Rappel · 1

Cardinal d'une réunion et formule du crible

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble fini $E$ . Quelle est la formule donnant $\text{card}(A \cup B)$ lorsque $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ?

Remarque

Pour compter les éléments de $A \cup B$ , on additionne $\text{card}(A)$ et $\text{card}(B)$ , puis on retranche $\text{card}(A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

Point de départ · 2

On forme un code composé d'une lettre choisie dans $\{A, B\}$ suivie d'un chiffre choisi dans $\{1, 2, 3\}$ . Combien de codes différents peut-on former ?

Remarque

Pour chacune des 2 lettres, il y a 3 chiffres possibles. Il y a donc $2 \times 3 = 6$ codes possibles : $(A,1), (A,2), (A,3), (B,1), (B,2), (B,3)$ .

Définition · 3

Produit cartésien, $p$ -uplets et applications

Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que $x \in E$ et $y \in F$ .

$\text{card}(E \times F) = \text{card}(E) \times \text{card}(F)$

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier naturel non nul. Un $p$ -uplet d'éléments de $E$ est une liste ordonnée $(x_1, x_2, \dots, x_p)$ d'éléments de $E$ (avec répétitions autorisées).

$\text{card}(E^p) = (\text{card}(E))^p = n^p$

Remarque

Le nombre d'applications d'un ensemble de départ à $p$ éléments vers un ensemble d'arrivée à $n$ éléments est également égal à $n^p$ (modèle du tirage successif avec remise).

Exemple travaillé · 4

En informatique, un octet est une suite de 8 bits pris dans $\{0, 1\}$ .
1. Combien existe-t-il d'octets distincts au total ?
2. Combien existe-t-il d'octets commençant par $1$ et se terminant par $0$ ?

1

Un octet est un 8-uplet d'un ensemble à 2 éléments $\{0, 1\}$ .

2

2^8 = 256 \text{ octets possibles}

3

Si le premier bit est fixé à 1 (1 choix) et le dernier à 0 (1 choix), il reste 6 positions libres pouvant chacune prendre 2 valeurs.

4

1 \times 2^6 \times 1 = 64 \text{ octets}

Piège classique · 5

Trente voyageurs montent dans un bus qui dessert dix stations. Chaque voyageur descend de façon autonome à une station. Combien de répartitions possibles des descentes existe-t-il ?

Attention

Calculer $30^{10}$ en prenant le nombre de voyageurs comme base.

À la place : Chacun des 30 voyageurs choisit une station parmi 10. C'est une application de l'ensemble des voyageurs (30 éléments) vers l'ensemble des stations (10 éléments), soit $10^{30}$ possibilités.

Exemple travaillé · 6

La porte d'un immeuble s'ouvre avec un code composé d'une lettre choisie parmi $\{A, B, C\}$ suivie de trois chiffres choisis parmi $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ (les chiffres peuvent se répéter).
1. Combien de codes peut-on proposer ?
2. Combien de codes commencent par la lettre $A$ ?

1

On applique le principe multiplicatif : il y a 3 choix pour la lettre, et pour chaque chiffre il y a 9 choix indépendants.

2

3 \times 9^3 = 3 \times 729 = 2187 \text{ codes possibles}

3

Si la lettre est fixée à $A$ (1 seul choix), les 3 chiffres restent libres parmi 9.

4

1 \times 9^3 = 729 \text{ codes}

Vérification · 7

On range 3 objets distincts dans une commode comportant 4 tiroirs. Chaque tiroir peut contenir de 0 à 3 objets. Quel est le nombre total de rangements possibles ?

Remarque

Chaque objet a 4 choix de tiroir indépendants. Le nombre de rangements correspond au nombre d'applications des 3 objets vers les 4 tiroirs, soit $4^3 = 64$ rangements.

Point de départ · 8

De combien de façons distinctes peut-on classer 3 coureurs à l'arrivée d'une course (sans ex æquo) ?

Remarque

Pour la 1ère place, il y a 3 choix. Pour la 2ème place, il reste 2 choix. Pour la 3ème place, il ne reste qu'1 choix. D'après le principe multiplicatif, il y a $3 \times 2 \times 1 = 6$ classements possibles.

Définition · 9

Permutations et factorielle

Soit $E$ un ensemble fini non vide de cardinal $n$ . On appelle permutation de $E$ tout $n$ -uplet formé des $n$ éléments distincts de $E$ .

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$

Remarque

Le symbole $n!$ se lit « factorielle $n$ ». Par convention, $0! = 1$ . Le nombre total de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est égal à $n!$ .

Exemple travaillé · 10

On forme des mots (ayant un sens ou non) en permutant les lettres du mot $\text{MATHS}$ .
1. Combien d'anagrammes distinctes peut-on former au total ?
2. Combien d'anagrammes commencent par la lettre M ?

1

Le mot $\text{MATHS}$ comporte 5 lettres toutes distinctes. Le nombre total d'anagrammes correspond au nombre de permutations de ces 5 lettres.

2

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ anagrammes}

3

Si la première lettre est fixée à M (1 choix), il reste à permuter les 4 autres lettres distinctes sur les 4 positions restantes.

4

1 \times 4! = 24 \text{ anagrammes}

Exemple travaillé · 11

Sur une étagère, on range 4 livres de Mathématiques et 3 livres de Physique, tous distincts.
De combien de façons peut-on les ranger si tous les livres de Mathématiques doivent être placés côte à côte ?

1

On regroupe les 4 livres de Mathématiques en un seul bloc indivisible. L'étagère contient alors ce bloc et les 3 livres de Physique, soit 4 éléments à permuter globalement.

2

4! = 24 \text{ dispositions des blocs}

3

À l'intérieur du bloc de Mathématiques, les 4 livres distincts peuvent permuter librement entre eux.

4

4! = 24 \text{ ordres internes}

5

D'après le principe multiplicatif, on multiplie la permutation globale par les permutations internes :

6

4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \text{ rangements possibles}

Piège classique · 12

On forme des anagrammes du mot $\text{LUMIO}$ (5 lettres distinctes). Dans combien d'anagrammes les lettres L et U sont-elles côte à côte dans un ordre quelconque ?

Attention

Calculer uniquement $4! = 24$ en oubliant que le bloc $\{L, U\}$ peut s'ordonner en LU ou en UL.

À la place : Le bloc $\{L, U\}$ et les 3 autres lettres forment 4 entités à permuter ( $4! = 24$ ). Comme l'ordre de L et U est libre dans le bloc, il y a $2! = 2$ permutations internes. Le total est $4! \times 2! = 48$ .

Vérification · 13

Trois filles et trois garçons s'assoient sur un banc à six places en alternant fille et garçon. Quel est le nombre total de dispositions possibles ?

Remarque

Il y a 2 schémas d'alternance globaux : FGFGFG ou GFGFGF. Pour chaque schéma, les 3 filles permutent sur leurs places ( $3! = 6$ ) et les 3 garçons permutent sur les leurs ( $3! = 6$ ). Le total est $2 \times (3! \times 3!) = 2 \times 36 = 72$ dispositions.

Point de départ · 14

Parmi 6 athlètes en finale, on attribue les médailles d'or, d'argent et de bronze. Combien de podiums différents sont possibles ?

Remarque

Pour la médaille d'or, il y a 6 choix. Pour l'argent, il reste 5 choix. Pour le bronze, il reste 4 choix. D'après le principe multiplicatif, il y a $6 \times 5 \times 4 = 120$ podiums possibles. L'ordre d'attribution compte et on ne sélectionne qu'une partie des coureurs.

Définition · 15

Arrangements sans répétition

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $1 \leq p \leq n$ . Un arrangement de $p$ éléments de $E$ est un $p$ -uplet d'éléments deux à deux distincts de $E$ .

$A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

Remarque

$A_n^p$ représente le nombre de tirages successifs et sans remise de $p$ éléments parmi $n$ . C'est aussi le nombre d'applications injectives d'un ensemble à $p$ éléments vers un ensemble à $n$ éléments.

Exemple travaillé · 16

Une association comporte 20 membres. On doit élire un bureau composé de trois personnes occupant trois fonctions distinctes : un président, un trésorier et un secrétaire. De combien de façons différentes peut-on constituer ce bureau ?

1

Les 3 postes sont distincts (l'ordre de distribution a une importance) et une même personne ne peut pas cumuler deux postes (pas de répétition).

2

Il s'agit de choisir et d'ordonner 3 personnes distinctes parmi 20 membres, ce qui correspond à un arrangement de 3 éléments parmi 20.

3

A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = 20 \times 19 \times 18

4

A_{20}^3 = 6840 \text{ bureaux possibles}

Exemple travaillé · 17

Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On tire successivement et sans remise 3 jetons du sac pour former un nombre à 3 chiffres distincts (le 1er jeton donne les centaines, le 2ème les dizaines, le 3ème les unités). Combien de nombres distincts peut-on former ?

1

Le tirage s'effectue successivement et sans remise : l'ordre de sortie des chiffres détermine le nombre et les chiffres sont deux à deux distincts.

2

Le nombre de tirages possibles est le nombre d'arrangements de 3 éléments choisis parmi 6.

3

A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \text{ nombres possibles}

Piège classique · 18

On tire successivement et sans remise 2 cartes d'un jeu de 32 cartes. Quel modèle combinatoire donne le nombre total de tirages possibles ?

Attention

Choisir $C_{32}^2$ en pensant qu'il s'agit d'une simple sélection de 2 cartes sans tenir compte de la chronologie du tirage.

À la place : Le mot-clé « successivement » impose un ordre entre la 1ère et la 2ème carte. Le modèle est l'arrangement sans remise : $A_{32}^2 = 32 \times 31 = 992$ .

Vérification · 19

Soit $E$ un ensemble à 3 éléments et $F$ un ensemble à 5 éléments. Quel est le nombre total d'applications injectives de $E$ vers $F$ ?

Remarque

Une application injective associe à chaque élément de $E$ une image distincte dans $F$ . Cela correspond à un arrangement de 3 éléments distincts parmi 5, soit $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ applications injectives.

Point de départ · 20

Dans une classe, on doit élire 2 délégués parmi 4 candidats : Ali, Bob, Cyrine et Dora. Les deux délégués ont exactement le même rôle. Combien d'équipes différentes peut-on former ?

Remarque

Comme les délégués ont le même statut, l'ordre ne compte pas : choisir Ali puis Bob ou choisir Bob puis Ali donne la même équipe $\{\text{Ali}, \text{Bob}\}$ . Il y a 6 paires possibles : $\{\text{A},\text{B}\}$ , $\{\text{A},\text{C}\}$ , $\{\text{A},\text{D}\}$ , $\{\text{B},\text{C}\}$ , $\{\text{B},\text{D}\}$ et $\{\text{C},\text{D}\}$ .

Définition · 21

Combinaisons et tirages simultanés

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $0 \leq p \leq n$ . On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie (ou sous-ensemble) à $p$ éléments de $E$ .

$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Remarque

Une combinaison correspond au choix de $p$ éléments sans ordre et sans répétition. C'est le modèle mathématique du tirage simultané de $p$ objets parmi $n$ .

Exemple travaillé · 22

D'un jeu de 32 cartes, on tire simultanément une main de 5 cartes.
1. Combien de mains différentes peut-on former au total ?
2. Combien de mains contiennent exactement 2 cœurs et 3 piques ?

1

Le tirage est simultané : l'ordre des cartes ne compte pas. Une main est une combinaison de 5 cartes parmi 32.

2

C_{32}^5 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 201376 \text{ mains}

3

Le jeu contient 8 cœurs et 8 piques. On choisit 2 cœurs parmi 8, puis 3 piques parmi 8. Par principe multiplicatif :

4

C_8^2 \times C_8^3 = 28 \times 56 = 1568 \text{ mains}

Exemple travaillé · 23

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. De combien de façons peut-on obtenir au moins une boule blanche ?

1

Le nombre total de tirages possibles de 3 boules parmi les 10 boules de l'urne est :

2

C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

3

L'événement contraire de « obtenir au moins une boule blanche » est « n'obtenir aucune boule blanche », c'est-à-dire tirer 3 boules noires parmi les 6 disponibles.

4

C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

5

Par passage au complémentaire, le nombre de tirages avec au moins une boule blanche est :

6

C_{10}^3 - C_6^3 = 120 - 20 = 100 \text{ tirages}

Piège classique · 24

Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. On tire simultanément 4 boules. Pour dénombrer les tirages contenant au moins une boule blanche, un élève choisit 1 boule blanche parmi 3 ( $C_3^1$ ), puis choisit 3 boules parmi les 7 restantes ( $C_7^3$ ), soit $C_3^1 \times C_7^3 = 3 \times 35 = 105$ . Pourquoi ce raisonnement est-il faux ?

Attention

Choisir un élément obligatoire puis compléter librement les places restantes ( $C_3^1 \times C_7^3 = 105$ ), ce qui dépasse le total possible de tirages $C_8^4 = 70$ .

À la place : Ce raisonnement introduit un ordre artificiel : un tirage contenant plusieurs boules blanches est compté plusieurs fois selon quelle boule blanche a été choisie en premier. La méthode correcte passe par le complémentaire : $C_8^4 - C_5^4 = 70 - 5 = 65$ .

Vérification · 25

Dans un groupe de 10 personnes (6 femmes et 4 hommes), on forme un comité de 3 membres comprenant au moins un homme. Quel est le nombre total de comités possibles ?

Remarque

Le nombre total de comités de 3 personnes parmi 10 est $C_{10}^3 = 120$ . Les comités ne comprenant aucun homme (formés uniquement de 3 femmes parmi 6) sont au nombre de $C_6^3 = 20$ . Le nombre de comités contenant au moins un homme est donc $120 - 20 = 100$ .

Point de départ · 26

Dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules vertes, on tire successivement et sans remise 2 boules. On veut obtenir 1 rouge et 1 verte. Quels sont les ordres possibles d'apparition des couleurs ?

Remarque

Il y a 2 ordres possibles selon la chronologie des tirages : soit rouge au 1er tirage et verte au 2ème $(R, V)$ , soit verte au 1er tirage et rouge au 2ème $(V, R)$ .

Définition · 27

Synthèse des modes de tirage et coefficients de position

Pour un tirage de $p$ éléments parmi un ensemble de $n$ éléments ( $p \leq n$ ) :

$\begin{cases} \text{Tirage simultané (sans ordre, sans remise)} & \implies C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!} \\[6pt] \text{Tirage successif sans remise (avec ordre, sans remise)} & \implies A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \\[6pt] \text{Tirage successif avec remise (avec ordre, avec répétition)} & \implies n^p \end{cases}$

Lors d'un tirage successif (avec ou sans remise) de $p$ objets de natures différentes, le nombre de façons de positionner $k$ objets d'un premier type parmi les $p$ rangs de tirage est donné par le coefficient binomial $C_p^k$ .

Exemple travaillé · 28

Un sac contient 6 boules rouges et 9 boules vertes. On tire successivement et sans remise 4 boules du sac.
De combien de façons peut-on obtenir exactement 1 boule rouge et 3 boules vertes ?

1

Le tirage est successif et sans remise : l'ordre des tirages intervient.

2

On choisit d'abord la position occupée par l'unique boule rouge parmi les 4 tirages successifs :

3

C_4^1 = 4 \text{ positions possibles (R-V-V-V, V-R-V-V, V-V-R-V, V-V-V-R)}

4

Pour une position fixée, on choisit 1 boule rouge ordonnée parmi 6 ( $A_6^1 = 6$ ) et 3 boules vertes ordonnées parmi 9 ( $A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$ ).

5

Par le principe multiplicatif, on multiplie le nombre de positions par les choix de boules :

6

C_4^1 \times A_6^1 \times A_9^3 = 4 \times 6 \times 504 = 12096 \text{ tirages}

Piège classique · 29

Un sac contient 5 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement et sans remise 3 boules. On cherche le nombre de tirages contenant exactement 2 boules blanches.
Quelle est l'expression correcte ?

Attention

Calculer uniquement $A_5^2 \times A_4^1 = 80$ , en oubliant que la boule noire peut être tirée en 1ère, 2ème ou 3ème position.

À la place : Il y a $C_3^2 = 3$ configurations d'ordre possibles pour placer les 2 blanches (BBN, BNB, NBB). Le résultat exact est $C_3^2 \times A_5^2 \times A_4^1 = 3 \times 20 \times 4 = 240$ .

Exemple travaillé · 30

Une urne contient 4 jetons bleus et 6 jetons jaunes. On tire successivement et avec remise 3 jetons de l'urne.
De combien de façons peut-on obtenir exactement 2 jetons bleus et 1 jeton jaune ?

1

Le tirage s'effectue avec remise : les tirages sont indépendants et les répétitions sont autorisées.

2

On choisit les 2 positions des tirages bleus parmi les 3 tirages :

3

C_3^2 = 3 \text{ configurations (BBJ, BJB, JBB)}

4

Pour chaque tirage d'un jeton bleu, il y a 4 choix ( $4^2 = 16$ ). Pour le jeton jaune, il y a 6 choix ( $6^1 = 6$ ).

5

Par principe multiplicatif, le nombre total de tirages est :

6

C_3^2 \times 4^2 \times 6^1 = 3 \times 16 \times 6 = 288 \text{ tirages}

Vérification · 31

On tire successivement et sans remise 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de tirages donnent exactement 1 As et 2 cartes non-As ?

Remarque

Le jeu contient 4 As et 28 non-As. On choisit la place de l'As parmi les 3 tirages ( $C_3^1 = 3$ ). Pour cette position, il y a $A_4^1 = 4$ choix d'As et $A_{28}^2 = 28 \times 27 = 756$ choix pour les deux autres cartes. Le total est $3 \times 4 \times 756 = 9072$ tirages.

Point de départ · 32

En développant $(1+1)^3$ avec la formule $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ , on obtient $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$ . Que remarque-t-on sur les coefficients $1, 3, 3, 1$ ?

Remarque

Les coefficients $1, 3, 3, 1$ sont exactement les combinaisons $C_3^0 = 1$ , $C_3^1 = 3$ , $C_3^2 = 3$ et $C_3^3 = 1$ . Leur somme donne $2^3 = 8$ .

Définition · 33

Propriétés des combinaisons et Formule du Binôme de Newton

Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ tels que $0 \leq p \leq n$ , les coefficients binomiaux vérifient les propriétés fondamentales suivantes :

$C_n^p = C_n^{n-p} \quad \text{et} \quad C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p \quad (1 \leq p \leq n-1)$

Théorème (Formule du binôme de Newton) : Pour tous réels $a$ et $b$ , et pour tout entier naturel non nul $n$ :

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \dots + C_n^n b^n$

Remarque

La relation de Pascal $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$ permet de calculer de proche en proche les coefficients grâce au Triangle de Pascal.

Exemple travaillé · 34

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . En utilisant la formule du binôme de Newton, calculer les sommes suivantes :
$S_1 = \sum_{k=0}^n C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$
$S_2 = \sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n$

1

Pour la somme $S_1$ , on applique la formule du binôme de Newton avec $a = 1$ et $b = 1$ :

2

(1+1)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^n C_n^k

3

On en déduit que $S_1 = 2^n$ . (Ce résultat prouve que le nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $\text{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ ).

4

Pour la somme $S_2$ , on applique le binôme avec $a = 1$ et $b = -1$ :

5

(1-1)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k 1^{n-k} (-1)^k = S_2

6

Comme $n \geq 1$ , $(1-1)^n = 0^n = 0$ . Donc $S_2 = 0$ .

Exemple travaillé · 35

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1+x)^n$ avec $n \geq 1$ .
1. Déterminer $f'(x)$ de deux manières différentes.
2. En déduire la valeur de la somme $S = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \dots + nC_n^n$ .

1

1ère méthode (dérivation globale) : la dérivée de $(1+x)^n$ est :

2

f'(x) = n(1+x)^{n-1}

3

2ème méthode (dérivation terme à terme) : par le binôme, $f(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$ . En dérivant terme à terme :

4

f'(x) = C_n^1 + 2C_n^2 x + 3C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}

5

En évaluant l'égalité des deux expressions en $x = 1$ :

6

f'(1) = n(1+1)^{n-1} = n 2^{n-1}

7

On en déduit l'identité fondamentale : $S = \sum_{k=1}^n k C_n^k = n 2^{n-1}$ .

Piège classique · 36

Pour calculer la somme $A = C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + \dots + 2^n C_n^n$ , quelle valeur donne la formule du binôme de Newton ?

Attention

Penser qu'il s'agit de $2^n$ en confondant la somme simple des $C_n^k$ avec la somme pondérée par les puissances de 2.

À la place : La somme $A = \sum_{k=0}^n C_n^k 2^k 1^{n-k}$ correspond au développement de $(1+2)^n = 3^n$ , et non $2^n$ .

Vérification · 37

En appliquant la relation de Pascal $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$ , simplifier l'expression $C_{2n}^n + C_{2n}^{n+1}$ .

Remarque

En posant $N = 2n$ et $P = n$ , la formule de Pascal donne directement $C_{2n}^n + C_{2n}^{n+1} = C_{2n+1}^{n+1}$ (qui est aussi égal à $C_{2n+1}^n$ par symétrie).

Dénombrement — cours

Le cours

Cardinal d'une réunion et formule du crible

Produit cartésien, $p$ -uplets et applications

Permutations et factorielle

Arrangements sans répétition

Combinaisons et tirages simultanés

Synthèse des modes de tirage et coefficients de position

Propriétés des combinaisons et Formule du Binôme de Newton

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