Point de départ · 1

Soit la fonction définie par $f(x) = 2x + 1$ .

Que vaut $f(3)$ ? Vers quelle valeur tend $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche infiniment de $3$ ?

Pour $x = 3$ , on a $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ .

Lorsque $x$ s'approche de $3$ , les valeurs de $2x + 1$ s'approchent également de $7$ : la limite coïncide exactement avec l'image. Le tracé de la courbe ne présente aucune rupture en ce point.

Définition · 2

Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$ .

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

On dit que la fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si sa limite en $a$ existe, est finie, et coïncide avec $f(a)$ .

Exemple travaillé · 3

Déterminer la limite de la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ en $a = 1$ .

1

On étudie d'abord le signe du trinôme sous le radical : $P(x) = x^2 - 2x + 3$ .

2

\Delta = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0

3

Le discriminant étant strictement négatif et le coefficient de $x^2$ positif ( $1 > 0$ ), on a $x^2 - 2x + 3 > 0$ pour tout réel $x$ . La fonction $f$ est donc définie et continue sur $\mathbb{R}$ .

4

Puisque $f$ est continue en $a = 1$ , la limite se calcule par substitution directe :

5

\lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 - 2x + 3} = f(1) = \sqrt{1^2 - 2(1) + 3} = \sqrt{2}

Définition · 4

Théorème de coïncidence

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , sauf peut-être en un réel $a$ de $I$ , et soit $g$ une fonction définie sur $I$ .

\forall x \in I \setminus \{a\}, \quad f(x) = g(x) \quad \text{et} \quad g \text{ continue en } a

$\lim_{x \to a} f(x) = g(a)$

Exemple travaillé · 5

Calculer la limite de la fonction $f$ en $a = 2$ , avec $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ .

1

L'évaluation directe en $x = 2$ donne $\frac{2^2 - 5(2) + 6}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ , qui est une forme indéterminée.

2

Le réel $2$ est racine du numérateur. On factorise le trinôme : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .

3

Pour tout $x \neq 2$ , on simplifie par le facteur commun $(x - 2)$ :

4

f(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3

5

La fonction $g : x \mapsto x - 3$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Par le théorème de coïncidence :

6

\lim_{x \to 2} f(x) = g(2) = 2 - 3 = -1

Piège classique · 6

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Peut-on affirmer que $f$ admet une limite en $1$ ?

Attention

Affirmer que la limite n'existe pas sous prétexte que 1 n'appartient pas au domaine de définition de f.

À la place : La limite en un point étudie le comportement de f(x) quand x est voisin de 1 (avec x != 1). Ici, pour x != 1, f(x) = x + 1, donc la limite en 1 existe et vaut 2.

Vérification · 7

Déterminer la limite de la fonction $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 1}$ en $a = -2$ .

Remarque

En $a = -2$ , le dénominateur vaut $-2 - 1 = -3 \neq 0$ . La fonction rationnelle est continue en $-2$ , donc on remplace directement : $\lim_{x \to -2} f(x) = \frac{(-2)^2 + 5(-2)}{-2 - 1} = \frac{4 - 10}{-3} = \frac{-6}{-3} = 2$ .

Point de départ · 8

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{|x|}{x}$ .

Que vaut $f(x)$ lorsque $x > 0$ ? Et lorsque $x < 0$ ? Que peut-on dire du comportement de $f(x)$ au voisinage de $0$ ?

Pour tout $x > 0$ , on a $|x| = x$ , donc $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ .

Pour tout $x < 0$ , on a $|x| = -x$ , donc $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ .

Quand $x$ s'approche de $0$ par la droite, $f(x)$ reste égal à $1$ . Quand $x$ s'approche de $0$ par la gauche, $f(x)$ reste égal à $-1$ . La fonction adopte deux comportements distincts selon le côté d'approche.

Définition · 9

Limites latérales et limite globale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , sauf peut-être en un réel $a$ de $I$ .

$\lim_{x \to a^+} f(x) = L \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = L'$

La notation $x \to a^+$ désigne la limite à droite ( $x > a$ ) et $x \to a^-$ la limite à gauche ( $x < a$ ).

Condition d'existence de la limite globale

$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L$

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \ge 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Déterminer la limite de $f$ à gauche et à droite en $1$ , puis conclure sur l'existence de $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

1

On calcule la limite à droite ( $x > 1$ ) en utilisant la branche correspondante :

2

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3

3

On calcule la limite à gauche ( $x < 1$ ) sur la seconde branche :

4

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3

5

Puisque les deux limites latérales existent, sont finies et égales à $3$ , la limite globale existe :

6

\lim_{x \to 1} f(x) = 3

Exemple travaillé · 11

Étudier la limite en $a = 3$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{(x - 3)^2}}$ .

1

On simplifie d'abord le dénominateur à l'aide de l'identité $\sqrt{X^2} = |X|$ :

2

f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{|x - 3|}

3

Pour $x > 3$ , on a $x - 3 > 0$ , donc $|x - 3| = x - 3$ . L'expression devient $f(x) = x + 3$ :

4

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x + 3) = 6

5

Pour $x < 3$ , on a $x - 3 < 0$ , donc $|x - 3| = -(x - 3)$ . L'expression devient $f(x) = -(x + 3)$ :

6

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} -(x + 3) = -6

7

Comme $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6 \neq -6 = \lim_{x \to 3^-} f(x)$ , la fonction $f$ n'admet pas de limite en $3$ .

Piège classique · 12

Que vaut l'expression $\sqrt{(x - 2)^2}$ lorsque $x < 2$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{(x - 2)^2} = x - 2$ sans tenir compte du signe négatif de $(x - 2)$ .

À la place : On a toujours $\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$ . Puisque $x < 2$ , on a $x - 2 < 0$ , d'où $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ .

Vérification · 13

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} x^3 - 2 & \text{si } x \ge 2 \\ \sqrt{x + 2} & \text{si } x < 2 \end{cases}$

La fonction $g$ admet-elle une limite en $2$ ?

Remarque

À droite : $\lim_{x \to 2^+} (x^3 - 2) = 2^3 - 2 = 6$ .
À gauche : $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{x + 2} = \sqrt{4} = 2$ .
Puisque $6 \neq 2$ , les limites latérales diffèrent : $g$ n'admet pas de limite en $2$ .

Point de départ · 14

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Sa courbe représentative est une droite présentant un point manquant (« trou ») en $x = 2$ . Quelle valeur faudrait-il attribuer en $x = 2$ pour combler ce trou et obtenir une courbe continue ?

Pour tout $x \neq 2$ , on a $f(x) = x + 2$ . Lorsque $x$ se rapproche de $2$ , $f(x)$ tend vers $4$ .

En définissant une nouvelle fonction qui prend la valeur $4$ en $x = 2$ , on « répare » la discontinuité apparente.

Définition · 15

Prolongement par continuité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , sauf en un réel $a$ de $I$ .

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad (L \in \mathbb{R})

La fonction $g$ définie sur $I$ par :

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ L & \text{si } x = a \end{cases}$

est continue en $a$ . La fonction $g$ est appelée le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$ .

Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $1$ et expliciter ce prolongement.

1

On évalue la limite en $1$ . Le numérateur et le dénominateur s'annulent en $1$ , ce qui donne la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

2

Le réel $1$ est racine évidente du numérateur. On factorise le trinôme : $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$ .

3

Pour tout $x \neq 1$ , on simplifie par $(x - 1)$ :

4

f(x) = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 1} = x - 5

5

On calcule la limite de l'expression simplifiée :

6

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 5) = 1 - 5 = -4

7

La limite étant finie ( $L = -4$ ), $f$ est prolongeable par continuité en $1$ . Son prolongement est la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

8

g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 1 \\ -4 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Exemple travaillé · 17

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2; +\infty[ \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$ .

Déterminer si $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ .

1

L'évaluation directe en $-1$ donne $\frac{\sqrt{1} - 1}{-1 + 1} = \frac{0}{0}$ (forme indéterminée).

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{x + 2} + 1)$ :

3

f(x) = \frac{(\sqrt{x + 2} - 1)(\sqrt{x + 2} + 1)}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} + 1)} = \frac{(x + 2) - 1^2}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} + 1)}

4

Pour tout $x \neq -1$ , on simplifie par le facteur $(x + 1)$ sans développer le dénominateur :

5

f(x) = \frac{x + 1}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1}

6

On passe à la limite par substitution directe :

7

\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{1}{\sqrt{-1 + 2} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

8

La limite est un réel fini ( $L = \frac{1}{2}$ ). La fonction $f$ est donc prolongeable par continuité en $-1$ en posant $g(-1) = \frac{1}{2}$ .

Piège classique · 18

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ .

Peut-on prolonger $f$ par continuité en $2$ ?

Attention

Affirmer que le prolongement est possible dès que l'expression se simplifie en valeur finie d'un côté.

À la place : Pour $x > 2$ , $f(x) = x + 2 \to 4$ . Pour $x < 2$ , $f(x) = -(x + 2) \to -4$ . Les limites latérales étant différentes ( $4 \neq -4$ ), $f$ n'admet pas de limite globale finie en $2$ et ne peut pas être prolongée par continuité.

Vérification · 19

Soit la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$ définie sur $[-7; +\infty[ \setminus \{2\}$ .

Quelle valeur doit-on attribuer en $x = 2$ pour obtenir le prolongement par continuité de $f$ ?

Remarque

On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x + 7} + 3$ :
$f(x) = \frac{(x + 7) - 9}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 7} + 3}$
La limite en $2$ vaut $\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 + 7} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ . Il faut donc poser $g(2) = \frac{1}{6}$ .

Point de départ · 20

Soit la fonction $f$ définie par :
$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x \ge 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x < 2 \end{cases}$

Comment choisir le réel $a$ pour que les deux morceaux de la courbe se rejoignent sans coupure en $x = 2$ ?

Quand $x$ s'approche de $2$ par la gauche ( $x < 2$ ), $f(x) = x^2 - 1$ s'approche de $2^2 - 1 = 3$ .

En $x = 2$ , la formule donne $f(2) = 2a + 1$ .

Pour raccorder les deux tracés au point d'abscisse $2$ , on doit avoir $2a + 1 = 3$ , soit $a = 1$ .

Définition · 21

Continuité au point de raccordement

Soit $f$ une fonction définie par morceaux sur un intervalle contenant $a$ .

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

La continuité en un point de séparation exige que la limite à droite, la limite à gauche et l'image au point $a$ soient toutes égales.

Exemple travaillé · 22

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & \text{si } x > 1 \\ ax - 3 & \text{si } x \le 1 \end{cases}$

Déterminer la valeur du réel $a$ pour que $f$ soit continue en $1$ .

1

On calcule d'abord la limite à droite en $1$ ( $x > 1$ ) en factorisant le numérateur :

2

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

3

Pour tout $x > 1$ , on simplifie par $(x - 1)$ :

4

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1

5

On évalue la valeur de $f(1)$ et la limite à gauche à l'aide de la seconde branche :

6

f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1) - 3 = a - 3

7

La fonction $f$ est continue en $1$ si et seulement si $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ :

8

a - 3 = -1 \iff a = 2

Exemple travaillé · 23

Étudier la continuité sur son domaine de définition de la fonction $f$ définie par :
$f(x) = \begin{cases} \frac{x+1}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ 2x - 1 & \text{si } 0 < x < 3 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

1

Continuité sur les intervalles ouverts :
- Sur $]-\infty; 0[$ , $x \mapsto \frac{x+1}{x-1}$ est une fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle ( $1 \notin ]-\infty; 0[$ ), donc $f$ y est continue.
- Sur $]0; 3[$ , $x \mapsto 2x - 1$ est une fonction polynôme, donc $f$ y est continue.
- Sur $]3; +\infty[$ , $x \mapsto \sqrt{x+1}$ est continue.

2

Continuité au point de raccordement $x = 0$ :
$f(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 1) = -1$
Puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = -1$ , la fonction $f$ est continue en $0$ .

3

Continuité au point de raccordement $x = 3$ :
$f(3) = \sqrt{3+1} = 2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - 1) = 2(3) - 1 = 5$
Comme $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5 \neq 2 = f(3)$ , $f$ n'est pas continue en $3$ .

4

Conclusion : la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Piège classique · 24

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x > 1 \\ -x - 3 & \text{si } x < 1 \\ \alpha & \text{si } x = 1 \end{cases}$

Existe-t-il une valeur du réel $\alpha$ telle que $f$ soit continue en $1$ ?

Attention

Poser $\alpha = 4$ ou $\alpha = -4$ en égalant à l'une des limites latérales sans vérifier leur égalité mutuelle.

À la place : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -4$ . Puisque les limites latérales sont différentes ( $4 \neq -4$ ), $f$ n'admet pas de limite globale en $1$ . Aucune valeur ponctuelle attribuée à $\alpha$ ne peut rendre $f$ continue en $1$ .

Vérification · 25

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$h(x) = \begin{cases} x^2 + mx & \text{si } x \ge 2 \\ \frac{x^3 - 8}{x - 2} & \text{si } x < 2 \end{cases}$

Pour quelle valeur de $m$ la fonction $h$ est-elle continue en $2$ ?

Remarque

À gauche : $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12$ .
À droite et en $2$ : $h(2) = 2^2 + 2m = 4 + 2m$ .
On résout $4 + 2m = 12 \iff 2m = 8 \iff m = 4$ .

Point de départ · 26

Soit $E$ la fonction partie entière.

Que vaut $E(1{,}9)$ ? Que vaut $E(2{,}1)$ ? Que peut-on observer lorsque $x$ s'approche de $2$ par la gauche et par la droite ?

On a $E(1{,}9) = 1$ car $1 \le 1{,}9 < 2$ , et $E(2{,}1) = 2$ car $2 \le 2{,}1 < 3$ .

Lorsque $x$ est strictement inférieur à $2$ mais très proche de $2$ , $E(x)$ reste égal à $1$ . Dès que $x$ atteint ou dépasse $2$ , $E(x)$ passe à $2$ . La fonction partie entière subit un saut en chaque entier.

Définition · 27

Limites latérales de la partie entière aux entiers

Soit $n$ un entier relatif ( $n \in \mathbb{Z}$ ).

\forall x \in [n; n+1[, \quad E(x) = n \quad \text{et} \quad \forall x \in [n-1; n[, \quad E(x) = n-1

$\lim_{x \to n^+} E(x) = n = E(n) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to n^-} E(x) = n - 1$

La fonction partie entière est continue à droite en tout entier $n$ , mais discontinue à gauche en tout entier $n$ .

Exemple travaillé · 28

Étudier la continuité en $0$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x \cdot E(x)$ .

1

On étudie la limite à droite en $0$ ( $x > 0$ ). Pour tout $x \in [0; 1[$ , on a $E(x) = 0$ , donc $f(x) = x \times 0 = 0$ :

2

\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)

3

On étudie la limite à gauche en $0$ ( $x < 0$ ). Pour tout $x \in [-1; 0[$ , on a $E(x) = -1$ , donc $f(x) = x \times (-1) = -x$ :

4

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0

5

Puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0$ , la fonction $f$ est continue en $0$ .

Exemple travaillé · 29

Étudier la continuité en $x = 1$ de la fonction $g$ définie sur $[-1; 2]$ par $g(x) = (x - 1)E(x)$ .

1

Pour tout $x \in [1; 2[$ , on a $E(x) = 1$ , d'où $g(x) = (x - 1) \times 1 = x - 1$ :

2

\lim_{x \to 1^+} g(x) = 1 - 1 = 0 = g(1)

3

Pour tout $x \in [0; 1[$ , on a $E(x) = 0$ , d'où $g(x) = (x - 1) \times 0 = 0$ :

4

\lim_{x \to 1^-} g(x) = 0

5

Comme $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = g(1) = 0$ , le facteur $(x - 1)$ compense le saut de la partie entière. La fonction $g$ est continue en $1$ .

Piège classique · 30

Soit $x$ un réel tendant vers $3$ par valeurs inférieures ( $x \to 3^-$ ). Que vaut $\lim_{x \to 3^-} E(x)$ ?

Attention

Remplacer directement $x$ par $3$ dans $E(x)$ et répondre $E(3) = 3$ .

À la place : Quand $x \to 3^-$ , $x$ reste strictement inférieur à $3$ ( $x \in [2; 3[$ ). Sur cet intervalle, $E(x) = 2$ , donc $\lim_{x \to 3^-} E(x) = 2$ .

Vérification · 31

Déterminer la limite à droite en $-1$ de la fonction $h(x) = \frac{x^2 + E(x)}{x + 1}$ .

Remarque

Pour $x \to -1^+$ ( $x \in ]-1; 0[$ ), on a $E(x) = -1$ .
L'expression s'écrit $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$ .
Ainsi, $\lim_{x \to -1^+} h(x) = -1 - 1 = -2$ .

Limites et Continuité — cours

Le cours

Continuité en un point

Théorème de coïncidence

Limites latérales et limite globale

Condition d'existence de la limite globale

Prolongement par continuité

Continuité au point de raccordement

Limites latérales de la partie entière aux entiers

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