Rappel · 1

Complète les caractéristiques fondamentales du cercle trigonométrique :

Remarque

Un cercle trigonométrique a pour rayon $1$ et est orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre, dit anti-horaire). Pour un angle au centre de mesure $\alpha$ radians, la longueur de l'arc intercepté vaut $l = 1 \times \alpha = \alpha$ .

Point de départ · 2

Soit $O, A$ et $B$ trois points non alignés du plan. L'angle géométrique $\widehat{AOB}$ mesure $60^\circ$ . Si on tourne de $\vec{OA}$ vers $\vec{OB}$ dans le sens direct, que vaut l'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OA})$ ?

Remarque

L'angle géométrique $\widehat{AOB}$ mesure une ouverture sans tenir compte du sens de parcours. L'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OA})$ s'effectue en sens inverse de $(\vec{OA}, \vec{OB})$ , ce qui lui donne une mesure négative : $-60^\circ$ (ou $-\frac{\pi}{3}$ rad).

Définition · 3

Angle orienté et mesure principale

$(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \alpha [2\pi]$

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Toute mesure de l'arc orienté correspondant sur le cercle trigonométrique est une mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ .

\alpha \in ]-\pi\,\;\,\pi]

Il existe une unique mesure de cet angle appartenant à l'intervalle semi-ouvert $]-\pi\,\;\,\pi]$ . On l'appelle la **mesure principale** de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Remarque

Toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme $\alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Exemple travaillé · 4

Détermine la mesure principale de l'angle orienté de mesure $\alpha = \frac{37\pi}{4}$ .

1

On cherche un multiple pair de $\pi$ (c'est-à-dire un multiple de $2\pi$ ) proche de la fraction. On effectue la division euclidienne de 37 par le double du dénominateur ( $2 \times 4 = 8$ ) :

37 = 8 \times 4 + 5

2

On réécrit la fraction en séparant les tours complets :

\frac{37\pi}{4} = \frac{32\pi + 5\pi}{4} = 8\pi + \frac{5\pi}{4} = 4 \times (2\pi) + \frac{5\pi}{4}

3

Puisque $\frac{5\pi}{4} > \pi$ , cette valeur n'appartient pas encore à $]-\pi\,\;\,\pi]$ . On retranche un tour complet ( $2\pi$ ) :

\frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}

4

Comme $-\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , la mesure principale de $\frac{37\pi}{4}$ est $-\frac{3\pi}{4}$ .

Exemple travaillé · 5

Détermine la mesure principale $\theta$ de l'angle de mesure $-\frac{32\pi}{11}$ à l'aide d'un encadrement.

1

Toute mesure de cet angle s'écrit $\theta = -\frac{32\pi}{11} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . On impose la condition d'appartenance à l'intervalle principal :

-\pi < -\frac{32\pi}{11} + 2k\pi \le \pi

2

On divise chaque membre par $\pi$ , puis on ajoute $\frac{32}{11}$ partout :

-1 + \frac{32}{11} < 2k \le 1 + \frac{32}{11} \iff \frac{21}{11} < 2k \le \frac{43}{11}

3

On divise par 2 pour encadrer l'entier relatif $k$ :

\frac{21}{22} < k \le \frac{43}{22}

4

Comme $\frac{21}{22} \approx 0{,}95$ et $\frac{43}{22} \approx 1{,}95$ , l'unique entier relatif convenable est $k = 1$ .

5

On remplace $k$ par 1 pour calculer la mesure principale :

\theta = -\frac{32\pi}{11} + 2(1)\pi = -\frac{32\pi}{11} + \frac{22\pi}{11} = -\frac{10\pi}{11}

Piège classique · 6

Quelle est la mesure principale d'un angle plat (deux vecteurs colinéaires de sens opposés) ?

Attention

Écrire que $-\pi$ est la mesure principale de l'angle plat.

À la place : L'intervalle de définition de la mesure principale est semi-ouvert : $]-\pi\,\;\,\pi]$ . La borne $-\pi$ est strictement exclue, donc la mesure principale de l'angle plat est uniquement $+\pi$ .

Vérification · 7

Détermine la mesure principale de l'angle orienté de mesure $\frac{130\pi}{3}$ .

Remarque

On décompose : $\frac{130\pi}{3} = \frac{126\pi + 4\pi}{3} = 42\pi + \frac{4\pi}{3} = 21 \times (2\pi) + \frac{4\pi}{3}$ . Comme $\frac{4\pi}{3} > \pi$ , on retranche $2\pi$ : $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$ , qui appartient bien à $]-\pi\,\;\,\pi]$ .

Point de départ · 8

Si l'on sait que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ , que vaut l'angle orienté $(\vec{v}, \vec{u})$ modulo $2\pi$ ?

Remarque

Changer l'ordre des deux vecteurs revient à parcourir l'arc dans le sens inverse. La mesure est donc opposée : $(\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

Définition · 9

Relation de Chasles et vecteurs opposés

Pour tous vecteurs non nuls $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan orienté :

$(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) [2\pi]$

L'inversion de l'ordre des vecteurs change le signe de l'angle :

$(\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Prendre l'opposé d'un seul vecteur ajoute un demi-tour ( $\\pi$ ) :

$(\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$

Prendre l'opposé des deux vecteurs simultanément conserve exactement l'angle :

$(-\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Définition · 10

Multiplication par des scalaires

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $a, b$ deux réels non nuls.

Si $a$ et $b$ sont de même signe ( $ab > 0$ ), l'angle orienté reste inchangé :

$(a\vec{u}, b\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Si $a$ et $b$ sont de signes contraires ( $ab < 0$ ), l'angle est augmenté de $\pi$ :

$(a\vec{u}, b\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$

Remarque

Seul le signe du produit $ab$ intervient. Les valeurs absolues de $a$ et $b$ ne modifient pas la mesure de l'angle.

Exemple travaillé · 11

On donne $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$ et $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv -\frac{2\pi}{5} [2\pi]$ . Détermine la mesure principale de l'angle $(\vec{v}, \vec{w})$ .

1

On décompose $(\vec{v}, \vec{w})$ par la relation de Chasles en insérant le vecteur pivot $\vec{u}$ :

(\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{v}, \vec{u}) + (\vec{u}, \vec{w}) [2\pi]

2

On applique l'inversion d'ordre $(\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$ puis on substitue les données :

(\vec{v}, \vec{w}) \equiv -\frac{3\pi}{4} + \left(-\frac{2\pi}{5}\right) [2\pi]

3

On met au dénominateur commun $20$ :

(\vec{v}, \vec{w}) \equiv \frac{-15\pi - 8\pi}{20} \equiv -\frac{23\pi}{20} [2\pi]

4

Puisque $-\frac{23\pi}{20} < -\pi$ , on ajoute $2\pi$ pour obtenir une mesure dans $]-\pi\,\;\,\pi]$ :

-\frac{23\pi}{20} + 2\pi = -\frac{23\pi}{20} + \frac{40\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}

5

Comme $\frac{17\pi}{20} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , la mesure principale de $(\vec{v}, \vec{w})$ est $\frac{17\pi}{20}$ .

Exemple travaillé · 12

Sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$ , détermine la mesure principale de l'angle $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ .

1

On étudie le produit des scalaires : $a = 2 > 0$ et $b = -3 < 0$ . Comme $ab = -6 < 0$ , on ajoute $\pi$ à l'angle initial :

(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]

2

On remplace par la mesure fournie :

(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} + \pi \equiv \frac{7\pi}{4} [2\pi]

3

Puisque $\frac{7\pi}{4} > \pi$ , on retranche $2\pi$ pour se ramener dans l'intervalle $]-\pi\,\;\,\pi]$ :

\frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi - 8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}

4

La mesure principale de $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ est donc $-\frac{\pi}{4}$ .

Piège classique · 13

Soient $A, B$ et $C$ trois points distincts tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$ . Que vaut l'angle $(\vec{BA}, \vec{AC})$ modulo $2\pi$ ?

Attention

Écrire $(\vec{BA}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$ en considérant que $\vec{BA}$ et $\vec{AB}$ ont le même support géométrique.

À la place : $\vec{BA} = -\vec{AB}$ : inverser le sens d'un vecteur ajoute $\pi$ , donc $(\vec{BA}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{6} + \pi \equiv \frac{7\pi}{6} [2\pi]$ .

Vérification · 14

On donne $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ et $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ . Détermine la mesure principale de $(\vec{w}, -2\vec{v})$ .

Remarque

Par la relation de Chasles : $(\vec{w}, -2\vec{v}) \equiv (\vec{w}, \vec{u}) + (\vec{u}, -2\vec{v}) [2\pi]$ . On a $(\vec{w}, \vec{u}) \equiv -\frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{u}, -2\vec{v}) \equiv \frac{\pi}{4} + \pi \equiv \frac{5\pi}{4} [2\pi]$ . D'où $(\vec{w}, -2\vec{v}) \equiv -\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{-8\pi + 15\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} [2\pi]$ . Comme $\frac{7\pi}{12} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , c'est la mesure principale.

Point de départ · 15

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs colinéaires et de sens opposés, que vaut l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ modulo $2\pi$ ?

Remarque

Deux vecteurs colinéaires de même sens forment un angle de $0 [2\pi]$ . S'ils sont de sens contraires, ils forment un angle plat, c'est-à-dire de mesure $\pi [2\pi]$ .

Définition · 16

Colinéarité, orthogonalité et somme des angles d'un triangle

Pour des vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires de même sens} \iff (\vec{u}, \vec{v}) \equiv 0 [2\pi]$

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires de sens opposés} \iff (\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi [2\pi]$

Pour des droites $(AB)$ et $(CD)$ du plan :

$(AB) \parallel (CD) \iff (\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv 0 [\pi]$

$(AB) \perp (CD) \iff (\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{2} [\pi]$

Dans tout triangle $ABC$ , la somme circulaire des angles orientés vaut :

$(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \pi [2\pi]$

Exemple travaillé · 17

Soient $A, B, C, D, E$ cinq points distincts tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ , $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{7\pi}{6} [2\pi]$ et $(\vec{AB}, \vec{AE}) \equiv \frac{5\pi}{6} [2\pi]$ . Démontre que les points $A, D$ et $E$ sont alignés.

1

On applique la relation de Chasles pour exprimer $(\vec{AD}, \vec{AE})$ à l'aide des vecteurs pivots $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ :

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv (\vec{AD}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AE}) [2\pi]

2

On utilise l'inversion $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv -(\vec{v}, \vec{u}) [2\pi]$ pour réordonner les termes :

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv -(\vec{AC}, \vec{AD}) - (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AB}, \vec{AE}) [2\pi]

3

On remplace par les valeurs données :

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv -\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} [2\pi]

4

On réduit au même dénominateur 6 :

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv \frac{-7\pi - 4\pi + 5\pi}{6} \equiv -\frac{6\pi}{6} \equiv -\pi \equiv \pi [2\pi]

5

L'angle $(\vec{AD}, \vec{AE})$ étant congru à $\pi [2\pi]$ , les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires et de sens opposés. Les points $A, D$ et $E$ sont donc alignés.

Exemple travaillé · 18

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{2\pi}{3} [2\pi]$ . Détermine la mesure principale de $(\vec{CA}, \vec{CB})$ .

1

Dans le triangle isocèle en $A$ , la symétrie orthogonale par rapport à la médiatrice de $[BC]$ donne :

(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{BC}, \vec{BA}) [2\pi]

2

La somme des angles orientés du triangle $ABC$ s'écrit :

(\vec{AB}, \vec{AC}) + 2(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]

3

On isole le double de l'angle cherché :

2(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi - \left(-\frac{2\pi}{3}\right) \equiv \pi + \frac{2\pi}{3} \equiv \frac{5\pi}{3} [2\pi]

4

On traduit la congruence modulo $2\pi$ en équation avec $k \in \mathbb{Z}$ :

2(\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \implies (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{5\pi}{6} + k\pi

5

Dans l'intervalle $]-\pi\,\;\,\pi]$ , les deux valeurs possibles sont $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$ . L'angle géométrique à la base d'un triangle étant obligatoirement aigu ( $< \frac{\pi}{2}$ ) et le triangle étant orienté négativement, on retient :

(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv -\frac{\pi}{6} [2\pi]

Piège classique · 19

Si $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \pi [2\pi]$ , que peut-on affirmer sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?

Attention

Penser que les droites ne sont pas parallèles car l'angle orienté n'est pas congru à $0 [2\pi]$ .

À la place : Deux vecteurs vérifiant $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \pi [2\pi]$ sont colinéaires de sens contraires. Leurs droites directrices sont donc strictement parallèles.

Vérification · 20

On donne $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{5\pi}{6} [2\pi]$ , $(\vec{AE}, \vec{AB}) \equiv -\frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Que vaut l'angle orienté $(\vec{AD}, \vec{AC})$ modulo $2\pi$ ?

Remarque

Par la relation de Chasles : $(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv (\vec{AD}, \vec{AE}) + (\vec{AE}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} + \left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{5\pi}{6} \equiv \frac{2\pi - 4\pi + 5\pi}{6} \equiv \frac{3\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Les droites $(AD)$ et $(AC)$ sont donc perpendiculaires.

Point de départ · 21

Si on observe une horloge dont les aiguilles tournent dans le sens horaire à travers un miroir plan (symétrie axiale), dans quel sens les aiguilles semblent-elles tourner dans le reflet ?

Remarque

Dans le miroir, le sens de rotation s'inverse : le sens horaire (indirect) devient anti-horaire (direct). Une réflexion axiale inverse donc l'orientation des angles.

Définition · 22

Effet des isométries et bases orthonormées

Les transformations du plan agissent sur les angles orientés selon leur nature :

$t_{\vec{w}}((\vec{u}, \vec{v})) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi] \quad \text{et} \quad S_I((\vec{u}, \vec{v})) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Toute translation et toute symétrie centrale conservent exactement les angles orientés.

$S_\Delta((\vec{u}, \vec{v})) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Toute symétrie axiale (réflexion) transforme un angle orienté en son opposé.

Une base $(\vec{i}, \vec{j})$ de vecteurs unitaires et orthogonaux est qualifiée de :

\text{directe si } (\vec{i}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi] \quad ; \quad \text{indirecte si } (\vec{i}, \vec{j}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

Définition · 23

Déterminant trigonométrique de deux vecteurs

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan orienté dans le sens direct.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \sin(\theta) \quad \text{où } (\vec{u}, \vec{v}) \equiv \theta [2\pi]$

Le signe du déterminant caractérise l'orientation du couple $(\vec{u}, \vec{v})$ :

\det(\vec{u}, \vec{v}) > 0 \iff (\vec{u}, \vec{v}) \text{ est direct} \quad ; \quad \det(\vec{u}, \vec{v}) < 0 \iff (\vec{u}, \vec{v}) \text{ est indirect}

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$

Exemple travaillé · 24

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $I$ et de côté $a$ . Calcule en fonction de $a$ les déterminants $\det(\vec{AB}, \vec{AD})$ et $\det(\vec{ID}, \vec{IA})$ .

1

Pour $\det(\vec{AB}, \vec{AD})$ : on a $|\vec{AB}| = a$ , $|\vec{AD}| = a$ et $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ par définition du carré direct.

2

\det(\vec{AB}, \vec{AD}) = a \times a \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a^2 \times 1 = a^2

3

Pour $\det(\vec{ID}, \vec{IA})$ : la demi-diagonale mesure $ID = IA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Les diagonales se coupent à angle droit, et pour aller de $\vec{ID}$ vers $\vec{IA}$ , on tourne dans le sens indirect :

4

(\vec{ID}, \vec{IA}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

5

\det(\vec{ID}, \vec{IA}) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \times \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \times \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2a^2}{4} \times (-1) = -\frac{a^2}{2}

Exemple travaillé · 25

Soit $AIHJ$ un rectangle. On note $\Delta$ la médiatrice du côté $[AI]$ . Démontre que $(\vec{IJ}, \vec{IA}) \equiv -(\vec{AH}, \vec{AI}) [2\pi]$ .

1

Dans le rectangle $AIHJ$ , les diagonales $[AH]$ et $[IJ]$ ont même longueur et se coupent en leur milieu. L'axe $\Delta$ médiatrice de $[AI]$ est donc aussi l'axe de symétrie du rectangle.

2

La réflexion $S_\Delta$ d'axe $\Delta$ transforme les points : $S_\Delta(I) = A$ , $S_\Delta(J) = H$ et $S_\Delta(A) = I$ .

3

L'image du vecteur $\vec{IJ}$ est le vecteur $\vec{AH}$ , et l'image du vecteur $\vec{IA}$ est le vecteur $\vec{AI}$ .

4

Toute symétrie axiale transforme les mesures des angles orientés en leurs opposées. On en déduit :

5

(\vec{IJ}, \vec{IA}) \equiv -(\vec{AH}, \vec{AI}) [2\pi]

Piège classique · 26

Soient $A, B$ et $C$ trois points non alignés tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ . Soit $S_\Delta$ une symétrie axiale, et $A', B', C'$ les images respectives de $A, B, C$ . Que vaut l'angle orienté $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'})$ ?

Attention

Penser que $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ parce que la symétrie axiale conserve les angles géométriques.

À la place : La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles géométriques mais inverse l'orientation du plan : $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv -(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$ .

Vérification · 27

On donne $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3\sqrt{2}$ . Détermine la valeur exacte de $\det(\vec{AB}, \vec{AC})$ .

Remarque

Par la formule du produit scalaire : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -3\sqrt{2}$ . Comme $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , on trouve $AB \times AC = 6$ . Le déterminant s'écrit alors $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = AB \times AC \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ .

Point de départ · 28

Sur un cercle orienté de centre $O$ , soit $[AB]$ une corde et $M$ un point du cercle distinct de $A$ et $B$ . Quelle relation vectorielle lie l'angle au centre $(\vec{OA}, \vec{OB})$ à l'angle inscrit $(\vec{MA}, \vec{MB})$ ?

Remarque

En géométrie orientée, la mesure de l'angle au centre vaut le double de celle de l'angle inscrit modulo $2\pi$ : $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{MA}, \vec{MB}) [2\pi]$ .

Définition · 29

Théorème de l'angle inscrit, angle au centre et cocyclicité

Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ . Pour tous points distincts $A, B, M$ de $\mathscr{C}$ :

$(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{MA}, \vec{MB}) [2\pi]$

Si $(AT)$ est la droite tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $A$ , la relation s'étend par continuité :

$(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{AT}, \vec{AB}) [2\pi]$

Pour quatre points distincts $A, B, M, N$ situés sur un même cercle $\mathscr{C}$ :

M \text{ et } N \text{ sur le même arc } \overset{\frown}{AB} \iff (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv (\vec{NA}, \vec{NB}) [2\pi]

M \text{ et } N \text{ de part et d'autre de } (AB) \iff (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv (\vec{NA}, \vec{NB}) + \pi [2\pi]

Exemple travaillé · 30

Dans le plan orienté, soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre et $\mathscr{C}$ son cercle circonscrit. Démontre que le symétrique $H'$ de $H$ par rapport à la droite $(AC)$ appartient au cercle circonscrit $\mathscr{C}$ .

1

On applique la relation de Chasles pour décomposer l'angle au sommet $(\vec{BA}, \vec{BC})$ en introduisant les hauteurs issues de $H$ :

(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv (\vec{BA}, \vec{HC}) + (\vec{HC}, \vec{HA}) + (\vec{HA}, \vec{BC}) [2\pi]

2

Puisque $(HC) \perp (AB)$ et $(HA) \perp (BC)$ , les deux angles extérieurs sont droits de même sens :

(\vec{BA}, \vec{HC}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi] \quad \text{et} \quad (\vec{HA}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

3

Par la symétrie axiale $S_{(AC)}$ , l'angle orienté s'inverse :

(\vec{HC}, \vec{HA}) \equiv -(\vec{H'C}, \vec{H'A}) \equiv (\vec{H'A}, \vec{H'C}) [2\pi]

4

On regroupe les termes dans la somme de Chasles :

(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{2} + (\vec{H'A}, \vec{H'C}) - \frac{\pi}{2} \equiv -\pi + (\vec{H'A}, \vec{H'C}) [2\pi]

5

Comme $-\pi \equiv \pi [2\pi]$ , on obtient la relation de cocyclicité sur arcs opposés :

(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv (\vec{H'A}, \vec{H'C}) + \pi [2\pi]

6

Cette égalité prouve que les points $A, B, C$ et $H'$ sont cocycliques. Donc $H'$ appartient au cercle circonscrit $\mathscr{C}$ .

Exemple travaillé · 31

Soient $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ deux cercles sécants en $A$ et $B$ . Une droite passant par $A$ coupe $\mathscr{C}$ en $M$ et $\mathscr{C}'$ en $M'$ ( $A \in [MM']$ ). Une droite passant par $B$ coupe $\mathscr{C}$ en $N$ et $\mathscr{C}'$ en $N'$ ( $B \in [NN']$ ). Démontre que $(MN) \parallel (M'N')$ .

1

On cherche à évaluer l'angle entre les vecteurs directeurs $(\vec{MN}, \vec{M'N'})$ en insérant le point $A$ par la relation de Chasles :

(\vec{MN}, \vec{M'N'}) \equiv (\vec{MN}, \vec{MA}) + (\vec{MA}, \vec{M'A}) + (\vec{M'A}, \vec{M'N'}) [2\pi]

2

Comme $A \in [MM']$ , les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{M'A}$ sont opposés :

(\vec{MA}, \vec{M'A}) \equiv \pi [2\pi]

3

Dans le cercle $\mathscr{C}$ , les points $M$ et $B$ sont sur des arcs opposés par rapport à la corde $[AN]$ :

(\vec{MN}, \vec{MA}) \equiv \pi + (\vec{BN}, \vec{BA}) [2\pi]

4

De même dans le cercle $\mathscr{C}'$ , $M'$ et $B$ sont sur des arcs opposés par rapport à $[AN']$ :

(\vec{M'A}, \vec{M'N'}) \equiv \pi + (\vec{BA}, \vec{BN'}) [2\pi]

5

On injecte ces résultats et on applique Chasles sur les termes en $B$ :

(\vec{MN}, \vec{M'N'}) \equiv 3\pi + (\vec{BN}, \vec{BA}) + (\vec{BA}, \vec{BN'}) \equiv 3\pi + (\vec{BN}, \vec{BN'}) [2\pi]

6

Puisque $B \in [NN']$ , $(\vec{BN}, \vec{BN'}) \equiv \pi [2\pi]$ . D'où :

(\vec{MN}, \vec{M'N'}) \equiv 3\pi + \pi \equiv 4\pi \equiv 0 [2\pi]

7

L'angle orienté étant nul modulo $2\pi$ , les droites $(MN)$ et $(M'N')$ sont strictement parallèles.

Piège classique · 32

Sur un cercle de centre $O$ , on donne $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Quelles sont les mesures possibles pour l'angle inscrit $(\vec{MA}, \vec{MB})$ ?

Attention

Diviser par 2 et affirmer que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$ est l'unique valeur possible.

À la place : L'équation $2(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ équivaut à $(\vec{MA}, \vec{MB}) = \frac{\pi}{6} + k\pi$ . Modulo $2\pi$ , il y a deux solutions distinctes : $\frac{\pi}{6}$ (si $M$ est sur le grand arc) et $\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ (si $M$ est sur le petit arc).

Piège classique · 33

Soient $A, B, M, N$ quatre points d'un cercle $\mathscr{C}$ tels que $M$ et $N$ sont situés de part et d'autre de la droite $(AB)$ . Si $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ , quelle est la mesure principale de $(\vec{NA}, \vec{NB})$ ?

Attention

Écrire directement $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ en ignorant la séparation des arcs par la corde.

À la place : Lorsque les sommets sont situés de part et d'autre de la corde $[AB]$ , il faut ajouter un demi-tour : $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv \frac{\pi}{4} + \pi \equiv \frac{5\pi}{4} [2\pi]$ . Sa mesure principale dans $]-\pi\,\;\,\pi]$ est $\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$ .

Vérification · 34

Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ . La droite $(AT)$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $A$ , et $B$ est un point de $\mathscr{C}$ tel que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ . Quelle relation vérifie l'angle orienté $(\vec{AT}, \vec{AB})$ ?

Remarque

Par l'extension du théorème de l'angle inscrit à la tangente : $2(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv (\vec{OA}, \vec{OB}) [2\pi]$ , ce qui donne directement $2(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ .

Rappel · 35

Lignes de niveau et barycentres

Pour déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $MA^2 - k^2 MB^2 = 0$ ( $k > 0, k \ne 1$ ) :

$MA^2 - k^2 MB^2 = 0 \iff (\vec{MA} - k\vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + k\vec{MB}) = 0$

En introduisant les barycentres $G = \text{bar}\{(A, 1), (B, k)\}$ et $G' = \text{bar}\{(A, 1), (B, -k)\}$ , l'équation se réduit à :

$\vec{MG} \cdot \vec{MG'} = 0$

Remarque

Cet ensemble est le cercle de diamètre $[GG']$ (cercle d'Apollonius).

Point de départ · 36

Si un point $M$ vérifie la relation $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ , peut-il se déplacer sur le cercle circonscrit à $MAB$ tout entier ?

Remarque

Non. De l'autre côté de la corde $[AB]$ , l'angle vaut $\frac{\pi}{3} + \pi \equiv -\frac{2\pi}{3} [2\pi]$ . La condition modulo $2\pi$ sélectionne donc un unique arc de cercle ouvert.

Définition · 37

Théorème de l'arc capable et lieux géométriques

Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $\theta \in \mathbb{R}$ . L'ensemble $E = \{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \theta [2\pi]\}$ dépend de $\theta$ :

\theta \equiv 0 [2\pi] \implies E = (AB) \setminus [AB]

\theta \equiv \pi [2\pi] \implies E = ]AB[

\theta \not\equiv 0 [\pi] \implies E = \overset{\frown}{BA} \setminus \{A\,\;\,B\}

Lorsque $\theta \not\equiv 0 [\pi]$ , $E$ est l'arc de cercle passant par $A$ et $B$ , dont la tangente $(AT)$ en $A$ vérifie $(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \theta [2\pi]$ , situé dans le demi-plan délimité par $(AB)$ ne contenant pas $[AT)$ .

Exemple travaillé · 38

Décris la construction du centre $O$ de l'arc capable des points $M$ vérifiant $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ .

1

On trace la médiatrice $\Delta$ du segment $[AB]$ : le centre $O$ appartient obligatoirement à $\Delta$ car le cercle passe par $A$ et $B$ .

2

On trace la demi-droite tangente $[AT)$ en $A$ telle que :

(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]

3

On construit la droite $D$ perpendiculaire à $(AT)$ passant par $A$ : cette droite porte le rayon issu de $A$ .

4

Le centre $O$ du cercle est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $D$ . Le rayon vaut $R = OA$ .

5

L'ensemble cherché est l'arc de ce cercle d'extrémités $A$ et $B$ situé dans le demi-plan délimité par $(AB)$ ne contenant pas $[AT)$ , privé des points $A$ et $B$ .

Exemple travaillé · 39

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 8$ . Soit $I$ un point d'intersection de $\mathscr{E} = \{M \mid MA^2 - 9MB^2 = 0\}$ et $\mathscr{E}' = \{M \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\}$ . Calcule la distance $IB$ .

1

Puisque $I \in \mathscr{E}$ , on a $IA^2 = 9IB^2$ , d'où $IA = 3IB$ .

2

Comme $I \in \mathscr{E}'$ , l'angle vaut $(\vec{IA}, \vec{IB}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . On exprime le produit scalaire :

\vec{IA} \cdot \vec{IB} = IA \times IB \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = (3IB) \times IB \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}IB^2

3

On évalue la norme vectorielle au carré à l'aide de la relation de Chasles :

||\vec{IA} - \vec{IB}||^2 = ||\vec{BA}||^2 = AB^2 = 8^2 = 64

4

On développe ce carré scalaire en utilisant les relations précédentes :

||\vec{IA} - \vec{IB}||^2 = IA^2 + IB^2 - 2\vec{IA} \cdot \vec{IB} = (3IB)^2 + IB^2 - 2\left(\frac{3}{2}IB^2\right) = 7IB^2

5

On égalise les deux expressions pour déterminer $IB$ :

7IB^2 = 64 \implies IB^2 = \frac{64}{7} \implies IB = \frac{8\sqrt{7}}{7}

Piège classique · 40

Quel est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ ?

Attention

Affirmer qu'il s'agit du cercle complet de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ .

À la place : L'égalité modulo $2\pi$ fixe le sens de rotation (angle droit direct). Il s'agit uniquement du demi-cercle de diamètre $[AB]$ situé du côté direct, privé des points $A$ et $B$ . Le cercle complet correspondrait à la condition modulo $\pi$ .

Vérification · 41

Détermine la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \pi [2\pi]$ .

Remarque

L'angle orienté vaut $\pi [2\pi]$ , ce qui signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont colinéaires et de sens opposés. Le point $M$ est donc situé strictement entre $A$ et $B$ , c'est-à-dire sur le segment ouvert $]AB[$ .

Angles orientés — cours

Le cours

Angle orienté et mesure principale

Relation de Chasles et vecteurs opposés

Multiplication par des scalaires

Colinéarité, orthogonalité et somme des angles d'un triangle

Effet des isométries et bases orthonormées

Déterminant trigonométrique de deux vecteurs

Théorème de l'angle inscrit, angle au centre et cocyclicité

Lignes de niveau et barycentres

Théorème de l'arc capable et lieux géométriques

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