Continuité — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.

   Indice — Pense à identifier les conditions d'existence d'une fraction rationnelle et d'une racine carrée.

   Correction

   La fonction $f$ comporte une racine carrée et un quotient. Les conditions d'existence sont que l'expression sous la racine soit positive ou nulle ($x+1 \ge 0$, soit $x \ge -1$) et que le dénominateur soit non nul ($x \neq 0$). L'ensemble de définition est donc $D_f = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[.$

2. 2. Montrer que $f$ est continue sur $[-1, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.

   Indice — Appuie-toi sur les théorèmes généraux concernant les opérations sur les fonctions continues.

   Correction

   Sur son ensemble de définition $D_f$, la fonction $f$ est obtenue par composition, somme, produit et quotient de fonctions usuelles et continues sur leurs domaines respectifs. Par application des théorèmes généraux sur les opérations, $f$ est continue sur l'intervalle $[-1, 0[$ et sur l'intervalle $]0, +\infty[.$

3. 3. Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$.

   Indice — Pense à utiliser la quantité conjuguée pour lever l'indétermination en $0$.

   Correction

   En $0$, le calcul direct mène à une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$. On lève cette indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur, $\sqrt{x+1} + 1$. On obtient alors $f(x) = \frac{1}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$. En simplifiant par $x$, on trouve $\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$, ce qui donne une limite égale à $\frac{1}{2}$ lorsque $x$ tend vers $0$.

4. 4. Soit $g$ la fonction définie sur $[-1, +\infty[$ par $g(x) = f(x)$ si $x \in D_f$ et $g(0) = \frac{1}{2}$. Montrer que $g$ est continue en $0$.

   Indice — Vérifie si la limite en $0$ existe et est finie pour définir la nouvelle fonction par raccordement.

   Correction

   La fonction $f$ admet une limite finie en $0$ (égale à $\frac{1}{2}$). Par conséquent, elle admet un prolongement par continuité en $0$. La fonction prolongée $g$, définie sur $[-1, +\infty[$, est donnée par $g(x) = f(x)$ si $x \in D_f$ et $g(0) = \frac{1}{2}$. Puisque $\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$, $g$ est continue en $0$.

5. 5. Montrer que $g$ est continue sur $[-1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Examine l'expression de $g$ sur son ensemble de définition en distinguant le point de raccordement.

   Correction

   Pour étudier la continuité de $g$ sur $[-1\,;\,+\infty[$, on examine séparément l'intervalle ouvert $]-1\,;\,0[$ (où $g$ est définie par une expression faisant intervenir la fonction $f$, continue par opérations usuelles) et l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ (où $g$ coïncide avec $f$, également continue). Pour le point de raccordement $x = 0$, on a montré que $g$ est continue en $0$. Par conséquent, $g$ est continue sur tout l'intervalle $[-1\,;\,+\infty[.$

6. 6. Montrer que la restriction de $g$ à $[0\,;\,3]$ réalise une bijection de $[0\,;\,3]$ vers l'intervalle $\left[\frac{1}{3}\,;\, \frac{1}{2}\right]$.

   Indice — Vérifie la stricte monotonie de $g$ sur l'intervalle considéré et calcule ses limites aux bornes.

   Correction

   La restriction de $g$ à $[0\,;\,3]$ est continue sur ce segment. En calculant sa dérivée, on montre que $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,3]$. Par le théorème de la bijection, $g$ réalise donc une bijection de $[0\,;\,3]$ vers l'intervalle image $J = [g(3)\,;\,g(0)]$. En évaluant $g(3) = \frac{\sqrt{4}-1}{3} = \frac{1}{3}$ et $g(0) = \frac{1}{2}$, on obtient l'intervalle image $J = [\frac{1}{3}\,;\, \frac{1}{2}].$

7. 7. Montrer que l'équation $g(x) = \frac{1}{3}$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;\,3[$.

   Indice — Vérifie la continuité de $g$ et l'appartenance de la valeur cible à l'intervalle image.

   Correction

   On applique le théorème des valeurs intermédiaires. La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0\,;\,3[$. La valeur cible $\frac{1}{3}$ appartient bien à l'intervalle image $[\frac{1}{3}\,;\, \frac{1}{2}]$ déterminé à la question précédente. D'après le théorème de la bijection, il existe donc un unique $\alpha$ dans $]0\,;\,3[$ tel que $g(\alpha) = \frac{1}{3}.$

8. 8. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}5$.

   Indice — Évalue la fonction $g$ aux milieux successifs de l'intervalle pour resserrer l'amplitude.

   Correction

   À l'aide de la méthode dichotomique, on évalue la fonction $g$ aux points milieux de l'intervalle $[0\,;\,3]$. En procédant par évaluations successives, on encadre $\alpha$ dans l'intervalle $[2{,}5\,;\,3[$, ce qui fournit un encadrement d'amplitude $0{,}5$ (puisque $3 - 2{,}5 = 0{,}5$).

Soit $a$ un réel. On considère la fonction $f$ définie sur son domaine de définition par :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1} & \text{si } x \in ]-\infty\,;\,1[ \\ a x^2 - \frac{3}{2}x + 1 & \text{si } x \in [1\,;\,2] \\ \frac{2x^2-5}{x^2-5x+6} & \text{si } x \in ]2\,;\,+\infty[ \end{cases}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

   Correction

   • Sur $]-\infty\,;\,1[$, $x^2+3 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et le dénominateur $x-1$ ne s'annule pas sur cet intervalle. $f$ y est donc définie.
   • Sur $[1\,;\,2]$, $f(x) = a x^2 - \frac{3}{2}x + 1$ est une fonction polynomiale, donc définie sur $[1\,;\,2]$.
   • Sur $]2\,;\,+\infty[$, le dénominateur $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ s'annule en $x=2$ et $x=3$. Comme $3 \in ]2\,;\,+\infty[$, $f$ n'est pas définie en $3$.

   L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty\,;\,3[ \cup ]3\,;\,+\infty[$.

2. 2. Calculer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$.

   Indice — $\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}$

   Correction

   Pour $x < 1$ :
   $$f(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1} = \frac{(\sqrt{x^2+3}-2)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \frac{x^2-1}{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$

   D'où :
   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. 3. Montrer que la restriction de $f$ à $]-\infty\,;\,1[$ admet un prolongement par continuité en $1$ et préciser la valeur de ce prolongement en $1$.

   Indice — $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$

   Correction

   La restriction de $f$ à $]-\infty\,;\,1[$ admet une limite finie en $1$ égale à $\frac{1}{2}$.
   Elle admet donc un prolongement par continuité en $1$, et la valeur de ce prolongement en $1$ est $\frac{1}{2}$.

4. 4. Exprimer $f(1)$ en fonction de $a$, puis déterminer $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.

   Indice — $f(1) = a(1)^2 - \frac{3}{2}(1) + 1$

   Correction

   Pour $x \in [1\,;\,2]$, $f(x) = a x^2 - \frac{3}{2}x + 1$.
   • $f(1) = a(1)^2 - \frac{3}{2}(1) + 1 = a - \frac{1}{2}$.
   • La restriction de $f$ à $[1\,;\,2]$ étant polynomiale, elle est continue à droite en $1$, d'où $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = a - \frac{1}{2}$.

5. 5. Déterminer la valeur du réel $a$ pour que la fonction $f$ soit continue en $1$.

   Indice — $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$

   Correction

   La fonction $f$ est continue en $1$ si et seulement si $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
   Ceci équivaut à :
   $$\frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \iff a = 1$$

6. 6. On pose $a = 1$. Calculer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, puis étudier la continuité de $f$ en $2$.

   Indice — $x^2-5x+6 \to 0^-$ quand $x \to 2^+$

   Correction

   Pour $a = 1$ :
   • Sur $[1\,;\,2]$, $f(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + 1$. D'où $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 2^2 - 3 + 1 = 2$.
   • Sur $]2\,;\,+\infty[$, $f(x) = \frac{2x^2-5}{(x-2)(x-3)}$.
   Quand $x \to 2^+$, $2x^2-5 \to 3$, $x-2 \to 0^+$ et $x-3 \to -1$.
   Le dénominateur tend vers $0^-$ par valeurs négatives. On en déduit :
   $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$$
   Puisque $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \neq f(2)$, la fonction $f$ n'est pas continue en $2$.

7. 7. Pour $a = 1$, déterminer l'ensemble de continuité de la fonction $f$.

   Indice — Analyser la continuité sur chaque intervalle ouvert ainsi qu'en $1$, $2$ et $3$.

   Correction

   • Sur $]-\infty\,;\,1[$, $f$ est continue comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.
   • En $1$, $f$ est continue pour $a = 1$.
   • Sur $]1\,;\,2[$, $f$ est polynomiale donc continue.
   • En $2$, $f$ n'est pas continue ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$).
   • Sur $]2\,;\,3[$ et $]3\,;\,+\infty[$, $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas, donc continue.
   • En $3$, $f$ n'est pas définie.

   L'ensemble de continuité de $f$ est $]-\infty\,;\,2[ \cup ]2\,;\,3[ \cup ]3\,;\,+\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{2\,;\,3\}$.

Soit $a \in \mathbb{R}$. On considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
$$f_a(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+a^2} - |a|}{x} & \text{si } x > 0 \\\\ x \cdot E\left(-\dfrac{1}{x}\right) + 2a & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
où $E$ désigne la fonction partie entière.

1. 1). Déterminer la limite de $f_0(x)$ lorsque $x \to 0^+$.

   Indice — Pour $a = 0$ et $x > 0$, simplifie l'expression $\dfrac{\sqrt{x}}{x}$ sous forme de puissance ou de fraction simple avant de calculer la limite.

   Correction

   Pour $a = 0$ et $x > 0$, la fonction s'écrit $f_0(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Par passage à la limite, $\lim_{x \to 0^+} f_0(x) = +\infty$.

2. 2). Montrer que pour tout $a \neq 0$ et tout $x > 0$ :
   $$f_a(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+a^2} + |a|}$$
   Puis en déduire :
   $$\lim_{x \to 0^+} f_a(x)$$

   Indice — Utilise l'expression conjuguée au numérateur pour éliminer la forme indéterminée en simplifiant par $x$.

   Correction

   En multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x+a^2} + |a|$, on obtient :
   $$f_a(x) = \dfrac{(x+a^2) - a^2}{x(\sqrt{x+a^2} + |a|)} = \dfrac{x}{x(\sqrt{x+a^2} + |a|)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+a^2} + |a|}$$
   On en déduit par continuité de la racine carrée :
   $$\lim_{x \to 0^+} f_a(x) = \dfrac{1}{\sqrt{a^2} + |a|} = \dfrac{1}{2|a|}$$

3. 3). Montrer que pour tout $x < 0$ :
   $$-1 \le x \cdot E\left(-\dfrac{1}{x}\right) < -1 - x$$

   Indice — Utilise l'encadrement fondamental de la partie entière $t - 1 < E(t) \le t$ appliqué à $t = -\dfrac{1}{x}$, puis multiplie chaque membre par $x < 0$ en faisant attention au sens des inégalités.

   Correction

   D'après la définition de la partie entière, pour tout réel $t$, on a $t - 1 < E(t) \le t$. En posant $t = -\dfrac{1}{x}$, il vient :
   $$-\dfrac{1}{x} - 1 < E\left(-\dfrac{1}{x}\right) \le -\dfrac{1}{x}$$
   Comme $x < 0$, multiplier chaque membre par $x$ inverse le sens des inégalités :
   $$-1 \le x \cdot E\left(-\dfrac{1}{x}\right) < -1 - x$$

4. 4). En utilisant le résultat de la question 3), déterminer $\lim_{x \to 0^-} f_a(x)$ pour tout $a \in \mathbb{R}$.

   Indice — Applique le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) aux bornes de l'inégalité établie à la question 3).

   Correction

   On a $\lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$ et $\lim_{x \to 0^-} (-1 - x) = -1$. D'après le théorème d'encadrement (ou théorème des gendarmes), on en déduit que $\lim_{x \to 0^-} x \cdot E\left(-\dfrac{1}{x}\right) = -1$.

   En ajoutant la constante $2a$, on obtient finalement $\lim_{x \to 0^-} f_a(x) = -1 + 2a$.

5. 5). Justifier que la fonction $f_0$ n'admet pas de prolongement par continuité en $0$.

   Indice — Examine la nature de la limite à droite obtenue à la question 1) pour déterminer si une limite finie en $0$ est possible.

   Correction

   Pour $a = 0$ et $x > 0$, $f_0(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, d'où $\lim_{x \to 0^+} f_0(x) = +\infty$. La limite à droite n'étant pas finie, $f_0$ n'admet pas de prolongement par continuité en $0$.

6. 6). Montrer que si $a < 0$, l'équation $\lim_{x \to 0^+} f_a(x) = \lim_{x \to 0^-} f_a(x)$ n'admet aucune solution réelle.

   Indice — Pense à exprimer $|a| = -a$ lorsque $a < 0$, puis calcule le discriminant du polynôme du second degré obtenu.

   Correction

   Pour $a < 0$, $|a| = -a$. On a $\lim_{x \to 0^+} f_a(x) = -\dfrac{1}{2a}$ et $\lim_{x \to 0^-} f_a(x) = 2a - 1$.
   L'égalité des limites donne $-\dfrac{1}{2a} = 2a - 1$, soit le polynôme $4a^2 - 2a + 1 = 0$.
   Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 4 \times 1 = -12 < 0$, l'équation n'admet donc aucune solution réelle.

7. 7). Montrer que si $a > 0$, l'équation $\lim_{x \to 0^+} f_a(x) = \lim_{x \to 0^-} f_a(x)$ admet pour unique solution $a = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.

   Indice — Utilise $|a| = a$ pour $a > 0$, puis résous l'équation du second degré en ne conservant que la racine strictement positive.

   Correction

   Pour $a > 0$, $|a| = a$. L'égalité des limites s'écrit $\dfrac{1}{2a} = 2a - 1$, équivalente à $4a^2 - 2a - 1 = 0$.
   Le discriminant est $\Delta = 20$, d'où les solutions $a = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$. Comme $a > 0$, l'unique solution est $a = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.

8. 8). En déduire la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour laquelle $f_a$ admet un prolongement par continuité en $0$, et donner la valeur attribuée en $0$ à ce prolongement.

   Indice — Réunis l'ensemble des cas étudiés ($a=0$, $a<0$ et $a>0$) pour conclure sur la valeur unique de $a$ et calculer la valeur commune des limites latérales.

   Correction

   En synthétisant les résultats des cas $a = 0$, $a < 0$ et $a > 0$, la fonction $f_a$ admet un prolongement par continuité en $0$ si et seulement si $a = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.
   La valeur de ce prolongement en $0$ est la limite commune : $f_a(0) = \dfrac{1}{2a} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[1\,;\,3[$ par $f(x) = (x+1)E(x) - x^2$, où $E désigne la fonction partie entière.$

1. 1. Déterminer la valeur de $E(x)$ pour $x \in [1\,;\,2[$ et pour $x \in [2\,;\,3[$.

   Indice — Quelle est la valeur de la partie entière d'un réel appartenant à l'intervalle $[1\,;\,2[$ puis à $[2\,;\,3[$ ?

   Correction

   Par définition de la fonction partie entière, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1\,;\,2[$, on a $E(x) = 1$. De même, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[2\,;\,3[$, on a $E(x) = 2$.

2. 2. Exprimer $f(x)$ sans le symbole $E(x)$ sur $[1\,;\,2[$ et sur $[2\,;\,3[$.

   Indice — Remplace $E(x)$ par sa valeur constante sur chacun des deux intervalles considérés.

   Correction

   En remplaçant $E(x)$ par sa valeur sur chaque intervalle :
   - Sur $[1\,;\,2[$ : $f(x) = (x+1)(1) - x^2 = -x^2 + x + 1$.
   - Sur $[2\,;\,3[$ : $f(x) = (x+1)(2) - x^2 = -x^2 + 2x + 2$.

3. 3. Calculer :
   • $f(2)$
   • $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
   • $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

   Indice — Pour la limite à gauche en $2$, utilise l'expression de $f(x)$ valable sur $[1\,;\,2[$.

   Correction

   - $f(2)$ : $2$ appartient au domaine $[2\,;\,3[$, donc on utilise l'expression associée : $f(2) = -(2)^2 + 2(2) + 2 = 2$.
   - $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ : pour $x < 2$, on utilise l'expression valable sur $[1\,;\,2[$ : $\lim_{x \to 2^-} (-x^2 + x + 1) = -(2)^2 + 2 + 1 = -1$.
   - $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ : pour $x > 2$, on utilise l'expression valable sur $[2\,;\,3[$ : $\lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 2x + 2) = -(2)^2 + 2(2) + 2 = 2$.

4. 4. Étudier la continuité de $f$ en $2$.

   Indice — Compare la valeur de $f(2)$ avec les limites latérales obtenues en $2$.

   Correction

   Une fonction est continue en un point si et seulement si sa limite à gauche, sa limite à droite et sa valeur en ce point sont toutes égales. D'après la question précédente, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -1$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2$. Comme les limites latérales ne sont pas égales ($\lim_{x \to 2^-} f(x)$
   eq \lim_{x \to 2^+} f(x)), la fonction $f$ n'est pas continue en $2$.

5. 5. Montrer que $f$ est continue sur $[1\,;\,2[$ et sur $]2\,;\,3[$. Puis en déduire le domaine de continuité de $f$.

   Indice — Observe la nature des expressions de $f$ sur chaque sous-intervalle ouvert, puis tiens compte du résultat de la question précédente.

   Correction

   Sur l'intervalle $[1\,;\,2[$, on a $E(x) = 1$, donc $f(x) = x + 1 - x^2$. Cette fonction est polynomiale, donc continue sur $[1\,;\,2[$. Sur l'intervalle $]2\,;\,3[$, on a $E(x) = 2$, donc $f(x) = 2(x + 1) - x^2 = -x^2 + 2x + 2$, qui est également une fonction polynomiale, donc continue sur $]2\,;\,3[$. Enfin, en $x = 2$, on calcule la limite à gauche (qui vaut $f(2) = 1$) et la limite à droite (qui vaut $-4 + 4 + 2 = 2$). Les limites étant différentes, $f$ n'est pas continue en $2$. Le domaine de continuité de $f$ est donc $[1\,;\,2[ \cup ]2\,;\,3[$.

6. 6. Étudier le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]2\,;\,3[$.

   Indice — Utilise la forme canonique de l'expression polynômiale sur $]2\,;\,3[$.

   Correction

   Sur l'intervalle $]2\,;\,3[$, la fonction est $f(x) = -x^2 + 2x + 2$. En utilisant la forme canonique, on écrit $f(x) = -(x-1)^2 + 3$. Sur l'intervalle $]2\,;\,3[$, la fonction $x \mapsto x-1$ est strictement croissante à valeurs positives, donc $(x-1)^2$ est strictement croissante, ce qui implique que $f$ est strictement décroissante sur $]2\,;\,3[$. On peut aussi dériver directement : $f'(x) = -2x + 2 = -2(x-1)$, qui est strictement négatif sur $]2\,;\,3[$ (car $x > 2$), confirmant que $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

7. 7. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]2\,;\,3[$.

   Indice — Mobilise le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle $]2\,;\,3[$.

   Correction

   Sur l'intervalle $]2\,;\,3[$, la fonction $f$ est continue (car polynomiale) et strictement décroissante. On calcule les valeurs aux bornes : $f(2) = 1$ et $f(3) = -3$. Puisque $0$ est compris entre $f(3)$ et $f(2)$ (ou $f(2) > 0$ et $f(3) < 0$), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) garantit l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha \in ]2\,;\,3[$ telle que $f(\alpha) = 0$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

1. 1). Déterminer le domaine de définition de $f$.

   Indice — Pense à la condition d'existence d'un quotient.

   Correction

   Un quotient existe si et seulement si son dénominateur est non nul. Or $x - 2 = 0 \iff x = 2$. L'ensemble de définition est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. 2). Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

   Indice — Rappelle-toi la nature des fonctions polynômes.

   Correction

   Les fonctions $P : x \mapsto x^2 - 4$ et $Q : x \mapsto x - 2$ sont des fonctions polynômes, donc continues sur $\mathbb{R}$. Comme $Q(x) \neq 0$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

3. 3). Simplifier $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

   Indice — Utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Pour $x \neq 2$, on simplifie par $x - 2$, ce qui donne $f(x) = x + 2$.

4. 4). Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $[3\,;\,5]$.

   Indice — Vérifie si le point d'annulation du dénominateur appartient à l'intervalle $[3\,;\,5]$.

   Correction

   La fonction $f$ est le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[3\,;\,5]$ (car $2 \notin [3\,;\,5]$). $f$ est donc continue sur $[3\,;\,5]$.

5. 5). La fonction $f$ est-elle continue sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ ? Justifier.

   Indice — Regarde si la fonction est définie en $2$ et si $2$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,4]$.

   Correction

   La fonction $f$ n'est pas définie en $2$. Comme $2 \in [0\,;\,4]$, $f$ n'est pas continue sur tout l'intervalle $[0\,;\,4]$ (elle y est continue uniquement sur $[0\,;\,2[$ et $]2\,;\,4]$).