Lumio
Cours de maths Blog À propos Créer mon compte

Trigonométrie — cours

3ème année · section Sciences expérimentales · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Sciences expérimentales

Le cours

Point de départ · 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), un point MM est situé à une distance OM=2OM = 2 et la demi-droite [OM)[OM) forme un angle orienté de π3\frac{\pi}{3} avec l'axe (O,i⃗)(O, \vec{i}). Peut-on fixer la position de ce point sans calculer ses coordonnées cartésiennes (x,y)(x, y) ?

Remarque

La distance à l'origine r=2r = 2 et l'angle orienté θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} suffisent à déterminer MM de façon unique : c'est le principe des coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta).

Définition · 2

Coordonnées polaires et formules de conversion

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). Tout point MM distinct de OO est repéré par un couple unique (r,θ)(r, \theta) appelé coordonnées polaires de MM :

r=OM=x2+y2(r>0)r = OM = \sqrt{x^2 + y^2} \quad (r > 0)

θ≡(i⃗,OM⃗)(mod2π)(θ∈]−π;π])\theta \equiv (\vec{i}, \vec{OM}) \pmod{2\pi} \quad (\theta \in ]-\pi ; \pi])

Les coordonnées cartésiennes (x,y)(x, y) et polaires (r,θ)(r, \theta) sont reliées par les relations :

x=rcos⁡θety=rsin⁡θx = r\cos\theta \quad \text{et} \quad y = r\sin\theta

Exemple travaillé · 3

Déterminer les coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) du point AA de coordonnées cartésiennes (−3,1)(-\sqrt{3}, 1) dans le repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

1

On calcule d'abord la distance radiale r=OAr = OA.

2
r=(−3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2
3

On exprime le cosinus et le sinus de l'angle polaire θ\theta.

4
cos⁡θ=xAr=−32etsin⁡θ=yAr=12\cos\theta = \frac{x_A}{r} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{y_A}{r} = \frac{1}{2}
5

L'angle remarquable ayant pour cosinus 32\frac{\sqrt{3}}{2} et sinus 12\frac{1}{2} est π6\frac{\pi}{6}. Comme cos⁡θ<0\cos\theta < 0 et sin⁡θ>0\sin\theta > 0, θ\theta est dans le deuxième quadrant.

6
θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
7

Les coordonnées polaires de AA sont donc (2,5π6)\left(2, \frac{5\pi}{6}\right).

Exemple travaillé · 4

1. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point B(4,−π3)B\left(4, -\frac{\pi}{3}\right).
2. Préciser la nature de l'ensemble des points M(r,θ)M(r, \theta) vérifiant θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3} avec r>0r > 0.

1

On calcule l'abscisse et l'ordonnée de BB à l'aide des formules x=rcos⁡θx = r\cos\theta et y=rsin⁡θy = r\sin\theta.

2
xB=4cos⁡(−π3)=4×12=2x_B = 4\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times \frac{1}{2} = 2
3
yB=4sin⁡(−π3)=4×(−32)=−23y_B = 4\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3}
4

Les coordonnées cartésiennes de BB sont (2,−23)(2, -2\sqrt{3}).

5

Pour la condition θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3} avec r>0r > 0, l'angle est constant et le rayon parcourt ]0;+∞[]0 ; +\infty[. L'ensemble des points MM est la demi-droite d'origine OO privée de OO, dirigée par le vecteur unitaire d'angle polaire −π3-\frac{\pi}{3}.

Piège classique · 5

Soit le point C(1,−3)C(1, -\sqrt{3}). En calculant r=12+(−3)2=2r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 puis cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}, quelle est la mesure principale de son angle polaire θ\theta ?

Attention

Conclure que θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} en se basant uniquement sur cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}, sans regarder le signe de l'ordonnée.

À la place : Il faut aussi évaluer le sinus : sin⁡θ=−32=−32<0\sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0. Avec un cosinus positif et un sinus négatif, le point est dans le 4ème quadrant : θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3}.

Vérification · 6

Déterminer les coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) du point D(−2,−2)D(-2, -2) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), avec r>0r > 0 et θ∈]−π;π]\theta \in ]-\pi ; \pi].

Remarque

r=(−2)2+(−2)2=8=22r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. On a cos⁡θ=−222=−22\cos\theta = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ=−222=−22\sin\theta = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. Les deux composantes étant négatives, θ\theta appartient au 3ème quadrant : θ=−π+π4=−3π4\theta = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}.

Définition · 7

Cosinus, sinus d'un angle de vecteurs et calcul d'aire

Dans une base orthonormée directe (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}), pour deux vecteurs non nuls u⃗(x,y)\vec{u}(x, y) et v⃗(x′,y′)\vec{v}(x', y') :

cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥=xx′+yy′x2+y2x′2+y′2\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

sin⁡(u⃗,v⃗)=det⁡(u⃗,v⃗)∥u⃗∥∥v⃗∥=xy′−yx′x2+y2x′2+y′2\sin(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\det(\vec{u}, \vec{v})}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{xy' - yx'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

L'aire d'un triangle ABCABC se calcule directement à partir du déterminant :

AABC=12∣det⁡(AB⃗,AC⃗)∣=12AB×AC×∣sin⁡(AB⃗,AC⃗)∣\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2}|\det(\vec{AB}, \vec{AC})| = \frac{1}{2} AB \times AC \times |\sin(\vec{AB}, \vec{AC})|

Exemple travaillé · 8

Dans un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne u⃗(31)\vec{u}\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} et v⃗(−13)\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}).

1

On calcule les normes des deux vecteurs : ∥u⃗∥=(3)2+12=2\|\vec{u}\| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 et ∥v⃗∥=(−1)2+(3)2=2\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.

2

On calcule le cosinus à l'aide du produit scalaire :

3
cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥=3(−1)+1(3)2×2=04=0\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{\sqrt{3}(-1) + 1(\sqrt{3})}{2 \times 2} = \frac{0}{4} = 0
4

On calcule le sinus à l'aide du déterminant :

5
sin⁡(u⃗,v⃗)=det⁡(u⃗,v⃗)∥u⃗∥∥v⃗∥=3(3)−1(−1)2×2=3+14=1\sin(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\det(\vec{u}, \vec{v})}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}) - 1(-1)}{2 \times 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1
6

Puisque cos⁡(u⃗,v⃗)=0\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 et sin⁡(u⃗,v⃗)=1\sin(\vec{u}, \vec{v}) = 1, la mesure principale est (u⃗,v⃗)≡π2(mod2π)(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}.

Exemple travaillé · 9

Dans le repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), déterminer les coordonnées du vecteur u⃗\vec{u} sachant que ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4 et (j⃗,u⃗)≡π3(mod2π)(\vec{j}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}.

1

On pose u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}), le vecteur unitaire vertical est j⃗(01)\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

2

On utilise le produit scalaire pour trouver l'ordonnée yy :

3
cos⁡(j⃗,u⃗)=j⃗⋅u⃗∥j⃗∥∥u⃗∥=0⋅x+1⋅y1×4=y4\cos(\vec{j}, \vec{u}) = \frac{\vec{j} \cdot \vec{u}}{\|\vec{j}\| \|\vec{u}\|} = \frac{0 \cdot x + 1 \cdot y}{1 \times 4} = \frac{y}{4}
4

Comme (j⃗,u⃗)≡π3(mod2π)(\vec{j}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}, on a cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, d'où y4=12\frac{y}{4} = \frac{1}{2}, soit y=2y = 2.

5

On utilise le déterminant pour trouver l'abscisse xx :

6
sin⁡(j⃗,u⃗)=det⁡(j⃗,u⃗)∥j⃗∥∥u⃗∥=0⋅y−1⋅x1×4=−x4\sin(\vec{j}, \vec{u}) = \frac{\det(\vec{j}, \vec{u})}{\|\vec{j}\| \|\vec{u}\|} = \frac{0 \cdot y - 1 \cdot x}{1 \times 4} = \frac{-x}{4}
7

Comme sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, on a −x4=32\frac{-x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}, soit x=−23x = -2\sqrt{3}.

8

Les coordonnées du vecteur sont u⃗(−232)\vec{u}\begin{pmatrix} -2\sqrt{3} \\ 2 \end{pmatrix}.

Piège classique · 10

Dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), un vecteur w⃗\vec{w} vérifie ∥w⃗∥=6\|\vec{w}\| = 6 et (j⃗,w⃗)≡π6(mod2π)(\vec{j}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}. Quelle est son abscisse xx ?

Attention

Écrire x=6cos⁡(π6)=33x = 6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} en associant l'abscisse au cosinus par automatisme.

À la place : L'angle est repéré par rapport à j⃗(0,1)\vec{j}(0, 1), donc sin⁡(j⃗,w⃗)=det⁡(j⃗,w⃗)∥w⃗∥=−x6\sin(\vec{j}, \vec{w}) = \frac{\det(\vec{j}, \vec{w})}{\|\vec{w}\|} = \frac{-x}{6}. Comme sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, on a −x6=12  ⟺  x=−3\frac{-x}{6} = \frac{1}{2} \iff x = -3.

Vérification · 11

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on considère le triangle ABCABC tel que AB=5AB = 5, AC=4AC = 4 et (AB⃗,AC⃗)≡2π3(mod2π)(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}. Quelle est l'aire du triangle ABCABC ?

Remarque

L'aire est A=12∣det⁡(AB⃗,AC⃗)∣=12AB×AC×∣sin⁡(2π3)∣=12×5×4×32=53\mathcal{A} = \frac{1}{2} |\det(\vec{AB}, \vec{AC})| = \frac{1}{2} AB \times AC \times \left|\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right| = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.

Point de départ · 12

Pour deux réels aa et bb, a-t-on l'égalité cos⁡(a+b)=cos⁡a+cos⁡b\cos(a+b) = \cos a + \cos b ?

Remarque

Non, la fonction cosinus n'est pas linéaire. Par exemple, pour a=π2a = \frac{\pi}{2} et b=π2b = \frac{\pi}{2}, on a cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1, alors que cos⁡(π2)+cos⁡(π2)=0+0=0\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 0 = 0. Il faut donc des formules spécifiques pour développer cos⁡(a+b)\cos(a+b) et sin⁡(a+b)\sin(a+b).

Définition · 13

Formules d'addition et de soustraction

Pour tous réels aa et bb, on a les identités fondamentales :

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Pour tous réels aa et bb tels que tan⁡a\tan a, tan⁡b\tan b et tan⁡(a±b)\tan(a \pm b) existent :

tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡bettan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \quad \text{et} \quad \tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}

Exemple travaillé · 14

En écrivant π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}, calculer la valeur exacte de cos⁡(π12)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right).

1

On applique la formule de soustraction cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b avec a=π3a = \frac{\pi}{3} et b=π4b = \frac{\pi}{4} :

2
cos⁡(π12)=cos⁡(π3−π4)=cos⁡(π3)cos⁡(π4)+sin⁡(π3)sin⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
3

On remplace par les valeurs remarquables :

4
cos⁡(π12)=(12)(22)+(32)(22)=24+64\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}
5
cos⁡(π12)=6+24\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Exemple travaillé · 15

Montrer que pour tout x≠kπ2x \neq k\frac{\pi}{2} (k∈Zk \in \mathbb{Z}) :
sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2

1

On réduit au même dénominateur sans développer prématurément sin⁡3x\sin 3x et cos⁡3x\cos 3x :

2
sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = \frac{\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x}
3

On reconnaît au numérateur la formule sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b avec a=3xa = 3x et b=xb = x :

4
sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡x=sin⁡(3x−x)=sin⁡2x\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \sin(3x - x) = \sin 2x
5

On utilise la duplication sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x pour simplifier la fraction :

6
sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡xsin⁡xcos⁡x=2\frac{\sin 2x}{\sin x \cos x} = \frac{2\sin x \cos x}{\sin x \cos x} = 2

Piège classique · 16

Quelle est l'expression correcte de cos⁡(a−b)\cos(a-b) ?

Attention

Écrire cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b en conservant le signe « - » par analogie avec le sinus.

À la place : Pour le cosinus, le signe de l'opération s'inverse : cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b, alors que cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

Vérification · 17

En utilisant 5π12=π6+π4\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}, quelle est la valeur exacte de sin⁡(5π12)\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) ?

Remarque

On applique sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b :
sin⁡(5π12)=sin⁡(π6)cos⁡(π4)+cos⁡(π6)sin⁡(π4)=1222+3222=6+24\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Définition · 18

Formules de duplication et de linéarisation

Pour tout réel xx, en posant a=b=xa = b = x dans les formules d'addition, on obtient les formules de duplication :

sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x

cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

Pour tout réel xx tel que tan⁡x\tan x et tan⁡(2x)\tan(2x) existent :

tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

En isolant cos⁡2x\cos^2 x et sin⁡2x\sin^2 x dans l'expression de cos⁡(2x)\cos(2x), on obtient les formules de linéarisation :

cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2etsin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \quad \text{et} \quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

Exemple travaillé · 19

On donne cos⁡a=2+32\cos a = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} avec 0<a<π20 < a < \frac{\pi}{2}. Calculer cos⁡(2a)\cos(2a) puis en déduire la valeur exacte de aa.

1

On applique la formule de duplication cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 :

2
cos⁡(2a)=2(2+32)2−1=2(2+34)−1=2+32−1=32\cos(2a) = 2\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) - 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}
3

On résout l'équation cos⁡(2a)=32=cos⁡(π6)\cos(2a) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) :

4
2a=π6+2kπou2a=−π6+2kπ(k∈Z)2a = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2a = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

On divise par 2 pour isoler aa : a=π12+kπa = \frac{\pi}{12} + k\pi ou a=−π12+kπa = -\frac{\pi}{12} + k\pi.

6

Comme 0<a<π20 < a < \frac{\pi}{2}, la seule valeur admissible dans cet intervalle est a=π12a = \frac{\pi}{12}.

Exemple travaillé · 20

Exprimer l'expression A(x)=5cos⁡2x−3sin⁡2xA(x) = 5\cos^2 x - 3\sin^2 x sous forme d'une fonction affine de cos⁡(2x)\cos(2x).

1

On remplace cos⁡2x\cos^2 x et sin⁡2x\sin^2 x par leurs formules de linéarisation respectives :

2
A(x)=5(1+cos⁡(2x)2)−3(1−cos⁡(2x)2)A(x) = 5\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) - 3\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)
3

On sépare les termes constants et les termes contenant cos⁡(2x)\cos(2x) :

4
A(x)=52+52cos⁡(2x)−32+32cos⁡(2x)A(x) = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos(2x) - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos(2x)
5
A(x)=5−32+(5+32)cos⁡(2x)=1+4cos⁡(2x)A(x) = \frac{5-3}{2} + \left(\frac{5+3}{2}\right)\cos(2x) = 1 + 4\cos(2x)

Piège classique · 21

Parmi les égalités de linéarisation suivantes, laquelle est exacte ?

Attention

Confondre le signe dans les formules de linéarisation en écrivant sin⁡2x=1+cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} au lieu du signe moins.

À la place : C'est le cosinus carré qui porte le signe « + » et le sinus carré qui porte le signe « - » : cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} et sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}.

Vérification · 22

Soit xx un réel tel que sin⁡x=14\sin x = \frac{1}{4}. Quelle est la valeur de cos⁡(2x)\cos(2x) ?

Remarque

On applique directement la formule de duplication cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x :
cos⁡(2x)=1−2(14)2=1−2×116=1−18=78\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \times \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

Point de départ · 23

Comment transformer une somme du type cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x en une seule fonction trigonométrique ?

Remarque

En multipliant et divisant par 12+12=2\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, on fait apparaître des valeurs remarquables : 2(12cos⁡x+12sin⁡x)=2(cos⁡π4cos⁡x+sin⁡π4sin⁡x)=2cos⁡(x−π4)\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right).

Définition · 24

Transformation de la combinaison linéaire acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x

Soient aa et bb deux réels non tous deux nuls. Pour tout réel xx, la combinaison linéaire acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x s'écrit sous la forme d'un cosinus déphasé :

acos⁡x+bsin⁡x=rcos⁡(x−φ)a\cos x + b\sin x = r\cos(x - \varphi)

où l'amplitude rr et l'angle auxiliaire φ\varphi sont définis par :

r=a2+b2,cos⁡φ=ar,sin⁡φ=brr = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos\varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{r}

Exemple travaillé · 25

Écrire l'expression f(x)=3cos⁡x−sin⁡xf(x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x sous la forme rcos⁡(x−φ)r\cos(x - \varphi) avec r>0r > 0 et φ∈]−π;π]\varphi \in ]-\pi ; \pi].

1

On identifie a=3a = \sqrt{3} et b=−1b = -1, puis on calcule l'amplitude r=a2+b2r = \sqrt{a^2+b^2} :

2
r=(3)2+(−1)2=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
3

On factorise par r=2r = 2 :

4
f(x)=2(32cos⁡x−12sin⁡x)f(x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right)
5

On cherche l'angle auxiliaire φ\varphi tel que cos⁡φ=32\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡φ=−12\sin\varphi = -\frac{1}{2}, ce qui donne φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}.

6

On applique la formule d'addition cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ=cos⁡(x−φ)\cos x\cos\varphi + \sin x\sin\varphi = \cos(x-\varphi) :

7
f(x)=2cos⁡(x−(−π6))=2cos⁡(x+π6)f(x) = 2\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)

Exemple travaillé · 26

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 3cos⁡x−sin⁡x=2\sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2}.

1

On transforme le membre de gauche sous forme d'amplitude-phase :

2
2cos⁡(x+π6)=2  ⟺  cos⁡(x+π6)=222\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \iff \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
3

On reconnaît cos⁡(π4)=22\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, ce qui donne les deux familles de solutions :

4
x+π6=π4+2kπoux+π6=−π4+2kπ(k∈Z)x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

On isole xx en mettant les fractions au dénominateur commun 1212 :

6
x=3π12−2π12+2kπ=π12+2kπoux=−3π12−2π12+2kπ=−5π12+2kπx = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2k\pi = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi
7

L'ensemble des solutions est SR={π12+2kπ,−5π12+2kπ∣k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{\pi}{12} + 2k\pi, -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.

Piège classique · 27

Dans la factorisation de cos⁡x−3sin⁡x=2(12cos⁡x−32sin⁡x)\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right), quelle est la forme réduite en cosinus déphasé ?

Attention

Écrire 2cos⁡(x−π3)2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) en confondant le signe dans la formule d'addition du cosinus.

À la place : Avec cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} et sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, l'expression dans la parenthèse est cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3=cos⁡(x+π3)\cos x\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\sin\frac{\pi}{3} = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right).

Vérification · 28

Parmi les réels suivants, lequel est une solution de l'équation cos⁡x+sin⁡x=2\cos x + \sin x = \sqrt{2} ?

Remarque

On transforme : cos⁡x+sin⁡x=2cos⁡(x−π4)\cos x + \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right). L'équation s'écrit 2cos⁡(x−π4)=2  ⟺  cos⁡(x−π4)=1\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \iff \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1, ce qui donne x−π4=2kπ  ⟺  x=π4+2kπx - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi.

Point de départ · 29

Combien de solutions l'équation cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 admet-elle dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ ?

Remarque

Lorsque x∈[0,2π[x \in [0, 2\pi[, l'argument 2x2x parcourt deux tours complets [0,4π[[0, 4\pi[. L'équation cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 s'annule en 2x∈{π2,3π2,5π2,7π2}2x \in \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right\}, ce qui donne 4 solutions pour xx : π4,3π4,5π4,7π4\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}.

Définition · 30

Résolution des équations trigonométriques fondamentales

Pour tout réel a∈[−1;1]a \in [-1 ; 1], il existe un réel α\alpha tel que cos⁡α=a\cos\alpha = a (ou sin⁡α=a\sin\alpha = a). Les résolutions dans R\mathbb{R} s'écrivent avec k∈Zk \in \mathbb{Z} :

cos⁡X=cos⁡α  ⟺  X=α+2kπouX=−α+2kπ\cos X = \cos\alpha \iff X = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad X = -\alpha + 2k\pi

sin⁡X=sin⁡α  ⟺  X=α+2kπouX=π−α+2kπ\sin X = \sin\alpha \iff X = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad X = \pi - \alpha + 2k\pi

tan⁡X=tan⁡α  ⟺  X=α+kπ\tan X = \tan\alpha \iff X = \alpha + k\pi

Si a∉[−1;1]a \notin [-1 ; 1], les équations cos⁡X=a\cos X = a et sin⁡X=a\sin X = a n'ont aucune solution réelle.

Exemple travaillé · 31

Résoudre dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ l'équation 2cos⁡(2x)−3=02\cos(2x) - \sqrt{3} = 0.

1

On isole le cosinus pour se ramener à une valeur remarquable :

2
cos⁡(2x)=32=cos⁡(π6)\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
3

On applique la règle de résolution générale dans R\mathbb{R} pour l'argument 2x2x :

4
2x=π6+2kπou2x=−π6+2kπ(k∈Z)2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

On divise tous les termes (y compris la période 2kπ2k\pi) par 2 pour obtenir xx :

6
x=π12+kπoux=−π12+kπ(k∈Z)x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
7

On filtre les entiers kk pour obtenir les solutions appartenant à [0,2π[[0, 2\pi[ :
- Pour x=π12+kπx = \frac{\pi}{12} + k\pi : avec k=0  ⟹  π12k=0 \implies \frac{\pi}{12}, avec k=1  ⟹  13π12k=1 \implies \frac{13\pi}{12}.
- Pour x=−π12+kπx = -\frac{\pi}{12} + k\pi : avec k=1  ⟹  11π12k=1 \implies \frac{11\pi}{12}, avec k=2  ⟹  23π12k=2 \implies \frac{23\pi}{12}.

8

L'ensemble des solutions est S[0,2π[={π12,11π12,13π12,23π12}S_{[0, 2\pi[} = \left\{\frac{\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}\right\}.

Exemple travaillé · 32

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2cos⁡2x+3cos⁡x−3=02\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x - 3 = 0.

1

On effectue le changement de variable t=cos⁡xt = \cos x avec la contrainte t∈[−1;1]t \in [-1 ; 1].

2
2t2+3t−3=02t^2 + \sqrt{3}t - 3 = 0
3

On calcule le discriminant : Δ=(3)2−4(2)(−3)=3+24=27=(33)2\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4(2)(-3) = 3 + 24 = 27 = (3\sqrt{3})^2.

4
t1=−3+334=234=32ett2=−3−334=−3t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}
5

Comme −3<−1-\sqrt{3} < -1, la valeur t2t_2 est impossible car cos⁡x∈[−1;1]\cos x \in [-1 ; 1]. On résout uniquement cos⁡x=32=cos⁡(π6)\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right).

6
SR={π6+2kπ,−π6+2kπ∣k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{\pi}{6} + 2k\pi, -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Piège classique · 33

On résout l'équation 2sin⁡2x−7sin⁡x+3=02\sin^2 x - 7\sin x + 3 = 0. Le trinôme en t=sin⁡xt = \sin x donne pour racines t1=3t_1 = 3 et t2=12t_2 = \frac{1}{2}. Quelles sont les équations à résoudre pour trouver xx ?

Attention

Chercher à résoudre sin⁡x=3\sin x = 3 en tentant des calculs d'angles impossibles.

À la place : Pour tout réel xx, on a −1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1. L'équation sin⁡x=3\sin x = 3 n'admet aucune solution réelle. On ne résout que sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}.

Vérification · 34

Combien de solutions l'équation sin⁡(2x)=12\sin(2x) = \frac{1}{2} possède-t-elle dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ ?

Remarque

Dans R\mathbb{R}, 2x=π6+2kπ  ⟹  x=π12+kπ2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{12} + k\pi et 2x=5π6+2kπ  ⟹  x=5π12+kπ2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + k\pi. Sur [0,2π[[0, 2\pi[, on obtient 4 solutions : π12,5π12,13π12,17π12\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}.

Point de départ · 35

Sur l'intervalle [0;2π[[0 ; 2\pi[, l'inéquation cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2} correspond aux points du cercle situés à droite de la droite x=12x = \frac{1}{2}. Peut-on écrire les solutions sous la forme d'un seul intervalle [5π3;π3]\left[\frac{5\pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right] ?

Remarque

Non. Les bornes d'un intervalle doivent respecter l'ordre croissant a≤ba \le b. Comme 5π3>π3\frac{5\pi}{3} > \frac{\pi}{3}, l'arc traversant l'angle 00 se scinde en deux intervalles dans [0;2π[[0 ; 2\pi[ : [0;π3]∪[5π3;2π[\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right[.

Définition · 36

Résolution graphique d'inéquations trigonométriques

Pour résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné, on détermine les points frontières sur le cercle trigonométrique :

cos⁡x≥a  ⟺  x correspond aˋ l’arc situeˊ aˋ droite de la droite X=a\cos x \ge a \iff x \text{ correspond à l'arc situé à droite de la droite } X = a

sin⁡x≥a  ⟺  x correspond aˋ l’arc situeˊ au-dessus de la droite Y=a\sin x \ge a \iff x \text{ correspond à l'arc situé au-dessus de la droite } Y = a

Sur l'intervalle [0;2π[[0 ; 2\pi[, si l'arc solution contient l'origine des angles (00), l'ensemble des solutions s'écrit obligatoirement sous la forme d'une réunion de deux intervalles disjoints : [0;α]∪[β;2π[[0 ; \alpha] \cup [\beta ; 2\pi[.

Exemple travaillé · 37

Résoudre dans [0;2π[[0 ; 2\pi[ l'inéquation cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2}.

1

On résout l'équation frontière cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} dans [0;2π[[0 ; 2\pi[ :

2
x=π3oux=2π−π3=5π3x = \frac{\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
3

La condition cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2} correspond aux points du cercle situés à droite de la droite verticale X=12X = \frac{1}{2}.

4

En parcourant l'intervalle [0;2π[[0 ; 2\pi[ à partir de 00, on traverse d'abord l'arc de 00 à π3\frac{\pi}{3}, puis l'arc de 5π3\frac{5\pi}{3} à 2π2\pi (exclu).

5
S[0;2π[=[0;π3]∪[5π3;2π[S_{[0 ; 2\pi[} = \left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right[

Exemple travaillé · 38

Résoudre dans [0;2π][0 ; 2\pi] l'inéquation 2sin⁡(2x)−1>02\sin(2x) - 1 > 0.

1

On isole le sinus : sin⁡(2x)>12\sin(2x) > \frac{1}{2}.

2

On pose t=2xt = 2x. Comme x∈[0;2π]x \in [0 ; 2\pi], l'inconnue auxiliaire tt parcourt deux tours complets : t∈[0;4π]t \in [0 ; 4\pi].

3

Sur le premier tour [0;2π][0 ; 2\pi], sin⁡t>12  ⟺  t∈]π6;5π6[\sin t > \frac{1}{2} \iff t \in \left]\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right[.

4

Sur le second tour [2π;4π][2\pi ; 4\pi], on ajoute 2π2\pi aux bornes : t∈]2π+π6;2π+5π6[=]13π6;17π6[t \in \left]2\pi + \frac{\pi}{6} ; 2\pi + \frac{5\pi}{6}\right[ = \left]\frac{13\pi}{6} ; \frac{17\pi}{6}\right[.

5

On revient à x=t2x = \frac{t}{2} en divisant toutes les bornes par 22 :

6
S[0;2π]=]π12;5π12[∪]13π12;17π12[S_{[0 ; 2\pi]} = \left]\frac{\pi}{12} ; \frac{5\pi}{12}\right[ \cup \left]\frac{13\pi}{12} ; \frac{17\pi}{12}\right[

Piège classique · 39

On résout l'inéquation cos⁡x≥22\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} dans l'intervalle [0;2π[[0 ; 2\pi[. Quelle est l'écriture correcte de l'ensemble des solutions ?

Attention

Écrire [−π4;π4]\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right] ou [7π4;π4]\left[\frac{7\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right] sans tenir compte de la coupure en 00 imposée par [0;2π[[0 ; 2\pi[.

À la place : Dans [0;2π[[0 ; 2\pi[, les angles sont positifs et bornés par 00 et 2π2\pi. L'arc traversant l'angle nul se coupe en deux segments distincts : [0;π4]∪[7π4;2π[\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4} ; 2\pi\right[.

Vérification · 40

Quel est l'ensemble des solutions dans [0;2π[[0 ; 2\pi[ de l'inéquation sin⁡x≥32\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} ?

Remarque

Les angles vérifiant sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} sont π3\frac{\pi}{3} et 2π3\frac{2\pi}{3}. L'ordonnée est supérieure à 32\frac{\sqrt{3}}{2} sur l'arc supérieur continu entre ces deux valeurs : S=[π3;2π3]S = \left[\frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3}\right].

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Ce chapitre compte 0 exercices dans Lumio, servis un par un selon ce que tu réussis et ce que tu rates, avec la correction détaillée à chaque étape.

Créer mon compte gratuitement