Angles orientés — exercices corrigés

Le plan est orienté dans le sens direct. On considère un triangle équilatéral $OLK$ de côté $1$. On désigne par $D$ le symétrique de $K$ par rapport à $O$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $L$.

1. 1. Déterminer la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ de l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$.

   Indice — Utilise la propriété géométrique du triangle équilatéral direct pour lire directement la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Correction

   Le triangle $OLK$ étant équilatéral direct, l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$ a pour mesure principale $\frac{\pi}{3}$. Comme cette valeur appartient à l'intervalle $[0, 2\pi[$, la mesure recherchée est $\frac{\pi}{3}$.

2. 2. Calculer la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ de l'angle orienté $(2\vec{OK}, \vec{OD})$, sachant que $D$ est le symétrique de $K$ par rapport à $O$.

   Indice — Rappelle-toi qu'un scalaire positif ne modifie pas l'angle orienté, et que deux vecteurs opposés forment un angle plat.

   Correction

   Le point $D$ étant le symétrique de $K$ par rapport à $O$, on a $\vec{OD} = -\vec{OK}$. De plus, multiplier un vecteur par un réel strictement positif ne modifie pas son sens, donc $(2\vec{OK}, \vec{OD}) = (\vec{OK}, \vec{OD}) \pmod{2\pi}$. On en déduit que $(2\vec{OK}, \vec{OD}) = (\vec{OK}, -\vec{OK}) = \pi \pmod{2\pi}$. La mesure recherchée est donc $\pi$.

3. 3. Déterminer la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ de l'angle orienté $(\vec{OK}, \vec{OF})$, où $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$.

   Indice — Utilise la relation de colinéarité et de même sens entre $\vec{OF}$ et $\vec{OL}$ pour exprimer l'angle par rapport au premier vecteur du triangle initial.

   Correction

   Puisque $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, on a $\vec{OF} = 2\vec{OL}$. Les vecteurs $\vec{OF}$ et $\vec{OL}$ sont colinéaires et de même sens, d'où $(\vec{OK}, \vec{OF}) = (\vec{OK}, \vec{OL}) \pmod{2\pi}$. Par inversion des vecteurs, $(\vec{OK}, \vec{OL}) = -(\vec{OL}, \vec{OK}) = -\frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. Pour obtenir une mesure dans $[0, 2\pi[$, on ajoute $2\pi$, ce qui donne $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

4. 4. Trouver la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ de l'angle orienté $(\vec{OD}, \vec{OL})$.

   Indice — Remplace le vecteur $\vec{OD}$ par son opposé $\vec{OK}$ en appliquant la formule de l'angle avec un vecteur opposé.

   Correction

   En remplaçant $\vec{OD}$ par $-\vec{OK}$, on obtient $(\vec{OD}, \vec{OL}) = (-\vec{OK}, \vec{OL}) \pmod{2\pi}$. En appliquant la propriété de l'angle avec un vecteur opposé, on a $(-\vec{OK}, \vec{OL}) = (\vec{OK}, \vec{OL}) + \pi \pmod{2\pi}$. En réutilisant la valeur $(\vec{OK}, \vec{OL}) = -\frac{\pi}{3}$ établie à la question précédente, on trouve $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$, qui appartient bien à $[0, 2\pi[$.

5. 5. Calculer la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ de l'angle orienté $(\vec{LF}, \vec{KO})$.

   Indice — Décompose ou simplifie l'angle en tenant compte du fait que $\vec{LF}$ est colinéaire et de même sens que $\vec{OL}$, puis utilise les propriétés des vecteurs opposés.

   Correction

   Par symétrie de $O$ par rapport à $L$, on a $\vec{LF} = \vec{OL}$. De plus, par définition, $\vec{KO} = -\vec{OK}$.

   On exprime l'angle recherché en substituant ces vecteurs :
   $$(\vec{LF}, \vec{KO}) = (\vec{OL}, -\vec{OK}) \pmod{2\pi}$$

   En utilisant la propriété des angles orientés $(\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \pmod{2\pi}$, on obtient :
   $$(\vec{LF}, \vec{KO}) = (\vec{OL}, \vec{OK}) + \pi \pmod{2\pi}$$

   Le triangle $OLK$ étant équilatéral et orienté dans le sens direct, on a $(\vec{OL}, \vec{OK}) = \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$.

   On en déduit :
   $$(\vec{LF}, \vec{KO}) = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \pmod{2\pi}$$

   La mesure de l'angle dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ est donc $\frac{4\pi}{3}$.

Le plan étant orienté dans le sens direct, on considère un triangle équilatéral $OLK$ de côté $1$. On désigne par $D$ le symétrique de $K$ par rapport à $O$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $L$.

1. 1. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Indice — Utilise le fait que le triangle est équilatéral et que le plan est orienté dans le sens direct.

   Correction

   Le triangle $OLK$ est équilatéral et orienté dans le sens direct. Par conséquent, l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$ a pour mesure principale $\frac{\pi}{3}$. Comme $\frac{\pi}{3} \in [0, 2\pi[$, la mesure recherchée est $\frac{\pi}{3}$.

2. 2. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(2\vec{OK}, \vec{OD})$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Indice — Utilise le fait que $D$ est le symétrique de $K$ par rapport à $O$, ce qui signifie que $\vec{OD}$ et $\vec{OK}$ sont de sens opposés.

   Correction

   Puisque $D$ est le symétrique de $K$ par rapport à $O$, on a $\vec{OD} = -\vec{OK}$. Le vecteur $2\vec{OK}$ étant colinéaire et de même sens que $\vec{OK}$, on en déduit que les vecteurs $2\vec{OK}$ et $\vec{OD}$ sont colinéaires et de sens opposés. Ainsi, $(2\vec{OK}, \vec{OD}) = \pi \pmod{2\pi}$. La mesure dans $[0, 2\pi[$ est donc $\pi$.

3. 3. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OK}, \vec{OF})$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Indice — Observe la position de $F$ par rapport à $O$ et $L$, puis relie le vecteur $\vec{OF}$ au vecteur $\vec{OL}$.

   Correction

   Par symétrie, $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, ce qui donne $\vec{OF} = 2\vec{OL}$. Par colinéarité de même sens, on a $(\vec{OK}, \vec{OF}) = (\vec{OK}, \vec{OL}) \pmod{2\pi}$. En utilisant la relation de l'angle opposé, $(\vec{OK}, \vec{OL}) = -(\vec{OL}, \vec{OK}) = -\frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. Pour obtenir une mesure dans $[0, 2\pi[$, on ajoute $2\pi$, ce qui donne $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OD}, \vec{OL})$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{OD}$ en fonction de $\vec{OK}$ avant d'utiliser les propriétés des angles orientés avec un vecteur opposé.

   Correction

   En utilisant la relation $\vec{OD} = -\vec{OK}$ établie précédemment, on applique la propriété de l'angle orienté avec un vecteur opposé : $(\vec{OD}, \vec{OL}) = (-\vec{OK}, \vec{OL}) = (\vec{OK}, \vec{OL}) + \pi \pmod{2\pi}$. D'après les résultats précédents, $(\vec{OK}, \vec{OL}) = -\frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. On obtient donc $(\vec{OD}, \vec{OL}) = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$. Cette valeur appartenant à $[0, 2\pi[$, la mesure recherchée est $\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{LO}, \vec{LF})$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$.

   Indice — Utilise la relation entre les vecteurs $\vec{LO}$ et $\vec{LF}$ issus de la définition du symétrique de $O$ par rapport à $L$.

   Correction

   Par définition, $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, ce qui signifie que $L$ est le milieu du segment $[OF]$. Les vecteurs $\vec{LO}$ et $\vec{LF}$ sont donc colinéaires et de sens opposés ($\vec{LF} = -\vec{LO}$). L'angle orienté $(\vec{LO}, \vec{LF})$ est ainsi un angle plat, dont la mesure dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ est égale à $\pi$.

Le plan est orienté dans le sens direct. On considère un triangle équilatéral $OLK$ de côté $1$ tel que $(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$.

On désigne par $D$ le symétrique de $K$ par rapport à $O$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $L$.

Sur votre copie, construire une figure illustrant cette situation en prenant $3\text{ cm}$ pour unité de longueur.

1. 1. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Utilise la nature du triangle $OLK$ et l'orientation directe du plan pour identifier la mesure de cet angle.

   Correction

   Le triangle $OLK$ est équilatéral et le plan est orienté dans le sens direct. On a par énoncé $(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$. Comme $\frac{\pi}{3} \in [0, 2\pi[$, la mesure recherchée est $\frac{\pi}{3}$.

2. 2. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(2\vec{OK}, \vec{OD})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{OD}$ en fonction de $\vec{OK}$ en utilisant la définition de la symétrie centrale, puis conclus sur le sens de ces deux vecteurs.

   Correction

   Puisque $D$ est le symétrique de $K$ par rapport à $O$, on a $\vec{OD} = -\vec{OK}$. Les vecteurs $2\vec{OK}$ et $\vec{OD}$ sont colinéaires et de sens contraires. L'angle orienté $(2\vec{OK}, \vec{OD})$ est donc un angle plat, ce qui donne $(2\vec{OK}, \vec{OD}) \equiv \pi [2\pi]$. La mesure appartenant à l'intervalle $[0, 2\pi[$ est $\pi$.

3. 3. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OK}, \vec{OF})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Repère la position du point $F$ par rapport à $O$ et $L$ pour comparer les directions et sens de $\vec{OF}$ et $\vec{OL}$, puis utilise la relation avec l'angle de la question 1.

   Correction

   Le point $F$ étant le symétrique de $O$ par rapport à $L$, on a $\vec{OF} = 2\vec{OL}$. Les vecteurs $\vec{OF}$ et $\vec{OL}$ sont colinéaires et de même sens, d'où $(\vec{OK}, \vec{OF}) \equiv (\vec{OK}, \vec{OL}) [2\pi]$. Par la propriété d'inversion des vecteurs, $(\vec{OK}, \vec{OL}) \equiv -(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$. En ajoutant $2\pi$, on obtient la mesure dans $[0, 2\pi[$ : $\frac{5\pi}{3}$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OD}, \vec{OL})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Remplace le vecteur $\vec{OD}$ par son expression en fonction de $\vec{OK}$ et applique la propriété de l'angle orienté de deux vecteurs dont l'un est opposé.

   Correction

   En utilisant la relation $\vec{OD} = -\vec{OK}$ et la propriété de l'angle orienté avec un vecteur opposé, on a $(\vec{OD}, \vec{OL}) \equiv (-\vec{OK}, \vec{OL}) \equiv (\vec{OK}, \vec{OL}) + \pi [2\pi]$. En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient $(\vec{OD}, \vec{OL}) \equiv -\frac{\pi}{3} + \pi \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$. La mesure dans $[0, 2\pi[$ est $\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{LO}, \vec{LF})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Analyse la position du point $L$ sur le segment $[OF]$ pour déterminer si les vecteurs $\vec{LO}$ et $\vec{LF}$ sont de même sens ou de sens opposés.

   Correction

   Par définition de la symétrie centrale, $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, ce qui signifie que $L$ est le milieu du segment $[OF]$. Les vecteurs $\vec{LO}$ and $\vec{LF}$ sont donc colinéaires et de sens opposés. On en déduit directement que $(\vec{LO}, \vec{LF}) \equiv \pi \pmod{2\pi}$. La mesure recherchée dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$ est donc $\pi$.

6. 6. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{LF}, \vec{KO})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Exprime les vecteurs $\vec{LF}$ et $\vec{KO}$ en fonction des vecteurs de base du triangle $OLK$, puis utilise les propriétés de l'angle orienté de deux vecteurs opposés.

   Correction

   Puisque $L$ est le milieu de $[OF]$, on a l'égalité vectorielle $\vec{LF} = \vec{OL}$. Par ailleurs, on a $\vec{KO} = -\vec{OK}$. L'angle recherché se réécrit donc $(\vec{OL}, -\vec{OK})$. En utilisant la propriété de l'angle orienté avec un vecteur opposé, on a : $(\vec{OL}, -\vec{OK}) \equiv (\vec{OL}, \vec{OK}) + \pi \pmod{2\pi}$. Comme le triangle $OLK$ est équilatéral direct, on a $(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. On obtient ainsi $(\vec{LF}, \vec{KO}) \equiv \frac{\pi}{3} + \pi \equiv \frac{4\pi}{3} \pmod{2\pi}$. La mesure appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$ est $\frac{4\pi}{3}$.

Le plan est orienté dans le sens direct. On considère un triangle équilatéral $OLK$ de côté $1$ tel que :
$$(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$$
On désigne par $D$ le symétrique de $K$ par rapport à $O$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $L$.

Faire une figure sur votre copie en plaçant les points $O$, $L$, $K$, $D$ et $F$.

1. 1. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OL}, \vec{OK})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Utilise directement l'orientation du triangle équilatéral $OLK$ donnée dans l'énoncé.

   Correction

   Par énoncé, on a $(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$. Comme $\frac{\pi}{3}$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$, la mesure recherchée est $\frac{\pi}{3}$.

2. 2. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(2\vec{OK}, \vec{OD})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Pense à exprimer le vecteur $\vec{OD}$ en fonction de $\vec{OK}$ en utilisant la symétrie centrale, puis applique la règle sur les angles de vecteurs colinéaires de sens opposés.

   Correction

   Le point $D$ étant le symétrique de $K$ par rapport à $O$, on a $\vec{OD} = -\vec{OK}$. Les vecteurs $2\vec{OK}$ et $\vec{OD}$ sont colinéaires et de sens opposés. On en déduit que $(2\vec{OK}, \vec{OD}) \equiv \pi [2\pi]$. La mesure dans $[0\,;\,2\pi[$ est donc $\pi$.

3. 3. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OK}, \vec{OF})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{OF}$ en fonction de $\vec{OL}$ grâce à la symétrie de $O$ par rapport à $L$, puis utilise la relation entre $(\vec{OK}, \vec{OL})$ et $(\vec{OL}, \vec{OK})$.

   Correction

   Comme $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, on a $\vec{OF} = 2\vec{OL}$. Ainsi, $(\vec{OK}, \vec{OF}) \equiv (\vec{OK}, \vec{OL}) [2\pi]$. En utilisant la relation $(\vec{OK}, \vec{OL}) = -(\vec{OL}, \vec{OK})$, on obtient $(\vec{OK}, \vec{OF}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$. En ajoutant $2\pi$, on trouve la mesure dans $[0\,;\,2\pi[$ : $\frac{5\pi}{3}$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OD}, \vec{OL})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Remplace $\vec{OD}$ par son expression en fonction de $\vec{OK}$ et applique la propriété de l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{v})$.

   Correction

   En remplaçant $\vec{OD}$ par $-\vec{OK}$, on a $(\vec{OD}, \vec{OL}) = (-\vec{OK}, \vec{OL})$. D'après la propriété $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$, on obtient $(\vec{OD}, \vec{OL}) \equiv (\vec{OK}, \vec{OL}) + \pi [2\pi]$. En utilisant le résultat de la question précédente $(\vec{OK}, \vec{OL}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$, on trouve $(\vec{OD}, \vec{OL}) \equiv -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} [2\pi]$. La mesure dans $[0\,;\,2\pi[$ est $\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{LO}, \vec{LF})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Analyse la position relative des points $O$, $L$ et $F$ pour déterminer si les vecteurs $\vec{LO}$ et $\vec{LF}$ sont de même sens ou de sens opposés.

   Correction

   Par définition, $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, ce qui signifie que $L$ est le milieu du segment $[OF]$. Les vecteurs $\vec{LO}$ and $\vec{LF}$ sont donc colinéaires et de sens opposés ($\vec{LF} = -\vec{LO}$). Ainsi, la mesure de l'angle orienté $(\vec{LO}, \vec{LF})$ est égale à $\pi$ radians, ce qui appartient bien à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

6. 6. Déterminer la mesure de l'angle orienté $(\vec{LF}, \vec{KO})$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.

   Indice — Remplace $\vec{LF}$ par un vecteur colinéaire de même sens issu de l'origine $O$, et exprime $\vec{KO}$ comme l'opposé de $\vec{OK}$ pour utiliser les propriétés de l'angle de vecteurs opposés.

   Correction

   Comme $F$ est le symétrique de $O$ par rapport à $L$, on a $\vec{LF} = \vec{OL}$. De plus, on a $\vec{KO} = -\vec{OK}$. Par substitution et en utilisant les propriétés des angles orientés, on obtient :
   $$(\vec{LF}, \vec{KO}) \equiv (\vec{OL}, -\vec{OK}) \equiv (\vec{OL}, \vec{OK}) + \pi \pmod{2\pi}$$
   Sachant que $(\vec{OL}, \vec{OK}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$, on en déduit :
   $$(\vec{LF}, \vec{KO}) \equiv \frac{\pi}{3} + \pi \equiv \frac{4\pi}{3} \pmod{2\pi}$$
   La mesure recherchée dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$ est donc $\frac{4\pi}{3}$.

Soit ABC un triangle du plan orienté dans le sens direct. On se propose de déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$ à partir de configurations géométriques et de relations angulaires fondamentales.

1. 1. Dans le plan orienté dans le sens direct, on considère un triangle $ABC$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv -\frac{\pi}{6} [2\pi]$. Exprimer la relation angulaire initiale traduisant la somme des angles orientés du triangle $ABC$.

   Indice — Pense à identifier les hypothèses de base sur le triangle orienté ABC et à poser les mesures de départ conformément aux données de l'énoncé.

   Correction

   D'après la propriété de la somme des angles orientés d'un triangle, la relation fondamentale s'écrit : $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]$.

2. 2. Déterminer la mesure de l'angle orienté formé par deux vecteurs colinéaires de sens opposés introduits sur le côté $[AB]$, à savoir le couple formé par les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$.

   Indice — Rappelle-toi la relation fondamentale liant l'angle de deux vecteurs et l'angle de leurs représentants opposés.

   Correction

   Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ étant colinéaires et de sens opposés (puisque $\vec{BA} = -\vec{AB}$), l'angle orienté formé par ces deux vecteurs est un angle plat : $(\vec{AB}, \vec{BA}) \equiv \pi [2\pi]$.

3. 3. Appliquer la relation de Chasles pour décomposer l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$ en faisant intervenir le sommet intermédiaire $A$.

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour introduire un point stratégique qui relie l'angle recherché $(\vec{CA}, \vec{CB})$ aux autres sommets du triangle.

   Correction

   Par application directe de la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs, l'introduction du point $A$ donne : $(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{CA}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{CB}) [2\pi]$.

4. 4. Exprimer l'angle $(\vec{CA}, \vec{AC})$ en fonction d'un angle plat en tenant compte de l'inversion de l'ordre de ses vecteurs.

   Indice — Observe l'ordre des vecteurs dans $(\vec{CA}, \vec{AC})$ et souviens-toi de la propriété d'inversion.

   Correction

   Les vecteurs $\vec{CA}$ et $\vec{AC}$ étant opposés ($\vec{AC} = -\vec{CA}$), la propriété de l'angle de deux vecteurs opposés donne : $(\vec{CA}, \vec{AC}) \equiv \pi [2\pi]$.

5. 5. Intégrer le vecteur $\vec{AB}$ par la relation de Chasles dans le terme $(\vec{AC}, \vec{CB})$ pour faire apparaître les directions des côtés du triangle.

   Indice — Pense à relier l'angle $(\vec{AC}, \vec{CB})$ aux données initiales de l'énoncé en insérant le vecteur $\vec{AB}$ via la relation de Chasles.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs, on introduit le vecteur $\vec{AB}$ dans l'expression de l'angle $(\vec{AC}, \vec{CB})$ :
   $(\vec{AC}, \vec{CB}) = (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{CB}) \pmod{2\pi}$.

6. 6. Assembler les différentes intermédiaires obtenues pour former l'équation globale de l'angle cherché $(\vec{CA}, \vec{CB})$ modulo $2\pi$.

   Indice — Remplace chaque composante de la décomposition par ses mesures associées en veillant à ne négliger aucun terme correctif de type $\pi$.

   Correction

   On utilise la relation $(\vec{CA}, \vec{CB}) = (\vec{CA}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{CB}) \pmod{2\pi}$. En rappelant que $(\vec{CA}, \vec{AC}) = \pi \pmod{2\pi}$ et en y injectant le résultat de la question précédente, on obtient l'équation globale :
   $(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi + (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{CB}) \pmod{2\pi}$.

7. 7. Simplifier l'expression obtenue en éliminant les termes congrue à $0$ modulo $2\pi$.

   Indice — Regroupe les multiples de $2\pi$ et simplifie l'expression globale de la congruence.

   Correction

   On sait que $(\vec{AB}, \vec{CB}) = (\vec{AB}, \vec{BC}) + \pi \pmod{2\pi}$. En substituant cette égalité dans l'équation globale, on obtient un terme en $2\pi$. Par simplification modulo $2\pi$ (puisque $2\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}$), l'expression se réduit à :
   $(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{BC}) \pmod{2\pi}$.

8. 8. Effectuer la réduction au même dénominateur pour déterminer la valeur algébrique exacte de l'angle $(\vec{CA}, \vec{CB})$ modulo $2\pi$.

   Indice — Mets les fractions sous un dénominateur commun, ici $12$, pour additionner les coefficients rationnels de $\pi$.

   Correction

   En remplaçant les angles par leurs valeurs respectives issues de la configuration du triangle (par exemple $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{4}$), on réduit les fractions au dénominateur commun $12$ :
   $\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
   La mesure principale de l'angle $(\vec{CA}, \vec{CB})$ est ainsi déterminée.

9. 9. Conclure en vérifiant que la valeur obtenue constitue bien la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$.

   Indice — Vérifie l'appartenance de la valeur obtenue à l'intervalle de référence $]-\pi\,;\,\pi]$.

   Correction

   Par définition, la mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure de cet angle qui appartient à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$. En reprenant la valeur obtenue à la question précédente, on vérifie qu'elle appartient bien à cet intervalle de référence. Cette valeur constitue donc directement la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$.