Rappel · 1

Complète les règles de signe pour le quotient $\frac{L}{0}$ avec $L > 0$ :

Remarque

Si le dénominateur tend vers $0$ en restant strictement positif ( $0^+$ ), le quotient d'un réel $L > 0$ donne $+\infty$ . S'il tend vers $0$ en restant négatif ( $0^-$ ), le quotient donne $-\infty$ .

Point de départ · 2

On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . Lorsque $x$ se rapproche de $2$ par valeurs supérieures ( $x > 2$ ), que devient la valeur de $f(x)$ ?

Le dénominateur $x-2$ devient infiniment petit et positif ( $0^+$ ), donc le quotient prend des valeurs positives arbitrairement grandes : $f(x)$ tend vers $+\infty$ . Graphiquement, la courbe s'élève le long de la droite verticale $x=2$ .

Définition · 3

Asymptote verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , sauf en un réel $a$ .

$\text{Si } \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Remarque

Il suffit qu'au moins une des deux limites latérales soit infinie pour conclure à l'existence de l'asymptote verticale.

Exemple travaillé · 4

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ . Justifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote verticale dont tu préciseras l'équation.

1

On détermine l'ensemble de définition : le dénominateur s'annule en $x = 3$ . Ainsi, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

2

On calcule la limite du numérateur : $\lim_{x \to 3} (x+1) = 4 > 0$ .

3

On étudie le signe du dénominateur : si $x > 3$ , $x-3 > 0$ ( $0^+$ ) ; si $x < 3$ , $x-3 < 0$ ( $0^-$ ).

4

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty

5

Les limites latérales en $3$ étant infinies, la droite d'équation $x = 3$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 5

Soit $g(x) = \frac{x-6}{(2x-1)^2}$ . Détermine la limite de $g$ en $\frac{1}{2}$ et précise l'asymptote associée.

1

Le dénominateur s'annule en $x = \frac{1}{2}$ . Le numérateur tend vers $\frac{1}{2} - 6 = -\frac{11}{2} < 0$ .

2

Pour tout $x \neq \frac{1}{2}$ , le terme $(2x-1)^2$ est un carré non nul, donc $(2x-1)^2 > 0$ . Le dénominateur tend vers $0^+$ à gauche comme à droite.

3

\lim_{x \to \frac{1}{2}} g(x) = \frac{-\frac{11}{2}}{0^+} = -\infty

4

La limite en $\frac{1}{2}$ étant $-\infty$ , la droite d'équation $x = \frac{1}{2}$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $g$ .

Piège classique · 6

Soit $h(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . La droite d'équation $x = 1$ est-elle une asymptote verticale à la courbe de $h$ ?

Attention

Conclure immédiatement qu'il y a une asymptote verticale parce que $x=1$ annule le dénominateur.

À la place : En $x=1$ , le numérateur s'annule aussi ( $0/0$ ). Pour $x \neq 1$ , $h(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ , donc $\lim_{x \to 1} h(x) = 2$ . La limite étant finie, il n'y a pas d'asymptote verticale (la fonction admet un prolongement par continuité).

Vérification · 7

On considère la fonction $f(x) = \frac{2x^2-4x+6}{x^2-3x+2}$ . Quelles sont les asymptotes verticales de sa courbe représentative ?

Remarque

Le dénominateur se factorise en $(x-1)(x-2)$ . En $x=1$ , le numérateur vaut $2(1)^2-4(1)+6 = 4 \neq 0$ . En $x=2$ , il vaut $2(4)-4(2)+6 = 6 \neq 0$ . Les deux limites sont donc infinies : les droites $x=1$ et $x=2$ sont deux asymptotes verticales.

Point de départ · 8

On considère la fonction $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ . Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes ( $x \to +\infty$ ), $f(x)$ se rapproche de $2$ . Quelle droite la courbe $\mathcal{C}_f$ semble-t-elle longer à l'infini ?

À mesure que l'abscisse $x$ grandit, les ordonnées $f(x)$ se stabilisent autour de la valeur fixe $2$ . La courbe s'écrase sur la droite horizontale d'équation $y = 2$ .

Définition · 9

Asymptote horizontale

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ) et $L$ un nombre réel.

$\text{Si } \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad (\text{respectivement } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L)$

alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ).

Remarque

L'existence d'une asymptote horizontale traduit le fait que l'écart vertical $|f(x) - L|$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers l'infini.

Exemple travaillé · 10

Soit $f(x) = \frac{3x^2-5x}{x^2+4}$ . Justifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$ , puis précise son équation.

1

La fonction $f$ est une fraction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ car son dénominateur ne s'annule jamais ( $x^2+4 > 0$ pour tout réel $x$ ).

2

Au voisinage de l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré :

3

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3

4

Puisque la limite est le réel fini $3$ , la droite d'équation $y = 3$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $g(x) = \frac{2x-1}{|x-3|}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . Montre que la courbe de $g$ admet deux asymptotes horizontales distinctes en $+\infty$ et en $-\infty$ .

1

Au voisinage de $+\infty$ , on a $x > 3$ , donc $|x-3| = x-3$ . L'expression devient $g(x) = \frac{2x-1}{x-3}$ .

2

\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = 2

3

La droite d'équation $y = 2$ est donc asymptote horizontale à la courbe au voisinage de $+\infty$ .

4

Au voisinage de $-\infty$ , on a $x < 3$ , donc $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ . L'expression devient $g(x) = \frac{2x-1}{-x+3}$ .

5

\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x} = -2

6

La droite d'équation $y = -2$ est donc asymptote horizontale à la courbe au voisinage de $-\infty$ .

Vérification · 12

On sait qu'une fonction $f$ vérifie $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$ . Quelle est la conclusion graphique exacte ?

Remarque

Une limite finie $L$ lorsque $x \to +\infty$ correspond à une droite horizontale d'équation $y = L$ . Ici, l'asymptote a pour équation $y = -5$ .

Point de départ · 13

On considère la fonction $f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x}$ . Lorsque $x$ devient très grand ( $x \to +\infty$ ), le terme $\frac{1}{x}$ devient négligeable. De quelle droite la courbe $\mathcal{C}_f$ semble-t-elle se rapprocher ?

Lorsque $x \to +\infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ , donc $f(x) \approx 2x - 1$ . La distance verticale entre la courbe et la droite d'équation $y = 2x - 1$ s'annule à l'infini : cette droite oblique sert de guide à la courbe.

Définition · 14

Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ) et $\Delta$ une droite d'équation $y = ax + b$ avec $a \neq 0$ .

$\text{Si } \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \quad (\text{respectivement } \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0)$

alors la droite $\Delta : y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ).

Remarque

Une asymptote oblique peut parfaitement couper la courbe $\mathcal{C}_f$ en un ou plusieurs points finis : seule compte l'annulation de l'écart à l'infini.

Exemple travaillé · 15

Soit $f(x) = \frac{x^2-3x+3}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Démontre que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

1

On forme l'expression de la différence $f(x) - (x-1)$ pour tout $x \neq 2$ :

2

f(x) - (x-1) = \frac{x^2-3x+3}{x-2} - (x-1)

3

On réduit au même dénominateur en développant $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ :

4

f(x) - (x-1) = \frac{x^2-3x+3 - (x^2-3x+2)}{x-2} = \frac{1}{x-2}

5

On évalue la limite de cette différence en $+\infty$ :

6

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x-1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-2} = 0

7

La limite étant nulle, la droite $\Delta : y = x - 1$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $f(x) = \frac{x^2+3x+4}{x+2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ . Détermine l'équation de l'asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ par identification des coefficients.

1

On cherche trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que pour tout $x \neq -2$ :

2

f(x) = ax + b + \frac{c}{x+2}

3

On réduit au même dénominateur et on ordonne le numérateur :

4

ax + b + \frac{c}{x+2} = \frac{(ax+b)(x+2)+c}{x+2} = \frac{ax^2 + (2a+b)x + (2b+c)}{x+2}

5

Par identification avec $x^2 + 3x + 4$ , on établit et on résout le système :

6

\begin{cases} a = 1 \\ 2a+b = 3 \implies b = 3 - 2(1) = 1 \\ 2b+c = 4 \implies c = 4 - 2(1) = 2 \end{cases}

7

On en déduit l'écriture décomposée $f(x) = x + 1 + \frac{2}{x+2}$ . Comme $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x+2} = 0$ , la droite d'équation $y = x + 1$ est l'asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ aux voisinages de $+\infty$ et $-\infty$ .

Vérification · 17

On considère la fonction $g(x) = -x + 3 + \frac{2}{x^2+1}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Quelle est l'asymptote oblique à sa courbe représentative ?

Remarque

L'expression est déjà décomposée sous la forme $ax+b+\varphi(x)$ avec $ax+b = -x+3$ . Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2+1} = 0$ , la droite d'équation $y = -x + 3$ est directement l'asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Définition · 18

Position relative d'une courbe et de son asymptote

Pour étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à une droite asymptote $\Delta$ d'équation $y = ax+b$ (ou $y = L$ ), on étudie le signe algébrique de la différence $f(x) - y_\Delta$ sur le domaine d'étude.

$f(x) - y_\Delta > 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est située strictement au-dessus de } \Delta$

$f(x) - y_\Delta < 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est située strictement en dessous de } \Delta$

Remarque

Si la différence s'annule en un réel $x_0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta$ se coupent au point d'abscisse $x_0$ .

Exemple travaillé · 19

Soit $f(x) = x - 1 + \frac{4}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = x - 1$ . Étudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

1

On calcule la différence entre $f(x)$ et l'équation de l'asymptote pour tout $x \neq 2$ :

2

f(x) - (x - 1) = \frac{4}{x-2}

3

Le numérateur $4$ est strictement positif. Le signe de la différence dépend uniquement du dénominateur $x-2$ :

x	$-\infty$	2	$+\infty$
x-2		-	0	+
$f(x)-y_\Delta$		-	‖	+

4

Sur $]-\infty\,\;\, 2[$ , la différence est négative : $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de $\Delta$ .

5

Sur $]2\,\;\, +\infty[$ , la différence est positive : $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de $\Delta$ .

Piège classique · 20

Sachant que $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x-1)] = 0$ , peut-on affirmer que la courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de l'asymptote $y = x-1$ ?

Attention

Confondre la limite nulle de la différence avec un signe positif constant sur tout le domaine.

À la place : La limite nulle garantit seulement que la courbe se rapproche de la droite à l'infini. Pour connaître la position (au-dessus ou en dessous), il faut impérativement étudier le signe de la différence $f(x) - (x-1)$ sur chaque intervalle.

Exemple travaillé · 21

Soit $f(x) = x + \frac{3x-1}{x^2}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = x$ . Étudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ et détermine leur point d'intersection.

1

On calcule la différence : $f(x) - y_\Delta = \left(x + \frac{3x-1}{x^2}\right) - x = \frac{3x-1}{x^2}$ .

2

Pour tout $x \neq 0$ , le dénominateur $x^2$ est strictement positif. Le signe de la différence dépend uniquement du numérateur $3x - 1$ .

3

On résout $f(x) - y_\Delta = 0 \iff 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{3}$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe $\Delta$ au point $K\left(\frac{1}{3}\,\;\, \frac{1}{3}\right)$ .

4

Sur $]-\infty\,\;\, 0[$ et sur $]0\,\;\, \frac{1}{3}[$ , $3x-1 < 0$ : $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de $\Delta$ .

5

Sur $]\frac{1}{3}\,\;\, +\infty[$ , $3x-1 > 0$ : $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de $\Delta$ .

Vérification · 22

Soit $f(x) = 1 + \frac{5x-14}{(x-2)^2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Au voisinage de $+\infty$ , quelle est la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote horizontale $y = 1$ ?

Remarque

La différence $f(x) - 1 = \frac{5x-14}{(x-2)^2}$ a un dénominateur strictement positif. Pour $x > 2{,}8$ , $5x-14 > 0$ , donc $f(x) - 1 > 0$ : au voisinage de $+\infty$ , $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de son asymptote.

Rappel · 23

Complète la simplification de $\sqrt{x^2}$ selon le signe du réel $x$ :

Remarque

Pour tout réel $x$ , on a $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ (notamment pour une limite au voisinage de $-\infty$ ), la valeur absolue se simplifie en $-x$ .

Point de départ · 24

On compare les limites en $+\infty$ de $f(x) = \sqrt{4x^2+1} - x$ et $g(x) = \sqrt{x^2+1} - x$ . Pour laquelle de ces deux fonctions les termes dominants s'annulent-ils exactement en $+\infty$ ?

Pour $f(x)$ , le terme sous la racine se comporte comme $\sqrt{4x^2} = 2x$ , donc la différence des dominants est $2x - x = x \to +\infty$ : la factorisation par $x$ suffit. Pour $g(x)$ , le dominant est $\sqrt{x^2} = x$ , donc les dominants se compensent ( $x - x = 0$ ) : seule l'expression conjuguée permet de lever l'indétermination.

Définition · 25

Levée d'indétermination sur $\sqrt{ax^2+bx+c} + dx$ en l'infini

Soit une expression du type $\sqrt{ax^2+bx+c} + dx$ avec $a > 0$ et $d \neq 0$ , présentant une forme indéterminée $\infty - \infty$ en $+\infty$ ou $-\infty$ :

\text{Si } \sqrt{a} \neq |d| \implies \text{Factoriser par } |x| \text{ sous et hors de la racine}

\text{Si } \sqrt{a} = |d| \text{ (avec termes de signes opposés)} \implies \text{Multiplier par la quantité conjuguée}

Remarque

Attention au signe lors de la factorisation : $\sqrt{x^2} = x$ en $+\infty$ , mais $\sqrt{x^2} = -x$ en $-\infty$ .

Exemple travaillé · 26

Calcule $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2-8x+6} - x)$ .

1

On compare les coefficients : $\sqrt{9} = 3 \neq 1$ . Les termes dominants ne se compensent pas, on procède par factorisation par $x$ (puisque $x > 0$ en $+\infty$ ).

2

\sqrt{9x^2-8x+6} - x = \sqrt{x^2\left(9 - \frac{8}{x} + \frac{6}{x^2}\right)} - x = x\sqrt{9 - \frac{8}{x} + \frac{6}{x^2}} - x

3

= x\left(\sqrt{9 - \frac{8}{x} + \frac{6}{x^2}} - 1\right)

4

On évalue les limites des facteurs :

5

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9 - \frac{8}{x} + \frac{6}{x^2}} - 1\right) = \sqrt{9} - 1 = 2 > 0

6

Par produit de limites, on conclut : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2-8x+6} - x) = +\infty$ .

Exemple travaillé · 27

Calcule $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-4x} - x)$ .

1

Ici $a = 1$ et $d = -1$ , donc $\sqrt{a} = |d| = 1$ . Les termes dominants s'annulent ( $x - x = 0$ ). On multiplie et divise par l'expression conjuguée :

2

\sqrt{x^2-4x} - x = \frac{(\sqrt{x^2-4x} - x)(\sqrt{x^2-4x} + x)}{\sqrt{x^2-4x} + x} = \frac{(x^2-4x) - x^2}{\sqrt{x^2-4x} + x} = \frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x} + x}

3

Pour $x > 0$ , on factorise le dénominateur par $x$ car $\sqrt{x^2-4x} = x\sqrt{1 - \frac{4}{x}}$ :

4

\frac{-4x}{x\left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)} = \frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1}

5

Comme $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right) = 1 + 1 = 2$ , on obtient par quotient : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-4x} - x) = \frac{-4}{2} = -2$ .

Piège classique · 28

Pour calculer $\lim_{x \to -\infty} (-x + \sqrt{x^2-4})$ , faut-il utiliser l'expression conjuguée ?

Attention

Appliquer l'expression conjuguée par réflexe dès qu'apparaissent un radical et un signe « - ».

À la place : En $-\infty$ , on a $\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2-4} = +\infty$ . Il s'agit d'une somme directe de termes tendant vers $+\infty$ , donc la limite vaut directement $+\infty$ sans aucune indétermination.

Piège classique · 29

Lors de la factorisation de $\sqrt{x^2+2x}$ pour $x < 0$ (au voisinage de $-\infty$ ), quelle expression obtient-on ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2(1+2/x)} = x\sqrt{1+2/x}$ en omettant le signe négatif de la variable.

À la place : Pour tout $x < 0$ , $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ . L'écriture correcte est donc $-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}$ .

Exemple travaillé · 30

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+6x+8}$ . Démontre que la droite $\Delta$ d'équation $y = -x - 3$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

1

On étudie la limite de la différence $f(x) - (-x - 3) = \sqrt{x^2+6x+8} + (x+3)$ quand $x \to -\infty$ .

2

Puisque $\sqrt{x^2+6x+8} \to +\infty$ et $x+3 \to -\infty$ , il y a indétermination. On applique la quantité conjuguée :

3

\frac{(\sqrt{x^2+6x+8} + (x+3))(\sqrt{x^2+6x+8} - (x+3))}{\sqrt{x^2+6x+8} - (x+3)} = \frac{(x^2+6x+8) - (x+3)^2}{\sqrt{x^2+6x+8} - x - 3}

4

On développe le numérateur : $(x^2+6x+8) - (x^2+6x+9) = -1$ .

5

En $-\infty$ , on a $\sqrt{x^2+6x+8} \to +\infty$ et $-x-3 \to +\infty$ , donc le dénominateur tend vers $+\infty$ .

6

\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-x-3)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2+6x+8} - x - 3} = 0

7

La limite étant nulle, la droite d'équation $y = -x - 3$ est bien une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Vérification · 31

Quelle méthode permet de calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+3x} - 2x)$ et quelle est sa valeur ?

Remarque

Puisque $\sqrt{4} = 2$ , les coefficients dominants s'annulent ( $2x - 2x = 0$ ) : l'expression conjuguée est obligatoire. Elle donne $\frac{3x}{\sqrt{4x^2+3x}+2x} = \frac{3}{\sqrt{4+3/x}+2} \to \frac{3}{2+2} = \frac{3}{4}$ .

Limites et comportements asymptotiques — cours

Le cours

Asymptote verticale

Asymptote horizontale

Asymptote oblique

Position relative d'une courbe et de son asymptote

Levée d'indétermination sur $\sqrt{ax^2+bx+c} + dx$ en l'infini

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Limites et comportements asymptotiques — cours

Le cours

Asymptote verticale

Asymptote horizontale

Asymptote oblique

Position relative d'une courbe et de son asymptote

Levée d'indétermination sur ax2+bx+c+dx\sqrt{ax^2+bx+c} + dxax2+bx+c​+dx en l'infini

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Levée d'indétermination sur $\sqrt{ax^2+bx+c} + dx$ en l'infini