Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur $[-4\,;\,4]$ par :
$$f(x) = \frac{4|x|}{x^2+4}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Justifier que pour tout $x \in [-4\,;\,4]$, $-x \in [-4\,;\,4]$.

   Indice — Pense à la définition d'un intervalle symétrique par rapport à l'origine et vérifie l'appartenance de $-x$ lorsque $x$ est borné.

   Correction

   Soit $x \in [-4\,;\,4]$. On a $-4 \le x \le 4$. En multipliant par $-1$, les inégalités changent de sens : $-4 \le -x \le 4$. Ainsi, $-x \in [-4\,;\,4]$. L'ensemble de définition est donc symétrique par rapport à l'origine.

2. 2. Démontrer que la fonction $f$ est paire.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente et compare l'expression de $f(-x)$ avec celle de $f(x)$ en utilisant une propriété de la valeur absolue.

   Correction

   Pour tout $x \in [-4\,;\,4]$, l'élément $-x$ appartient aussi à $[-4\,;\,4]$. De plus, $f(-x) = \frac{4|-x|}{(-x)^2+4}$. En utilisant les propriétés $|-x| = |x|$ et $(-x)^2 = x^2$, on obtient $f(-x) = \frac{4|x|}{x^2+4} = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire.

3. 3. Calculer l'image de $0$ par la fonction $f$.

   Indice — Remplace simplement $x$ par $0$ dans l'expression de $f(x)$.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $0$ dans l'expression de $f$ : $f(0) = \frac{4|0|}{0^2+4} = \frac{0}{4} = 0$. L'image de $0$ par $f$ est $0$.

4. 4. Déterminer tous les antécédents de $1$ par $f$ dans $[-4\,;\,4]$.

   Indice — Résous d'abord l'équation sur $[0\,;\,4]$ en simplifiant $|x|$, puis utilise la parité de $f$ pour trouver toutes les solutions sur $[-4\,;\,4]$. Attention à ne pas oublier la solution négative.

   Correction

   On résout l'équation $f(x) = 1$ sur $[-4\,;\,4]$.
   Pour $x \in [0\,;\,4]$, $|x| = x$. L'équation $\frac{4x}{x^2+4} = 1$ se ramène à $x^2 - 4x + 4 = 0$, soit $(x-2)^2 = 0$, dont la seule solution est $x = 2$.
   La fonction $f$ étant paire, $-2$ est aussi solution. Les antécédents de $1$ par $f$ sont donc $-2$ et $2$.

5. 5. Soient $a$ et $b$ deux réels distincts de l'intervalle $[0\,;\,4]$. Montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est donné par :
   $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{4(4-ab)}{(a^2+4)(b^2+4)}$$

   Indice — Exprime $f(x)$ sans la valeur absolue sur $[0\,;\,4]$, puis calcule la différence $f(b)-f(a)$ en réduisant au même dénominateur avant de factoriser par $b-a$.

   Correction

   Sur $[0\,;\,4]$, $x \ge 0$ donc $|x| = x$ et la fonction s'écrit $f(x) = \frac{4x}{x^2+4}$.
   Pour $a \neq b$ dans $[0\,;\,4]$ :
   $$f(b) - f(a) = \frac{4b}{b^2+4} - \frac{4a}{a^2+4} = \frac{4(b-a)(4-ab)}{(a^2+4)(b^2+4)}$$
   En divisant par $b-a$, on obtient directement le taux d'accroissement :
   $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{4(4-ab)}{(a^2+4)(b^2+4)}$$

6. 6. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,2]$ et sur $[2\,;\,4]$.

   Indice — Étudie le signe du taux d'accroissement obtenu à la question précédente en comparant le produit $ab$ à $4$ selon la position de $a$ et $b$ dans les intervalles $[0\,;\,2]$ et $[2\,;\,4]$.

   Correction

   Le dénominateur $(a^2+4)(b^2+4)$ et le terme $4$ étant strictement positifs, le signe du taux d'accroissement dépend uniquement de $4-ab$ :
   - Sur $[0\,;\,2]$, pour tous $a < b$, on a $ab < 4$, donc $4-ab > 0$. Le taux d'accroissement est strictement positif : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2]$.
   - Sur $[2\,;\,4]$, pour tous $a < b$, on a $ab > 4$, donc $4-ab < 0$. Le taux d'accroissement est strictement négatif : $f$ est strictement décroissante sur $[2\,;\,4]$.

7. 7. Déduire, par un argument de symétrie, le sens de variation de $f$ sur $[-4\,;\,-2]$ et sur $[-2\,;\,0]$.

   Indice — Rappelle-toi comment la parité d'une fonction transforme son sens de variation sur l'intervalle symétrique.

   Correction

   La fonction $f$ est paire sur $[-4\,;\,4]$ car $f(-x) = \frac{4|-x|}{(-x)^2+4} = f(x)$.
   Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, la parité inverse le sens de variation sur l'intervalle opposé :
   - $f$ étant strictement croissante sur $[0\,;\,2]$, elle est strictement décroissante sur $[-2\,;\,0]$.
   - $f$ étant strictement décroissante sur $[2\,;\,4]$, elle est strictement croissante sur $[-4\,;\,-2]$.

8. 8. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[-4\,;\,4]$ (on y précisera les valeurs de $f$ aux bornes et aux sommets).

   Indice — Raspsemble les résultats des questions précédentes en indiquant clairement les valeurs de $f(x)$ aux bornes et aux points de changement de variation.

   Correction

   On calcule les valeurs aux points remarquables : $f(-4) = f(4) = \frac{16}{20} = 0{,}8$, $f(-2) = f(2) = \frac{8}{8} = 1$, et $f(0) = 0$.

   Le tableau de variations de $f$ sur $[-4\,;\,4]$ se résume ainsi :
   - $f$ croît de $f(-4) = 0{,}8$ jusqu'au maximum $f(-2) = 1$.
   - $f$ décroît de $f(-2) = 1$ jusqu'au minimum $f(0) = 0$.
   - $f$ croît de $f(0) = 0$ jusqu'au maximum $f(2) = 1$.
   - $f$ décroît de $f(2) = 1$ jusqu'à $f(4) = 0{,}8$.

9. 9. Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $f$ sur $[-4\,;\,4]$ et préciser pour quelles valeurs ils sont atteints.

   Indice — Recherche dans le tableau de variations les valeurs les plus hautes et les plus basses atteintes par la fonction, en t'assurant qu'elles possèdent bien des antécédents dans $[-4\,;\,4]$.

   Correction

   Puisque $|x| \ge 0$ et $x^2 + 4 > 0$, la fonction $f$ est toujours positive ou nulle sur $[-4\,;\,4]$. Comme $f(0) = 0$, le minimum de $f$ sur cet intervalle est $0$, atteint en $x = 0$.

   L'étude des variations de $f$ montre que la fonction croît sur $[0\,;\,2]$ puis décroît sur $[2\,;\,4]$. Le maximum sur $[0\,;\,4]$ est donc $f(2) = \frac{8}{8} = 1$. La fonction $f$ étant paire, elle atteint également la même valeur maximale en $x = -2$.

   Aux bornes, $f(-4) = f(4) = 0{,}8 < 1$.

   Ainsi, le maximum de $f$ sur $[-4\,;\,4]$ est $1$, atteint en $x = -2$ et $x = 2$, et le minimum est $0$, atteint en $x = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Justifier que l'ensemble de définition de la fonction $f$ est $D = \mathbb{R}$.

   Indice — Recherche si le dénominateur de la fraction peut s'annuler pour un nombre réel.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. Résolvons l'équation $x^2 + 1 = 0$, soit $x^2 = -1$. Un carré réel étant toujours positif ou nul ($x^2 \ge 0$), cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. Le dénominateur ne s'annule jamais, donc l'ensemble de définition de $f$ est bien $D = \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-x \in \mathbb{R}$, puis calculer $f(-x)$ pour en déduire la parité de $f$. Quelle propriété géométrique possède alors la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

   Indice — N'oublie pas de mentionner la symétrie de l'ensemble de définition avant de comparer $f(-x)$ et $f(x)$. Pense à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

   Correction

   L'ensemble de définition $D = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, donc pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-x \in \mathbb{R}$. Calculons $f(-x)$ :
   $$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x)$$
   Comme $f(-x) = f(x)$, la fonction $f$ est paire. Géométriquement, sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

3. 3. Vérifier que pour tout réel $x$, on a :
   $$f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$$

   Indice — Pars du membre de droite, mets-le au même dénominateur et simplifie le numérateur pour retrouver l'expression initiale de $f(x)$.

   Correction

   Pour tout réel $x$, réduisons l'expression de droite au même dénominateur :
   $$1 - \frac{2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$
   On retrouve bien l'expression de $f(x)$. L'égalité est donc vérifiée pour tout réel $x$.

4. 4. En utilisant l'expression obtenue à la question précédente, montrer que pour tout réel $x$, on a $-1 \le f(x) < 1$. La fonction $f$ est-elle bornée sur $\mathbb{R}$ ?

   Indice — Pars de l'encadrement connu $x^2 \ge 0$, puis construis étape par étape l'encadrement de l'expression obtenue à la question 3.

   Correction

   Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge 0$, d'où $x^2 + 1 \ge 1$. En passant à l'inverse, on obtient :
   $$0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$$
   En multipliant par $-2$ (ce qui change le sens des inégalités) :
   $$-2 \le -\frac{2}{x^2 + 1} < 0$$
   En ajoutant $1$ à chaque membre, on obtient :
   $$-1 \le 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1$$
   Soit $-1 \le f(x) < 1$. La fonction $f$ est donc encadrée par deux réels, ce qui prouve qu'elle est bornée sur $\mathbb{R}$.

5. 5. Le nombre $-1$ est-il un minimum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en cherchant s'il existe un réel $x_0$ tel que $f(x_0) = -1$.

   Indice — Résous l'équation $f(x) = -1$ ou utilise l'encadrement de la question précédente pour identifier pour quelle valeur de $x$ l'égalité est atteinte.

   Correction

   On résout l'équation $f(x) = -1$ sur $\mathbb{R}$ :
   $$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = -1 \iff x^2 - 1 = -x^2 - 1 \iff 2x^2 = 0 \iff x = 0$$
   L'équation admet pour unique solution $x_0 = 0$, ce qui prouve que $f(0) = -1$.

   De plus, pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge 0$, d'où $x^2 - 1 \ge -x^2 - 1$. En divisant par le réel strictement positif $x^2 + 1$, on obtient $f(x) \ge -1$.

   Le nombre $-1$ est donc bien le minimum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$, et il est atteint en $x_0 = 0$.

6. 6. Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$. En utilisant la forme de la question 3), comparer $f(a)$ et $f(b)$ puis en déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Pars de l'inégalité $0 \le a < b$, élève au carré, ajoute $1$, passe à l'inverse (attention au changement de sens !), multiplie par $-2$ et ajoute $1$.

   Correction

   On utilise la forme obtenue à la question 3 : $f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$.

   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \le a < b$.
   1. Par croissance de la fonction carré sur $[0, +\infty[$, on a $a^2 < b^2$, donc $a^2 + 1 < b^2 + 1$.
   2. Par décroissance de la fonction inverse sur $]0, +\infty[$, on obtient :
   $$\frac{1}{a^2 + 1} > \frac{1}{b^2 + 1}$$
   3. En multipliant par $-2$ (ce qui renverse l'inégalité) puis en ajoutant $1$, on aboutit à :
   $$1 - \frac{2}{a^2 + 1} < 1 - \frac{2}{b^2 + 1} \iff f(a) < f(b)$$

   Puisque l'ordre est conservé ($a < b \implies f(a) < f(b)$), on en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{6x}{x^2+9}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $f$.

   Indice — Recherche si le dénominateur $x^2 + 9$ peut s'annuler pour un réel $x$.

   Correction

   Le dénominateur $x^2+9$ est strictement positif pour tout réel $x$ (car $x^2 \ge 0$, donc $x^2+9 \ge 9$). Le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$, donc l'ensemble de définition est $D = \mathbb{R}$.

2. 2. Justifier que pour tout $x \in D$, $-x \in D$, puis étudier la parité de la fonction $f$.

   Indice — Calcule $f(-x)$ et compare le résultat obtenu avec $f(x)$.

   Correction

   L'ensemble de définition $D = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à 0, donc pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-x \in \mathbb{R}$.
   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = \frac{6(-x)}{(-x)^2+9} = \frac{-6x}{x^2+9} = -f(x)$. La fonction $f$ est donc impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, comme le montre la figure).

3. 3. Montrer que pour tout réel $x$, on a :
   $$f(x) - 1 = -\frac{(x-3)^2}{x^2+9}$$

   Indice — Mets au même dénominateur l'expression $f(x) - 1$ et reconnais une identité remarquable au numérateur.

   Correction

   Pour tout réel $x$ :
   $$f(x) - 1 = \frac{6x}{x^2+9} - 1 = \frac{6x - (x^2+9)}{x^2+9} = \frac{-x^2+6x-9}{x^2+9} = -\frac{x^2-6x+9}{x^2+9}$$
   En reconnaissant l'identité remarquable $x^2-6x+9 = (x-3)^2$, on obtient bien $f(x) - 1 = -\frac{(x-3)^2}{x^2+9}$.

4. 4. En déduire que pour tout réel $x$, $f(x) \le 1$, puis établir que pour tout réel $x$, $-1 \le f(x) \le 1$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $f(x) - 1$. Pour la seconde inégalité, applique la première inégalité à $-x$ et utilise la parité de $f$.

   Correction

   Pour tout réel $x$, $(x-3)^2 \ge 0$ et $x^2+9 > 0$, donc $f(x) - 1 \le 0$, c'est-à-dire $f(x) \le 1$.
   En appliquant cette inégalité à $-x$, on a $f(-x) \le 1$. Comme $f$ est impaire ($f(-x) = -f(x)$), il vient $-f(x) \le 1$, soit $f(x) \ge -1$.
   On en conclut que pour tout réel $x$, $-1 \le f(x) \le 1$.

5. 5. Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$. Montrer que :
   $$f(a) - f(b) = \frac{6(b-a)(ab-9)}{(a^2+9)(b^2+9)}$$

   Indice — Écris la différence $f(a) - f(b)$, mets au même dénominateur, puis factorise le numérateur en regroupant convenablement les termes.

   Correction

   On calcule la différence $f(a) - f(b)$ en réduisant au même dénominateur :
   $$f(a) - f(b) = \frac{6a(b^2+9) - 6b(a^2+9)}{(a^2+9)(b^2+9)}$$
   En développant le numérateur, on obtient $6(ab^2 - a^2b + 9a - 9b)$. On factorise par $(b-a)$ en regroupant les termes $ab(b-a) - 9(b-a)$, ce qui donne immédiatement :
   $$f(a) - f(b) = \frac{6(b-a)(ab-9)}{(a^2+9)(b^2+9)}$$

6. 6. En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$.

   Indice — Détermine le signe de chaque facteur du numérateur et du dénominateur de la différence $f(a) - f(b)$ sachant que $3 \le a < b$.

   Correction

   Pour $3 \le a < b$, étudions le signe du quotient obtenu à la question précédente :
   - $b - a > 0$ car $a < b$ ;
   - $ab - 9 > 0$ car $a \ge 3$ et $b > 3$, donc $ab > 9$ ;
   - Les termes du dénominateur $(a^2+9)$ et $(b^2+9)$ sont strictement positifs.

   On en déduit que $f(a) - f(b) > 0$, soit $f(a) > f(b)$. L'ordre est inversé, donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[3\,;\,+\infty[$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = E(-x) \quad \text{et} \quad g(x) = -E(x)$$
où $E$ désigne la fonction partie entière.

On se propose d'étudier et de comparer ces deux fonctions sur l'intervalle $I = ]-2\,; \,-1[$.

1. 1). Montrer que pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$, on a $1 < -x < 2$, puis en déduire la valeur constante de $f(x)$ sur cet intervalle.

   Indice — Multiplie l'encadrement $-2 < x < -1$ par $-1$ en inversant les Inégalités, puis cherche l'entier $n$ tel que $n \le -x < n+1$.

   Correction

   Pour $x \in ]-2\,; \,-1[$, on a $-2 < x < -1$. En multipliant par $-1$, on obtient $1 < -x < 2$. Par définition de la partie entière, $1 \le -x < 2 \implies E(-x) = 1$, donc $f(x) = 1$ sur cet intervalle.

2. 2). Justifier que pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$, on a $E(x) = -2$, puis déterminer la valeur constante de $g(x)$ sur cet intervalle.

   Indice — Utilise l'encadrement $-2 < x < -1$ et applique la définition de la partie entière : $n \le x < n+1 \iff E(x) = n$.

   Correction

   L'appartenance $x \in ]-2\,; \,-1[$ implique $-2 \le x < -1$, d'où $E(x) = -2$ par définition. On en déduit que $g(x) = -E(x) = -(-2) = 2$.

3. 3). Poser l'expression formelle de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ en fonction de $E(-x)$ et $E(x)$ pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$.

   Indice — Écris la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ en remplaçant $f(x)$ et $g(x)$ par leurs définitions avec $E(-x)$ et $E(x)$.

   Correction

   Par définition de $f(x)$ et $g(x)$, l'expression formelle est $d(x) = f(x) - g(x) = E(-x) - (-E(x)) = E(-x) + E(x)$.

4. 4). Calculer la valeur numérique simplifiée exacte de $d(x)$ pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$.

   Indice — Remplace $f(x)$ et $g(x)$ par les valeurs numériques obtenues aux questions 1) et 2).

   Correction

   En réutilisant les valeurs constantes $f(x) = 1$ et $g(x) = 2$ obtenues précédemment, on a $d(x) = 1 - 2 = -1$.

5. 5). Déduire du résultat précédent la relation d'ordre stricte entre $f(x)$ et $g(x)$ pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$.

   Indice — Regarde le signe du nombre réel constant $d(x) = f(x) - g(x)$ trouvé à la question précédente.

   Correction

   D'après la question précédente, la différence $f(x) - g(x)$ est constante et égale à $-1$ sur l'intervalle $]-2\,; \,-1[$. Comme $-1 < 0$, le signe de la différence est strictement négatif, ce qui donne directement la relation d'ordre stricte : $f(x) < g(x)$ pour tout $x \in ]-2\,; \,-1[$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Justifier que l'ensemble de définition de la fonction $f$ est $D_f = \mathbb{R}$.

   Indice — Pense à étudier le signe du dénominateur $x^2 + 4$ pour tout réel $x$.

   Correction

   Pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 4 \ge 4 > 0$. Le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$, par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, soit $D_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle propriété géométrique possède alors sa courbe $\mathcal{C}_f$ ?

   Indice — Vérifie d'abord que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-x \in \mathbb{R}$, puis compare $f(-x)$ et $f(x)$.

   Correction

   L'ensemble de définition $\mathbb{R}$ est centré en $0$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = -\frac{4x}{x^2 + 4} = -f(x)$. La fonction $f$ est donc impaire, ce qui signifie que sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet l'origine $O$ du repère comme centre de symétrie.

3. 3. Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x) \le 1$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $1 - f(x)$ en réduisant au même dénominateur et en cherchant une identité remarquable.

   Correction

   On étudie le signe de la différence $1 - f(x)$ :
   $$1 - f(x) = 1 - \frac{4x}{x^2 + 4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 4} = \frac{(x - 2)^2}{x^2 + 4}$$
   Un carré étant toujours positif ou nul et le dénominateur strictement positif, on a $1 - f(x) \ge 0$, soit $f(x) \le 1$ pour tout réel $x$.

4. 4. Déterminer s'il existe un réel $x_0$ tel que $f(x_0) = 1$. En déduire si $1$ est le maximum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Résous l'équation $f(x) = 1$ et rappelle-toi de la définition d'un maximum absolu.

   Correction

   D'après la question précédente, $f(x) = 1 \iff 1 - f(x) = 0 \iff (x - 2)^2 = 0$, soit $x = 2$. L'équation admet donc une unique solution $x_0 = 2$. Comme $f(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et que cette valeur est atteinte en $x = 2$, $1$ est bien le maximum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. 5. Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[2; +\infty[$ tels que $a < b$. Montrer que :
   $$f(a) - f(b) = \frac{4(b - a)(ab - 4)}{(a^2 + 4)(b^2 + 4)}$$

   Indice — Écris la différence $f(a) - f(b)$, réduis au même dénominateur, puis factorise le numérateur en regroupant les termes contenant $(b-a)$.

   Correction

   Pour $a$ et $b$ dans $[2; +\infty[$ avec $a < b$, on exprime la différence $f(a) - f(b)$ et on la réduit au même dénominateur :
   $$f(a) - f(b) = \frac{4a}{a^2 + 4} - \frac{4b}{b^2 + 4} = \frac{4a(b^2 + 4) - 4b(a^2 + 4)}{(a^2 + 4)(b^2 + 4)}$$

   En développant et en factorisant le numérateur par regroupement de termes, on obtient :
   $$4ab^2 + 16a - 4a^2b - 16b = 4ab(b - a) - 16(b - a) = 4(b - a)(ab - 4)$$

   On retrouve bien l'égalité recherchée :
   $$f(a) - f(b) = \frac{4(b - a)(ab - 4)}{(a^2 + 4)(b^2 + 4)}$$

6. 6. En déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$."

   Indice — Détermine le signe de chaque facteur de l'expression de $f(a) - f(b)$ obtenue à la question précédente, sachant que $2 \le a < b$.

   Correction

   Pour déterminer le sens de variations de $f$ sur $[2; +\infty[$, on étudie le signe de $f(a) - f(b)$ pour $2 \le a < b$ :
   - Puisque $a < b$, on a $b - a > 0$.
   - Comme $a \ge 2$ et $b > 2$, on a $ab > 4$, d'où $ab - 4 > 0$.
   - Les facteurs du dénominateur, $a^2 + 4$ and $b^2 + 4$, sont strictement positifs.

   Tous les termes de la fraction étant strictement positifs, on en déduit que $f(a) - f(b) > 0$, soit $f(a) > f(b)$.

   L'ordre étant renversé ($a < b \implies f(a) > f(b)$), la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$.

7. 7. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \frac{(x + 2)^2}{x^2 + 4}$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $g(x) = f(x) + 1$.

   Indice — Développe le numérateur de $g(x)$ et sépare la fraction pour faire apparaître l'expression de $f(x)$.

   Correction

   On développe le numérateur de $g(x)$ à l'aide de l'identité remarquable $(a+b)^2$ :
   $$g(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 4}$$

   En séparant la fraction en deux parties, on fait apparaître l'expression de $f(x)$ :
   $$g(x) = \frac{4x}{x^2 + 4} + \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = f(x) + 1$$

   On a bien $g(x) = f(x) + 1$ pour tout réel $x$.

8. 8. En déduire, en justifiant rigoureusement, le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$.

   Indice — Utilise le résultat de la question 6 et rappelle-toi de l'effet de l'ajout d'une constante sur les variations d'une fonction.

   Correction

   D'après la question précédente, on a $g(x) = f(x) + 1$.

   Ajouter une constante à une fonction ne modifie pas son sens de variations. Comme la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$ (d'après la question 6), on en déduit que la fonction $g$ est également strictement décroissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$.