Point de départ · 1

Dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 = -1$ admet-elle des solutions ?

Remarque

Dans $\mathbb{R}$ , un carré est toujours positif ou nul ( $x^2 \ge 0$ ). Pour résoudre cette équation, on introduit un nouvel ensemble noté $\mathbb{C}$ contenant un nombre imaginaire $i$ tel que $i^2 = -1$ .

Définition · 2

L'ensemble $\mathbb{C}$ et la forme algébrique

Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$ , qui contient l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ et qui possède un élément noté $i$ vérifiant $i^2 = -1$ .

$z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R}, \; b \in \mathbb{R})$

Cette écriture unique est appelée la forme algébrique (ou cartésienne) de $z$ .

Vocabulaire

Partie réelle de $z$ — $\text{Re}(z) = a$
Partie imaginaire de $z$ — $\text{Im}(z) = b$

Si $a = 0$ , le nombre $z = ib$ est dit imaginaire pur. Si $b = 0$ , $z = a$ est un nombre réel.

Exemple travaillé · 3

On donne les nombres complexes $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - 2i$ . Écris le produit $z_1 \times z_2$ sous forme algébrique.

1

On développe le produit par distributivité classique.

z_1 \times z_2 = (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2

2

On utilise la propriété fondamentale $i^2 = -1$ .

-6i^2 = -6(-1) = +6

3

On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire.

z_1 \times z_2 = (2 + 6) + (-4 + 3)i = 8 - i

Exemple travaillé · 4

Détermine les réels $x$ et $y$ vérifiant l'égalité : $(2x - y) + i(x + y) = 5 + 4i$ .

1

Par unicité de l'écriture algébrique, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

2

\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}

3

On résout le système : en additionnant membre à membre les deux équations, on élimine $y$ .

(2x - y) + (x + y) = 5 + 4 \implies 3x = 9 \implies x = 3

4

On remplace $x = 3$ dans la deuxième équation pour obtenir $y$ .

3 + y = 4 \implies y = 1

Piège classique · 5

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = 5 - 7i$ ?

Attention

Répondre que $\text{Im}(z) = -7i$ en incluant la lettre $i$ .

À la place : La partie imaginaire est le coefficient réel situé devant $i$ . Pour $z = 5 - 7i$ , on a $\text{Im}(z) = -7$ (un nombre réel, sans le $i$ ).

Vérification · 6

Complète les écritures simplifiées des puissances successives de $i$ :

Remarque

Les puissances de $i$ sont cycliques de période 4 : $i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = i^2 \times i = -i$ et $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ .

Définition · 7

Conjugué d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe où $a$ et $b$ sont deux réels.

$\bar{z} = a - ib$

Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif ou nul :

$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$

Caractérisation des nombres réels et des imaginaires purs :

z \in \mathbb{R} \iff \bar{z} = z

z \in i\mathbb{R} \iff \bar{z} = -z

Exemple travaillé · 8

Mets sous forme algébrique le nombre complexe $Z = \frac{1 + 2i}{1 - 2i}$ .

1

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $1 + 2i$ .

Z = \frac{(1 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}

2

Au dénominateur, on applique $z\bar{z} = a^2 + b^2$ avec $a = 1$ et $b = -2$ .

(1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 + 2^2 = 5

3

Au numérateur, on développe le carré $(1 + 2i)^2$ .

(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i

4

On sépare la partie réelle et la partie imaginaire.

Z = \frac{-3 + 4i}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i

Exemple travaillé · 9

On pose $\alpha = \frac{3-i}{7+12i}$ et $\beta = \frac{3+i}{7-12i}$ . Montre sans calcul lourd que $\alpha + \beta$ est un nombre réel.

1

On calcule le conjugué de $\alpha$ en utilisant la propriété du quotient $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ .

\bar{\alpha} = \frac{\overline{3-i}}{\overline{7+12i}} = \frac{3+i}{7-12i} = \beta

2

On réécrit la somme $\alpha + \beta$ en remplaçant $\beta$ par $\bar{\alpha}$ .

\alpha + \beta = \alpha + \bar{\alpha}

3

Or, pour tout nombre complexe, la somme avec son conjugué donne deux fois sa partie réelle.

\alpha + \bar{\alpha} = 2\text{Re}(\alpha) \in \mathbb{R}

Piège classique · 10

Pour montrer que $U = \frac{5+i}{2-3i} - \frac{5-i}{2+3i}$ est un imaginaire pur, quelle est la méthode la plus rapide ?

Attention

Mettre les fractions au même dénominateur et développer tous les produits algébriques.

À la place : Le deuxième terme est le conjugué du premier, donc $U = z - \bar{z}$ . Comme $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$ , $U$ est directement un imaginaire pur sans calcul intermédiaire.

Vérification · 11

Quel est le conjugué du nombre complexe $Z = \frac{2 - 3i}{8 + 5i}$ ?

Remarque

On applique la propriété $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur : $\overline{2-3i} = 2+3i$ et $\overline{8+5i} = 8-5i$ .

Rappel · 12

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$ ?

Remarque

Pour un vecteur $\vec{AB}$ , on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : $(x_B - x_A, \; y_B - y_A)$ . Pour le milieu $I$ , on prend la demi-somme : $\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Définition · 13

Affixe d'un point et d'un vecteur

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . À tout point $M(a, b)$ , on associe de manière unique le nombre complexe $z = a + ib$ .

Vocabulaire

Affixe du point $M(a, b)$ — $z_M = a + ib$
Affixe du vecteur $\vec{AB}$ — $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$
Affixe du milieu $I$ de $[AB]$ — $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$

Exemple travaillé · 14

Soient les points $A, B, C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A = 2 - i$ , $z_B = 3 + 2i$ , $z_C = -1 + 4i$ et $z_D = -2 + i$ . Montre que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

1

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$ .

z_{\vec{AB}} = (3 + 2i) - (2 - i) = 1 + 3i

2

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{DC}$ : $z_{\vec{DC}} = z_C - z_D$ .

z_{\vec{DC}} = (-1 + 4i) - (-2 + i) = 1 + 3i

3

On compare les deux affixes obtenues.

z_{\vec{AB}} = z_{\vec{DC}} \implies \vec{AB} = \vec{DC}

4

L'égalité des vecteurs prouve que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Exemple travaillé · 15

Soient les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = -2i$ , $z_B = 2\sqrt{2} + 2i$ et $z_C = 3\sqrt{2} + 4i$ . Montre que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

1

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$ .

z_{\vec{AB}} = (2\sqrt{2} + 2i) - (-2i) = 2\sqrt{2} + 4i

2

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AC}$ : $z_{\vec{AC}} = z_C - z_A$ .

z_{\vec{AC}} = (3\sqrt{2} + 4i) - (-2i) = 3\sqrt{2} + 6i

3

On cherche un facteur réel de proportionnalité en factorisant les deux expressions.

z_{\vec{AC}} = 3(\sqrt{2} + 2i) = 1{,}5 \times 2(\sqrt{2} + 2i) = 1{,}5 z_{\vec{AB}}

4

On en déduit l'égalité vectorielle $\vec{AC} = 1{,}5\vec{AB}$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Piège classique · 16

Pour calculer l'affixe du vecteur $\vec{CD}$ , quelle formule applique-t-on ?

Attention

Calculer $z_C - z_D$ en soustrayant dans l'ordre de lecture des lettres.

À la place : L'affixe d'un vecteur est toujours l'affixe de l'extrémité (point d'arrivée) moins celle de l'origine (point de départ) : $z_{\vec{CD}} = z_D - z_C$ .

Vérification · 17

Soient $A(1+i)$ , $B(3+i)$ et $C(2+2i)$ . Détermine l'affixe $z_D$ du point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Remarque

$ABCD$ est un parallélogramme si $\vec{AB} = \vec{DC} \iff z_B - z_A = z_C - z_D$ . On isole $z_D = z_C - (z_B - z_A) = (2+2i) - 2 = 2i$ .

Définition · 18

Module d'un nombre complexe et distance

Soit $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) un nombre complexe d'image $M$ dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

$|z| = OM = \sqrt{a^2 + b^2}$

Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ , la distance géométrique $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes :

$AB = |z_B - z_A|$

Propriétés algébriques fondamentales pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ :

Vocabulaire

Produit — $|z \times z'| = |z| \times |z'|$
Quotient ( $z' \neq 0$ ) — $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$
Puissance ( $n \in \mathbb{N}^*$ ) — $|z^n| = |z|^n$
Conjugué — $|\bar{z}| = |z|$

Exemple travaillé · 19

Calcule le module du nombre complexe $Z = \frac{(1 - i)(3\sqrt{2} - i\sqrt{7})}{-5i}$ .

1

On utilise les propriétés multiplicatives du module pour éviter de développer l'expression algébrique : $|Z| = \frac{|1 - i| \times |3\sqrt{2} - i\sqrt{7}|}{|-5i|}$ .

2

On calcule séparément le module de chaque facteur :

3

|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

4

|3\sqrt{2} - i\sqrt{7}| = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{7})^2} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5

5

|-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5

6

On combine les résultats obtenus :

|Z| = \frac{\sqrt{2} \times 5}{5} = \sqrt{2}

Exemple travaillé · 20

Dans le plan complexe, on donne les points $A, B$ et $C$ d'affixes $z_A = 2+i$ , $z_B = 4$ et $z_C = 3+3i$ . Détermine la nature du triangle $ABC$ .

1

On calcule les longueurs des trois côtés à l'aide des modules des différences d'affixes.

2

Pour le côté $AB$ :

AB = |z_B - z_A| = |4 - (2 + i)| = |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}

3

Pour le côté $AC$ :

AC = |z_C - z_A| = |3 + 3i - (2 + i)| = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

4

Pour le côté $BC$ :

BC = |z_C - z_B| = |3 + 3i - 4| = |-1 + 3i| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}

5

Puisque $AB = AC = \sqrt{5}$ , le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ . De plus, $AB^2 + AC^2 = 5 + 5 = 10 = BC^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ .

Piège classique · 21

Pour calculer le module de $z = 3 - i$ , quel est le calcul correct ?

Attention

Écrire $|3 - i| = \sqrt{3^2 + (-i)^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8}$ en incluant $i$ sous la racine.

À la place : La partie imaginaire est le réel $b = -1$ . On a $|3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ .

Vérification · 22

Soient les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 1 - 2i$ et $z_B = 4 + 2i$ . Calcule la distance $AB$ .

Remarque

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $z_B - z_A = (4 + 2i) - (1 - 2i) = 3 + 4i$ . La distance est son module : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Définition · 23

Ensembles de points définis par des modules

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ , et $R$ un nombre réel strictement positif.

$|z - z_A| = R \iff AM = R$

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant cette relation est le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ .

$|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM$

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant cette relation est la médiatrice du segment $[AB]$ .

Exemple travaillé · 24

Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $E$ des points $M(z)$ tels que $|iz + 4| = 6$ .

1

On met le nombre $i$ en facteur dans le module pour isoler la variable $z$ .

|i(z - 4i)| = 6

2

On applique la propriété multiplicative du module $|z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

|i| \times |z - 4i| = 6

3

Puisque $|i| = 1$ , l'équation se simplifie immédiatement.

|z - 4i| = 6

4

Soit $A$ le point d'affixe $z_A = 4i$ . L'égalité s'écrit $AM = 6$ . L'ensemble $E$ est le cercle de centre $A(4i)$ et de rayon $6$ .

Exemple travaillé · 25

Détermine l'ensemble $F$ des points $M(z)$ tels que $|\bar{z} + 5 - i| = |z - 4i|$ .

1

On utilise les propriétés du conjugué pour regrouper sous une seule barre dans le membre de gauche.

|\bar{z} + 5 - i| = |\overline{z + 5 + i}|

2

Puisque $|\bar{Z}| = |Z|$ , on élimine la barre de conjugaison sans modifier le module.

|z + 5 + i| = |z - 4i|

3

On fait apparaître les différences de la forme $|z - z_C| = |z - z_D|$ .

|z - (-5 - i)| = |z - 4i|

4

Soient $C(-5 - i)$ et $D(4i)$ . L'équation équivaut à $CM = DM$ . L'ensemble $F$ est la médiatrice du segment $[CD]$ .

Piège classique · 26

Quel est le centre du cercle défini par l'égalité $|z + 3i| = 5$ ?

Attention

Affirmer que le centre est le point d'affixe $3i$ en gardant le signe « + » de l'expression.

À la place : L'équation d'un cercle est de la forme $|z - z_0| = R$ . On écrit $|z - (-3i)| = 5$ , le centre est donc le point d'affixe $-3i$ .

Vérification · 27

Quelle est la nature de l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|z - 2 + i| = |z - i|$ ?

Remarque

En factorisant le signe moins, l'égalité s'écrit $|z - (2 - i)| = |z - i|$ , soit $AM = BM$ avec $A(2 - i)$ et $B(i)$ . C'est la médiatrice du segment $[AB]$ .

Rappel · 28

Pour $\theta = \frac{\pi}{6}$ , donne les valeurs exactes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

Remarque

Sur le cercle trigonométrique, pour l'angle remarquable $\frac{\pi}{6}$ , l'abscisse est $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et l'ordonnée est $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ .

Définition · 29

Argument et forme trigonométrique

Soit $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) un nombre complexe non nul d'image $M$ dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

$\arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}$

Le réel $r = |z| > 0$ et l'angle $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$ définissent la forme trigonométrique de $z$ :

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

Les formules de passage s'obtiennent par identification :

\cos\theta = \frac{a}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}

Exemple travaillé · 30

Écris le nombre complexe $z_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$ sous forme trigonométrique.

1

On calcule d'abord le module $|z_1|$ :

|z_1| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

2

On factorise $z_1$ par son module $2\sqrt{2}$ pour faire apparaître le cosinus et le sinus de l'argument $\theta$ :

z_1 = 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

3

On identifie l'angle $\theta$ : on a $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Le point est situé dans le deuxième quadrant, d'où $\theta \equiv \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$ .

4

On conclut avec la forme trigonométrique canonique :

z_1 = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)

Exemple travaillé · 31

Donne la forme trigonométrique et un argument pour $z_A = -7$ et $z_B = 5i$ .

1

Pour $z_A = -7$ : son module est $|-7| = 7$ . Le point image est situé sur le demi-axe des réels négatifs, donc son argument est $\pi$ .

z_A = 7(\cos\pi + i\sin\pi) \quad \text{avec} \quad \arg(z_A) \equiv \pi \pmod{2\pi}

2

Pour $z_B = 5i$ : son module est $|5i| = 5$ . Le point image est situé sur le demi-axe des imaginaires positifs, donc son argument est $\frac{\pi}{2}$ .

z_B = 5\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) \quad \text{avec} \quad \arg(z_B) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}

Piège classique · 32

Quelle est la forme trigonométrique canonique de $Z = -3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ?

Attention

Penser que l'argument est $\frac{\pi}{4}$ en conservant le module négatif $-3$ .

À la place : Le module doit être strictement positif. On absorbe le signe moins en ajoutant $\pi$ à l'angle : $-\cos\theta = \cos(\theta+\pi)$ et $-\sin\theta = \sin(\theta+\pi)$ , d'où $Z = 3\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right)$ .

Vérification · 33

Soit $z = \sqrt{3} - i$ . Quel est un argument de $z$ ?

Remarque

On calcule $|z| = \sqrt{3+1} = 2$ . Alors $z = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ . Un argument est donc $-\frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}$ .

Définition · 34

Propriétés opératoires de l'argument et formule de Moivre

Pour tous nombres complexes non nuls $z$ et $z'$ , et pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

Vocabulaire

Produit — $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
Quotient — $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
Inverse — $\arg\left(\frac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}$
Puissance — $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi}$

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \quad (n \in \mathbb{Z})$

Pour quatre points $A, B, C, D$ du plan tels que $A \neq B$ et $C \neq D$ , l'angle orienté de vecteurs s'exprime par :

$(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$

Exemple travaillé · 35

Détermine la forme algébrique du nombre complexe $Z = (1 - i\sqrt{3})^9$ .

1

On écrit d'abord le complexe de base $z_0 = 1 - i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.

2

Son module est $|z_0| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ . On factorise par $2$ :

z_0 = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

3

On applique la formule de Moivre pour élever $z_0$ à la puissance 9 :

Z = 2^9 \left(\cos\left(9 \times \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i\sin\left(9 \times \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) = 512(\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi))

4

On réduit l'angle modulo $2\pi$ : $-3\pi \equiv \pi \pmod{2\pi}$ . Sachant que $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$ :

Z = 512(-1 + 0i) = -512

Exemple travaillé · 36

Soient $z_1 = \sqrt{6} - i\sqrt{2}$ et $z_2 = 2(1 - i)$ . En évaluant le quotient $u = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme trigonométrique puis algébrique, déduis la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ .

1

Forme trigonométrique de $z_1$ : $|z_1| = \sqrt{6+2} = 2\sqrt{2}$ et $z_1 = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ .

2

Forme trigonométrique de $z_2$ : $|z_2| = 2\sqrt{2}$ et $z_2 = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ .

3

Forme trigonométrique de $u = \frac{z_1}{z_2}$ : son module vaut $\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$ et son argument est $-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{12}$ :

u = \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}

4

Forme algébrique de $u$ en multipliant par le conjugué $(1+i)$ :

u = \frac{(\sqrt{6} - i\sqrt{2})(1 + i)}{2(1^2 + 1^2)} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}

5

Par identification de la partie réelle $\text{Re}(u)$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Piège classique · 37

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $\arg(z) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$ . Quel est un argument du nombre complexe $-3z$ ?

Attention

Penser que $\arg(-3z) = -3\arg(z) = -\pi$ ou $-\frac{\pi}{3}$ par une fausse règle de linéarité.

À la place : Le facteur $-3$ est un réel strictement négatif, donc $\arg(-3) \equiv \pi \pmod{2\pi}$ . Par la propriété du produit : $\arg(-3z) \equiv \arg(-3) + \arg(z) \equiv \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \pmod{2\pi}$ .

Vérification · 38

On pose $Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i}$ . Quel est le couple $(|Z|, \arg(Z))$ ?

Remarque

Pour le numérateur, $|1+i\sqrt{3}| = 2$ et $\arg(1+i\sqrt{3}) \equiv \frac{\pi}{3}$ . Pour le dénominateur, $|1+i| = \sqrt{2}$ et $\arg(1+i) \equiv \frac{\pi}{4}$ . On en déduit $|Z| = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ et $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \pmod{2\pi}$ .

Définition · 39

Équations du type $z^2 = \alpha$

Pour tout nombre réel $\alpha$ , l'équation $z^2 = \alpha$ admet des solutions dans $\mathbb{C}$ .

\text{Si } \alpha > 0, \quad z^2 = \alpha \iff z = \sqrt{\alpha} \quad \text{ou} \quad z = -\sqrt{\alpha}

\text{Si } \alpha < 0, \quad z^2 = \alpha \iff z = i\sqrt{-\alpha} \quad \text{ou} \quad z = -i\sqrt{-\alpha}

Tout nombre réel strictement négatif $\alpha$ admet deux racines carrées complexes conjuguées et imaginaires pures : $i\sqrt{-\alpha}$ et $-i\sqrt{-\alpha}$ .

Exemple travaillé · 40

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$ .

1

On met le trinôme sous forme canonique :

z^2 - 2z + 4 = (z - 1)^2 - 1 + 4 = (z - 1)^2 + 3

2

L'équation $(z - 1)^2 + 3 = 0$ se réécrit avec un second membre réel négatif :

(z - 1)^2 = -3

3

D'après la propriété des racines carrées d'un réel négatif, les solutions pour $z - 1$ sont $i\sqrt{3}$ et $-i\sqrt{3}$ :

z - 1 = i\sqrt{3} \quad \text{ou} \quad z - 1 = -i\sqrt{3}

4

On isole $z$ pour obtenir les deux solutions complexes conjuguées :

z_1 = 1 + i\sqrt{3} \quad \text{et} \quad z_2 = 1 - i\sqrt{3}

Piège classique · 41

Dans $\mathbb{C}$ , quel est l'ensemble des solutions de l'équation $z^2 = -9$ ?

Attention

Affirmer que l'équation n'a pas de solution car un carré ne peut pas être négatif, en appliquant le réflexe des nombres réels.

À la place : Dans $\mathbb{C}$ , le nombre $-9$ s'écrit $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ . L'équation admet exactement deux solutions imaginaires pures opposées : $3i$ et $-3i$ .

Vérification · 42

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z - 2)^2 = -16$ . Complète les deux solutions sous forme algébrique :

Remarque

$(z - 2)^2 = -16$ donne $z - 2 = 4i$ ou $z - 2 = -4i$ . On en déduit $z = 2 + 4i$ ou $z = 2 - 4i$ .

Nombres Complexes — cours

Le cours

L'ensemble $\mathbb{C}$ et la forme algébrique

Conjugué d'un nombre complexe

Affixe d'un point et d'un vecteur

Module d'un nombre complexe et distance

Ensembles de points définis par des modules

Argument et forme trigonométrique

Propriétés opératoires de l'argument et formule de Moivre

Équations du type $z^2 = \alpha$

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Affixe d'un point et d'un vecteur

Module d'un nombre complexe et distance

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