Rappel · 1

Soit $f(x) = 2x + 1$ . Complète la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $3$ :

Remarque

Pour une fonction affine ou polynomiale, la limite en un réel $a$ s'obtient directement par substitution : $2(3) + 1 = 7$ .

Point de départ · 2

Observe la courbe ci-dessus. Peut-on tracer l'ensemble de cette courbe de $x = -1$ à $x = 3$ sans lever le crayon ?

Remarque

En $x = 1$ , le tracé subit une rupture : la courbe saute de l'ordonnée $1$ à l'ordonnée $2$ . On dit que la fonction est discontinue en $1$ .

Définition · 3

Continuité en un point

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ est dite continue en $a$ si sa limite en ce point coïncide avec son image $f(a)$ .

Graphiquement, la courbe représentative de $f$ ne présente aucune rupture ni saut au point d'abscisse $a$ .

Définition · 4

Continuité à droite, à gauche et raccordement

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$f \text{ est continue à droite en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

$f \text{ est continue à gauche en } a \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

Exemple travaillé · 5

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x \le -1 \\ x^2 - 2x & \text{si } x > -1 \end{cases}$
Étudier la continuité de $f$ en $-1$ .

1

On évalue l'image exacte de $-1$ avec la branche $x \le -1$ :

2

f(-1) = -(-1) + 2 = 3

3

On calcule la limite à gauche en $-1$ :

4

\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x + 2) = 3

5

On calcule la limite à droite en $-1$ avec la branche $x > -1$ :

6

\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 - 2x) = (-1)^2 - 2(-1) = 3

7

Puisque $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = 3$ , la fonction $f$ est continue en $-1$ .

Exemple travaillé · 6

Soit la fonction $f$ définie sur $[2; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ .
Étudier la continuité de $f$ en $2$ .

1

La fonction $f$ n'étant définie que pour $x \ge 2$ , on étudie uniquement la continuité à droite en $2$ .

2

On calcule l'image en $2$ :

3

f(2) = \sqrt{2(2) - 4} = 0

4

On calcule la limite à droite en $2$ :

5

\lim_{x \to 2^+} \sqrt{2x - 4} = 0

6

Comme $\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 0$ , la fonction $f$ est continue à droite en $2$ .

Piège classique · 7

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \ne 0 \\ 3 & \text{si } x = 0 \end{cases}$
La fonction $g$ est-elle continue en $0$ ?

Attention

Conclure que $g$ est continue en remarquant uniquement que $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$ .

À la place : Il faut impérativement comparer la valeur de la limite à l'image exacte $g(0)$ . Ici $\lim_{x \to 0} g(x) = 0 \ne g(0) = 3$ , donc $g$ n'est pas continue en $0$ .

Vérification · 8

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$h(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
La fonction $h$ est-elle continue en $1$ ?

Remarque

On a $h(1) = 2(1) + 1 = 3$ et $\lim_{x \to 1^-} h(x) = 3$ , mais $\lim_{x \to 1^+} h(x) = 4 \ne 3$ . La fonction n'est donc pas continue en $1$ .

Définition · 9

Continuité des fonctions usuelles et opérations

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ .

Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

Si $u$ et $v$ sont continues en $a$ , alors les fonctions $u + v$ , $u \times v$ et $k \cdot u$ ( $k \in \mathbb{R}$ ) sont continues en $a$ .

Si de plus $v(a) \ne 0$ , alors la fonction quotient $\frac{u}{v}$ est continue en $a$ .

Définition · 10

Continuité de la racine carrée et de la valeur absolue

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$u \text{ continue en } a \implies |u| \text{ continue en } a$

$u \text{ continue en } a \text{ et } u(a) \ge 0 \implies \sqrt{u} \text{ continue en } a$

Remarque

Pour la racine carrée, la continuité de $u$ seule ne suffit pas : la quantité $u(a)$ doit obligatoirement être positive ou nulle.

Exemple travaillé · 11

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 1}}$ . Justifier que $f$ est continue en $a = 3$ .

1

On pose $u(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ .

2

La fonction rationnelle $u$ est continue en $3$ car son dénominateur $3 + 1 = 4 \ne 0$ .

3

On calcule l'image $u(3)$ pour vérifier sa positivité :

4

u(3) = \frac{3 - 2}{3 + 1} = \frac{1}{4} > 0

5

Puisque $u$ est continue en $3$ et que $u(3) \ge 0$ , la fonction $f = \sqrt{u}$ est continue en $3$ .

Exemple travaillé · 12

Soit la fonction $f(x) = \frac{-5x + 1}{2x^2 + x + 1}$ . Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

1

Le numérateur $x \mapsto -5x + 1$ et le dénominateur $x \mapsto 2x^2 + x + 1$ sont des fonctions polynômes, donc continues sur $\mathbb{R}$ .

2

On étudie l'annulation éventuelle du dénominateur via son discriminant :

3

\Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0

4

Puisque $\Delta < 0$ , le trinôme $2x^2 + x + 1$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$ .

5

Par quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule jamais, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 13

Pour justifier que $f(x) = \sqrt{x - 5}$ est continue en $a = 1$ , un élève écrit : « La fonction $u(x) = x - 5$ est un polynôme donc continue en $1$ , par suite $\sqrt{u}$ est continue en $1$ ». Ce raisonnement est-il correct ?

Attention

Affirmer que $\sqrt{u}$ est continue dès que $u$ est continue, sans contrôler le signe de $u(a)$ .

À la place : Ici $u(1) = 1 - 5 = -4 < 0$ . La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ : $f$ n'est pas définie en $1$ , elle ne peut donc pas y être continue.

Piège classique · 14

Si la fonction $|f|$ est continue en $0$ , peut-on en déduire que $f$ est obligatoirement continue en $0$ ?

Attention

Croire que la réciproque du théorème de la valeur absolue est vraie.

À la place : C'est faux. Par exemple, la fonction $f$ définie par $f(x) = 1$ si $x \ge 0$ et $f(x) = -1$ si $x < 0$ est discontinue en $0$ (saut). Pourtant, $|f(x)| = 1$ pour tout $x$ , qui est une fonction constante continue sur $\mathbb{R}$ .

Vérification · 15

Soit la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{2x + 6}}{|x - 1| - 3}$ . Pour quelle raison $f$ n'est-elle PAS continue en $a = 4$ ?

Remarque

En $a = 4$ , $2(4) + 6 = 14 > 0$ (le numérateur est bien défini et continu). Mais au dénominateur : $|4 - 1| - 3 = 3 - 3 = 0$ . Le dénominateur s'annule, donc $f$ n'est pas définie en $4$ .

Point de départ · 16

On considère la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[-1; 2]$ . Quel est l'ensemble de toutes les valeurs prises par $f(x)$ ?

Remarque

Sur $[-1; 2]$ , la courbe descend d'abord jusqu'à son minimum $f(0) = 0$ avant de remonter jusqu'à $f(2) = 4$ . L'ensemble des images est donc $[0; 4]$ et non $[1; 4]$ .

Définition · 17

Image d'un intervalle par une fonction continue

$f \text{ continue sur } I \implies f(I) \text{ est un intervalle}$

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si $f$ est continue sur un segment $[a; b]$ , alors $f([a; b]) = [m; M]$ , où $m$ est le minimum et $M$ le maximum de $f$ sur $[a; b]$ .

f \text{ strictement croissante sur } [a; b] \implies f([a; b]) = [f(a); f(b)]

f \text{ strictement décroissante sur } [a; b] \implies f([a; b]) = [f(b); f(a)]

Exemple travaillé · 18

Soit $f$ une fonction continue sur $[-2; 3]$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
Déterminer l'image de l'intervalle $[-2; 3]$ par $f$ .

x	-2	1	3
f(x)		-1	5	2

1

La fonction $f$ est continue sur $[-2; 3]$ , donc son image $f([-2; 3])$ est un intervalle fermé $[m; M]$ .

2

On repère le minimum global $m$ de $f$ sur $[-2; 3]$ :

3

m = \min(f(-2), f(3)) = \min(-1, 2) = -1

4

On repère le maximum global $M$ de $f$ sur $[-2; 3]$ , atteint au sommet en $x = 1$ :

5

M = f(1) = 5

6

On en déduit l'intervalle image :

7

f([-2; 3]) = [-1; 5]

Exemple travaillé · 19

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $[1; +\infty[$ telle que $f(1) = -2$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
Déterminer l'image de l'intervalle $[1; +\infty[$ par $f$ .

1

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1; +\infty[$ .

2

La stricte croissance conserve l'ordre des bornes. La borne inférieure est l'image exacte $f(1)$ :

3

f(1) = -2

4

La borne supérieure est obtenue par la limite en $+\infty$ :

5

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

6

On conclut :

7

f([1; +\infty[) = [-2; +\infty[

Piège classique · 20

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[0; 4]$ avec $f(0) = 5$ et $f(4) = -1$ . Quelle est l'image $f([0; 4])$ ?

Attention

Écrire $f([0; 4]) = [f(0); f(4)] = [5; -1]$ , ce qui ne représente pas un intervalle mathématique valide.

À la place : Une fonction strictement décroissante inverse l'ordre des bornes : $f([a; b]) = [f(b); f(a)]$ . L'image correcte est donc $[-1; 5]$ .

Vérification · 21

À l'aide de la courbe ci-dessus représentant une fonction continue $f$ sur $[-2; 3]$ , complète les bornes de l'intervalle image $f([-2; 3])$ :

Remarque

Sur l'intervalle $[-2; 3]$ , la valeur minimale atteinte par la courbe est $-3$ (en $x = 0$ ) et la valeur maximale est $4$ (en $x = 2$ ). L'image du segment $[-2; 3]$ est donc $[-3; 4]$ .

Point de départ · 22

Une fonction continue $f$ vérifie $f(0) = -3$ et $f(3) = 5$ . La courbe coupe-t-elle obligatoirement l'axe des abscisses (la droite $y = 0$ ) entre $0$ et $3$ ?

Remarque

Puisque la courbe est tracée sans interruption de l'ordonnée $-3$ à l'ordonnée $5$ , elle doit nécessairement traverser l'axe d'ordonnée $0$ au moins une fois.

Définition · 23

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

$f \text{ continue sur } [a; b] \implies \forall k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b), \; \exists c \in [a; b] \text{ tel que } f(c) = k$

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a; b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a; b]$ .

Corollaire (Recherche de racines)

f \text{ continue sur } [a; b] \text{ et } f(a) \times f(b) < 0 \implies \exists c \in ]a; b[ \text{ tel que } f(c) = 0

Définition · 24

TVI et unicité de la solution

$f \text{ continue et strictement monotone sur } [a; b] \implies \text{solution unique}$

Si $f$ est continue et **strictement monotone** (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $[a; b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x) = k$ admet une **unique** solution dans $[a; b]$ .

Exemple travaillé · 25

Montrer que l'équation $-2x^3 - 7x + 4 = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0; 1]$ .

1

On pose la fonction $f(x) = -2x^3 - 7x + 4$ .

2

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur le segment $[0; 1]$ .

3

On calcule les images des bornes :

4

f(0) = -2(0)^3 - 7(0) + 4 = 4

5

f(1) = -2(1)^3 - 7(1) + 4 = -5

6

On vérifie le changement de signe :

7

f(0) \times f(1) = 4 \times (-5) = -20 < 0

8

D'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha \in ]0; 1[$ .

Exemple travaillé · 26

Soit la fonction polynôme $f(x) = 8x^3 - 6x - 1$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement 3 solutions réelles distinctes dans $[-1; 1]$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ .

2

On évalue $f$ en quatre points de l'intervalle $[-1; 1]$ :

3

f(-1) = -3 < 0, \quad f(-\frac{1}{2}) = 1 > 0, \quad f(0) = -1 < 0, \quad f(1) = 1 > 0

4

Sur chacun des trois sous-intervalles disjoints $[-1; -\frac{1}{2}]$ , $[-\frac{1}{2}; 0]$ et $[0; 1]$ , la fonction $f$ est continue et change de signe.

5

Par le TVI, $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]-1; -\frac{1}{2}[$ , au moins une dans $]-\frac{1}{2}; 0[$ et au moins une dans $]0; 1[$ , soit au moins 3 solutions réelles distinctes.

6

Or, $f$ est un polynôme de degré 3, il admet au maximum 3 racines réelles dans $\mathbb{R}$ . L'équation admet donc exactement 3 solutions dans $[-1; 1]$ .

Piège classique · 27

Soit $f$ une fonction continue sur $[1; 5]$ telle que $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$ . Peut-on affirmer que l'équation $f(x) = 0$ admet une UNIQUE solution dans $[1; 5]$ ?

Attention

Conclure que la solution est unique parce qu'il n'y a qu'un seul changement de signe entre les deux bornes.

À la place : Sans information sur la stricte monotonie de $f$ , la courbe peut osciller et traverser l'axe des abscisses plusieurs fois. Le TVI seul garantit seulement l'existence d'au moins une solution.

Vérification · 28

Soit une fonction $f$ continue sur $[0; 4]$ dont les valeurs remarquables sont $f(0) = 2$ , $f(2) = -1$ et $f(4) = 3$ .
Combien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle au minimum sur $[0; 4]$ ?

Remarque

Sur $[0; 2]$ , $f$ est continue et change de signe ( $2 \times (-1) < 0$ ), donc il existe au moins une racine. Sur $[2; 4]$ , $f$ change à nouveau de signe ( $-1 \times 3 < 0$ ), donc il existe au moins une autre racine. L'équation admet donc au moins 2 solutions distinctes sur $[0; 4]$ .

Définition · 29

Résolution de $f(x) = g(x)$ et fonction auxiliaire

Pour résoudre une équation de la forme $f(x) = g(x)$ sur un intervalle $[a; b]$ , on se ramène à la recherche d'un zéro en posant une fonction auxiliaire continue.

$f(x) = g(x) \iff h(x) = 0 \quad \text{avec} \quad h(x) = f(x) - g(x)$

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a; b]$ , alors la fonction $h = f - g$ est continue sur $[a; b]$ . On applique ensuite le Théorème des Valeurs Intermédiaires à la fonction $h$ .

Exemple travaillé · 30

Montrer que les courbes des fonctions $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = -\frac{1}{x}$ se coupent en au moins un point d'abscisse $\alpha \in [-2; -0.5]$ .

1

Chercher les points d'intersection revient à résoudre $f(x) = g(x)$ , soit $x^2 + 1 = -\frac{1}{x}$ .

2

Pour tout $x \in [-2; -0.5]$ (où $x \ne 0$ ), cette équation équivaut à $x(x^2 + 1) = -1$ , soit :

3

x^3 + x + 1 = 0

4

On pose la fonction auxiliaire $h(x) = x^3 + x + 1$ sur $[-2; -0.5]$ .

5

La fonction $h$ est un polynôme, elle est donc continue sur $[-2; -0.5]$ .

6

On calcule les images des bornes :

7

h(-2) = (-2)^3 + (-2) + 1 = -9 < 0

8

h(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5) + 1 = -0.125 - 0.5 + 1 = 0.375 > 0

9

Puisque $h(-2) \times h(-0.5) < 0$ , d'après le TVI, l'équation $h(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha \in ]-2; -0.5[$ . Les deux courbes se coupent donc au point d'abscisse $\alpha$ .

Exemple travaillé · 31

Soit $f$ une fonction continue sur $[1; 2]$ telle que $f([1; 2]) = [1; 2]$ .
Montrer qu'il existe au moins un réel $c \in [1; 2]$ tel que $f(c) = c$ .

1

On introduit la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$ sur $[1; 2]$ .

2

La fonction $f$ est continue sur $[1; 2]$ et la fonction $x \mapsto -x$ l'est aussi, donc $g$ est continue sur $[1; 2]$ par somme de fonctions continues.

3

L'hypothèse $f([1; 2]) = [1; 2]$ implique que pour tout $x \in [1; 2]$ , on a $1 \le f(x) \le 2$ .

4

On étudie le signe de $g$ aux bornes de l'intervalle :

5

g(1) = f(1) - 1 \ge 0 \quad (\text{car } f(1) \ge 1)

6

g(2) = f(2) - 2 \le 0 \quad (\text{car } f(2) \le 2)

7

On a donc $g(1) \times g(2) \le 0$ . D'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in [1; 2]$ tel que $g(c) = 0$ , c'est-à-dire $f(c) = c$ .

Exemple travaillé · 32

On sait que l'équation $f(x) = x^3 + 3x + 2 = 0$ admet une solution $\alpha \in [-1; 0]$ .
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.1$ , puis donner sa valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ près.

1

La fonction $f$ est continue sur $[-1; 0]$ , avec $f(-1) = -2 < 0$ et $f(0) = 2 > 0$ .

2

On procède par balayage avec un pas de $0.1$ :

3

f(-0.6) = (-0.6)^3 + 3(-0.6) + 2 = -0.216 - 1.8 + 2 = -0.016 < 0

4

f(-0.5) = (-0.5)^3 + 3(-0.5) + 2 = -0.125 - 1.5 + 2 = 0.375 > 0

5

Puisque $f(-0.6) < 0$ et $f(-0.5) > 0$ , la solution $\alpha$ est encadrée par :

6

-0.6 < \alpha < -0.5

7

La valeur approchée par défaut (la borne inférieure la plus petite) est $-0.6$ .

Piège classique · 33

Pour une racine $\alpha$ vérifiant l'encadrement $-0.7 < \alpha < -0.6$ , quelle est la valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ près ?

Attention

Choisir $-0.6$ en pensant qu'il est plus petit en valeur absolue.

À la place : Pour les réels négatifs, le nombre le plus petit (la borne inférieure) est $-0.7$ , car $-0.7 < -0.6$ . La valeur par défaut correspond toujours à la borne inférieure de l'encadrement.

Vérification · 34

Pour prouver que l'équation $\sqrt{x + 1} = x^2$ admet au moins une solution sur $[0; 2]$ , quelle fonction auxiliaire continue étudie-t-on avec le TVI ?

Remarque

On pose $h(x) = \sqrt{x + 1} - x^2$ . On vérifie que $h(0) = 1 > 0$ et $h(2) = \sqrt{3} - 4 < 0$ , ce qui permet d'appliquer le TVI sur $[0; 2]$ .

Continuité — cours

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