Continuité — exercices corrigés

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x+1}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Pense à poser deux conditions : l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle, et le dénominateur doit être non nul.

   Correction

   Pour que la fonction $f$ soit définie, deux conditions doivent être satisfaites simultanément :
   1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $9-x^2 \ge 0$, ce qui équivaut à $x^2 \le 9$, soit $x \in [-3 \,;\, 3]$.
   2. Le dénominateur doit être non nul : $x+1 \ne 0$, soit $x \ne -1$.

   En combinant ces deux conditions, on obtient l'ensemble de définition :
   $$D_f = [-3 \,;\, -1[ \cup ]-1 \,;\, 3]$$

2. 2. Justifier la continuité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$.

   Indice — Utilise les théorèmes de continuité des fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, quotient) en vérifiant que le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle.

   Correction

   Sur l'intervalle $[1 \,;\, 2]$ :
   - La fonction polynôme $x \mapsto 9-x^2$ est continue et strictement positive. Par composition avec la fonction racine carrée, la fonction $x \mapsto \sqrt{9-x^2}$ est continue sur cet intervalle.
   - La fonction affine $x \mapsto x+1$ est continue et ne s'annule pas (elle s'annule en $-1$, qui n'appartient pas à $[1 \,;\, 2]$).

   Par quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[1 \,;\, 2]$.

3. 3. Calculer les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(2)$.

   Indice — Remplace simplement $x$ par $1$ puis par $2$ dans l'expression de $f(x)$ et simplifie les radicaux obtenus.

   Correction

   En remplaçant $x$ par les valeurs données :
   - Pour $x = 1$ :
   $$f(1) = \frac{\sqrt{9-1^2}}{1+1} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
   - Pour $x = 2$ :
   $$f(2) = \frac{\sqrt{9-2^2}}{2+1} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

4. 4. On s'intéresse à l'équation $f(x) = x$. Définir la fonction auxiliaire $g$ par $g(x) = f(x) - x$ pour tout $x \in [1\,;\,2]$.

   Indice — Exprime $g(x)$ sous forme d'une seule expression en soustrayant $x$ à $f(x)$.

   Correction

   Par définition, pour tout $x \in [1 \,;\, 2]$, on a $g(x) = f(x) - x$.

   En remplaçant $f(x)$ par son expression, on obtient :
   $$g(x) = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x+1} - x$$

5. 5. Vérifier que la fonction $g$ est continue sur $[1\,;\,2]$ et étudier le signe du produit $g(1) \times g(2)$.

   Indice — Justifie la continuité de $g$ comme différence de deux fonctions continues, puis calcule $g(1)$ et $g(2)$ pour en déduire le signe de leur produit.

   Correction

   On pose $g(x) = f(x) - x$. La fonction $f$ est continue sur $[1\,;\,2]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, et la fonction $x \mapsto x$ est continue. Ainsi, $g$ est continue sur $[1\,;\,2]$ en tant que différence de fonctions continues.

   On évalue $g$ aux bornes de l'intervalle :
   - $g(1) = f(1) - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$
   - $g(2) = f(2) - 2 = \frac{\sqrt{5}}{3} - 2 < 0$

   On en déduit que $g(1) \times g(2) < 0$.

6. 6. En déduire que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1\,;\,2[$.

   Indice — Applique le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) à la fonction $g$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$.

   Correction

   La fonction $g$ est continue sur $[1\,;\,2]$ et $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(2)$ (car $g(1) \times g(2) < 0$).

   D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l'équation $g(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha \in ]1\,;\,2[$. Or $g(\alpha) = 0 \iff f(\alpha) = \alpha$, donc l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution $\alpha$ dans $]1\,;\,2[$.

7. 7. À l'aide d'une méthode de balayage pas à pas, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

   Indice — Calcule les valeurs de $g(x)$ pour $x$ variant de $1{,}1$ à $1{,}9$ avec un pas de $0{,}1$ jusqu'à observer un changement de signe.

   Correction

   Par calcul de valeurs successives de $g(x)$ avec un pas de $0{,}1$ :
   - $g(1{,}2) = \frac{\sqrt{7{,}56}}{2{,}2} - 1{,}2 \approx 0{,}05 > 0$
   - $g(1{,}3) = \frac{\sqrt{7{,}31}}{2{,}3} - 1{,}3 \approx -0{,}12 < 0$

   Le changement de signe montre que $g$ s'annule entre $1{,}2$ et $1{,}3$. D'où l'encadrement $1{,}2 < \alpha < 1{,}3$.

Soit $I$ un intervalle non vide de $\mathbb{R}$. On s'intéresse à la construction de combinaisons continues égales à $1$ pour des familles de fonctions continues n'ayant aucun zéro commun sur $I$.

1. 1). Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I$. On définit la fonction $H$ sur $I$ par $H(x) = f(x)^2 + g(x)^2$. Démontrer que $H$ est continue sur $I$ et que pour tout $x \in I$, $H(x) = 0 \iff f(x) = 0 \text{ et } g(x) = 0$.

   Indice — Que vaut la somme de deux carrés réels $a^2 + b^2 = 0$ ?

   Correction

   La fonction $H$ est continue sur $I$ en tant que somme et produits (carrés) de fonctions continues sur $I$.

   Pour tout $x \in I$, les réels $f(x)^2$ et $g(x)^2$ sont positifs ou nuls. Une somme de deux réels positifs ou nuls est nulle si et seulement si chacun de ces réels est nul. On a donc :
   $H(x) = 0 \iff f(x)^2 = 0 \text{ et } g(x)^2 = 0 \iff f(x) = 0 \text{ et } g(x) = 0$.

2. 2). Soit $f_1$ une fonction continue sur $I$ ne s'annulant en aucun point de $I$. Démontrer qu'il existe une fonction $g_1$ continue sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $f_1(x)g_1(x) = 1$.

   Indice — Que vaut le quotient $\dfrac{1}{f_1(x)}$ sur un domaine où $f_1$ ne s'annule pas ?

   Correction

   Puisque la fonction $f_1$ ne s'annule en aucun point de $I$, on peut définir la fonction $g_1$ sur $I$ par $g_1(x) = \frac{1}{f_1(x)}$.

   La fonction $g_1$ est continue sur $I$ comme inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas. De plus, par construction, on a bien $f_1(x)g_1(x) = 1$ pour tout $x \in I$.

3. 3)a). Soit $f_1$ et $f_2$ deux fonctions continues sur $I$ ne s'annulant jamais simultanément sur $I$. On pose $S_2(x) = f_1(x)^2 + f_2(x)^2$ pour tout $x \in I$. Démontrer que $S_2$ est continue sur $I$ et que pour tout $x \in I$, $S_2(x) > 0$.

   Indice — Que dit la propriété établie à la question 1) lorsque $f_1(x)$ et $f_2(x)$ ne sont jamais simultanément nuls ?

   Correction

   D'après la question 1), la fonction $S_2$ est continue sur $I$ et s'annule en un point $x \in I$ si et seulement si $f_1(x) = 0$ et $f_2(x) = 0$.

   Comme $f_1$ et $f_2$ ne s'annulent jamais simultanément sur $I$, on en déduit que $S_2(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$. De plus, $S_2(x)$ étant une somme de carrés, elle est positive ou nulle. On conclut donc que $S_2(x) > 0$ pour tout $x \in I$.

4. 3)b). On pose $g_1(x) = \dfrac{f_1(x)}{S_2(x)}$ et $g_2(x) = \dfrac{f_2(x)}{S_2(x)}$ pour tout $x \in I$. Établir que $g_1$ et $g_2$ sont continues sur $I$ et que $f_1(x)g_1(x) + f_2(x)g_2(x) = 1$ pour tout $x \in I$.

   Indice — Que vaut le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, et que vaut $\dfrac{f_1(x)^2 + f_2(x)^2}{S_2(x)}$ ?

   Correction

   La fonction $S_2$ est continue et ne s'annule pas sur $I$ d'après la question 3)a). Ainsi, les fonctions $g_1$ et $g_2$ sont continues sur $I$ en tant que quotients de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

   Pour tout $x \in I$, on a :
   $f_1(x)g_1(x) + f_2(x)g_2(x) = \frac{f_1(x)^2 + f_2(x)^2}{S_2(x)} = \frac{S_2(x)}{S_2(x)} = 1$.

5. 4)a). Pour tout entier $n \ge 1$, on considère la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « Pour toute famille de $n$ fonctions $(f_1, \dots, f_n)$ continues sur $I$ ne s'annulant jamais simultanément sur $I$, il existe $n$ fonctions $(g_1, \dots, g_n)$ continues sur $I$ telles que $\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x) = 1$ pour tout $x \in I$ ». Justifier que $\mathcal{P}(1)$ et $\mathcal{P}(2)$ sont vraies.

   Indice — Rapproche l'énoncé de la propriété $\mathcal{P}(n)$ des résultats déjà établis aux questions 2) et 3)b).

   Correction

   Pour $\mathcal{P}(1)$ : si $f_1$ ne s'annule pas sur $I$, la fonction $g_1 = \frac{1}{f_1}$ est continue sur $I$ par quotient, et vérifie $f_1 g_1 = 1$. Pour $\mathcal{P}(2)$ : si $f_1, f_2$ n'ont aucun zéro commun, $f_1^2 + f_2^2$ ne s'annule jamais sur $I$. En posant $g_1 = \frac{f_1}{f_1^2 + f_2^2}$ et $g_2 = \frac{f_2}{f_1^2 + f_2^2}$, $g_1$ et $g_2$ sont continues sur $I$ et satisfont $f_1 g_1 + f_2 g_2 = 1$.

6. 4)b). Soit $n \ge 1$. On considère $n+1$ fonctions $(f_1, \dots, f_{n+1})$ continues sur $I$ sans zéro commun sur $I$. On pose $S_{n+1}(x) = \sum_{k=1}^{n+1} f_k(x)^2$ pour tout $x \in I$. Justifier la continuité de $S_{n+1}$ sur $I$.

   Indice — Comment s'exprime $S_{n+1}$ comme combinaison de sommes et de produits de fonctions continues ?

   Correction

   Pour tout $k \in \{1, \dots, n+1\}$, $f_k$ est continue sur $I$, donc $f_k^2$ l'est aussi comme produit de fonctions continues. Par somme finie de fonctions continues, la fonction $S_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} f_k^2$ est continue sur $I$.

7. 4)c). Démontrer par l'absurde que pour tout $x \in I$, $S_{n+1}(x) > 0$.

   Indice — Si $S_{n+1}(x_0) = 0$ pour un certain $x_0 \in I$, que vaut chaque terme $f_k(x_0)^2$ de cette somme de termes tous positifs ou nuls ?

   Correction

   Supposons qu'il existe $x_0 \in I$ tel que $S_{n+1}(x_0) = 0$. Comme $f_k(x_0)^2 \ge 0$ pour tout $k$, une somme de termes positifs ou nuls est nulle si et seulement si chaque terme est nul. On en déduit $f_k(x_0) = 0$ pour tout $k \in \{1, \dots, n+1\}$, ce qui contredit le fait que les fonctions $f_1, \dots, f_{n+1}$ n'ont aucun zéro commun. Ainsi, $S_{n+1}(x) > 0$ pour tout $x \in I$.

8. 4)d). Pour tout $i \in \{1, \dots, n+1\}$, on pose $g_i(x) = \dfrac{f_i(x)}{S_{n+1}(x)}$ pour tout $x \in I$. Montrer que chaque fonction $g_i$ est continue sur $I$.

   Indice — Que garantit la non-annulation globale de $S_{n+1}$ pour le quotient $\dfrac{f_i(x)}{S_{n+1}(x)}$ ?

   Correction

   Pour tout $i \in \{1, \dots, n+1\}$, $g_i$ s'exprime comme le quotient de $f_i$ par $S_{n+1}$. Les fonctions $f_i$ et $S_{n+1}$ étant continues sur $I$ et $S_{n+1}$ ne s'annulant jamais sur $I$, le quotient $g_i = \frac{f_i}{S_{n+1}}$ est continu sur $I$.

9. 4)e). Calculer $\sum_{i=1}^{n+1} f_i(x)g_i(x)$ pour tout $x \in I$. En déduire que la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \ge 1$.

   Indice — Remplace $g_i(x)$ par sa définition dans la somme $\sum_{i=1}^{n+1} f_i(x)g_i(x)$ et simplifie l'expression obtenue.

   Correction

   En remplaçant $g_i(x)$ par sa définition ($g_i(x) = u(x)f_i(x)$ pour $1 \le i \le n$ et $g_{n+1}(x) = v(x)$), la somme se réécrit :

   $$\sum_{i=1}^{n+1} f_i(x)g_i(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) [u(x)f_i(x)] + f_{n+1}(x)v(x) = u(x) \sum_{i=1}^n f_i(x)^2 + v(x)f_{n+1}(x)$$

   Par construction de $u$ and $v$ (issues du cas $n=2$ appliqué aux fonctions continues $\sum_{i=1}^n f_i^2$ et $f_{n+1}$ qui ne s'annulent pas simultanément), cette expression est égale à $1$ pour tout $x \in I$.

   Les fonctions $g_i$ ainsi définies sont continues sur $I$ comme produits et sommes de fonctions continues. Cela valide l'étape d'hérédité, et montre par récurrence que la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \ge 1$.

Soit la fonction paramétrique $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_k(x) = (x - E(x))^2 + k \cdot E(x)$$
où $k$ est un paramètre réel et $E(x)$ désigne la partie entière de $x$.

1. 1. Établir l'expression simplifiée de $f_k(x)$ sur l'intervalle $[0\,;\,1[$, puis justifier la continuité de $f_k$ sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,1[$.

   Indice — Que vaut $E(x)$ pour tout $x \in [0\,;\,1[$ ? Remplace cette valeur dans l'expression de $f_k$.

   Correction

   Pour tout $x \in [0\,;\,1[$, la partie entière est nulle ($E(x) = 0$). L'expression devient $f_k(x) = x^2$. En tant que fonction polynomiale, $f_k$ est continue sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,1[$.

2. 2. Déterminer la valeur $f_k(0)$ et la limite à droite $\lim_{x \to 0^+} f_k(x)$. En déduire la continuité à droite de $f_k$ en $0$ indépendamment de $k$.

   Indice — Calcule $f_k(0)$ en utilisant la définition de $E(0)$, puis évalue la limite lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

   Correction

   Comme $E(0) = 0$, on obtient $f_k(0) = 0$. Pour $x \in ]0\,;\,1[$, $f_k(x) = x^2$, d'où $\lim_{x \to 0^+} f_k(x) = 0$. La limite à droite étant égale à $f_k(0)$, $f_k$ est continue à droite en $0$ pour toute valeur de $k$.

3. 3. Établir l'expression de $f_k(x)$ sur l'intervalle $[-1\,;\,0[$, puis calculer la limite à gauche $\lim_{x \to 0^-} f_k(x)$.

   Indice — Quel est l'antécédent par la partie entière d'un nombre strictement compris entre $-1$ et $0$ ? Réécris $f_k(x)$ sur $[-1\,;\,0[$.

   Correction

   Pour tout $x \in [-1\,;\,0[$, $E(x) = -1$, ce qui donne $f_k(x) = (x + 1)^2 - k$. On en déduit la limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} f_k(x) = (0 + 1)^2 - k = 1 - k$.

4. 4. Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur le paramètre $k$ pour que $f_k$ soit continue au point $0$.

   Indice — Compare la limite à gauche et la limite à droite en $0$ obtenues aux questions précédentes.

   Correction

   La fonction $f_k$ est continue en $0$ si et seulement si ses limites à gauche et à droite en $0$ sont égales, c'est-à-dire $1 - k = 0$. La condition nécessaire et suffisante est donc $k = 1$.

5. 5. Soit $n \in \mathbb{Z}$. Établir l'expression simplifiée de $f_k(x)$ sur l'intervalle $[n\,;\,n+1[$, puis justifier sa continuité sur l'intervalle ouvert $]n\,;\,n+1[$.

   Indice — Reprends la définition de la partie entière pour un réel quelconque dans un intervalle de la forme $[n\,;\,n+1[$.

   Correction

   Pour $x \in [n\,;\,n+1[$, par définition de la partie entière, $E(x) = n$. L'expression simplifiée est donc $f_k(x) = (x - n)^2 + k n$. Sur l'intervalle ouvert $]n\,;\,n+1[$, $f_k$ est une fonction polynomiale en $x$, elle est donc continue sur cet intervalle.

6. 6. Calculer $f_k(n)$ et la limite à droite $\lim_{x \to n^+} f_k(x)$ sur l'intervalle $[n\,;\,n+1[$.

   Indice — Évalue l'expression de $f_k(x)$ trouvée à la question précédente en $n$, puis étudie son comportement lorsque $x$ tend vers $n$ par valeurs supérieures.

   Correction

   En utilisant la formule $f_k(x) = (x - n)^2 + k n$ établie sur $[n\,;\,n+1[$ :
   - En $x = n$, on a $f_k(n) = (n - n)^2 + k n = k n$.
   - Par continuité à droite du polynôme, $\lim_{x \to n^+} f_k(x) = (n - n)^2 + k n = k n$.

7. 7. Établir l'expression de $f_k(x)$ sur l'intervalle $[n-1\,;\,n[$, puis calculer la limite à gauche $\lim_{x \to n^-} f_k(x)$.

   Indice — Quel est le comportement de la partie entière pour un réel appartenant à l'intervalle $[n-1\,;\,n[$ ?

   Correction

   Pour $x \in [n-1\,;\,n[$, la partie entière vaut $E(x) = n - 1$. L'expression de la fonction devient $f_k(x) = (x - n + 1)^2 + k(n - 1)$.

   En faisant tendre $x$ vers $n$ par valeurs inférieures, on obtient la limite à gauche :
   $\lim_{x \to n^-} f_k(x) = (n - n + 1)^2 + k(n - 1) = 1 + k(n - 1)$.

8. 8. Déterminer l'ensemble des valeurs du paramètre $k$ pour lesquelles $f_k$ est continue en tout entier $n \in \mathbb{Z}$.

   Indice — Examine la relation que doivent satisfaire $k$ et l'entier $n$ pour que la limite à gauche et la limite à droite coïncident en tout point entier.

   Correction

   Pour que $f_k$ soit continue en un entier $n \in \mathbb{Z}$, il faut et il suffit que les limites à droite et à gauche en $n$ existent et soient égales à $f_k(n)$.

   En égalisant les résultats précédents, on obtient la condition :
   $k n = 1 + k(n - 1) \iff k n = 1 + k n - k \iff k = 1$.

   Cette condition étant indépendante de $n$, la fonction $f_k$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $k = 1$.

9. 9. Conclure sur le domaine de continuité global de la fonction $f_k$ sur $\mathbb{R}$ suivant les valeurs du paramètre $k$.

   Indice — Synthétise les conditions de raccordement en chaque entier pour identifier les valeurs de $k$ qui préservent ou rompent la continuité globale sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   Sur chaque intervalle ouvert $]n, n+1[$ avec $n \in \mathbb{Z}$, $f_k(x) = (x-n)^2 + kn$ est polynomiale donc continue.

   Aux points d'intersection $n \in \mathbb{Z}$, l'étude des limites donne $\lim_{x \to n^+} f_k(x) = kn$ et $\lim_{x \to n^-} f_k(x) = 1 + k(n-1)$. La continuité en $n$ impose $kn = 1 + k(n-1)$, soit $k = 1$.

   Ainsi :
   - Si $k = 1$, $f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$.
   - Si $k \neq 1$, le domaine de continuité de $f_k$ est $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$.

Soit $m$ un nombre réel. On considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_m(x) = \begin{cases} 2x^2 - x + 4 & \text{si } x \ge 1 \\ mx + 1 & \text{si } x < 1 \end{cases}$$

1. 1. Pour $m = 1$, calculer l'image $f_1(1)$, ainsi que les limites unilatérales $\lim_{x \to 1^+} f_1(x)$ et $\lim_{x \to 1^-} f_1(x)$.

   Indice — Calcule l'image directe de $1$ par la première expression, puis évalue séparément la limite de chaque expression de part et d'autre de $1$ avec $m = 1$.

   Correction

   Pour $x \ge 1$, $f_1(x) = 2x^2 - x + 4$. On calcule l'image directe en $1$ :
   $$f_1(1) = 2(1)^2 - 1 + 4 = 5$$

   Pour la limite à droite, on utilise l'expression sur $[1, +\infty[$ :
   $$\lim_{x \to 1^+} f_1(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - x + 4) = 5$$

   Pour la limite à gauche, on utilise l'expression avec $m = 1$ sur $]-\infty, 1[$ :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_1(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$$

2. 2. En comparant l'image et les limites unilatérales obtenues, examiner la continuité de $f_1$ en $1$.

   Indice — Compare la valeur de l'image en $1$ avec les résultats des limites unilatérales obtenus à la question précédente.

   Correction

   Une fonction est continue en un point si ses limites à gauche et à droite y existent et sont égales à l'image du point.
   Ici, $\lim_{x \to 1^+} f_1(x) = f_1(1) = 5$, mais $\lim_{x \to 1^-} f_1(x) = 2 \neq 5$. Les limites unilatérales n'étant pas égales, la fonction $f_1$ n'est pas continue en $1$.

3. 3. Pour $m = 4$, calculer la limite à gauche $\lim_{x \to 1^-} f_4(x)$ et vérifier sa coïncidence avec $f_4(1)$.

   Indice — Répète la démarche de la première question en remplaçant $m$ par $4$ dans l'expression valable pour $x < 1$.

   Correction

   Pour $m = 4$, l'expression pour $x < 1$ devient $f_4(x) = 4x + 1$. La limite à gauche vaut :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_4(x) = \lim_{x \to 1^-} (4x + 1) = 5$$

   L'expression pour $x \ge 1$ ne dépend pas de $m$, donc $f_4(1) = 5$. La limite à gauche coïncide bien avec $f_4(1)$.

4. 4. Pour un paramètre réel $m$ quelconque, exprimer en fonction de $m$ la limite à gauche $\lim_{x \to 1^-} f_m(x)$ et l'image $f_m(1)$.

   Indice — Exprime la limite de l'expression $mx + 1$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures en fonction de $m$.

   Correction

   Pour $x \ge 1$, la formule ne contenant pas $m$, l'image $f_m(1)$ est constante :
   $$f_m(1) = 5$$

   Pour $x < 1$, $f_m(x) = mx + 1$. Par continuité de la fonction affine $x \mapsto mx + 1$, la limite à gauche s'obtient directement en remplaçant $x$ par $1$ :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = m + 1$$

5. 5. Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour laquelle la fonction $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Utilise la condition d'égalité entre l'image et les limites unilatérales en $1$ pour déterminer la valeur de $m$.

   Correction

   La fonction $f_m$ est continue sur $]-\infty, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ comme fonction polynomiale. Pour qu'elle soit continue sur $\mathbb{R}$, elle doit également être continue en $x = 1$, ce qui impose l'égalité des limites à gauche et à droite en ce point :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = \lim_{x \to 1^+} f_m(x) = f_m(1)$$

   D'une part, on a $f_m(1) = 2(1)^2 - 1 + 4 = 5$, d'où $\lim_{x \to 1^+} f_m(x) = 5$.

   D'autre part, $\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = \lim_{x \to 1^-} (mx + 1) = m + 1$.

   On résout l'équation $m + 1 = 5$, ce qui donne $m = 4$.

Soit $m$ un paramètre réel. On considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_m(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + (m-1)x - m}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\[6pt] \sqrt{3x + 1} + m^2 - 3 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

1. 1. Pour $m = 1$, justifier la continuité de la fonction $f_1$ sur chacun des intervalles ouverts $]-\infty\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Examine le dénominateur de la fraction rationnelle et le radicand de la racine carrée sur les intervalles indiqués.

   Correction

   Pour $m = 1$, la fonction s'écrit :
   $$f_1(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\[6pt] \sqrt{3x + 1} - 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

   - Sur $]-\infty\,;\,1[$, $f_1$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas. Elle est donc continue sur cet intervalle.
   - Sur $]1\,;\,+\infty[$, la fonction $x \mapsto 3x+1$ est affine et strictement positive. Par composition avec la fonction racine carrée, la fonction $x \mapsto \sqrt{3x+1} - 2$ est continue sur cet intervalle.

   Ainsi, $f_1$ est continue sur chacun des deux intervalles ouverts.

2. 2. Toujours pour $m = 1$, calculer la limite de $f_1$ à gauche en $1$, la limite de $f_1$ à droite en $1$ ainsi que la valeur de $f_1(1)$, puis examiner la continuité de $f_1$ en $1$.

   Indice — Pour la limite à gauche en $1$, factorise le numérateur par $x-1$. Pour la limite à droite, évalue directement l'expression de la seconde branche.

   Correction

   - **Limite à gauche en $1$** : Pour $x < 1$, on factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. En simplifiant par $x-1$, on obtient $f_1(x) = x+1$. Ainsi :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_1(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$$

   - **Valeur et limite à droite en $1$** : En utilisant la seconde expression, on a :
   $$f_1(1) = \sqrt{3(1) + 1} - 2 = 0$$
   La fonction étant définie par cette formule continue à droite de $1$, on a également $\lim_{x \to 1^+} f_1(x) = 0$.

   - **Continuité en $1$** : Comme $\lim_{x \to 1^-} f_1(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f_1(x)$, la fonction $f_1$ n'est pas continue en $1$.

3. 3. Pour $m = 2$, calculer la limite de $f_2$ à gauche en $1$, la limite de $f_2$ à droite en $1$ et la valeur de $f_2(1)$, puis conclure quant à la continuité de $f_2$ en $1$.

   Indice — Maintiens la même démarche d'évaluation unilatérale en remplaçant $m$ par $2$ dans les deux expressions.

   Correction

   Pour $m = 2$, la fonction s'écrit :
   $$f_2(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\[6pt] \sqrt{3x + 1} + 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

   - **Limite à gauche en $1$** : On factorise le numérateur par son terme évident $(x-1)$, ce qui donne $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$. Pour $x < 1$, on simplifie pour obtenir $f_2(x) = x+2$. D'où :
   $$\lim_{x \to 1^-} f_2(x) = 1 + 2 = 3$$

   - **Valeur et limite à droite en $1$** : En évaluant la seconde branche, on obtient :
   $$f_2(1) = \sqrt{3(1) + 1} + 1 = 3$$
   La limite à droite est également $\lim_{x \to 1^+} f_2(x) = 3$.

   - **Continuité en $1$** : Puisque $\lim_{x \to 1^-} f_2(x) = \lim_{x \to 1^+} f_2(x) = f_2(1) = 3$, la fonction $f_2$ est continue en $1$.

4. 4. Comparer les comportements des fonctions $f_1$ et $f_2$ en $1$, et indiquer si la simple validité des formules sur les intervalles ouverts suffit à garantir la continuité globale sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Compare les conclusions obtenues aux questions 2 et 3 concernant le comportement en $1$ avec la régularité établie à la question 1.

   Correction

   Bien que $f_1$ et $f_2$ soient toutes deux définies par des formules régulières et continues sur les intervalles ouverts $]-\infty\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$, seule $f_2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car ses limites unilatérales coïncident au point de jonction $x = 1$.

   La simple validité des formules sur les intervalles ouverts ne suffit donc pas à garantir la continuité globale : il est indispensable d'étudier le raccordement (égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur de la fonction) au point de transition.

5. 5. Pour un réel $m$ arbitraire, exprimer en fonction de $m$ la limite à gauche de $f_m$ en $1$ et la valeur exacte $f_m(1)$.

   Indice — Effectue la même simplification algébrique sur la première expression pour un paramètre $m$ quelconque.

   Correction

   Pour $x < 1$, la factorisation du numérateur donne $x^2 + (m-1)x - m = (x - 1)(x + m)$. Après simplification par $x - 1$, on a $f_m(x) = x + m$, d'où $\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = 1 + m$.

   Pour la valeur exacte en $1$, on applique la seconde formule : $f_m(1) = \sqrt{3(1) + 1} + m^2 - 3 = m^2 - 1$.

6. 6. Établir l'équation polynomiale en $m$ que doit satisfaire ce paramètre pour assurer la continuité de $f_m$ en $1$.

   Indice — Traduis algébriquement la condition d'égalité entre la limite à gauche et la valeur exacte en $1$ obtenue précédemment.

   Correction

   La fonction $f_m$ est continue en $1$ si et seulement si sa limite à gauche égale sa valeur en $1$ : $\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = f_m(1)$.

   En égalisant les résultats de la question précédente, on obtient $1 + m = m^2 - 1$, d'où l'équation polynomiale $m^2 - m - 2 = 0$.

7. 7. Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles la fonction $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$, et préciser son domaine de continuité lorsque $m$ n'appartient pas à cet ensemble.

   Indice — Résous l'équation en $m$ puis rassemble les résultats sur les intervalles ouverts et au point de raccordement.

   Correction

   Sur $]-\infty, 1[$ et $]1, +\infty[$, $f_m$ est continue comme somme et composées de fonctions usuelles (rationnelle et racine carrée).

   La continuité globale sur $\mathbb{R}$ dépend donc uniquement du raccordement en $1$. La résolution de $m^2 - m - 2 = 0$ donne $m = -1$ et $m = 2$.

   Ainsi, $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $m \in \{-1, 2\}$. Pour toute autre valeur de $m$, son domaine de continuité est $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.