Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

On considère les fonctions $u$, $h$ et $g = h \circ u$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$u(x) = 4 - (x - 1)^2$$
$$h(x) = -(x - 2)^2 + 10$$
Soit $\phi$ la fonction définie sur $]2\,;\,+\infty[$ par :
$$\phi(x) = 4 - \frac{1}{x - 2}$$
On pose $I = [1\,;\,2]$ et $J = [3\,;\,4]$.

1. 1). Dresser le tableau de variations de $u$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer l'ensemble $J = u(I)$ où $I = [1\,;\,2]$.

   Indice — Quelle est la monotonie de $x \mapsto (x-1)^2$ sur $[1\,;\,2]$ ?

   Correction

   La fonction $u$ est une fonction polynôme du second degré sous forme canonique, de sommet $(1, 4)$ et représentée par une parabole tournée vers le bas. $u$ est donc strictement croissante sur $]-\infty, 1]$ et strictement décroissante sur $[1, +\infty[$.

   Sur $I = [1, 2]$, $u$ est strictement décroissante. On calcule $u(1) = 4$ et $u(2) = 3$. L'image de l'intervalle est donc $J = u(I) = [3, 4]$.

2. 2). Étudier le sens de variations de $h$ sur $I = [1\,;\,2]$ et sur $J = [3\,;\,4]$.

   Indice — Pense à situer l'abscisse du sommet de la parabole représentant $h$ par rapport aux intervalles $I$ et $J$.

   Correction

   La fonction $h$ est du second degré et son sommet a pour abscisse $x = 2$. $h$ est strictement croissante sur $]-\infty, 2]$ et strictement décroissante sur $[2, +\infty[$.

   - Sur $I = [1, 2] \subset ]-\infty, 2]$, $h$ est strictement croissante.
   - Sur $J = [3, 4] \subset [2, +\infty[$, $h$ est strictement décroissante.

3. 3). Déterminer le sens de variations de la fonction $g = h \circ u$ sur $I = [1\,;\,2]$.

   Indice — Sur quel intervalle faut-il évaluer les variations de la fonction externe $h$ pour déterminer celles de $h \circ u$ sur $I$ ?

   Correction

   Sur $I = [1, 2]$, $u$ est strictement décroissante et $u(I) = J = [3, 4]$. Sur $J$, $h$ est strictement décroissante. Par théorème de composition de deux fonctions strictement décroissantes, $g = h \circ u$ est strictement croissante sur $I$.

4. 4). Déterminer le maximum absolu de $g$ sur $\mathbb{R}$, puis préciser les réels en lesquels il est atteint.

   Indice — Développe l'expression $g(x) - 10$ sous la forme d'un carré précédé d'un signe moins.

   Correction

   En exprimant $g(x)$, on a $g(x) = h(u(x)) = -(2 - (x - 1)^2)^2 + 10$.

   Un carré étant toujours positif ou nul, $g(x) - 10 = -(2 - (x - 1)^2)^2 \le 0$, d'où $g(x) \le 10$ sur $\mathbb{R}$.

   Le maximum absolu est 10, atteint lorsque $2 - (x - 1)^2 = 0$, c'est-à-dire pour $(x - 1)^2 = 2$. Ce maximum est donc atteint en $x = 1 - \sqrt{2}$ et $x = 1 + \sqrt{2}$.

5. 5). Montrer que pour tout $x \in [3\,;\,4]$, $\phi(x) \in [3\,;\,4]$.

   Indice — Soit $x \in [3\,;\,4]$. Encadre successivement $x - 2$, puis $\dfrac{1}{x - 2}$.

   Correction

   Par encadrements successifs pour $x \in [3 ; 4]$ :
   $$3 \le x \le 4 \implies 1 \le x - 2 \le 2 \implies \frac{1}{2} \le \frac{1}{x - 2} \le 1 \implies 3 \le 4 - \frac{1}{x - 2} \le 3,5$$
   Soit $3 \le \phi(x) \le 3,5$. Comme $[3 ; 3,5] \subset [3 ; 4]$, on a bien $\phi(x) \in [3 ; 4]$ pour tout $x \in [3 ; 4]$.

6. 6). Étudier le sens de variations de $\phi$ sur $[3\,;\,4]$.

   Indice — Étudie le signe du taux d'accroissement de $\phi$ sur $[3\,;\,4]$, ou décompose $\phi$ en fonctions usuelles.

   Correction

   La fonction $\phi$ est dérivable sur $[3 ; 4]$. Pour tout $x \in [3 ; 4]$ :
   $$\phi'(x) = \frac{1}{(x - 2)^2}$$
   Un carré étant strictement positif sur cet intervalle, $\phi'(x) > 0$. On en déduit que la fonction $\phi$ est strictement croissante sur $[3 ; 4]$.

7. 7). Résoudre dans $[3\,;\,4]$ l'équation $\phi(x) = x$.

   Indice — Écris l'égalité $\phi(x) = x$ sous la forme d'une équation polynomiale du second degré.

   Correction

   Pour $x \in [3 ; 4]$, l'équation $\phi(x) = x$ s'écrit $4 - x = \frac{1}{x - 2}$, ce qui donne $(4 - x)(x - 2) = 1$.
   En développant et en regroupant les termes, on obtient l'équation du second degré $x^2 - 6x + 9 = 0$, c'est-à-dire $(x - 3)^2 = 0$.
   La seule solution dans $[3 ; 4]$ est $x = 3$. Ainsi, $S = \{3\}$.

8. 8). Soit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définies sur $J = [3\,;\,4]$ par $f_1 = \phi$ et $f_{n+1} = \phi \circ f_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in [3\,;\,4]$, $f_n(x) \in [3\,;\,4]$ et $f_n(x) \ge 3$.

   Indice — Utilise la monotonie de $\phi$ sur $[3\,;\,4]$ et calcule $\phi(3)$.

   Correction

   Démontrons la propriété par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$.

   **Initialisation :** Pour $n = 1$, $f_1 = \phi$. D'après la question 5, pour tout $x \in [3 ; 4]$, $f_1(x) \in [3 ; 4]$, ce qui implique en particulier $f_1(x) \ge 3$. La propriété est vraie au rang 1.

   **Hérédité :** Supposons la propriété vraie pour un entier $n \ge 1$ fixé : pour tout $x \in [3 ; 4]$, $f_n(x) \in [3 ; 4]$. En appliquant le résultat de la question 5 à l'élément $f_n(x)$, on obtient $f_{n+1}(x) = \phi(f_n(x)) \in [3 ; 4]$, d'où $f_{n+1}(x) \ge 3$. La propriété est héréditaire.

   **Conclusion :** Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in [3 ; 4]$, $f_n(x) \in [3 ; 4]$ et $f_n(x) \ge 3$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{-2x^2 + 4}{x^2 + 1}$ et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

   Indice — Examine l'expression algébrique de f et cherche les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s'annule.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Son dénominateur est $x^2 + 1$. Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 1 \ge 1$. Le dénominateur ne s'annule donc jamais sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[${}.

2. 2. Étudier la parité de $f$.

   Indice — Vérifie d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, puis calcule $f(-x)$.

   Correction

   L'ensemble de définition $D_f = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on calcule $f(-x) = \frac{-2(-x)^2 + 4}{(-x)^2 + 1} = \frac{-2x^2 + 4}{x^2 + 1} = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire. Graphiquement, cette parité implique que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3. 3. Calculer $f(1)$.

   Indice — Remplace directement $x$ par la valeur demandée dans l'expression algébrique de $f$.

   Correction

   On calcule l'image de $1$ en remplaçant $x$ par $1$ dans l'expression de $f$ : $f(1) = \frac{-2(1)^2 + 4}{(1)^2 + 1} = \frac{-2 + 4}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$. L'image de $1$ par $f$ est donc $1$.

4. 4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 2$.

   Indice — Pose l'équation $f(x) = y$ et résous-la en exprimant $x$ en fonction de $y$.

   Correction

   Pour déterminer les antécédents éventuels de $2$, on pose l'équation $f(x) = 2$, soit $\frac{-2x^2 + 4}{x^2 + 1} = 2$. En effectuant un produit en croix, on obtient $-2x^2 + 4 = 2(x^2 + 1)$, ce qui se simplifie en $-2x^2 + 4 = 2x^2 + 2$. En regroupant les termes, on trouve $4x^2 = 2$, soit $x^2 = \frac{1}{2}$. Cette équation admet deux solutions : $x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Les antécédents de $2$ par $f$ sont donc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. 5. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Choisis deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle considéré et étudie le signe du taux de variation $T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

   Correction

   Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour $0 \le a < b$, on calcule le taux de variation $T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. En réduisant au même dénominateur, on obtient $T = \frac{-6(a+b)}{(b^2+1)(a^2+1)}$. Pour $a$ et $b$ dans $[0\,;\,+\infty[$, le dénominateur est strictement positif et $a+b > 0$, donc $T < 0$. Ainsi, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

6. 6. En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente concernant le sens de variation sur l'intervalle d'étude, puis exploite la parité de $f$.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction paire (car $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). Or, la parité implique que le sens de variation est inversé sur l'intervalle symétrique. Puisque $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$, elle est par conséquent strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.

7. 7. Dresser le tableau de variations de $f$.

   Indice — Rase l'ensemble des variations obtenues sur les différents intervalles de définition dans un tableau unique.

   Correction

   En regroupant les variations sur les deux intervalles, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$. De plus, les limites aux infinis donnent $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$. Le tableau de variations présente ainsi une flèche montante de $-2$ jusqu'à $4$ en $0$, puis une flèche descendante de $4$ jusqu'à $-2$.

8. 8. Donner les extremums de $f$.

   Indice — Observe les extremums locaux et globaux figurant dans le tableau de variations de $f$.

   Correction

   D'après le tableau de variations, la fonction $f$ admet un maximum global égal à $4$, atteint en $x = 0$. Elle admet également une valeur minimale locale de $-2$ approchée aux limites, mais le maximum de $4$ est la valeur remarquable principale sur $\mathbb{R}$.

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Cherche les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s'annule.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction rationnelle, définie comme le quotient de deux polynômes. Son ensemble de définition est donc l'ensemble des nombres réels pour lesquels le dénominateur $x^2 + 1$ est non nul. Comme pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$, on a $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Le dénominateur ne s'annule jamais, donc $D_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Étudier la parité de la fonction $f$.

   Indice — Calcule $f(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, son opposé $-x$ appartient également à $\mathbb{R}$. Calculons ensuite $f(-x)$ : $f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-2x}{x^2 + 1} = -f(x)$. La fonction $f$ est donc impaire.

3. 3. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $2|x| \le x^2 + 1$.

   Indice — Utilise l'identité remarquable avec la valeur absolue : $(|x|-1)^2 \ge 0$.

   Correction

   On utilise l'inégalité issue d'un carré de nombre réel : pour tout réel $x$, $(|x| - 1)^2 \ge 0$. En développant, on obtient $|x|^2 - 2|x| + 1 \ge 0$. Comme $|x|^2 = x^2$, cela se réécrit $x^2 - 2|x| + 1 \ge 0$, soit en isolant le terme en valeur absolue : $2|x| \le x^2 + 1$.

4. 4. En déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f(x)| \le 1$.

   Indice — Divise l'inégalité précédente par $x^2 + 1$.

   Correction

   D'après la question précédente, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $2|x| \le x^2 + 1$. En divisant les deux membres par $x^2 + 1$ (qui est strictement positif), on obtient $\frac{2|x|}{x^2 + 1} \le 1$. Par définition de la valeur absolue d'un quotient, cela donne $|f(x)| \le 1$. Cette inégalité montre que les valeurs de $f(x)$ sont comprises entre $-1$ et $1$ sur tout $\mathbb{R}$ : la fonction $f$ est donc bornée.

5. 5. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Étudie le signe de la dérivée sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

   Correction

   Pour étudier le sens de variation de $f$ sur $[1\,;\,+\infty[$, on calcule sa dérivée. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. En appliquant la formule de dérivée d'un quotient, on obtient $f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$. Pour tout $x \in [1\,;\,+\infty[$, le dénominateur $(x^2 + 1)^2$ est strictement positif et le terme $1 - x^2$ est négatif ou nul. Par conséquent, $f'(x) \le 0$ sur $[1\,;\,+\infty[$. La fonction $f$ est donc décroissante sur cet intervalle.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

   Indice — Pense à vérifier pour quelles valeurs du réel $x$ le dénominateur de l'expression s'annule.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction rationnelle, elle est donc définie si et seulement si son dénominateur ne s'annule pas. On résout $x^2 + 1 = 0$, ce qui donne $x^2 = -1$. Cette équation n'admet aucune solution réelle puisque $x^2 \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent, l'ensemble de définition de $f$ est $D = \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que pour tout $x \in D$, on a $-x \in D$, puis étudier la parité de la fonction $f$.

   Indice — Vérifie d'abord que l'ensemble $D$ est symétrique par rapport à zéro, puis calcule $f(-x)$ pour tout $x \in D$.

   Correction

   Puisque $D = \mathbb{R}$, pour tout $x \in D$, son opposé $-x$ appartient également à $D$, ce qui montre que l'ensemble est symétrique par rapport à $0$. Pour étudier la parité, on calcule $f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-2x}{x^2 + 1} = -f(x)$. La fonction $f$ est donc impaire.

3. 3. Établir le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour $a < b$ dans $[1\,;\,+\infty[$, étudie le signe de la différence $f(a) - f(b)$ en utilisant la factorisation croisée.

   Correction

   Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$. On étudie la différence $f(a) - f(b) = \frac{2a}{a^2 + 1} - \frac{2b}{b^2 + 1}$. En réduisant au même dénominateur et en factorisant, on obtient le numérateur $2(ab-1)(b-a)$. Comme $1 \le a < b$, on a $a-b < 0$ et $ab > 1$ (donc $ab-1 > 0$), tandis que les dénominateurs sont strictement positifs. Ainsi, $f(a) - f(b) < 0$, c'est-à-dire $f(a) < f(b)$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[。「

4. 4. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-1]$.

   Indice — Utilise la propriété de symétrie de la fonction étudiée à la question précédente sur un intervalle opposé.

   Correction

   D'après la question 2, la fonction $f$ est impaire, ce qui signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Par conséquent, les variations de $f$ sont conservées sur des intervalles opposés. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$, elle est également strictement croissante sur l'intervalle symétrique $]-\infty\,;\,-1].

5. 5) a. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 1}$. Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $g(x) = f(x) + 1$.

   Indice — Développe l'expression $1 + f(x)$ et réduis-la au même dénominateur pour retrouver $g(x)$.

   Correction

   En partant de l'expression $f(x) + 1$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient : $f(x) + 1 = \frac{2x}{x^2 + 1} + 1 = \frac{2x + (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}$. En reconheissant le produit remarquable au numérateur, on obtient directement $\frac{(x + 1)^2}{x^2 + 1} = g(x)$.

6. 5) b. Déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Appuie-toi sur la relation liant $g$ et $f$ ainsi que sur les variations de $f$ déjà établies sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

   Correction

   D'après la relation $g(x) = f(x) + 1$, la fonction $g$ et la fonction $f$ ont exactement le même sens de variations sur tout intervalle, puisque l'ajout d'une constante ne modifie pas les variations. Or, la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$, donc la fonction $g$ est elle aussi décroissante sur $[1\,;\,+\infty[].

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{6x^2 + 4x - 2}{|1 - x^2| + x^2 - 1}$$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.

   Indice — Résous l'équation d'annulation du dénominateur.

   Correction

   Le dénominateur s'annule lorsque $|1 - x^2| + x^2 - 1 = 0$, c'est-à-dire $|1 - x^2| = 1 - x^2$, ce qui équivaut à $1 - x^2 \ge 0$, soit $x^2 \le 1$. Ainsi, le dénominateur est nul sur $[-1, 1]$. L'ensemble de définition est donc $D = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty]$.

2. 2. Montrer que, pour tout $x \in D$, $f(x) = 3 + \frac{2}{x - 1}$.

   Indice — Lève la valeur absolue selon le signe de $1 - x^2$ sur $D$, puis factorise et simplifie l'expression.

   Correction

   Pour $x \in ]1, +[$, $1 - x^2 < 0$, donc $|1 - x^2| = x^2 - 1$, d'où le dénominateur vaut $2(x^2 - 1)$. Pour $x \in ]-\infty, -1[$, $1 - x^2 < 0$ également. En simplifiant par $x-1$, on obtient l'expression voulue.

3. 3. Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1; +\infty[$.

   Indice — Utilise les propriétés des fonctions usuelles sur l'intervalle donné.

   Correction

   La fonction $x \mapsto 3 + \frac{2}{x - 1}$ est décroissante sur $]1, +\infty[$ comme composée d'une fonction affine et de l'inverse.