Angles orientés — exercices corrigés

Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral direct $ABC$.

1. 1. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$.

   Indice — Pense à la définition géométrique d'un triangle équilatéral direct et à l'intervalle de la mesure principale $]-\pi\,;\,\pi]$.

   Correction

   Puisque le triangle $ABC$ est équilatéral direct, l'angle géométrique en $A$ mesure $\frac{\pi}{3}$ radians et l'orientation directe (sens trigonométrique) impose le signe positif. La mesure principale de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est donc $\frac{\pi}{3}$.

2. 2. Déduire la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{AC}, \vec{AB})$.

   Indice — Utilise la propriété d'inversion des vecteurs dans un angle orienté : $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv -(\vec{v}, \vec{u}) [2\pi]$.

   Correction

   En utilisant la propriété d'inversion des vecteurs pour les angles orientés, on a $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv -(\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$. Comme $\frac{\pi}{3} \in ]-\pi, \pi]$, la mesure principale recherchée est $-\frac{\pi}{3} .

3. 3. Établir la relation de Chasles pour l'angle orienté $(\vec{BA}, \vec{BC})$ en y faisant intervenir le vecteur $\vec{AC}$.

   Indice — Pense à introduire le vecteur intermédiaire $\vec{AC}$ en utilisant la relation de Chasles.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour les angles orientés avec le vecteur intermédiaire $\vec{AC}$, on obtient : $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv (\vec{BA}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{BC}) [2\pi].

4. 4. Calculer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{BA}, \vec{BC})$.

   Indice — Exprime chaque angle composant à l'aide des côtés du triangle équilatéral direct ABC.

   Correction

   Par symétrie et en utilisant les propriétés des angles d'un triangle équilatéral direct, on détermine que $(\vec{BA}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{AC}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$. En combinant ces valeurs par la relation de Chasles, on obtient $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$. La mesure principale est donc $\frac{\pi}{3} .

5. 5. Déterminer l'ensemble des mesures de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ modulo $2\pi$.

   Indice — Rappelle-toi qu'une mesure quelconque s'obtient en ajoutant un multiple entier de $2\pi$ à la mesure principale.

   Correction

   Puisque le triangle $ABC$ est équilatéral et direct, la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est $\frac{\pi}{3}$ radians. L'ensemble des mesures de cet angle est donc donné par $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

6. 6. Déterminer une mesure de l'angle orienté $(\vec{CB}, \vec{CA})$.

   Indice — Utilise la relation fondamentale entre les angles d'un triangle et les propriétés des angles orientés opposés.

   Correction

   Par symétrie et en utilisant les propriétés des angles d'un triangle équilatéral direct, la mesure de l'angle orienté $(\vec{CB}, \vec{CA})$ est $-\frac{\pi}{3}$ radians (ou équivalemment $\frac{5\pi}{3}$ modulo $2\pi$).

7. 7. Conclure sur la valeur de la somme des mesures principales des angles orientés du triangle ABC dans le sens direct.

   Indice — Examine la congruence de l'angle orienté obtenu pour conclure sur l'alignement ou l'orthogonalité de droites associées.

   Correction

   La somme des mesures principales des angles orientés d'un triangle direct $ABC$ correspond à $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB})$. Chacun de ces angles vaut $\frac{\pi}{3}$ en valeur principale, ce qui donne une somme totale égale à $\pi$ radians.

On considère le plan orienté. Soient $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ des vecteurs non nuls.

1. 1). Exprimer $(\vec{u}, \vec{w})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{v}, \vec{w})$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]$

2. 2). Montrer que $(\vec{u}, -\vec{u}) \equiv \pi [2\pi]$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   Comme $-\vec{u} = (-1)\vec{u}$, l'angle est plat.

3. 3). Exprimer $(-\vec{u}, \vec{v})$ et $(-\vec{u}, -\vec{v})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$ et $(-\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$.

4. 4). Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} [\pi]$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   C'est l'arc capable d'angle $\frac{\pi}{3}$ s'appuyant sur $[AB]$.

5. 5). Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv 0 [\pi]$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   La droite $(AB)$ privée des points $A$ et $B$.

6. 6). Soient $A, B, C, D$ quatre points distincts. Montrer que $A, B, C, D$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv (\vec{BC}, \vec{BD}) [\pi]$.

   Indice — $\dots$

   Correction

   Propriété de l'arc capable.

Dans le plan orienté, on considère un cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ de centre $O$ muni d'un repère orthonormé direct $(\vec{i}, \vec{j})$, et des points remarquables placés sur ce cercle.

1. 1. Dans le plan orienté, on considère un cercle trigonométrique de centre $O$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OB})$ dont une mesure en radians est $\frac{17\pi}{3}$.

   Indice — Exprime l'angle initial sous la forme $\theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ et $\theta \in ]-\pi\,;\,\pi]$.

   Correction

   Pour déterminer la mesure principale, on soustrait ou on ajoute des multiples de $2\pi$ afin de se ramener dans l'intervalle $]-\pi\,;\,]$, en écrivant $\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi - \pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3} = 3(2\pi) - \frac{\pi}{3}$. La mesure principale de l'angle orienté est donc $-\frac{\pi}{3}rad$.

2. 2. Soit un point $C$ du plan tel que $(\vec{OB}, \vec{OC}) \equiv -\frac{5\pi}{4} [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OC})$ en utilisant le résultat de la question précédente.

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour introduire le vecteur directeur intermédiaire du repère.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles, on décompose l'angle $(\vec{OA}, \vec{OC})$ en $(\vec{OA}, \vec{OB}) + (\vec{OB}, \vec{OC})$. En remplaçant par les valeurs obtenues, on a $\frac{-\pi}{3} - \frac{5\pi}{4} = \frac{-4\pi - 15\pi}{12} = -\frac{19\pi}{12}$. Pour obtenir la mesure principale, on ajoute $2\pi$ (soit $\frac{24\pi}{12}$), ce qui donne $\frac{5\pi}{12}rad$.

3. 3. Calculer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{AC})$ sachant que le triangle $OAC$ possède les mesures angulaires établies précédemment.

   Indice — Pense à décomposer l'angle à l'aide de la relation de Chasles en passant par l'un des vecteurs de base.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles pour introduire le vecteur $\vec{OA}$, on écrit $(\vec{OB}, \vec{AC})$ via les angles du triangle. Par propriété des angles orientés et de la géométrie du cercle, on décompose l'angle en $(\vec{OB}, \vec{OA}) + (\vec{OA}, \vec{AC})$. En exploitant les mesures des angles de l'énoncé et la symétrie du triangle isocèle $OAC$, on obtient après calculs une mesure principale égale à $\frac{11\pi}{12}rad$.

4. 4. Déterminer l'ensemble des points $M$ du cercle trigonométrique dont les mesures des angles orientés $(\vec{OA}, \vec{OM})$ satisfont la relation $(\vec{OA}, \vec{OM}) \equiv \frac{\pi}{3} [\pi]$.

   Indice — Examine la position des points sur le cercle trigonométrique et vérifie l'appartenance à l'arc capable ou aux conditions de colinéarité.

   Correction

   La condition modulo $\pi$ (et non $2\pi$) signifie que le vecteur $\vec{OM}$ est soit colinéaire de même sens, soit de sens contraires au vecteur associé à l'angle de $\frac{\pi}{3}$. Sur le cercle trigonométrique, cela correspond à l'ensemble des points d'affixes associés à $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ (ou encore $\frac{\pi}{3}$ et $-\frac{2\pi}{3}$), soit deux points diamétralement opposés sur le cercle.

5. 5. Exprimer la mesure principale d'un nouvel angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OM'})$ tel que $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, en exploitant la périodicité et le résultat de l'étape précédente.

   Indice — Applique les propriétés de multiplication par un scalaire négatif sur les angles orientés $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Correction

   En utilisant la relation des angles opposés pour l'opposé d'un vecteur ($\vec{OM'} = -\vec{OM}$), on obtient $(\vec{OB}, \vec{OM'}) = (\vec{OB}, \vec{OM}) + \pi$. En exploitant la mesure obtenue à l'étape précédente, on ajoute $\pi$ à cette valeur.

6. 6. Simplifier l'expression trigonométrique de la mesure obtenue à l'étape précédente pour aboutir à une valeur fractionnaire irréductible de $\pi$.

   Indice — Simplifie l'expression angulaire en réduisant au même dénominateur et en extrayant le multiple de $2\pi$ approprié.

   Correction

   On réduit au même dénominateur l'expression angulaire obtenue puis on retranche un multiple de $2\pi$ si nécessaire pour ramener la mesure dans l'intervalle ]$-\pi, \pi$]. Cela conduit à la valeur fractionnaire irréductible $-\frac{\pi}{4}$.

7. 7. Conclure sur la position finale du point $M'$ sur le cercle trigonométrique par rapport aux points de repère initiaux.

   Indice — Identifie la position exacte du point $M'$ sur le cercle trigonométrique à partir de sa mesure principale.

   Correction

   La mesure principale étant $-\frac{\pi}{4}$, le point $M'$ se situe dans le quatrième quadrant du cercle trigonométrique, correspondant à l'angle de $-45^\circ$, symétrique du point de repère associé à $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des abscisses.

On considère un plan orienté et des points distincts $A$ et $B$. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls.

1. 1). Soit $\alpha$ une mesure d'un angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$. Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{v})$ soit plat.

   Indice — Considère la définition de la mesure principale d'un angle orienté dans l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$.

   Correction

   On utilise la propriété de linéarité des angles orientés : $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$. Pour que cet angle soit plat, il faut que $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi [2\pi]$. En substituant, on obtient $\alpha + \pi \equiv \pi [2\pi]$, ce qui implique $\alpha \equiv 0 [2\pi]$. La condition nécessaire et suffisante est donc que $\alpha$ soit un multiple pair de $\pi$.

2. 2). Soient $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ trois vecteurs non nuls. Exprimer $(\vec{u}, \vec{w})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{v}, \vec{w})$ lorsque $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{v}, \vec{w}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$.

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour les angles orientés : $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]$.

   Correction

   D'après la relation de Chasles pour les angles orientés, on a $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données : $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} [2\pi]$. En réduisant au même dénominateur, on obtient $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{12} [2\pi]$.

3. 3). Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$.

   Indice — Rappelle-toi que $(a\vec{u}, b\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$ si $ab < 0$.

   Correction

   Pour des scalaires $a, b > 0$, on a $(a\vec{u}, b\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$. Ici, $a=2$ et $b=-3$, donc $ab = -6 < 0$. La propriété des angles orientés indique alors $(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$. Avec $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$, on obtient $\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. La mesure principale dans $]-\pi, \pi]$ est donc $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$.

4. 4). Soit $s$ une symétrie axiale d'axe $\Delta$. Si $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \theta [2\pi]$, quelle est la mesure de l'angle orienté $(s(\vec{u}), s(\vec{v}))$ ?

   Indice — Pense à la propriété de la symétrie axiale sur les angles orientés : $(\vec{s}(u), \vec{s}(v)) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$.

   Correction

   La symétrie axiale est une isométrie indirecte, ce qui signifie qu'elle inverse l'orientation du plan. La propriété fondamentale est $(s(\vec{u}), s(\vec{v})) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$. Ainsi, si $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \theta [2\pi]$, alors $(s(\vec{u}), s(\vec{v})) \equiv -\theta [2\pi]$.

5. 5). Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et $A, B$ deux points sur $\mathcal{C}$. Soit $M$ un point sur le cercle tel que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$. Déterminer l'ensemble des points $N$ du cercle tels que $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$.

   Indice — Utilise le fait que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv (\vec{NA}, \vec{NB}) [2\pi]$ si $M$ et $N$ sont sur le même arc de cercle.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, l'ensemble des points $N$ du cercle tels que $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv \alpha [\pi]$ est l'arc de cercle délimité par $A$ et $B$. Ici, comme $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$, l'ensemble des points $N$ est l'arc de cercle $\overset{\frown}{AB}$ contenant $M$ (privé des points $A$ et $B$ pour que les vecteurs soient bien définis).

6. 6). Déterminer l'ensemble des points $P$ du cercle tels que $(\vec{PA}, \vec{PB}) \equiv -\frac{3\pi}{4} [2\pi]$.

   Indice — Considère la position de $N$ par rapport à la corde $[AB]$ et la mesure de l'angle orienté.

   Correction

   L'ensemble des points $P$ tels que $(\vec{PA}, \vec{PB}) \equiv -\frac{3\pi}{4} [2\pi]$ correspond à l'arc de cercle supplémentaire. Puisque la mesure est différente de $\frac{\pi}{4}$, $P$ appartient à l'arc de cercle $\overset{\frown}{AB}$ qui ne contient pas $M$.

7. 7). En déduire la mesure de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OB})$ en fonction de la mesure de l'angle $(\vec{MA}, \vec{MB})$ obtenue précédemment.

   Indice — Pense à la relation entre les angles inscrits et l'angle au centre.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle au centre, la mesure de l'angle au centre $(\vec{OA}, \vec{OB})$ est égale au double de la mesure de l'angle inscrit $(\vec{MA}, \vec{MB})$ interceptant le même arc. Ainsi, $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2 \times \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$.

8. 8). Soit $I$ le milieu de l'arc $\overset{\frown}{AB}$ ne contenant pas $M$. Montrer que $(\vec{IA}, \vec{IM}) \equiv (\vec{IM}, \vec{IB}) [2\pi]$.

   Indice — Utilise la propriété de la bissectrice et les angles orientés.

   Correction

   Le point $I$ étant le milieu de l'arc $\overset{\frown}{AB}$, la droite $(OI)$ est la bissectrice de l'angle $(\vec{OA}, \vec{OB})$. Par la propriété de l'angle inscrit, l'arc $AI$ est égal à l'arc $IB$, ce qui implique l'égalité des angles inscrits $(\vec{IA}, \vec{IM}) \equiv (\vec{IM}, \vec{IB}) [2\pi]$, confirmant que $(IM)$ est la bissectrice de l'angle $(\vec{IA}, \vec{IB})$.

9. 9). Soit $K$ un point tel que $(\vec{KA}, \vec{KB}) \equiv \pi [2\pi]$. Quelle est la position de $K$ par rapport au segment $[AB]$ ?

   Indice — Pense à la définition de l'angle plat et à la mesure principale.

   Correction

   L'égalité $(\vec{KA}, \vec{KB}) \equiv \pi [2\pi]$ signifie que les vecteurs $\vec{KA}$ et $\vec{KB}$ sont colinéaires et de sens opposés. Le point $K$ appartient donc au segment $[AB]$, hors extrémités, soit $K \in ]AB[$.

10. 10). Si $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$, quelle est la nature du triangle $MAB$ ? Justifier en utilisant les mesures d'angles orientés.

    Indice — Utilise la relation de Chasles et les résultats précédents pour conclure sur la nature du triangle.

    Correction

    Puisque $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$, les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont orthogonaux. Les droites $(MA)$ et $(MB)$ sont donc perpendiculaires, ce qui prouve que le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ (avec une orientation directe).

11. 11). Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur $(\vec{MA}, \vec{MB})$ pour que les points $M, A, B$ soient alignés.

    Indice — Examine la condition sur les angles pour caractériser l'alignement.

    Correction

    Pour des points $M, A, B$ deux à deux distincts, l'alignement équivaut à la colinéarité des vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$. La condition nécessaire et suffisante est donc $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv 0 [\pi]$ (c'est-à-dire $0 [2\pi]$ ou $\pi [2\pi]$).

On considère un triangle $ABC$ équilatéral direct.

1. 1)a). Déterminer la mesure principale de $(\vec{AB}, \vec{AC})$.

   Indice — $ABC$ est équilatéral direct.

   Correction

   Dans un triangle équilatéral direct ABC, la mesure principale de l'angle orienté (AB, AC) est π/3.

2. 1)b). Déterminer la mesure principale de $(\vec{AB}, \vec{CA})$.

   Indice — $(\vec{AB}, \vec{CA}) = (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{CA})$.

   Correction

   En utilisant la relation (AB, CA) = (AB, AC) + (AC, CA) [2π], on sait que (AC, CA) = π. Ainsi, (AB, CA) = π/3 + π = 4π/3. La mesure principale est donc -2π/3.

3. 2)a). Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$. Déterminer la mesure principale de $(\vec{A'B}, \vec{A'C})$.

   Indice — La symétrie axiale est une isométrie indirecte.

   Correction

   La symétrie axiale par rapport à (BC) transforme A en A'. Comme la symétrie axiale est une isométrie indirecte, elle change le signe de la mesure des angles orientés. Ainsi, (A'B, A'C) = -(AB, AC) = -π/3.

4. 2)b). Déterminer la mesure principale de $(\vec{A'B}, \vec{A'A})$.

   Indice — Utiliser la cocyclicité de $A, B, A', C$.

   Correction

   A et A' sont symétriques par rapport à (BC), donc A, B, A', C sont cocycliques. Pour (A'B, A'A), on obtient par propriétés de symétrie la mesure -π/3.

5. 3)a). Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Déterminer la mesure principale de $(\vec{IA}, \vec{IB})$.

   Indice — $(AI) \perp (BC)$.

   Correction

   Dans un triangle équilatéral $ABC$ direct, la droite $(AI)$ est la médiatrice de $[BC]$, donc $(AI) \perp (BC)$. L'angle orienté $(\vec{IA}, \vec{IB}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$.

6. 3)b). Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $(\vec{MB}, \vec{MC}) \equiv \frac{\pi}{2} [\pi]$.

   Indice — Théorème de l'angle inscrit.

   Correction

   L'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MB}, \vec{MC}) \equiv \frac{\pi}{2} [\pi]$ est le cercle de diamètre $[BC]$, privé des points $B$ et $C$.