l'instant $t_0$ . En mathématiques, cette limite finie s'appelle le nombre dérivé.

Définition · 3

Définition du nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un réel de $I$ .

$f \text{ est dérivable en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = l \quad (l \in \mathbb{R})$

Le réel $l$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$ .

$\text{En posant } x - x_0 = h : \quad f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Exemple travaillé · 4

Soit $f(x) = 2x^2 - x + 3$ . En utilisant la définition du taux d'accroissement, montrer que $f$ est dérivable en $1$ et déterminer $f'(1)$ .

1

On calcule d'abord l'image du point : $f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$ .

2

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(2x^2-x+3)-4}{x-1} = \frac{2x^2-x-1}{x-1}

3

Pour lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ , on factorise le numérateur. Comme $1$ est racine évidente, $2x^2-x-1 = (x-1)(2x+1)$ .

4

\text{Pour } x \neq 1, \quad \frac{(x-1)(2x+1)}{x-1} = 2x+1

5

On calcule la limite quand $x$ tend vers $1$ : $\lim_{x \to 1} (2x+1) = 3$ . La limite étant finie, $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 3$ .

Exemple travaillé · 5

Soit $f(x) = \sqrt{x+3}$ . En utilisant la définition, montrer que $f$ est dérivable en $1$ et calculer $f'(1)$ .

1

On évalue la fonction au point $x_0 = 1$ : $f(1) = \sqrt{1+3} = 2$ .

2

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}

3

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{x+3}+2)$ :

4

\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}

5

Pour $x \neq 1$ , on simplifie par $(x-1)$ puis on passe à la limite : $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$ . Ainsi, $f'(1) = \frac{1}{4}$ .

Piège classique · 6

Pour calculer $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , un élève remplace directement $x$ par $a$ au numérateur et au dénominateur sans transformer l'expression. Qu'obtient-il ?

Attention

Remplacer $x$ par $a$ donne directement $\frac{f(a)-f(a)}{a-a} = \frac{0}{0}$ , et l'élève conclut à tort que le calcul est impossible ou que la fonction n'est pas dérivable.

À la place : Le taux d'accroissement donne toujours la forme indéterminée « 0/0 » en $x=a$ . Il faut obligatoirement simplifier l'expression algébrique (par factorisation ou quantité conjuguée) avant d'évaluer la limite.

Vérification · 7

On considère la fonction $g(x) = x^2$ . En calculant $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ , détermine la valeur du nombre dérivé $g'(3)$ .

Remarque

On développe : $\frac{(3+h)^2-9}{h} = \frac{9+6h+h^2-9}{h} = \frac{h(6+h)}{h} = 6+h$ . En faisant tendre $h$ vers $0$ , on obtient $g'(3) = 6$ .

Point de départ · 8

De la sécante à la tangente

Soit $A(a, f(a))$ un point fixé sur la courbe de $f$ , et $M(x, f(x))$ un point mobile. Lorsque $M$ se rapproche infiniment de $A$ le long de la courbe ( $x \to a$ ), que devient la droite sécante $(AM)$ ?

La droite sécante $(AM)$ pivote autour de $A$ et tend vers une position limite : la droite tangente à la courbe au point $A$ . Son coefficient directeur est précisément la limite du taux d'accroissement, c'est-à-dire le nombre dérivé $f'(a)$ .

Définition · 9

Équation cartésienne de la tangente

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $a$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Cette droite passe par le point de contact $A(a, f(a))$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\f'(a)\end{pmatrix}$ .

Remarque

Si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) et son équation réduite s'écrit simplement $y = f(a)$ .

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 4x - 7$ . Sachant que $f'(x) = 2x + 4$ , déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ .

1

On calcule d'abord l'ordonnée du point de contact : $f(1) = 1^2 + 4(1) - 7 = -2$ .

2

On calcule le nombre dérivé au point considéré : $f'(1) = 2(1) + 4 = 6$ .

3

y = f'(1)(x - 1) + f(1)

4

On remplace et on développe : $y = 6(x - 1) - 2 \iff y = 6x - 8$ .

Exemple travaillé · 11

Soit la fonction $g(x) = -x^4 + 4x - 5$ . Sachant que $g(1) = -2$ et $g'(1) = 0$ , donner l'équation de la tangente $T_0$ à la courbe au point d'abscisse $1$ .

1

On applique la formule générale de la tangente au point d'abscisse $1$ :

2

y = g'(1)(x - 1) + g(1)

3

Puisque $g'(1) = 0$ , le terme en $(x-1)$ s'annule : $y = 0 \times (x - 1) + (-2)$ .

4

L'équation réduite est donc $y = -2$ . La tangente est une droite horizontale.

Piège classique · 12

Pour déterminer la tangente à une courbe au point d'abscisse $a = -2$ , un élève écrit : $y = f'(-2)(x - 2) + f(-2)$ . Quelle est l'erreur commise ?

Attention

Écrire $(x - 2)$ en recopiant directement le chiffre 2 sans respecter la soustraction de la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

À la place : Comme $a = -2$ , l'expression devient $(x - (-2)) = (x + 2)$ . L'équation correcte est $y = f'(-2)(x + 2) + f(-2)$ .

Vérification · 13

La courbe d'une fonction $f$ passe par le point $A(3, 5)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $-2$ . Quelle est l'équation réduite de cette tangente ?

Remarque

On identifie $a = 3$ , $f(3) = 5$ et $f'(3) = -2$ . L'équation s'écrit $y = -2(x - 3) + 5 = -2x + 6 + 5 = -2x + 11$ .

Point de départ · 14

Changement de pente à l'approche d'une cassure

Pour la fonction $f(x) = |x|$ , si on s'approche de $0$ par la droite ( $x > 0$ ), le taux $\frac{|x|-0}{x-0} = \frac{x}{x} = 1$ . Mais si on s'approche de $0$ par la gauche ( $x < 0$ ), que vaut le taux $\frac{|x|-0}{x-0}$ ?

Pour $x < 0$ , $|x| = -x$ , donc le taux d'accroissement vaut $\frac{-x}{x} = -1$ . Les deux directions mènent à deux pentes différentes : la courbe ne possède pas une tangente unique, mais deux demi-tangentes formant un angle.

Définition · 15

Dérivabilité latérale et point anguleux

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$

Ces limites réelles sont appelées les nombres dérivés à droite et à gauche de $f$ en $a$ .

f \text{ est dérivable en } a \iff f'_d(a) = f'_g(a)

Remarque

Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ . La courbe admet deux demi-tangentes sécantes et présente un point anguleux au point $A(a, f(a))$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $f(x) = x|x-2|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$ et donner les équations des demi-tangentes au point d'abscisse $2$ .

1

On explicite $f(x)$ sans valeur absolue selon le signe de $(x-2)$ :

2

\text{Si } x \ge 2, \quad f(x) = x(x-2) \quad \text{et si } x \le 2, \quad f(x) = -x(x-2)

3

On a $f(2) = 0$ . On calcule la limite à droite du taux d'accroissement :

4

\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} x = 2 \implies f'_d(2) = 2

5

On calcule la limite à gauche du taux d'accroissement :

6

\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} (-x) = -2 \implies f'_g(2) = -2

7

Comme $f'_d(2) \neq f'_g(2)$ ( $2 \neq -2$ ), $f$ n'est pas dérivable en $2$ : la courbe présente un point anguleux en $(2, 0)$ .

8

Demi-tangente à droite : $y = 2(x-2) = 2x-4$ pour $x \ge 2$ . Demi-tangente à gauche : $y = -2(x-2) = -2x+4$ pour $x \le 2$ .

Exemple travaillé · 17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$ si $x \ge -1$ et $f(x) = -2x$ si $x < -1$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1$ .

1

On évalue l'image au point de raccordement avec l'expression valable en $-1$ : $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$ .

2

À droite ( $x > -1$ ) : on utilise $f(x) = x^2 + 1$ .

3

\lim_{x \to -1^+} \frac{(x^2+1)-2}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2-1}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} (x-1) = -2 \implies f'_d(-1) = -2

4

À gauche ( $x < -1$ ) : on utilise $f(x) = -2x$ .

5

\lim_{x \to -1^-} \frac{-2x-2}{x+1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-2(x+1)}{x+1} = -2 \implies f'_g(-1) = -2

6

Les deux nombres dérivés latéraux existent et sont égaux ( $f'_d(-1) = f'_g(-1) = -2$ ). La fonction $f$ est donc dérivable en $-1$ et son nombre dérivé vaut $f'(-1) = -2$ .

Piège classique · 18

Une fonction $f$ admet au point $a$ les dérivées latérales $f'_d(a) = 4$ et $f'_g(a) = -4$ . Peut-on affirmer que $f$ est dérivable en $a$ ?

Attention

Répondre oui en supposant que l'existence de nombres dérivés finis à droite et à gauche suffit pour garantir la dérivabilité globale.

À la place : Non. Pour que $f$ soit dérivable en $a$ , il est indispensable que $f'_d(a) = f'_g(a)$ . Comme $4 \neq -4$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ et présente un point anguleux.

Vérification · 19

La courbe d'une fonction $f$ passe par le point $A(0, 1)$ et admet les dérivées latérales $f'_d(0) = 3$ et $f'_g(0) = -1$ . Quelle est l'équation de la demi-tangente à droite $T_d$ ?

Remarque

Pour la demi-tangente à droite $T_d$ , on utilise la pente à droite $f'_d(0) = 3$ restreinte aux abscisses $x \ge 0$ : $y = f'_d(0)(x - 0) + f(0) = 3x + 1$ pour $x \ge 0$ .

Point de départ · 20

Pente infinie au bord du domaine

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ pour $x \ge 0$ . Que devient le taux d'accroissement $\frac{\sqrt{x}-0}{x-0} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ par des valeurs strictement positives ( $x \to 0^+$ ) ?

Lorsque $x \to 0^+$ , le dénominateur $\sqrt{x}$ tend vers $0^+$ , donc $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers $+\infty$ . La pente des sécantes grandit sans limite : géométriquement, la sécante se redresse jusqu'à devenir verticale.

Définition · 21

Taux d'accroissement infini et demi-tangente verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ .

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \quad (\text{ou } -\infty)$

Comme la limite n'est pas un nombre réel fini, $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$ .

$\text{La courbe } \mathcal{C}_f \text{ admet en } A(a, f(a)) \text{ une demi-tangente verticale d'équation } x = a$

Remarque

La demi-tangente est dirigée vers le haut si la limite est $+\infty$ , et vers le bas si la limite est $-\infty$ (pour une approche à droite $x \to a^+$ ).

Exemple travaillé · 22

Soit $f$ la fonction définie sur $[3; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x-6}$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $3$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue la fonction au point $a = 3$ : $f(3) = \sqrt{2(3)-6} = 0$ .

2

\frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \frac{\sqrt{2x-6}}{x-3} = \frac{\sqrt{2(x-3)}}{x-3}

3

Pour $x > 3$ , $x-3 > 0$ , donc $x-3 = (\sqrt{x-3})^2$ :

4

\frac{\sqrt{2}\sqrt{x-3}}{(\sqrt{x-3})^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x-3}}

5

Quand $x \to 3^+$ , $\sqrt{x-3} \to 0^+$ , donc $\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x-3}} = +\infty$ .

6

Conclusion : $f$ n'est pas dérivable à droite en $3$ . La courbe admet au point $(3, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 23

Soit $g(x) = \sqrt{1-2x}$ , définie sur $\left]-\infty; \frac{1}{2}\right]$ . Étudier la dérivabilité de $g$ à gauche en $\frac{1}{2}$ et préciser la nature de la tangente.

1

On calcule $g\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1-2\left(\frac{1}{2}\right)} = 0$ .

2

\frac{g(x)-g\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1-2x}}{-\frac{1}{2}(1-2x)}

3

Pour $x < \frac{1}{2}$ , $1-2x > 0$ , donc $1-2x = (\sqrt{1-2x})^2$ :

4

\frac{\sqrt{1-2x}}{-\frac{1}{2}(\sqrt{1-2x})^2} = \frac{-2}{\sqrt{1-2x}}

5

Quand $x \to \left(\frac{1}{2}\right)^-$ , $\sqrt{1-2x} \to 0^+$ , donc $\lim_{x \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{-2}{\sqrt{1-2x}} = -\infty$ .

6

Conclusion : $g$ n'est pas dérivable à gauche en $\frac{1}{2}$ . La courbe admet une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

Piège classique · 24

Pour étudier la dérivabilité de $f(x) = \sqrt{x-2}$ en $x = 2$ , un élève applique directement la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ et écrit $f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2-2}} = \frac{1}{0}$ . Quel est le problème de ce raisonnement ?

Attention

Appliquer la formule algébrique de dérivation de $\sqrt{u}$ en un point où $u(x) = 0$ , ce qui produit une division par zéro interdite.

À la place : La formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ n'est valable que si $u(x) > 0$ . Si $u(a) = 0$ , il faut obligatoirement revenir à la définition en calculant la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

Vérification · 25

Soit $h$ une fonction définie et continue sur $[1; 5]$ telle que $\lim_{x \to 1^+} \frac{h(x)-h(1)}{x-1} = +\infty$ . Quelle est la nature de l'élément géométrique associé au point d'abscisse $1$ ?

Remarque

La fonction $h$ est continue en $1$ ( $h(1)$ est un nombre réel fini). La limite infinie du taux d'accroissement indique une demi-tangente verticale au point $(1, h(1))$ , et non une asymptote verticale (qui correspondrait à $\lim_{x \to 1} h(x) = \pm\infty$ ).

Point de départ · 26

Remplacer une courbe par sa tangente

Au voisinage immédiat du point de contact $A(a, f(a))$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa droite tangente sont pratiquement confondues. Comment peut-on estimer simplement $f(a+h)$ lorsque l'accroissement $h$ est très proche de $0$ ?

Puisque la tangente a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ , en évaluant cette droite en $x = a+h$ , l'ordonnée vaut $f(a) + f'(a)h$ . Cette valeur linéaire fournit une excellente estimation locale de $f(a+h)$ .

Définition · 27

Approximation affine locale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et dérivable en un point $a \in I$ .

$f(a+h) \simeq f(a) + f'(a)h \quad \text{pour } h \text{ voisin de } 0$

Le réel $f(a) + f'(a)h$ est appelé l'approximation affine de $f(a+h)$ au voisinage de $0$ .

Remarque

L'erreur commise entre la valeur exacte $f(a+h)$ et la valeur approchée $f(a)+f'(a)h$ devient négligeable devant $h$ lorsque $h$ tend vers $0$ .

Exemple travaillé · 28

1. Déterminer l'approximation affine de $\sqrt{1+h}$ pour $h$ voisin de $0$ .
2. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{1{,}001}$ .

1

On considère la fonction usuelle $f(x) = \sqrt{x}$ , dérivable en $a = 1$ avec $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

2

On calcule l'image et le nombre dérivé en $1$ : $f(1) = \sqrt{1} = 1$ et $f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$ .

3

\sqrt{1+h} \simeq f(1) + f'(1)h = 1 + \frac{1}{2}h

4

Pour estimer $\sqrt{1{,}001}$ , on pose $1+h = 1{,}001$ , ce qui donne $h = 0{,}001$ .

5

\sqrt{1{,}001} \simeq 1 + 0{,}5(0{,}001) = 1 + 0{,}0005 = 1{,}0005

Exemple travaillé · 29

Soit $f(x) = \sqrt{2x+5}$ . Sachant que $f(10) = 5$ et $f'(10) = 0{,}2$ , estimer la valeur approchée de $\sqrt{25{,}0002}$ .

1

L'approximation affine locale de $f$ au voisinage de $a = 10$ s'écrit :

2

f(10+h) \simeq f(10) + f'(10)h = 5 + 0{,}2h

3

On détermine la variation $h$ telle que $f(10+h) = \sqrt{25{,}0002}$ :

4

\sqrt{2(10+h)+5} = \sqrt{25+2h} = \sqrt{25{,}0002} \implies 2h = 0{,}0002 \implies h = 0{,}0001

5

On injecte $h = 0{,}0001$ dans l'approximation affine :

6

f(10{,}0001) \simeq 5 + 0{,}2(0{,}0001) = 5 + 0{,}00002 = 5{,}00002

Piège classique · 30

Soit la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ . Au voisinage de $a = 1$ , quelle est la formule d'approximation affine de $\frac{1}{1+h}$ ?

Attention

Écrire $\frac{1}{1+h} \simeq 1+h$ en oubliant le signe négatif présent dans la dérivée de la fonction inverse.

À la place : La dérivée de $\frac{1}{x}$ en $1$ vaut $f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$ . L'approximation affine est donc $f(1+h) \simeq 1 + (-1)h = 1 - h$ .

Vérification · 31

En utilisant l'approximation affine usuelle $(1+h)^4 \simeq 1 + 4h$ pour $h$ voisin de $0$ , quelle est l'estimation de $(1{,}0002)^4$ ?

Remarque

Pour $(1{,}0002)^4$ , on pose $1+h = 1{,}0002$ , d'où $h = 0{,}0002$ . L'approximation affine donne $1 + 4(0{,}0002) = 1 + 0{,}0008 = 1{,}0008$ .

Point de départ · 32

Calculer un nombre dérivé sans recalculer la limite

Pour déterminer $f'(a)$ , doit-on systématiquement calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pour chaque fonction ?

Non. Les règles opératoires de dérivation permettent de calculer directement la fonction dérivée $f'(x)$ par des formules algébriques (somme, produit, quotient, racine), puis d'évaluer simplement en $x = a$ .

Définition · 33

Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables en un réel $a$ , et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ .

$(\alpha u + \beta v)'(a) = \alpha u'(a) + \beta v'(a)$

$(u \cdot v)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$

$\left(\frac{u}{v}\right)'(a) = \frac{u'(a)v(a) - u(a)v'(a)}{[v(a)]^2} \quad (v(a) \neq 0)$

$(\sqrt{u})'(a) = \frac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}} \quad (u(a) > 0)$

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{3x+5}{-2x+3}$ , définie pour $x \neq \frac{3}{2}$ . Calculer le nombre dérivé $f'\left(\frac{1}{3}\right)$ .

1

La fonction est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = 3x+5$ et $v(x) = -2x+3$ .

2

On calcule les dérivées élémentaires : $u'(x) = 3$ et $v'(x) = -2$ .

3

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{3(-2x+3) - (3x+5)(-2)}{(-2x+3)^2}

4

f'(x) = \frac{-6x + 9 + 6x + 10}{(-2x+3)^2} = \frac{19}{(-2x+3)^2}

5

On évalue la dérivée en $x = \frac{1}{3}$ :

6

f'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{19}{\left(-2\left(\frac{1}{3}\right)+3\right)^2} = \frac{19}{\left(\frac{7}{3}\right)^2} = \frac{19}{\frac{49}{9}} = \frac{171}{49}

Exemple travaillé · 35

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{x^4+3x^2+2}$ . Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(1)$ .

1

On pose $u(x) = x^4+3x^2+2$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $u(x) > 0$ et $u$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

Par théorème de dérivation des fonctions composées avec la racine carrée, $f = \sqrt{u}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

3

u'(x) = 4x^3 + 6x \implies f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{4x^3+6x}{2\sqrt{x^4+3x^2+2}} = \frac{2x^3+3x}{\sqrt{x^4+3x^2+2}}

4

f'(1) = \frac{2(1)^3+3(1)}{\sqrt{1^4+3(1)^2+2}} = \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}

Piège classique · 36

Pour dériver le produit $f(x) = x \cdot \sqrt{4x}$ en $x = 1$ , un élève écrit : $f'(x) = (x)' \times (\sqrt{4x})' = 1 \times \frac{2}{\sqrt{4x}}$ . Quelle est l'erreur ?

Attention

Dériver un produit sous la forme $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ , en oubliant la règle de Leibniz $(uv)' = u'v + uv'$ .

À la place : La dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$ . Ici : $f'(x) = 1 \cdot \sqrt{4x} + x \cdot \frac{2}{\sqrt{4x}} = \sqrt{4x} + \frac{2x}{\sqrt{4x}}$ , ce qui donne en $x = 1$ : $f'(1) = 2 + 1 = 3$ .

Vérification · 37

Soit la fonction $h(x) = (2x+3)^3$ . Quelle est la valeur du nombre dérivé $h'\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

Remarque

On utilise la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ . Ici $u(x) = 2x+3$ et $u'(x) = 2$ , donc $h'(x) = 3(2)(2x+3)^2 = 6(2x+3)^2$ . En $x = \frac{1}{2}$ , $2\left(\frac{1}{2}\right)+3 = 4$ , d'où $h'\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ .

Point de départ · 38

Orienter une tangente dans le plan

On cherche un point d'une courbe $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 3x - 1$ . Quelle équation doit-on résoudre pour trouver l'abscisse $a$ de ce point ?

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Comme le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$ et celui de la droite donnée est $3$ , il faut résoudre l'équation $f'(a) = 3$ .

Définition · 39

Tangentes parallèles et perpendiculaires

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$ , $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $\Delta$ une droite de coefficient directeur $m$ .

$\mathcal{C}_f \text{ admet en } a \text{ une tangente parallèle à } \Delta \iff f'(a) = m$

$\mathcal{C}_f \text{ admet en } a \text{ une tangente perpendiculaire à } \Delta \iff f'(a) \times m = -1 \quad (m \neq 0)$

Remarque

La condition d'orthogonalité $f'(a) \times m = -1$ nécessite que le plan soit muni d'un repère orthonormé.

Exemple travaillé · 40

Soit $f(x) = x^3$ . Déterminer les coordonnées des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite sécante $(AB)$ , avec $A(-1, -1)$ et $B(2, 8)$ .

1

On calcule le coefficient directeur $m$ de la droite sécante $(AB)$ :

2

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3

3

La fonction polynomiale $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 3x^2$ .

4

La tangente en $a$ est parallèle à $(AB)$ si et seulement si $f'(a) = 3$ :

5

3a^2 = 3 \iff a^2 = 1 \iff a = 1 \quad \text{ou} \quad a = -1

6

On calcule les ordonnées sur $\mathcal{C}_f$ : $f(1) = 1^3 = 1$ et $f(-1) = (-1)^3 = -1$ . Les points cherchés sont $M_1(1, 1)$ et $A(-1, -1)$ .

Exemple travaillé · 41

Soit la fonction $f(x) = 2x^2 + x + 1$ . Déterminer le point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente $\Delta$ est perpendiculaire à la droite $D$ d'équation $x - 7y + 7 = 0$ .

1

On isole $y$ pour écrire l'équation de $D$ sous forme réduite et identifier son coefficient directeur :

2

x - 7y + 7 = 0 \iff 7y = x + 7 \iff y = \frac{1}{7}x + 1

3

Le coefficient directeur de $D$ est $m = \frac{1}{7}$ . La dérivée de $f$ est $f'(x) = 4x + 1$ .

4

La tangente en $a$ est perpendiculaire à $D$ si et seulement si $f'(a) \times m = -1$ :

5

f'(a) \times \frac{1}{7} = -1 \iff f'(a) = -7 \iff 4a + 1 = -7 \iff 4a = -8 \iff a = -2

6

On évalue l'ordonnée : $f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) + 1 = 8 - 2 + 1 = 7$ . Le point cherché est $M_0(-2, 7)$ .

Piège classique · 42

On cherche la tangente à la courbe d'une fonction $f$ qui est perpendiculaire à la droite d'équation $y = 2x + 1$ . Quelle équation sur le nombre dérivé $f'(a)$ doit-on poser ?

Attention

Poser $f'(a) = -2$ en confondant la condition d'orthogonalité avec le simple opposé de la pente.

À la place : L'orthogonalité exige que le produit des pentes soit égal à $-1$ : $f'(a) \times 2 = -1 \implies f'(a) = -\frac{1}{2}$ (l'opposé de l'inverse de la pente, et non son simple opposé).

Vérification · 43

Soit la fonction $g(x) = x^2 - 3x + 2$ , dont la dérivée est $g'(x) = 2x - 3$ . À quelle abscisse $a$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 4$ ?

Remarque

La droite a pour pente $m = 5$ . La condition de parallélisme donne $g'(a) = 5 \iff 2a - 3 = 5 \iff 2a = 8 \iff a = 4$ .

Point de départ · 44

Calculer une limite impossible à développer

Comment calculer $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^{2006} - 1}{x}$ sans développer la puissance 2006 ?

Développer $(x+1)^{2006}$ est impraticable. Mais en posant $g(x) = (x+1)^{2006}$ , l'expression s'écrit $\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ : c'est exactement le taux d'accroissement de $g$ en $0$ , dont la limite est simplement le nombre dérivé $g'(0)$ .

Définition · 45

Calcul de limites indéterminées par le nombre dérivé

Soit $g$ une fonction dérivable en un réel $a$ .

$\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g'(a)$

Plus généralement, si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en $a$ avec $f(a) = g(a) = 0$ et $g'(a) \neq 0$ :

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Remarque

Cette propriété découle directement de l'égalité $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}$ par passage à la limite quand $x \to a$ .

Exemple travaillé · 46

Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^4+3x^2+2} - \sqrt{6}}{x - 1}$ en utilisant un nombre dérivé.

1

On pose la fonction auxiliaire $f(x) = \sqrt{x^4+3x^2+2}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $x^4+3x^2+2 > 0$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On évalue la fonction au point $a = 1$ : $f(1) = \sqrt{1^4+3(1)^2+2} = \sqrt{6}$ .

3

La limite s'identifie au taux d'accroissement de $f$ en $1$ :

4

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^4+3x^2+2} - \sqrt{6}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1)

5

f'(x) = \frac{4x^3+6x}{2\sqrt{x^4+3x^2+2}} = \frac{2x^3+3x}{\sqrt{x^4+3x^2+2}} \implies f'(1) = \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}

6

La limite cherchée vaut donc $\frac{5\sqrt{6}}{6}$ sans avoir eu recours à la quantité conjuguée.

Exemple travaillé · 47

Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6}$ en utilisant les nombres dérivés.

1

En $x = 3$ , le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux (forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ).

2

On pose $u(x) = \sqrt{x+1}$ (avec $u(3) = 2$ ) et $v(x) = 2x-6$ (avec $v(3) = 0$ ).

3

\frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6} = \frac{u(x)-u(3)}{v(x)-v(3)} = \frac{\frac{u(x)-u(3)}{x-3}}{\frac{v(x)-v(3)}{x-3}}

4

On calcule séparément les dérivées en $3$ : $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \implies u'(3) = \frac{1}{4}$ , et $v'(x) = 2 \implies v'(3) = 2$ .

5

\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6} = \frac{u'(3)}{v'(3)} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}

Piège classique · 48

Pour évaluer $\lim_{x \to a} \frac{u(x)}{v(x)}$ (forme $\frac{0}{0}$ ), un élève dérive l'ensemble de la fraction avec la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Quelle est l'erreur ?

Attention

Dériver la fraction globale $\left(\frac{u}{v}\right)'$ au lieu de calculer le rapport des dérivées $\frac{u'(a)}{v'(a)}$ .

À la place : La limite d'un quotient indéterminé $\frac{0}{0}$ est donnée par le quotient des nombres dérivés $\frac{u'(a)}{v'(a)}$ , et NON par la dérivée du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'(a)$ .

Vérification · 49

En utilisant le nombre dérivé de la fonction $g(x) = \frac{1}{x+5}$ en $a = -4$ , quelle est la valeur de $\lim_{x \to -4} \frac{\frac{1}{x+5} - 1}{x + 4}$ ?

Remarque

On pose $g(x) = \frac{1}{x+5}$ . On a $g(-4) = 1$ . La limite s'écrit $\lim_{x \to -4} \frac{g(x)-g(-4)}{x-(-4)} = g'(-4)$ . Comme $g'(x) = \frac{-1}{(x+5)^2}$ , on a $g'(-4) = \frac{-1}{(-4+5)^2} = -1$ .

Nombre dérivé — cours

Le cours

De la variation moyenne à la variation instantanée

Définition du nombre dérivé en un point

De la sécante à la tangente

Équation cartésienne de la tangente

Changement de pente à l'approche d'une cassure

Dérivabilité latérale et point anguleux

Pente infinie au bord du domaine

Taux d'accroissement infini et demi-tangente verticale

Remplacer une courbe par sa tangente

Approximation affine locale

Calculer un nombre dérivé sans recalculer la limite

Opérations sur les fonctions dérivables

Orienter une tangente dans le plan

Tangentes parallèles et perpendiculaires

Calculer une limite impossible à développer

Calcul de limites indéterminées par le nombre dérivé

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