Rappel · 1

Quelles sont les conditions d'existence pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?

Remarque

Pour tout quotient $\frac{A(x)}{B(x)}$ , on impose $B(x) \neq 0$ . Pour toute racine $\sqrt{A(x)}$ , on impose $A(x) \ge 0$ .

Point de départ · 2

Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [-1; 3]$ . Peut-on étudier la parité de $f$ en comparant $f(x)$ et $f(-x)$ pour tout réel $x \in I$ ?

Remarque

Pour $x = 3 \in I$ , son opposé $-3$ n'appartient pas à $I$ . L'image $f(-3)$ n'existe pas : on ne peut donc pas comparer $f(-3)$ et $f(3)$ .

Définition · 3

Définition : Parité d'une fonction

\forall x \in D_f, \quad -x \in D_f \quad \text{(le domaine } D_f \text{ est symétrique par rapport à } 0\text{)}

$f \text{ est paire si } \forall x \in D_f, \quad f(-x) = f(x)$

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ comme axe de symétrie.

$f \text{ est impaire si } \forall x \in D_f, \quad f(-x) = -f(x)$

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction impaire admet l'origine du repère $O$ comme centre de symétrie.

Exemple travaillé · 4

Étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^3 - x}{|x| + 4}$ .

1

On détermine le domaine de définition : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $|x| \ge 0$ , donc $|x| + 4 \ge 4 > 0$ . Le dénominateur ne s'annule jamais, d'où $D_f = \mathbb{R}$ .

2

L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-x \in \mathbb{R}$ .

3

f(-x) = \frac{(-x)^3 - (-x)}{|-x| + 4} = \frac{-x^3 + x}{|x| + 4}

4

f(-x) = \frac{-(x^3 - x)}{|x| + 4} = -\frac{x^3 - x}{|x| + 4} = -f(x)

5

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(-x) = -f(x)$ : la fonction $f$ est impaire.

Exemple travaillé · 5

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité de la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x^2 - |x|}$ .

1

Condition d'existence : $x^2 - |x| \ge 0$ . Comme $x^2 = |x|^2$ , cela s'écrit $|x|^2 - |x| \ge 0$ , soit $|x|(|x| - 1) \ge 0$ .

2

Le produit est positif ou nul si $|x| = 0$ ou $|x| \ge 1$ , ce qui donne $D_g = ]-\infty; -1] \cup \{0\} \cup [1; +\infty[$ .

3

Pour tout $x \in D_g$ , on a $|-x| = |x|$ , donc $-x \in D_g$ : le domaine est symétrique par rapport à $0$ .

4

g(-x) = \sqrt{(-x)^2 - |-x|} = \sqrt{x^2 - |x|} = g(x)

5

Pour tout $x \in D_g$ , $g(-x) = g(x)$ : la fonction $g$ est paire.

Piège classique · 6

Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = \frac{x^2}{x + 2}$ sur l'ensemble $D_h = ]-2; +\infty[$ . Quelle est la parité de $h$ ?

Attention

Calculer immédiatement $h(-x)$ ou affirmer que la fonction est paire parce que le numérateur contient un carré $x^2$ .

À la place : Le domaine $D_h = ]-2; +\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ : par exemple, $3 \in D_h$ mais $-3 \notin D_h$ . La fonction n'est ni paire ni impaire, sans aucun calcul algébrique.

Vérification · 7

On considère la fonction $k$ définie par $k(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3} - 2}$ . Que peut-on conclure sur la parité de $k$ ?

Remarque

Le domaine $D_k = ]-\infty; -\sqrt{7}[ \cup ]-\sqrt{7}; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \sqrt{7}[ \cup ]\sqrt{7}; +\infty[$ est symétrique par rapport à $0$ , et $k(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - 3} - 2} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 3} - 2} = -k(x)$ . La fonction est impaire.

Point de départ · 8

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions impaires définies sur $\mathbb{R}$ , à ton avis, que vaut $(f \times g)(-x)$ en fonction de $(f \times g)(x)$ ?

Remarque

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $f(-x) = -f(x)$ et $g(-x) = -g(x)$ . Leur produit donne $(-f(x)) \times (-g(x)) = f(x)g(x)$ . Les deux signes moins s'annulent : le produit est une fonction paire !

Définition · 9

Propriété : Algèbre de la parité

\text{Soient } f \text{ et } g \text{ deux fonctions définies sur un ensemble } D \text{ symétrique par rapport à } 0, \text{ et } \alpha, \beta \in \mathbb{R}.

$\text{Si } f \text{ et } g \text{ sont paires, alors } \alpha f + \beta g \text{ et } fg \text{ sont paires.}$

$\text{Si } f \text{ et } g \text{ sont impaires, alors } \alpha f + \beta g \text{ est impaire, mais } fg \text{ est paire.}$

$\text{Si } f \text{ est paire et } g \text{ est impaire, alors } fg \text{ est impaire.}$

Exemple travaillé · 10

Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires définies sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ . Démontrer la parité de la fonction somme $S = f+g$ et de la fonction produit $P = fg$ .

1

Pour tout $x \in D$ , comme $D$ est symétrique par rapport à $0$ , on a $-x \in D$ .

2

Puisque $f$ et $g$ sont impaires, on a $f(-x) = -f(x)$ et $g(-x) = -g(x)$ .

3

S(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -S(x)

4

La fonction somme $S = f+g$ est donc impaire.

5

P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = P(x)

6

La fonction produit $P = fg$ est donc paire.

Exemple travaillé · 11

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x$ . Déterminer l'expression explicite de $f(x)$ .

1

L'égalité étant vraie pour tout réel $x$ , on remplace $x$ par $-x$ dans l'équation : $3f(-x) + f(x) = 4(-x)^3 + 2(-x) = -4x^3 - 2x$ .

2

De l'équation initiale, on isole $f(-x)$ : $f(-x) = 4x^3 + 2x - 3f(x)$ .

3

3(4x^3 + 2x - 3f(x)) + f(x) = -4x^3 - 2x

4

12x^3 + 6x - 9f(x) + f(x) = -4x^3 - 2x \implies -8f(x) = -16x^3 - 8x

5

En divisant par $-8$ , on obtient pour tout réel $x$ : $f(x) = 2x^3 + x$ .

Piège classique · 12

Soit $f$ et $g$ deux fonctions impaires définies sur $\mathbb{R}$ . Quelle est la parité de la fonction produit $h = f \times g$ ?

Attention

Penser que le produit de deux fonctions impaires est impair par analogie avec le vocabulaire ordinaire.

À la place : Le produit de deux fonctions impaires est toujours une fonction paire, car $(-f(x)) \times (-g(x)) = f(x)g(x)$ .

Vérification · 13

Soit $f$ une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ . Que vaut obligatoirement $f(0)$ ?

Remarque

Par définition de l'imparité, $f(-0) = -f(0) \iff f(0) = -f(0) \iff 2f(0) = 0 \iff f(0) = 0$ . Toute fonction impaire définie en $0$ s'annule obligatoirement en $0$ .

Point de départ · 14

Si deux fonctions $u$ et $v$ sont strictement décroissantes sur un même intervalle $I$ , que peut-on prévoir pour le sens de variation de leur somme $u + v$ sur $I$ ?

Remarque

Si $a < b$ , alors $u(a) > u(b)$ et $v(a) > v(b)$ . En additionnant membre à membre ces deux inégalités de même sens, on obtient $(u+v)(a) > (u+v)(b)$ . La somme $u+v$ est donc strictement décroissante sur $I$ .

Définition · 15

Théorème : Variations et opérations sur les fonctions

\text{Soient } u \text{ et } v \text{ deux fonctions définies sur un intervalle } I, \text{ et } \lambda \in \mathbb{R}^*.

$\text{Si } u \text{ et } v \text{ ont le même sens de variation sur } I, \text{ alors } u + v \text{ a ce même sens de variation sur } I.$

$\text{Si } \lambda > 0, \lambda u \text{ a le même sens de variation que } u. \text{ Si } \lambda < 0, \lambda u \text{ a un sens de variation contraire à celui de } u.$

\text{Si } u \text{ est strictement positive sur } I :

$\sqrt{u} \text{ a le même sens de variation que } u, \text{ et } \frac{1}{u} \text{ a un sens de variation contraire à celui de } u.$

Exemple travaillé · 16

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = -2x + 1 + \frac{3}{x}$ .

1

On décompose $f$ en somme de deux fonctions de référence : $f = u + v$ avec $u(x) = -2x + 1$ et $v(x) = \frac{3}{x}$ .

2

La fonction affine $u : x \mapsto -2x + 1$ a pour coefficient directeur $-2 < 0$ , elle est donc strictement décroissante sur $]0; +\infty[$ .

3

La fonction $v : x \mapsto 3 \times \frac{1}{x}$ est le produit de la fonction inverse (strictement décroissante sur $]0; +\infty[$ ) par le réel $3 > 0$ . Elle est donc strictement décroissante sur $]0; +\infty[$ .

4

Comme somme de deux fonctions strictement décroissantes sur $]0; +\infty[$ , la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0; +\infty[$ .

Exemple travaillé · 17

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur $]1; +\infty[$ par $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ en étudiant le signe de $g(a) - g(b)$ pour $1 \le a < b$ .

1

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $1 \le a < b$ . On exprime la différence $g(a) - g(b)$ :

2

g(a) - g(b) = \frac{2a}{a^2 + 1} - \frac{2b}{b^2 + 1} = \frac{2a(b^2 + 1) - 2b(a^2 + 1)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}

3

g(a) - g(b) = \frac{2ab(b - a) - 2(b - a)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} = \frac{2(b - a)(ab - 1)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}

4

On étudie le signe de chaque facteur : comme $a < b$ , on a $b - a > 0$ . Comme $a \ge 1$ et $b > 1$ , on a $ab > 1$ , donc $ab - 1 > 0$ . Le dénominateur $(a^2 + 1)(b^2 + 1)$ est strictement positif.

5

Le quotient est strictement positif : $g(a) - g(b) > 0 \implies g(a) > g(b)$ . La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $[1; +\infty[$ .

Piège classique · 18

Soient $u(x) = x$ et $v(x) = x$ définies sur l'intervalle $I = ]-\infty; 0]$ . Les deux fonctions $u$ et $v$ sont strictement croissantes sur $I$ . Quel est le sens de variation de leur produit $p(x) = (u \times v)(x) = x^2$ sur $I$ ?

Attention

Conclure que le produit de deux fonctions croissantes est toujours croissant.

À la place : Sur $]-\infty; 0]$ , $u(x) \le 0$ et $v(x) \le 0$ . La fonction produit $p(x) = x^2$ est strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$ . Le produit de deux fonctions croissantes n'est croissant que si les deux fonctions sont à valeurs positives.

Vérification · 19

Soit la fonction $h$ définie sur $]-\infty; 2]$ par $h(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 5}$ . Sachant que le trinôme $u(x) = -x^2 + 4x + 5$ est positif et strictement croissant sur $]-\infty; 2]$ , que peut-on dire du sens de variation de $h$ sur cet intervalle ?

Remarque

Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ , la composée $h = \sqrt{u}$ conserve le sens de variation de $u$ . $h$ est donc strictement croissante sur $]-\infty; 2]$ .

Point de départ · 20

Pour tout réel $x$ , on a $x^2 \ge 0$ , d'où $x^2 + 4 \ge 4$ . Que peut-on en déduire pour les valeurs prises par la fonction $f(x) = \frac{4}{x^2 + 4}$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

Puisque $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ , le passage à l'inverse donne $0 < \frac{1}{x^2 + 4} \le \frac{1}{4}$ . En multipliant par $4$ , on obtient $0 < f(x) \le 1$ . La fonction reste confinée dans l'intervalle $]0; 1]$ .

Définition · 21

Définitions : Fonctions majorées, minorées, bornées

f \text{ est une fonction définie sur un ensemble } D.

$f \text{ est majorée sur } D \iff \exists M \in \mathbb{R}, \; \forall x \in D, \; f(x) \le M$

$f \text{ est minorée sur } D \iff \exists m \in \mathbb{R}, \; \forall x \in D, \; f(x) \ge m$

$f \text{ est bornée sur } D \iff \exists m, M \in \mathbb{R}, \; \forall x \in D, \; m \le f(x) \le M$

Exemple travaillé · 22

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ est minorée par $-\frac{1}{2}$ et majorée par $\frac{1}{2}$ .

1

Pour prouver la minoration, on étudie le signe de la différence $f(x) - \left(-\frac{1}{2}\right)$ :

2

f(x) + \frac{1}{2} = \frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2} = \frac{2x + x^2 + 1}{2(x^2 + 1)} = \frac{(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)}

3

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $(x+1)^2 \ge 0$ et $2(x^2+1) > 0$ . Le quotient est positif ou nul, donc $f(x) \ge -\frac{1}{2}$ .

4

Pour prouver la majoration, on étudie le signe de la différence $f(x) - \frac{1}{2}$ :

5

f(x) - \frac{1}{2} = \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2x - (x^2 + 1)}{2(x^2 + 1)} = -\frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 1)}

6

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-(x-1)^2 \le 0$ et $2(x^2+1) > 0$ . Le quotient est négatif ou nul, donc $f(x) \le \frac{1}{2}$ .

7

Conclusion : pour tout réel $x$ , $-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}$ . La fonction $f$ est donc bornée sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 23

1. Montrer que pour tout réel $x$ , on a $2|x| \le x^2 + 1$ .
2. En déduire que la fonction $g : x \mapsto \frac{2x}{x^2 + 1}$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

1

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , le carré d'un réel est positif ou nul : $(|x| - 1)^2 \ge 0$ .

2

(|x| - 1)^2 = |x|^2 - 2|x| + 1 = x^2 - 2|x| + 1 \ge 0 \implies 2|x| \le x^2 + 1

3

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $x^2 + 1 > 0$ . On peut diviser chaque membre par $(x^2 + 1)$ :

4

\frac{2|x|}{x^2 + 1} \le 1 \iff \left| \frac{2x}{x^2 + 1} \right| \le 1 \iff |g(x)| \le 1

5

L'inégalité $|g(x)| \le 1$ équivaut à $-1 \le g(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : la fonction $g$ est donc bornée sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 24

Soit la fonction $h$ définie sur $[0; +\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ . Montrer que $h$ est bornée sur son ensemble de définition.

1

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})$ :

2

h(x) = \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = \frac{(x + 1) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}

3

Pour tout $x \ge 0$ , on a $x + 1 \ge 1 \implies \sqrt{x + 1} \ge 1$ , et $\sqrt{x} \ge 0$ . Par addition, $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \ge 1$ .

4

En passant à l'inverse de termes strictement positifs, on obtient :

5

0 < \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \le 1

6

Pour tout $x \in [0; +\infty[$ , $0 < h(x) \le 1$ . La fonction $h$ est donc bornée sur $[0; +\infty[$ .

Piège classique · 25

Pour prouver que $\frac{x^2}{1 + x + x^2} \le \frac{4}{3}$ sur $\mathbb{R}$ , un élève multiplie directement chaque membre de l'inégalité par le dénominateur $(1 + x + x^2)$ . Quelle justification obligatoire a-t-il omise ?

Attention

Multiplier une inéquation par une expression littérale sans prouver au préalable qu'elle garde un signe strictement positif.

À la place : On ne peut conserver le sens d'une inégalité lors d'une multiplication que si le facteur est strictement positif. Ici, le discriminant de $x^2+x+1$ est $\Delta = -3 < 0$ et son coefficient dominant est $1 > 0$ , donc $1+x+x^2 > 0$ sur $\mathbb{R}$ .

Vérification · 26

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1; 3]$ par $f(x) = -(x + 1)^2 + 2$ . Quel encadrement de $f(x)$ obtient-on sur $[-1; 3]$ ?

Remarque

Pour $x \in [-1; 3]$ , on a $-1 \le x \le 3 \implies 0 \le x + 1 \le 4 \implies 0 \le (x + 1)^2 \le 16$ . En multipliant par $-1$ , on inverse l'ordre : $-16 \le -(x + 1)^2 \le 0$ . En ajoutant $2$ , on conclut que $-14 \le f(x) \le 2$ .

Point de départ · 27

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $f(x) < 1$ . Le nombre $1$ est-il le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

Non ! Pour tout réel $x$ , on a $x^2 < x^2 + 1$ , donc $f(x) < 1$ . Le réel $1$ est bien un majorant de $f$ , mais il n'existe aucun réel $x_0$ tel que $f(x_0) = 1$ . Le nombre $1$ n'est donc pas un maximum.

Définition · 28

Définition : Extremums d'une fonction (Maximum et Minimum)

\text{Soit } f \text{ une fonction définie sur un ensemble } D \text{ et } x_0 \in D.

$f \text{ admet un maximum en } x_0 \text{ sur } D \iff \forall x \in D, \; f(x) \le f(x_0)$

Le réel $M = f(x_0)$ est la valeur de ce maximum sur $D$ .

$f \text{ admet un minimum en } x_0 \text{ sur } D \iff \forall x \in D, \; f(x) \ge f(x_0)$

Le réel $m = f(x_0)$ est la valeur de ce minimum sur $D$ .

Exemple travaillé · 29

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 + 10x - 5$ admet un minimum en $x_0 = -\frac{5}{2}$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On calcule d'abord l'image de $x_0 = -\frac{5}{2}$ :

2

f\left(-\frac{5}{2}\right) = 2\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 10\left(-\frac{5}{2}\right) - 5 = 2\left(\frac{25}{4}\right) - 25 - 5 = \frac{25}{2} - 30 = -\frac{35}{2}

3

On étudie le signe de la différence $f(x) - f\left(-\frac{5}{2}\right)$ pour tout réel $x$ :

4

f(x) - \left(-\frac{35}{2}\right) = 2x^2 + 10x - 5 + \frac{35}{2} = 2x^2 + 10x + \frac{25}{2} = 2\left(x^2 + 5x + \frac{25}{4}\right)

5

f(x) - f\left(-\frac{5}{2}\right) = 2\left(x + \frac{5}{2}\right)^2

6

Pour tout réel $x$ , un carré est positif ou nul : $2\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$ , donc $f(x) \ge f\left(-\frac{5}{2}\right)$ .

7

La valeur $-\frac{35}{2}$ est atteinte pour $x_0 = -\frac{5}{2} \in \mathbb{R}$ : c'est donc le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 30

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{-4x^2 + 16x - 17}{x^2 - 4x + 5}$ . Déterminer le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ où il est atteint.

1

On fait apparaître le dénominateur au numérateur pour décomposer la fraction :

2

-4x^2 + 16x - 17 = -4(x^2 - 4x + 5) + 20 - 17 = -4(x^2 - 4x + 5) + 3

3

f(x) = \frac{-4(x^2 - 4x + 5) + 3}{x^2 - 4x + 5} = -4 + \frac{3}{x^2 - 4x + 5}

4

On écrit le dénominateur sous forme canonique : $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$ .

5

Pour tout réel $x$ , $(x - 2)^2 \ge 0 \implies (x - 2)^2 + 1 \ge 1$ . Par passage à l'inverse :

6

0 < \frac{1}{(x - 2)^2 + 1} \le 1 \implies -4 + \frac{3}{(x - 2)^2 + 1} \le -4 + 3(1) = -1

7

On a donc $f(x) \le -1$ pour tout réel $x$ . De plus, $f(2) = -4 + \frac{3}{1} = -1$ . Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc $-1$ , atteint en $x = 2$ .

Piège classique · 31

Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ . Un élève observe que pour tout $x > 0$ , $0 < f(x) < 1$ . Il conclut que « le maximum de $f$ est $1$ et son minimum est $0$ sur $]0; +\infty[$ ». Que penser de cette conclusion ?

Attention

Confondre un majorant ou un minorant strict avec un extremum sans vérifier si la valeur est effectivement atteinte dans le domaine.

À la place : Sur $]0; +\infty[$ , l'équation $f(x) = 1$ exigerait $x = 0 \notin ]0; +\infty[$ , et l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune solution. Les nombres $0$ et $1$ sont des bornes (minorant et majorant), mais la fonction n'admet ni minimum ni maximum sur $]0; +\infty[$ .

Vérification · 32

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -(x - 3)^2 + 4$ . Complète pour indiquer la valeur du maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$ et l'abscisse où il est atteint.

Remarque

Pour tout réel $x$ , $-(x - 3)^2 \le 0$ , donc $g(x) \le 4$ . De plus, $g(3) = 4$ . Le maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$ est donc $4$ , et il est atteint en $x = 3$ .

Point de départ · 33

Quelle est la différence géométrique entre la courbe de $g(x) = f(x - 2)$ et celle de $h(x) = f(x) - 2$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

Une constante soustraite à l'intérieur de la variable ( $x - 2$ ) décale la courbe horizontalement de $2$ unités vers la droite ( $2\vec{i}$ ). Une constante soustraite à l'extérieur ( $f(x) - 2$ ) décale la courbe verticalement de $2$ unités vers le bas ( $-2\vec{j}$ ).

Définition · 34

Propriété : Transformations géométriques de courbes

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

$\text{La courbe de } x \mapsto f(x - a) + b \text{ est l'image de } \mathcal{C}_f \text{ par la translation de vecteur } \vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j}.$

$\text{La courbe de } x \mapsto -f(x) \text{ est l'image de } \mathcal{C}_f \text{ par la symétrie orthogonale d'axe } (O, \vec{i}).$

$\text{Pour } g(x) = |f(x)| : \mathcal{C}_g \text{ coïncide avec } \mathcal{C}_f \text{ si } f(x) \ge 0, \text{ et est symétrique par rapport à } (O, \vec{i}) \text{ si } f(x) \le 0.$

$\text{Pour } h(x) = f(|x|) : h \text{ est paire. } \mathcal{C}_h \text{ coïncide avec } \mathcal{C}_f \text{ sur } D \cap \mathbb{R}_+, \text{ puis est complétée par symétrie d'axe } (O, \vec{j}).$

Exemple travaillé · 35

Soit $f(x) = x^2$ la parabole de référence. Déterminer la transformation géométrique permettant d'obtenir la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g(x) = (x - 3)^2 - 2$ , puis tracer $\mathcal{C}_g$ .

1

On identifie la forme $g(x) = f(x - a) + b$ avec $a = 3$ et $b = -2$ .

2

D'après la propriété des transformations, la courbe $\mathcal{C}_g$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$ .

3

Le sommet $O(0, 0)$ de $\mathcal{C}_f$ est transformé en le sommet $S(3, -2)$ de $\mathcal{C}_g$ .

Exemple travaillé · 36

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 4x$ . Expliquer comment construire la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g(x) = 2x^2 - 4|x|$ à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

Comme $x^2 = |x|^2$ , on a $g(x) = 2|x|^2 - 4|x| = f(|x|)$ pour tout réel $x$ .

2

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = g(x)$ : la fonction $g$ est paire, sa courbe $\mathcal{C}_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ .

3

Pour tout $x \ge 0$ , $|x| = x$ , donc $g(x) = f(x)$ . Sur $[0; +\infty[$ , la courbe $\mathcal{C}_g$ coïncide exactement avec $\mathcal{C}_f$ .

4

Pour $x < 0$ , on complète le tracé de $\mathcal{C}_g$ par symétrie axiale d'axe $(O, \vec{j})$ de la partie tracée sur $[0; +\infty[$ .

Piège classique · 37

Soit $f$ une fonction dont la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(-2, -3)$ et par le point $B(2, 5)$ . Quelles sont les ordonnées des points d'abscisse $-2$ sur les courbes de $g(x) = |f(x)|$ et de $h(x) = f(|x|)$ ?

Attention

Appliquer la même transformation géométrique à $|f(x)|$ et à $f(|x|)$ en pensant que la valeur absolue rend simplement toutes les ordonnées positives.

À la place : Pour $g(x) = |f(x)|$ , l'ordonnée en $-2$ est $|f(-2)| = |-3| = 3$ (rabattement au-dessus de l'axe $(Ox)$ ). Pour $h(x) = f(|x|)$ , l'ordonnée en $-2$ est $f(|-2|) = f(2) = 5$ (symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$ ).

Piège classique · 38

Par quelle translation passe-t-on de la courbe de $f(x) = \sqrt{x}$ à la courbe de $g(x) = \sqrt{x + 4}$ ?

Attention

Penser que $\sqrt{x+4}$ correspond à une translation vers la droite (vecteur $+4\vec{i}$ ) en se fiant au signe positif.

À la place : On écrit $g(x) = f(x - (-4))$ . D'après la règle $f(x - a)$ , le paramètre vaut $a = -4$ . La translation est de vecteur $-4\vec{i}$ , ce qui décale la courbe de $4$ unités vers la gauche.

Vérification · 39

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = -(x - 1)^2 + 3$ . Quelles transformations successives permettent d'obtenir sa courbe à partir de la parabole de référence $y = x^2$ ?

Remarque

On effectue d'abord la translation horizontale $x \mapsto (x - 1)^2$ de vecteur $\vec{i}$ , puis la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses $(O, \vec{i})$ pour obtenir $-(x - 1)^2$ , et enfin la translation verticale de vecteur $3\vec{j}$ pour aboutir à $-(x - 1)^2 + 3$ .

Point de départ · 40

Que vaut la partie entière du nombre négatif $-1,2$ : est-ce $-1$ ou $-2$ ?

Remarque

Par définition, la partie entière d'un réel $x$ est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ . Comme $-2 \le -1,2 < -1$ , le plus grand entier inférieur ou égal à $-1,2$ est $-2$ . On a donc $E(-1,2) = -2$ .

Définition · 41

Définitions : Fonction partie entière et fonctions affines par intervalles

On appelle partie entière d'un réel $x$ , notée $E(x)$ , le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ .

\forall x \in \mathbb{R}, \quad \exists ! n \in \mathbb{Z} \quad \text{tel que} \quad n \le x < n + 1 \implies E(x) = n

$E(x) \le x < E(x) + 1$

Une fonction affine par intervalles est une fonction définie sur une réunion d'intervalles telle que sa restriction à chacun de ces intervalles soit une fonction affine ( $x \mapsto ax + b$ ).

Exemple travaillé · 42

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2; 2]$ par $f(x) = 1 - x E(x)$ . Exprimer $f(x)$ sans le symbole $E$ sur chaque sous-intervalle.

1

On découpe l'intervalle $[-2; 2]$ en sous-intervalles semi-ouverts $[n; n+1[$ sur lesquels $E(x)$ est constante.

2

Pour $x \in [-2; -1[$ , on a $E(x) = -2$ , d'où $f(x) = 1 - x(-2) = 2x + 1$ .

3

Pour $x \in [-1; 0[$ , on a $E(x) = -1$ , d'où $f(x) = 1 - x(-1) = x + 1$ .

4

Pour $x \in [0; 1[$ , on a $E(x) = 0$ , d'où $f(x) = 1 - x(0) = 1$ .

5

Pour $x \in [1; 2[$ , on a $E(x) = 1$ , d'où $f(x) = 1 - x(1) = 1 - x$ .

6

Pour la borne isolée $x = 2$ , on a $E(2) = 2$ , d'où $f(2) = 1 - 2(2) = -3$ .

7

Sur chaque sous-intervalle, $f(x)$ s'exprime sous la forme d'un polynôme de degré inférieur ou égal à $1$ : $f$ est donc une fonction affine par intervalles.

Exemple travaillé · 43

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1; 2]$ par $f(x) = E(x) - 2E\left(\frac{x}{2}\right)$ . Expliciter $f(x)$ sur chaque sous-intervalle.

1

$E(x)$ change de valeur aux entiers $k$ , et $E(x/2)$ change de valeur aux entiers pairs $2k$ . On découpe $[-1; 2]$ en sous-intervalles de longueur $1$ .

2

Sur $[-1; 0[$ : $-1 \le x < 0 \implies E(x) = -1$ . En divisant par $2$ , $-\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} < 0 \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = -1$ . Ainsi, $f(x) = -1 - 2(-1) = 1$ .

3

Sur $[0; 1[$ : $0 \le x < 1 \implies E(x) = 0$ . En divisant par $2$ , $0 \le \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ . Ainsi, $f(x) = 0 - 2(0) = 0$ .

4

Sur $[1; 2[$ : $1 \le x < 2 \implies E(x) = 1$ . En divisant par $2$ , $\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} < 1 \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ . Ainsi, $f(x) = 1 - 2(0) = 1$ .

5

Pour $x = 2$ : $E(2) = 2$ et $E\left(\frac{2}{2}\right) = E(1) = 1$ . Ainsi, $f(2) = 2 - 2(1) = 0$ .

Piège classique · 44

Un élève affirme que pour tout réel $x$ , on a la relation $E(2x) = 2E(x)$ . Que donne cette formule pour $x = 0,7$ ?

Attention

Considérer la partie entière comme une opération linéaire et appliquer des formules fausses du type $E(kx) = kE(x)$ .

À la place : Pour $x = 0,7$ , on a $2x = 1,4$ , donc $E(2x) = E(1,4) = 1$ . En revanche, $E(0,7) = 0$ , donc $2E(x) = 2 \times 0 = 0$ . Comme $1 \neq 0$ , la propriété $E(2x) = 2E(x)$ est fausse.

Vérification · 45

Complète les valeurs exactes des parties entières suivantes :

Remarque

$E(3,8) = 3$ car $3 \le 3,8 < 4$ . $E(-2,4) = -3$ car $-3 \le -2,4 < -2$ .

Point de départ · 46

On souhaite résoudre l'équation $\sqrt{x+4} = \frac{-4}{x-2}$ . Sachant qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, que peut-on affirmer sur le signe de $x-2$ ?

Remarque

Le premier membre $\sqrt{x+4}$ est positif ou nul, donc le second membre $\frac{-4}{x-2}$ doit l'être aussi. Comme son numérateur $-4$ est strictement négatif, le dénominateur $x-2$ doit impérativement être strictement négatif, soit $x < 2$ .

Définition · 47

Propriété : Intersections et positions relatives de courbes

Soient $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un domaine $D$ .

$M(x, y) \in \mathcal{C}_f \cap \mathcal{C}_g \iff \begin{cases} y = f(x) \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

La position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ s'étudie par le signe de la différence $f(x) - g(x)$ :

$f(x) - g(x) > 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessus de } \mathcal{C}_g$

$f(x) - g(x) < 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessous de } \mathcal{C}_g$

\text{Pour résoudre } \sqrt{A(x)} = B(x) : \text{ imposer } A(x) \ge 0 \text{ et } B(x) \ge 0 \text{ avant d'élever au carré.}

Exemple travaillé · 48

Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions définies par $f(x) = \sqrt{x+4}$ et $g(x) = \frac{-4}{x-2}$ .

1

Conditions de validité : on doit avoir $x + 4 \ge 0$ (donc $x \ge -4$ ) et le second membre doit être positif : $\frac{-4}{x-2} \ge 0 \implies x - 2 < 0 \implies x < 2$ . L'équation n'est étudiée que sur $[-4; 2[$ .

2

Pour tout $x \in [-4; 2[$ , on élève au carré : $(\sqrt{x+4})^2 = \left(\frac{-4}{x-2}\right)^2$ .

3

x + 4 = \frac{16}{(x-2)^2} \iff (x+4)(x^2 - 4x + 4) = 16

4

x^3 - 4x^2 + 4x + 4x^2 - 16x + 16 = 16 \iff x^3 - 12x = 0 \iff x(x^2 - 12) = 0

5

Les solutions de l'équation polynomiale sont $x = 0$ , $x = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ et $x = -2\sqrt{3} \approx -3{,}46$ .

6

On confronte les solutions à la condition $x \in [-4; 2[$ : $0 \in [-4; 2[$ et $-2\sqrt{3} \in [-4; 2[$ sont retenues, tandis que $2\sqrt{3} \notin [-4; 2[$ est rejetée.

7

On calcule les ordonnées : pour $x=0$ , $y = \sqrt{4} = 2$ . Pour $x=-2\sqrt{3}$ , $y = \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1$ .

8

Les points d'intersection sont $K(0, 2)$ et $A(-2\sqrt{3}, \sqrt{3}-1)$ .

Exemple travaillé · 49

En utilisant les points d'intersection $K(0, 2)$ et $A(-2\sqrt{3}, \sqrt{3}-1)$ de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ (avec $f(x) = \sqrt{x+4}$ et $g(x) = \frac{-4}{x-2}$ ), résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\sqrt{x+4} \le \frac{-4}{x-2}$ .

1

L'inéquation $\sqrt{x+4} \le \frac{-4}{x-2}$ équivaut à chercher les abscisses $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessous ou coupe la courbe $\mathcal{C}_g$ .

2

L'inéquation n'a de sens que sur le domaine commun où le second membre est positif, c'est-à-dire $[-4; 2[$ .

3

Entre les deux abscisses d'intersection $-2\sqrt{3}$ et $0$ , on teste par exemple $x = -1$ : $f(-1) = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ et $g(-1) = \frac{-4}{-3} \approx 1{,}33$ , donc $f(-1) > g(-1)$ .

4

La courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[-4; -2\sqrt{3}]$ et sur $[0; 2[$ .

5

L'ensemble de solutions de l'inéquation est donc $S = [-4; -2\sqrt{3}] \cup [0; 2[$ .

Piège classique · 50

Pour résoudre dans $]1; +\infty[$ l'équation $\sqrt{x+2} = \frac{\sqrt{2}}{x-1}$ , un élève élève au carré et obtient $(x-1)^2(x+2) = 2$ , dont les solutions sont $x = 0$ , $x = -\sqrt{3}$ et $x = \sqrt{3}$ . Quelle est la seule solution valide de l'équation initiale ?

Attention

Garder les trois solutions $0$ , $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ trouvées après élévation au carré sans vérifier leur appartenance au domaine $]1; +\infty[$ .

À la place : L'élévation au carré introduit des racines étrangères. Seule $x = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ appartient à l'intervalle d'étude $]1; +\infty[$ . Les solutions $0$ et $-\sqrt{3}$ doivent être éliminées.

Vérification · 51

Soit $f(x) = \frac{1}{x-2}$ et $g(x) = x^2 - 2x$ . Quelle équation polynomiale caractérise les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ ?

Remarque

Sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ , $\frac{1}{x-2} = x^2 - 2x \iff 1 = (x^2 - 2x)(x - 2) \iff 1 = x^3 - 4x^2 + 4x \iff x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0$ .

Généralités sur les fonctions — cours

Le cours

Définition : Parité d'une fonction

Propriété : Algèbre de la parité

Théorème : Variations et opérations sur les fonctions

Définitions : Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition : Extremums d'une fonction (Maximum et Minimum)

Propriété : Transformations géométriques de courbes

Définitions : Fonction partie entière et fonctions affines par intervalles

Propriété : Intersections et positions relatives de courbes

Chapitres liés

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