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Produit scalaire dans le plan — cours

3ème année · section Mathématiques · mathématiques, programme officiel tunisien.

Exercices corrigés : Produit scalaire dans le plan Maths 3ème année Mathématiques

Le cours

Rappel · 1

Complète les valeurs du cosinus pour ces angles géométriques usuels :

Remarque

Le cosinus d'un angle géométrique est strictement positif pour un angle aigu (0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}), nul en π2\frac{\pi}{2}, et strictement négatif pour un angle obtus (π2<θ≤π\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi).

Point de départ · 2

Quantifier l'action combinée de deux vecteurs

Soient deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} de même origine OO.

Pour mesurer à quel point u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} agissent dans la même direction, on associe leurs longueurs respectives et l'angle géométrique θ\theta qu'ils forment.

Si les deux vecteurs sont perpendiculaires, leur action commune est nulle. S'ils forment un angle aigu, ils se renforcent ; s'ils forment un angle obtus, ils s'opposent.

Définition · 3

Définition géométrique du produit scalaire

Soit OO un point du plan et soient u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} deux vecteurs tels que u⃗=OA⃗\vec{u} = \vec{OA} et v⃗=OB⃗\vec{v} = \vec{OB}.

u⃗⋅v⃗=OA×OB×cos⁡(AOB^)\vec{u} \cdot \vec{v} = OA \times OB \times \cos(\widehat{AOB})

u⃗≠0⃗etv⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{v} \neq \vec{0}

Remarque

Si u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0} ou v⃗=0⃗\vec{v} = \vec{0}, alors u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

u⃗⋅u⃗=∣∣u⃗∣∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2

Remarque

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est appelé le carré scalaire de u⃗\vec{u}, noté u⃗2\vec{u}^2.

Définition · 4

Caractérisation par projection orthogonale

Soient A,BA, B et CC trois points du plan tels que A≠BA \neq B, et HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).

AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}

Puisque les points A,B,HA, B, H sont alignés, le calcul se ramène aux distances en observant le sens relatif des vecteurs :

AB⃗⋅AC⃗={AB×AHsi AB⃗ et AH⃗ sont de meˆme sens−AB×AHsi AB⃗ et AH⃗ sont de sens contraire\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de même sens} \\ -AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases}

Piège classique · 5

Sur la figure ci-dessus, on donne AB=3AB = 3 et AH=2AH = 2, où HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB). Que vaut AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} ?

Attention

Multiplier directement les longueurs sans observer le sens des vecteurs : AB×AH=3×2=6AB \times AH = 3 \times 2 = 6.

À la place : Comme l'angle BAC^\widehat{BAC} est obtus, le point HH se trouve à l'extérieur du segment [AB][AB] du côté de AA. Les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont de sens contraire, donc AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH=−3×2=−6\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH = -3 \times 2 = -6.

Exemple travaillé · 6

Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté 44. Soit II le milieu du côté [BC][BC]. Calculer AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} puis AB⃗⋅AI⃗\vec{AB} \cdot \vec{AI}.

1

Dans le triangle équilatéral ABCABC, l'angle géométrique vaut BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}.

2
AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡(π3)=4×4×12=8\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times 4 \times \frac{1}{2} = 8
3

Pour calculer AB⃗⋅AI⃗\vec{AB} \cdot \vec{AI}, on projette orthogonalement le point BB sur la droite (AI)(AI).

4

Comme ABCABC est un triangle équilatéral, la médiane (AI)(AI) est également hauteur issue de AA. Le triangle AIBAIB est donc rectangle en II.

5

Le projeté orthogonal de BB sur la droite (AI)(AI) est le point II. On a donc :

6
AB⃗⋅AI⃗=AI⃗⋅AI⃗=AI2\vec{AB} \cdot \vec{AI} = \vec{AI} \cdot \vec{AI} = AI^2
7

Dans le triangle rectangle AIBAIB, d'après le théorème de Pythagore, AI2=AB2−IB2=42−22=16−4=12AI^2 = AB^2 - IB^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12. Ainsi, AB⃗⋅AI⃗=12\vec{AB} \cdot \vec{AI} = 12.

Exemple travaillé · 7

Soient A,BA, B et CC trois points du plan tels que AB=5AB = 5, AC=6AC = 6 et AB⃗⋅AC⃗=15\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 15. Déterminer la valeur exacte de cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}), puis la mesure en radians de l'angle BAC^\widehat{BAC}.

1

On utilise la définition géométrique reliant le produit scalaire aux longueurs et à l'angle géométrique :

2
AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡(BAC^)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})
3
15=5×6×cos⁡(BAC^)=30cos⁡(BAC^)15 = 5 \times 6 \times \cos(\widehat{BAC}) = 30 \cos(\widehat{BAC})
4
cos⁡(BAC^)=1530=12\cos(\widehat{BAC}) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}
5

L'angle géométrique BAC^\widehat{BAC} appartient à l'intervalle [0;π][0 ; \pi]. L'unique angle ayant pour cosinus 12\frac{1}{2} est BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3} rad.

Vérification · 8

Soit [AB][AB] un segment de longueur 44. Soit CC un point du plan dont le projeté orthogonal sur (AB)(AB) est le point HH. On sait que HH est situé sur la demi-droite opposée à [AB)[AB) par rapport à AA, avec AH=3AH = 3. Que vaut AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} ?

Remarque

Puisque HH est situé sur la demi-droite opposée à [AB)[AB), les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} sont colinéaires et de sens contraire. Le produit scalaire est donc strictement négatif : AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH=−4×3=−12\vec{AB} \cdot \vec{AC} = - AB \times AH = -4 \times 3 = -12.

Définition · 9

Propriétés algébriques et identités remarquables

Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tous réels α,β\alpha, \beta :

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗et(αu⃗)⋅(βv⃗)=αβ(u⃗⋅v⃗)\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \quad \text{et} \quad (\alpha \vec{u}) \cdot (\beta \vec{v}) = \alpha \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})

Identités remarquables vectorielles :

∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2+2u⃗⋅v⃗||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}

∣∣u⃗−v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2−2u⃗⋅v⃗||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v}

∣∣u⃗+v⃗∣∣2+∣∣u⃗−v⃗∣∣2=2(∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2)||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = 2(||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2)

Remarque

La dernière égalité est appelée identité du parallélogramme.

Définition · 10

Inégalité de Cauchy-Schwarz et colinéarité

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} du plan :

∣u⃗⋅v⃗∣≤∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||

Caractérisation de la colinéarité par le cas d'égalité :

∣u⃗⋅v⃗∣=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣  ⟺  u⃗ et v⃗ sont colineˊaires|\vec{u} \cdot \vec{v}| = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \iff \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}

u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣  ⟺  u⃗ et v⃗ sont colineˊaires et de meˆme sens\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \iff \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires et de même sens}

u⃗⋅v⃗=−∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣  ⟺  u⃗ et v⃗ sont colineˊaires et de sens contraires\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \iff \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires et de sens contraires}

Piège classique · 11

Soient trois points distincts A,B,CA, B, C et MM un point du plan vérifiant AB⃗⋅AM⃗=AC⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}. Que peut-on en déduire pour le point MM ?

Attention

Simplifier par le vecteur AM⃗\vec{AM} des deux côtés pour conclure à tort que AB⃗=AC⃗\vec{AB} = \vec{AC}.

À la place : La division par un vecteur n'existe pas. On transpose tous les termes d'un même côté pour factoriser par bilinéarité : (AB⃗−AC⃗)⋅AM⃗=0  ⟺  CB⃗⋅AM⃗=0(\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0 \iff \vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0. Les vecteurs CB⃗\vec{CB} et AM⃗\vec{AM} sont donc orthogonaux : le point MM appartient à la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC.

Exemple travaillé · 12

Soit ABCDABCD un parallélogramme tel que AB=5AB = 5, AD=3AD = 3 et BAD^=π3\widehat{BAD} = \frac{\pi}{3}. Calculer AB⃗⋅AD⃗\vec{AB} \cdot \vec{AD}, puis déterminer les longueurs exactes des diagonales ACAC et BDBD.

1

On évalue d'abord le produit scalaire fondamental à l'aide de la définition trigonométrique :

2
AB⃗⋅AD⃗=AB×AD×cos⁡(π3)=5×3×12=152\vec{AB} \cdot \vec{AD} = AB \times AD \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{2}
3

D'après la règle du parallélogramme, on a AC⃗=AB⃗+AD⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}. On applique l'identité remarquable du carré de la norme :

4
AC2=∣∣AB⃗+AD⃗∣∣2=AB2+AD2+2AB⃗⋅AD⃗=25+9+2(152)=49AC^2 = ||\vec{AB} + \vec{AD}||^2 = AB^2 + AD^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 25 + 9 + 2\left(\frac{15}{2}\right) = 49
5

Comme AC>0AC > 0, on obtient AC=49=7AC = \sqrt{49} = 7.

6

Pour la diagonale [BD][BD], la relation de Chasles donne DB⃗=AB⃗−AD⃗\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} :

7
DB2=∣∣AB⃗−AD⃗∣∣2=AB2+AD2−2AB⃗⋅AD⃗=25+9−2(152)=19DB^2 = ||\vec{AB} - \vec{AD}||^2 = AB^2 + AD^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 25 + 9 - 2\left(\frac{15}{2}\right) = 19
8

Comme DB>0DB > 0, on conclut que BD=19BD = \sqrt{19}.

Exemple travaillé · 13

Soit un quadrilatère quelconque ABCDABCD. Démontrer l'identité : AB2+CD2−BC2−AD2=2AC⃗⋅DB⃗AB^2 + CD^2 - BC^2 - AD^2 = 2\vec{AC} \cdot \vec{DB}.

1

On transforme la différence de carrés AB2−BC2AB^2 - BC^2 à l'aide de l'identité remarquable vectorielle :

2
AB2−BC2=(AB⃗+BC⃗)⋅(AB⃗−BC⃗)=AC⃗⋅(AB⃗−BC⃗)AB^2 - BC^2 = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC}) = \vec{AC} \cdot (\vec{AB} - \vec{BC})
3

On procède de manière analogue pour les deux autres côtés, sachant que AD⃗+DC⃗=AC⃗\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} :

4
CD2−AD2=(DC⃗+AD⃗)⋅(DC⃗−AD⃗)=AC⃗⋅(DC⃗−AD⃗)CD^2 - AD^2 = (\vec{DC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{DC} - \vec{AD}) = \vec{AC} \cdot (\vec{DC} - \vec{AD})
5

On additionne membre à membre ces deux égalités et on factorise par le vecteur commun AC⃗\vec{AC} :

6
AB2+CD2−BC2−AD2=AC⃗⋅[(AB⃗−AD⃗)+(DC⃗−BC⃗)]AB^2 + CD^2 - BC^2 - AD^2 = \vec{AC} \cdot [(\vec{AB} - \vec{AD}) + (\vec{DC} - \vec{BC})]
7

D'après la relation de Chasles, on a AB⃗−AD⃗=DB⃗\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB} et DC⃗−BC⃗=DC⃗+CB⃗=DB⃗\vec{DC} - \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}.

8
AB2+CD2−BC2−AD2=AC⃗⋅(DB⃗+DB⃗)=2AC⃗⋅DB⃗AB^2 + CD^2 - BC^2 - AD^2 = \vec{AC} \cdot (\vec{DB} + \vec{DB}) = 2\vec{AC} \cdot \vec{DB}

Vérification · 14

Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} du plan, que vaut l'expression suivante ?
S=u⃗⋅(v⃗−w⃗)+v⃗⋅(w⃗−u⃗)+w⃗⋅(u⃗−v⃗)S = \vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) + \vec{v} \cdot (\vec{w} - \vec{u}) + \vec{w} \cdot (\vec{u} - \vec{v})

Remarque

En développant par distributivité : S=u⃗⋅v⃗−u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗−v⃗⋅u⃗+w⃗⋅u⃗−w⃗⋅v⃗S = \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} - \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{w} \cdot \vec{u} - \vec{w} \cdot \vec{v}. Par symétrie du produit scalaire, les termes s'annulent deux à deux : S=0S = 0.

Point de départ · 15

Dans une grille orthonormée, on donne u⃗(21)\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} et v⃗(13)\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}. Sans mesurer ni calculer d'angle géométrique, quelle formule permet de trouver directement u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

Remarque

Dans une base orthonormée, le produit scalaire s'obtient simplement en sommant les produits des composantes homologues : xx′+yy′xx' + yy'.

Définition · 16

Expression analytique dans une base orthonormée

Soit (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) une base orthonormée du plan (∣∣i⃗∣∣=∣∣j⃗∣∣=1||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 et i⃗⊥j⃗\vec{i} \perp \vec{j}). Soient u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} deux vecteurs.

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

Conséquences métriques fondamentales :

∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}

u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0

Distance d'un point A(xA,yA)A(x_A, y_A) à une droite D:ax+by+c=0D : ax + by + c = 0 :

d(A,D)=∣axA+byA+c∣a2+b2d(A, D) = \frac{|a x_A + b y_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Exemple travaillé · 17

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(−2,2)A(-2, 2), B(4,0)B(4, 0) et C(−1,2)C(-1, 2). Calculer AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}, les distances ABAB et ACAC, puis en déduire cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}).

1

On détermine d'abord les composantes des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} :

2
AB⃗(4−(−2)0−2)=(6−2)etAC⃗(−1−(−2)2−2)=(10)\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{AC}\begin{pmatrix} -1 - (-2) \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
3

On calcule le produit scalaire par l'expression analytique :

4
AB⃗⋅AC⃗=6×1+(−2)×0=6\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \times 1 + (-2) \times 0 = 6
5

On calcule les normes des deux vecteurs :

6
AB=62+(−2)2=40=210etAC=12+02=1AB = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \quad \text{et} \quad AC = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1
7

On utilise la définition géométrique pour isoler le cosinus :

8
cos⁡(BAC^)=AB⃗⋅AC⃗AB×AC=6210×1=310=31010\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC} = \frac{6}{2\sqrt{10} \times 1} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}

Exemple travaillé · 18

Soit ABCDABCD un carré de côté 66. On définit les points II et JJ par AI⃗=13AB⃗\vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB} et AJ⃗=23AD⃗\vec{AJ} = \frac{2}{3}\vec{AD}. Démontrer que les droites (ID)(ID) et (JC)(JC) sont perpendiculaires.

1

On munit le plan du repère orthonormé (A,i⃗,j⃗)(A, \vec{i}, \vec{j}) où i⃗=16AB⃗\vec{i} = \frac{1}{6}\vec{AB} et j⃗=16AD⃗\vec{j} = \frac{1}{6}\vec{AD}.

2

Dans ce repère, les coordonnées des sommets et des points sont : A(0,0)A(0, 0), B(6,0)B(6, 0), D(0,6)D(0, 6), C(6,6)C(6, 6), I(2,0)I(2, 0) et J(0,4)J(0, 4).

3

On détermine les composantes des vecteurs directeurs ID⃗\vec{ID} et JC⃗\vec{JC} :

4
ID⃗(0−26−0)=(−26)etJC⃗(6−06−4)=(62)\vec{ID}\begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{JC}\begin{pmatrix} 6 - 0 \\ 6 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}
5

On calcule leur produit scalaire analytique :

6
ID⃗⋅JC⃗=(−2)×6+6×2=−12+12=0\vec{ID} \cdot \vec{JC} = (-2) \times 6 + 6 \times 2 = -12 + 12 = 0
7

Les vecteurs ID⃗\vec{ID} et JC⃗\vec{JC} étant orthogonaux et non nuls, les droites (ID)(ID) et (JC)(JC) sont perpendiculaires.

Vérification · 19

Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(m3)\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix} et v⃗(2−4)\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}, où m∈Rm \in \mathbb{R}. Quelle valeur de mm rend les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} orthogonaux ?

Remarque

u⃗⊥v⃗  ⟺  2m+3(−4)=0  ⟺  2m−12=0  ⟺  2m=12  ⟺  m=6\vec{u} \perp \vec{v} \iff 2m + 3(-4) = 0 \iff 2m - 12 = 0 \iff 2m = 12 \iff m = 6.

Point de départ · 20

Généraliser le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en AA, l'égalité de Pythagore s'écrit BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2 car AB⃗⊥AC⃗\vec{AB} \perp \vec{AC}.

Si l'angle BAC^\widehat{BAC} n'est plus droit, le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} n'est plus nul.

En développant le carré scalaire BC⃗2=(AC⃗−AB⃗)2\vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2, le double produit scalaire −2AB⃗⋅AC⃗-2\vec{AB} \cdot \vec{AC} fournit le terme correctif exact qui généralise Pythagore à tout triangle.

Définition · 21

Théorème d'Al-Kashi et formules de projection

Soit ABCABC un triangle quelconque.

BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})

De manière analogue pour les autres côtés :

AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos⁡(ABC^)etAB2=AC2+BC2−2AC×BC×cos⁡(ACB^)AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC}) \quad \text{et} \quad AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \times BC \times \cos(\widehat{ACB})

Formules de projection linéaire sur chaque côté :

BC=ABcos⁡(B^)+ACcos⁡(C^)BC = AB \cos(\widehat{B}) + AC \cos(\widehat{C})

Exemple travaillé · 22

Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 et BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}. Calculer la longueur exacte de BCBC, puis déterminer la valeur exacte de cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ABC}).

1

On applique le théorème d'Al-Kashi sur le côté opposé à l'angle connu BAC^\widehat{BAC} :

2
BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})
3
BC2=52+82−2×5×8×cos⁡(π3)=25+64−80×12=49BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2} = 49
4

Comme BC>0BC > 0, on obtient BC=49=7BC = \sqrt{49} = 7.

5

Pour déterminer cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ABC}), on applique le théorème d'Al-Kashi au côté opposé [AC][AC] :

6
AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos⁡(ABC^)AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})
7
82=52+72−2×5×7×cos⁡(ABC^)  ⟺  64=74−70cos⁡(ABC^)8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(\widehat{ABC}) \iff 64 = 74 - 70 \cos(\widehat{ABC})
8
70cos⁡(ABC^)=74−64=10  ⟺  cos⁡(ABC^)=1070=1770 \cos(\widehat{ABC}) = 74 - 64 = 10 \iff \cos(\widehat{ABC}) = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

Exemple travaillé · 23

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA et HH le pied de la hauteur issue de AA. Démontrer à l'aide du produit scalaire que AH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC.

1

On introduit le point HH dans les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} par la relation de Chasles :

2
AB⃗⋅AC⃗=(AH⃗+HB⃗)⋅(AH⃗+HC⃗)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\vec{AH} + \vec{HB}) \cdot (\vec{AH} + \vec{HC})
3

On développe l'expression par distributivité :

4
AB⃗⋅AC⃗=AH2+AH⃗⋅HC⃗+HB⃗⋅AH⃗+HB⃗⋅HC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AH^2 + \vec{AH} \cdot \vec{HC} + \vec{HB} \cdot \vec{AH} + \vec{HB} \cdot \vec{HC}
5

La droite (AH)(AH) étant perpendiculaire à (BC)(BC), on a AH⃗⊥HC⃗\vec{AH} \perp \vec{HC} et HB⃗⊥AH⃗\vec{HB} \perp \vec{AH}, d'où AH⃗⋅HC⃗=0\vec{AH} \cdot \vec{HC} = 0 et HB⃗⋅AH⃗=0\vec{HB} \cdot \vec{AH} = 0.

6

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, donc AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0. L'égalité se réduit à :

7
0=AH2+HB⃗⋅HC⃗0 = AH^2 + \vec{HB} \cdot \vec{HC}
8

Le point HH étant situé entre BB et CC, les vecteurs HB⃗\vec{HB} et HC⃗\vec{HC} sont colinéaires et de sens contraires, ce qui donne HB⃗⋅HC⃗=−HB×HC\vec{HB} \cdot \vec{HC} = - HB \times HC.

9

On en déduit que 0=AH2−HB×HC0 = AH^2 - HB \times HC, soit AH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC.

Vérification · 24

Soit un triangle MNPMNP tel que MN=3MN = 3, MP=8MP = 8 et NMP^=π3\widehat{NMP} = \frac{\pi}{3}. Calcule la longueur exacte du côté NPNP.

Remarque

D'après le théorème d'Al-Kashi : NP2=MN2+MP2−2MN×MP×cos⁡(π3)=32+82−2×3×8×12=9+64−24=49NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 MN \times MP \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49. Comme NP>0NP > 0, NP=7NP = 7.

Définition · 25

Théorème de la médiane

Soient AA et BB deux points distincts du plan et II le milieu du segment [AB][AB]. Pour tout point MM du plan, on a les trois relations fondamentales :

MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}

MA2−MB2=2IM⃗⋅AB⃗MA^2 - MB^2 = 2\vec{IM} \cdot \vec{AB}

MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}

Remarque

Puisque IA=AB2IA = \frac{AB}{2}, le terme AB24\frac{AB^2}{4} est également égal à IA2IA^2.

Exemple travaillé · 26

Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=7AC = 7 et BC=6BC = 6. Soit A′A' le milieu du côté [BC][BC]. Calculer la longueur exacte de la médiane AA′AA'.

1

On applique la relation de la médiane pour la somme des carrés relative au côté [BC][BC] :

2
AB2+AC2=2AA′2+BC22AB^2 + AC^2 = 2AA'^2 + \frac{BC^2}{2}
3
52+72=2AA′2+622  ⟺  25+49=2AA′2+185^2 + 7^2 = 2AA'^2 + \frac{6^2}{2} \iff 25 + 49 = 2AA'^2 + 18
4
74=2AA′2+18  ⟺  2AA′2=74−18=5674 = 2AA'^2 + 18 \iff 2AA'^2 = 74 - 18 = 56
5
AA′2=562=28AA'^2 = \frac{56}{2} = 28
6

Comme AA′>0AA' > 0, on conclut que AA′=28=27AA' = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.

Exemple travaillé · 27

Démontrer que dans tout triangle ABCABC, la somme des carrés des longueurs des trois côtés est égale aux 43\frac{4}{3} de la somme des carrés des longueurs des trois médianes.

1

Soient A′,B′,C′A', B', C' les milieux respectifs de [BC],[AC],[AB][BC], [AC], [AB]. On note mA=AA′m_A = AA', mB=BB′m_B = BB' et mC=CC′m_C = CC' les longueurs des médianes.

2

On applique le théorème de la médiane pour chaque sommet :

3
AB2+AC2=2mA2+BC22BC2+BA2=2mB2+AC22CA2+CB2=2mC2+AB22\begin{aligned} AB^2 + AC^2 &= 2m_A^2 + \frac{BC^2}{2} \\ BC^2 + BA^2 &= 2m_B^2 + \frac{AC^2}{2} \\ CA^2 + CB^2 &= 2m_C^2 + \frac{AB^2}{2} \end{aligned}
4

On additionne ces trois égalités membre à membre :

5
2(AB2+BC2+AC2)=2(mA2+mB2+mC2)+12(AB2+BC2+AC2)2(AB^2 + BC^2 + AC^2) = 2(m_A^2 + m_B^2 + m_C^2) + \frac{1}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)
6

On soustrait 12(AB2+BC2+AC2)\frac{1}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2) de chaque côté :

7
32(AB2+BC2+AC2)=2(mA2+mB2+mC2)\frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2) = 2(m_A^2 + m_B^2 + m_C^2)
8
AB2+BC2+AC2=43(mA2+mB2+mC2)AB^2 + BC^2 + AC^2 = \frac{4}{3}(m_A^2 + m_B^2 + m_C^2)

Vérification · 28

Soit [AB][AB] un segment de longueur 66 et II son milieu. Quelle est l'expression de MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} en fonction de la distance MIMI ?

Remarque

D'après la relation de la médiane : MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24=MI2−624=MI2−9\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} = MI^2 - \frac{6^2}{4} = MI^2 - 9.

Définition · 29

Ligne de niveau u⃗⋅AM⃗=k\vec{u} \cdot \vec{AM} = k

Soit u⃗\vec{u} un vecteur non nul, AA un point fixé et kk un réel.

u⃗⋅AM⃗=k\vec{u} \cdot \vec{AM} = k

Soit HH l'unique point de la droite passant par AA et dirigée par u⃗\vec{u} vérifiant u⃗⋅AH⃗=k\vec{u} \cdot \vec{AH} = k.

u⃗⋅AM⃗=k  ⟺  u⃗⋅HM⃗=0\vec{u} \cdot \vec{AM} = k \iff \vec{u} \cdot \vec{HM} = 0

Remarque

L'ensemble des points MM est la droite perpendiculaire au vecteur u⃗\vec{u} passant par le point HH.

Définition · 30

Ligne de niveau MA⃗⋅MB⃗=k\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k

Soient AA et BB deux points distincts et II le milieu du segment [AB][AB]. Pour tout réel kk :

MA⃗⋅MB⃗=k  ⟺  MI2−AB24=k  ⟺  MI2=k+AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k \iff MI^2 - \frac{AB^2}{4} = k \iff MI^2 = k + \frac{AB^2}{4}

On pose C=k+AB24C = k + \frac{AB^2}{4} et on discute selon le signe de la constante CC :

{C<0  ⟹  L’ensemble est vide ∅C=0  ⟹  L’ensemble est le point unique {I}C>0  ⟹  L’ensemble est le cercle de centre I et de rayon R=C\begin{cases} C < 0 & \implies \text{L'ensemble est vide } \emptyset \\ C = 0 & \implies \text{L'ensemble est le point unique } \{I\} \\ C > 0 & \implies \text{L'ensemble est le cercle de centre } I \text{ et de rayon } R = \sqrt{C} \end{cases}

Remarque

Pour k=0k = 0, l'ensemble est le cercle de diamètre [AB][AB].

Exemple travaillé · 31

Soit AA et BB deux points tels que AB=3AB = 3. Déterminer l'ensemble (E)(E) des points MM du plan vérifiant AB⃗⋅BM⃗=2\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 2.

1

On détermine d'abord le point HH de la droite (AB)(AB) tel que AB⃗⋅BH⃗=2\vec{AB} \cdot \vec{BH} = 2.

2

Le produit scalaire étant strictement positif, les vecteurs AB⃗\vec{AB} et BH⃗\vec{BH} sont colinéaires et de même sens :

3
AB×BH=2  ⟺  3BH=2  ⟺  BH=23AB \times BH = 2 \iff 3 BH = 2 \iff BH = \frac{2}{3}
4

On introduit le point HH dans l'égalité vectorielle à l'aide de la relation de Chasles :

5
AB⃗⋅BM⃗=2  ⟺  AB⃗⋅(BH⃗+HM⃗)=2\vec{AB} \cdot \vec{BM} = 2 \iff \vec{AB} \cdot (\vec{BH} + \vec{HM}) = 2
6
AB⃗⋅BH⃗+AB⃗⋅HM⃗=2  ⟺  2+AB⃗⋅HM⃗=2  ⟺  AB⃗⋅HM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{BH} + \vec{AB} \cdot \vec{HM} = 2 \iff 2 + \vec{AB} \cdot \vec{HM} = 2 \iff \vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0
7

L'ensemble (E)(E) est la droite perpendiculaire à (AB)(AB) passant par le point HH situé à une distance 23\frac{2}{3} de BB sur la demi-droite [AB)[AB).

Exemple travaillé · 32

Soient AA et BB deux points tels que AB=4AB = 4. Déterminer l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points MM du plan tels que MA⃗⋅MB⃗=5\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 5.

1

Soit II le milieu du segment [AB][AB]. On a IA=AB2=2IA = \frac{AB}{2} = 2, d'où IA2=4IA^2 = 4.

2

On applique le théorème de la médiane pour le produit scalaire :

3
MA⃗⋅MB⃗=MI2−IA2=MI2−4\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - 4
4

L'équation MA⃗⋅MB⃗=5\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 5 devient :

5
MI2−4=5  ⟺  MI2=9MI^2 - 4 = 5 \iff MI^2 = 9
6

Comme 9>09 > 0 et que MIMI est une distance, on a MI=9=3MI = \sqrt{9} = 3.

7

L'ensemble (Γ)(\Gamma) est le cercle de centre II et de rayon R=3R = 3.

Vérification · 33

Soit [AB][AB] un segment de longueur 66. Quelle est la nature de l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA⃗⋅MB⃗=−10\vec{MA} \cdot \vec{MB} = -10 ?

Remarque

Soit II le milieu de [AB][AB]. On a IA=3IA = 3, donc MA⃗⋅MB⃗=MI2−9\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - 9. L'égalité s'écrit MI2−9=−10  ⟺  MI2=−1MI^2 - 9 = -10 \iff MI^2 = -1. Une distance au carré ne pouvant être strictement négative, l'ensemble est vide ∅\emptyset.

Définition · 34

Lignes de niveau MA2+MB2=kMA^2 + MB^2 = k et MA2−MB2=kMA^2 - MB^2 = k

Soient AA et BB deux points distincts du plan et II le milieu du segment [AB][AB].

1. Somme des carrés :

MA2+MB2=k  ⟺  2MI2+AB22=k  ⟺  MI2=2k−AB24MA^2 + MB^2 = k \iff 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} = k \iff MI^2 = \frac{2k - AB^2}{4}

Discussion selon le réel C=2k−AB24C = \frac{2k - AB^2}{4} :

{C<0  ⟹  L’ensemble est vide ∅C=0  ⟹  L’ensemble est le point unique {I}C>0  ⟹  L’ensemble est le cercle de centre I et de rayon R=C\begin{cases} C < 0 & \implies \text{L'ensemble est vide } \emptyset \\ C = 0 & \implies \text{L'ensemble est le point unique } \{I\} \\ C > 0 & \implies \text{L'ensemble est le cercle de centre } I \text{ et de rayon } R = \sqrt{C} \end{cases}

2. Différence des carrés :

MA2−MB2=k  ⟺  2IM⃗⋅AB⃗=kMA^2 - MB^2 = k \iff 2\vec{IM} \cdot \vec{AB} = k

Remarque

L'ensemble des points MM est la droite perpendiculaire à (AB)(AB) passant par le point H∈(AB)H \in (AB) tel que IH⃗⋅AB⃗=k2\vec{IH} \cdot \vec{AB} = \frac{k}{2}. Pour k=0k=0, c'est la médiatrice de [AB][AB].

Définition · 35

Ligne de niveau du rapport de distances MAMB=k\frac{MA}{MB} = k

Soient AA et BB deux points distincts et kk un réel strictement positif.

MAMB=k  ⟺  MA2−k2MB2=0  ⟺  (MA⃗−kMB⃗)⋅(MA⃗+kMB⃗)=0\frac{MA}{MB} = k \iff MA^2 - k^2 MB^2 = 0 \iff (\vec{MA} - k\vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + k\vec{MB}) = 0

Cas k=1k = 1 : MA=MBMA = MB, l'ensemble est la médiatrice du segment [AB][AB].

Cas k≠1k \neq 1 : Soient G=bar{(A,1);(B,−k)}G = \text{bar}\{(A, 1) ; (B, -k)\} et G′=bar{(A,1);(B,k)}G' = \text{bar}\{(A, 1) ; (B, k)\}.

(1−k)MG⃗⋅(1+k)MG′⃗=0  ⟺  MG⃗⋅MG′⃗=0(1 - k)\vec{MG} \cdot (1 + k)\vec{MG'} = 0 \iff \vec{MG} \cdot \vec{MG'} = 0

Remarque

Pour k≠1k \neq 1, l'ensemble des points MM est le cercle de diamètre [GG′][GG'].

Exemple travaillé · 36

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(−1,0)A(-1, 0) et B(2,0)B(2, 0). Déterminer géométriquement puis analytiquement l'ensemble (E)(E) des points M(x,y)M(x, y) tels que MAMB=2\frac{MA}{MB} = 2.

1

Approche géométrique : MAMB=2  ⟺  MA2−4MB2=0  ⟺  (MA⃗−2MB⃗)⋅(MA⃗+2MB⃗)=0\frac{MA}{MB} = 2 \iff MA^2 - 4MB^2 = 0 \iff (\vec{MA} - 2\vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + 2\vec{MB}) = 0.

2

Soit G=bar{(A,1);(B,−2)}G = \text{bar}\{(A, 1) ; (B, -2)\} et G′=bar{(A,1);(B,2)}G' = \text{bar}\{(A, 1) ; (B, 2)\}. On a MA⃗−2MB⃗=−MG⃗\vec{MA} - 2\vec{MB} = -\vec{MG} et MA⃗+2MB⃗=3MG′⃗\vec{MA} + 2\vec{MB} = 3\vec{MG'}.

3
−MG⃗⋅3MG′⃗=0  ⟺  MG⃗⋅MG′⃗=0-\vec{MG} \cdot 3\vec{MG'} = 0 \iff \vec{MG} \cdot \vec{MG'} = 0
4

L'ensemble (E)(E) est le cercle de diamètre [GG′][GG'].

5

Approche analytique : on traduit MA2=4MB2MA^2 = 4MB^2 à l'aide des coordonnées de M(x,y)M(x, y) :

6
(x+1)2+y2=4[(x−2)2+y2](x + 1)^2 + y^2 = 4\left[(x - 2)^2 + y^2\right]
7
x2+2x+1+y2=4(x2−4x+4+y2)=4x2−16x+16+4y2x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2) = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2
8
3x2−18x+3y2+15=0  ⟺  x2−6x+y2+5=03x^2 - 18x + 3y^2 + 15 = 0 \iff x^2 - 6x + y^2 + 5 = 0
9
(x−3)2−9+y2+5=0  ⟺  (x−3)2+y2=4(x - 3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0 \iff (x - 3)^2 + y^2 = 4
10

L'ensemble (E)(E) est le cercle de centre Ω(3,0)\Omega(3, 0) et de rayon R=4=2R = \sqrt{4} = 2.

Exemple travaillé · 37

Soit ABCDABCD un rectangle de dimensions AB=2AB = \sqrt{2} et AD=1AD = 1. Soit II le milieu de [AB][AB]. Déterminer l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points MM tels que MD2−MB2=1MD^2 - MB^2 = 1, puis en déduire que (BD)⊥(CI)(BD) \perp (CI).

1

Soit KK le milieu du segment [DB][DB] (centre du rectangle). D'après la relation de la médiane pour la différence des carrés :

2
MD2−MB2=2KM⃗⋅BD⃗=1  ⟺  BD⃗⋅KM⃗=12MD^2 - MB^2 = 2\vec{KM} \cdot \vec{BD} = 1 \iff \vec{BD} \cdot \vec{KM} = \frac{1}{2}
3

L'ensemble (Γ)(\Gamma) est donc la droite perpendiculaire à (BD)(BD) passant par le point H∈(BD)H \in (BD) tel que BD⃗⋅KH⃗=12\vec{BD} \cdot \vec{KH} = \frac{1}{2}.

4

Testons l'appartenance des points II et CC à l'ensemble (Γ)(\Gamma) :

5
ID2−IB2=(IA2+AD2)−IB2=AD2=12=1  ⟹  I∈(Γ)ID^2 - IB^2 = (IA^2 + AD^2) - IB^2 = AD^2 = 1^2 = 1 \implies I \in (\Gamma)
6
CD2−CB2=AB2−AD2=(2)2−12=2−1=1  ⟹  C∈(Γ)CD^2 - CB^2 = AB^2 - AD^2 = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \implies C \in (\Gamma)
7

Les points distincts II et CC appartiennent à la droite (Γ)(\Gamma), donc (Γ)(\Gamma) est la droite (CI)(CI).

8

Comme (Γ)(\Gamma) est perpendiculaire à (BD)(BD), on en déduit que les droites (CI)(CI) et (BD)(BD) sont perpendiculaires.

Vérification · 38

Soient AA et BB deux points distincts. Quelle est la nature géométrique de l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA2−MB2=0MA^2 - MB^2 = 0 ?

Remarque

L'égalité MA2−MB2=0  ⟺  MA2=MB2  ⟺  MA=MBMA^2 - MB^2 = 0 \iff MA^2 = MB^2 \iff MA = MB (les distances étant positives). L'ensemble des points équidistants de AA et BB est la médiatrice du segment [AB][AB].

Rappel · 39

Barycentre et réduction vectorielle

Soit un système de points pondérés (Ai,αi)1≤i≤n(A_i, \alpha_i)_{1 \le i \le n} tel que ∑i=1nαi≠0\sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0. Le barycentre GG du système est l'unique point vérifiant :

∑i=1nαiGAi⃗=0⃗\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{GA_i} = \vec{0}

Pour tout point MM du plan, la relation fondamentale de réduction vectorielle s'écrit :

∑i=1nαiMAi⃗=(∑i=1nαi)MG⃗\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right)\vec{MG}

Définition · 40

Théorème de la fonction scalaire de Leibniz

Soit un système de points pondérés (Ai,αi)1≤i≤n(A_i, \alpha_i)_{1 \le i \le n} dont la somme des coefficients est non nulle : s=∑i=1nαi≠0s = \sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0, et soit GG son barycentre.

Pour tout point MM du plan, en développant chaque terme par MAi⃗=MG⃗+GAi⃗\vec{MA_i} = \vec{MG} + \vec{GA_i} :

∑i=1nαiMAi2=s MG2+∑i=1nαiGAi2\sum_{i=1}^n \alpha_i MA_i^2 = s \, MG^2 + \sum_{i=1}^n \alpha_i GA_i^2

Remarque

Le terme croisé 2MG⃗⋅(∑i=1nαiGAi⃗)2\vec{MG} \cdot \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{GA_i}\right) est nul par définition du barycentre GG.

Piège classique · 41

On considère l'expression f(M)=2MA2−MB2−MC2f(M) = 2MA^2 - MB^2 - MC^2. Peut-on introduire un barycentre GG pour réduire cette somme de carrés ?

Attention

Poser un barycentre GG des points pondérés (A,2),(B,−1),(C,−1)(A, 2), (B, -1), (C, -1) et écrire f(M)=0×MG2+…f(M) = 0 \times MG^2 + \dots.

À la place : La somme des coefficients est 2+(−1)+(−1)=02 + (-1) + (-1) = 0. Le barycentre n'existe pas. Il faut réduire l'expression autrement, par exemple en regroupant −(MB2+MC2)-(MB^2 + MC^2) avec le théorème de la médiane sur le milieu de [BC][BC], puis en appliquant une différence de carrés pour faire apparaître une droite orthogonale.

Piège classique · 42

Après réduction par Leibniz, l'ensemble (Γk)(\Gamma_k) des points MM vérifie l'équation MG2=a2(k+1)MG^2 = a^2(k + 1) avec a>0a > 0. Quelle est la nature géométrique de (Γk)(\Gamma_k) si k<−1k < -1 ?

Attention

Conclure qu'il s'agit du cercle de centre GG et de rayon ak+1a\sqrt{k+1} sans vérifier le signe de la constante.

À la place : Si k<−1k < -1, alors k+1<0k + 1 < 0, d'où a2(k+1)<0a^2(k + 1) < 0. Une distance au carré étant positive ou nulle (MG2≥0MG^2 \ge 0), l'équation n'admet aucune solution dans le plan : l'ensemble est vide ∅\emptyset.

Exemple travaillé · 43

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA avec AB=2aAB = 2a et AC=aAC = a (a>0a > 0). Soit G=bar{(A,−3),(B,1),(C,4)}G = \text{bar}\{(A, -3), (B, 1), (C, 4)\}. Déterminer selon les valeurs du réel kk la nature de l'ensemble (Γk)={M∈P∣−3MA2+MB2+4MC2=2ka2}(\Gamma_k) = \{M \in \mathscr{P} \mid -3MA^2 + MB^2 + 4MC^2 = 2ka^2\}.

1

La somme des coefficients est −3+1+4=2≠0-3 + 1 + 4 = 2 \neq 0. D'après la fonction de Leibniz :

2
−3MA2+MB2+4MC2=2MG2−3GA2+GB2+4GC2-3MA^2 + MB^2 + 4MC^2 = 2MG^2 - 3GA^2 + GB^2 + 4GC^2
3

On exprime la position de GG : AG⃗=12(AB⃗+4AC⃗)=12AB⃗+2AC⃗\vec{AG} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + 4\vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + 2\vec{AC}. Le triangle étant rectangle en AA, on a AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 :

4
GA2=AG2=14AB2+4AC2=14(4a2)+4a2=5a2GA^2 = AG^2 = \frac{1}{4}AB^2 + 4AC^2 = \frac{1}{4}(4a^2) + 4a^2 = 5a^2
5
BG⃗=−12AB⃗+2AC⃗  ⟹  GB2=5a2etCG⃗=12AB⃗+AC⃗  ⟹  GC2=2a2\vec{BG} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + 2\vec{AC} \implies GB^2 = 5a^2 \quad \text{et} \quad \vec{CG} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AC} \implies GC^2 = 2a^2
6

On évalue la constante scalaire :

7
−3GA2+GB2+4GC2=−3(5a2)+5a2+4(2a2)=−15a2+5a2+8a2=−2a2-3GA^2 + GB^2 + 4GC^2 = -3(5a^2) + 5a^2 + 4(2a^2) = -15a^2 + 5a^2 + 8a^2 = -2a^2
8

L'équation définissant (Γk)(\Gamma_k) devient :

9
2MG2−2a2=2ka2  ⟺  2MG2=2a2(k+1)  ⟺  MG2=a2(k+1)2MG^2 - 2a^2 = 2ka^2 \iff 2MG^2 = 2a^2(k + 1) \iff MG^2 = a^2(k + 1)
10

Discussion selon les valeurs de kk :
- Si k<−1k < -1 : k+1<0k + 1 < 0, donc (Γk)=∅(\Gamma_k) = \emptyset.
- Si k=−1k = -1 : MG2=0MG^2 = 0, donc (Γ−1)={G}(\Gamma_{-1}) = \{G\}.
- Si k>−1k > -1 : (Γk)(\Gamma_k) est le cercle de centre GG et de rayon R=ak+1R = a\sqrt{k + 1}.

Exemple travaillé · 44

Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté aa. Déterminer l'ensemble (Δ)(\Delta) des points MM du plan vérifiant 2MA2−MB2−MC2=a22MA^2 - MB^2 - MC^2 = a^2.

1

La somme des coefficients est 2−1−1=02 - 1 - 1 = 0. Le barycentre n'existe pas.

2

Soit II le milieu du segment [BC][BC]. D'après le théorème de la médiane, MB2+MC2=2MI2+BC22=2MI2+a22MB^2 + MC^2 = 2MI^2 + \frac{BC^2}{2} = 2MI^2 + \frac{a^2}{2}.

3
2MA2−MB2−MC2=2MA2−(2MI2+a22)=2(MA2−MI2)−a222MA^2 - MB^2 - MC^2 = 2MA^2 - \left(2MI^2 + \frac{a^2}{2}\right) = 2(MA^2 - MI^2) - \frac{a^2}{2}
4

On transforme la différence de carrés à l'aide de l'identité remarquable vectorielle et de la relation de Chasles :

5
MA2−MI2=(MA⃗−MI⃗)⋅(MA⃗+MI⃗)=IA⃗⋅(2MI⃗+IA⃗)=IA2−2IA⃗⋅IM⃗MA^2 - MI^2 = (\vec{MA} - \vec{MI}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MI}) = \vec{IA} \cdot (2\vec{MI} + \vec{IA}) = IA^2 - 2\vec{IA} \cdot \vec{IM}
6

Dans le triangle équilatéral ABCABC, la hauteur issue de AA mesure IA=a32IA = \frac{a\sqrt{3}}{2}, d'où IA2=3a24IA^2 = \frac{3a^2}{4} :

7
2(3a24−2IA⃗⋅IM⃗)−a22=3a22−a22−4IA⃗⋅IM⃗=a2−4IA⃗⋅IM⃗2\left(\frac{3a^2}{4} - 2\vec{IA} \cdot \vec{IM}\right) - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} - \frac{a^2}{2} - 4\vec{IA} \cdot \vec{IM} = a^2 - 4\vec{IA} \cdot \vec{IM}
8

L'équation a2−4IA⃗⋅IM⃗=a2a^2 - 4\vec{IA} \cdot \vec{IM} = a^2 équivaut à IA⃗⋅IM⃗=0\vec{IA} \cdot \vec{IM} = 0.

9

L'ensemble (Δ)(\Delta) est la droite perpendiculaire à (IA)(IA) passant par II. Comme (IA)(IA) est la médiatrice de [BC][BC], (Δ)(\Delta) est la droite (BC)(BC).

Vérification · 45

Soit AA et BB deux points tels que AB=2AB = 2 et J=bar{(A,1);(B,3)}J = \text{bar}\{(A, 1) ; (B, 3)\}. Après réduction par Leibniz, l'équation MA2+3MB2=15MA^2 + 3MB^2 = 15 s'écrit 4MJ2+3=154MJ^2 + 3 = 15. Quel est le rayon RR du cercle obtenu ?

Remarque

4MJ2+3=15  ⟺  4MJ2=12  ⟺  MJ2=3  ⟺  MJ=34MJ^2 + 3 = 15 \iff 4MJ^2 = 12 \iff MJ^2 = 3 \iff MJ = \sqrt{3}. L'ensemble est donc le cercle de centre JJ et de rayon R=3R = \sqrt{3}.

Définition · 46

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon RR, et soit MM un point quelconque du plan.

Pour toute droite passant par MM et coupant le cercle C\mathscr{C} en deux points AA et BB (éventuellement confondus en un point de contact TT pour une droite tangente) :

MA⃗⋅MB⃗=MO2−R2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - R^2

Ce produit scalaire est indépendant de la sécante choisie. On l'appelle la puissance du point MM par rapport au cercle C\mathscr{C}, notée PC(M)\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M).

PC(M)={MT2si (MT) est tangente en T aˋ C>0  ⟺  M est aˋ l’exteˊrieur du cercle=0  ⟺  M appartient au cercle<0  ⟺  M est aˋ l’inteˊrieur du cercle\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = \begin{cases} MT^2 & \text{si } (MT) \text{ est tangente en } T \text{ à } \mathscr{C} \\ > 0 & \iff M \text{ est à l'extérieur du cercle} \\ = 0 & \iff M \text{ appartient au cercle} \\ < 0 & \iff M \text{ est à l'intérieur du cercle} \end{cases}

Définition · 47

Position relative d'une droite et d'un cercle

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon RR, et soit une droite Δ\Delta. On note d=d(I,Δ)d = d(I, \Delta) la distance du centre II à la droite Δ\Delta.

{d<R  ⟺  Δ et C sont seˊcants en deux points distinctsd=R  ⟺  Δ est tangente aˋ C en un point uniqued>R  ⟺  Δ et C n’ont aucun point d’intersection (exteˊrieurs)\begin{cases} d < R & \iff \Delta \text{ et } \mathscr{C} \text{ sont sécants en deux points distincts} \\ d = R & \iff \Delta \text{ est tangente à } \mathscr{C} \text{ en un point unique} \\ d > R & \iff \Delta \text{ et } \mathscr{C} \text{ n'ont aucun point d'intersection (extérieurs)} \end{cases}

Remarque

Dans un repère orthonormé, si Δ:ax+by+c=0\Delta : ax + by + c = 0 et I(xI,yI)I(x_I, y_I), on utilise la formule d(I,Δ)=∣axI+byI+c∣a2+b2d(I, \Delta) = \frac{|ax_I + by_I + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

Exemple travaillé · 48

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon R=4R = 4. Soit MM un point tel que OM=6OM = 6. Une droite passant par MM coupe C\mathscr{C} en deux points AA et BB avec MA=3MA = 3 (M,A,BM, A, B alignés dans cet ordre). Calculer la puissance de MM par rapport à C\mathscr{C}, en déduire la longueur de la corde [AB][AB], puis calculer la longueur de tangence MTMT pour une tangente (MT)(MT) issue de MM.

1

On évalue d'abord la puissance du point MM par rapport au cercle C\mathscr{C} :

2
PC(M)=MO2−R2=62−42=36−16=20\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = MO^2 - R^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
3

Comme MM est à l'extérieur du cercle et que les points M,A,BM, A, B sont alignés dans cet ordre, les vecteurs MA⃗\vec{MA} et MB⃗\vec{MB} sont de même sens :

4
MA⃗⋅MB⃗=MA×MB=20  ⟺  3×MB=20  ⟺  MB=203\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MA \times MB = 20 \iff 3 \times MB = 20 \iff MB = \frac{20}{3}
5

On calcule la longueur de la corde [AB][AB] par soustraction des segments :

6
AB=MB−MA=203−3=203−93=113AB = MB - MA = \frac{20}{3} - 3 = \frac{20}{3} - \frac{9}{3} = \frac{11}{3}
7

Pour la tangente (MT)(MT) au point de contact TT, la puissance s'écrit PC(M)=MT2\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = MT^2 :

8
MT2=20  ⟹  MT=20=25MT^2 = 20 \implies MT = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Exemple travaillé · 49

Soit un triangle quelconque ABCABC. On désigne par OO le centre de son cercle circonscrit et par GG son centre de gravité. Soit HH le point défini par OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}. Démontrer que HH est l'orthocentre de ABCABC et que les points O,G,HO, G, H sont alignés.

1

On exprime AH⃗\vec{AH} en utilisant la relation de Chasles et la définition de HH :

2
AH⃗=AO⃗+OH⃗=−OA⃗+(OA⃗+OB⃗+OC⃗)=OB⃗+OC⃗\vec{AH} = \vec{AO} + \vec{OH} = -\vec{OA} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{OB} + \vec{OC}
3

Soit A′A' le milieu du côté [BC][BC]. Par la relation du milieu, on a OB⃗+OC⃗=2OA′⃗\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA'}, d'où AH⃗=2OA′⃗\vec{AH} = 2\vec{OA'}.

4

Comme OO est le centre du cercle circonscrit, la droite (OA′)(OA') est la médiatrice de [BC][BC]. Donc (OA′)⊥(BC)(OA') \perp (BC), ce qui donne OA′⃗⋅BC⃗=0\vec{OA'} \cdot \vec{BC} = 0.

5
AH⃗⋅BC⃗=(2OA′⃗)⋅BC⃗=2(OA′⃗⋅BC⃗)=0\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (2\vec{OA'}) \cdot \vec{BC} = 2(\vec{OA'} \cdot \vec{BC}) = 0
6

La droite (AH)(AH) est donc la hauteur issue de AA. Par symétrie de raisonnement, (BH)(BH) est la hauteur issue de BB. Le point HH est donc l'orthocentre du triangle ABCABC.

7

Par la propriété du centre de gravité, GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}, ce qui donne avec Chasles : OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}.

8
OH⃗=3OG⃗\vec{OH} = 3\vec{OG}
9

Les vecteurs OH⃗\vec{OH} et OG⃗\vec{OG} étant colinéaires, les points O,G,HO, G, H sont alignés sur la droite d'Euler.

Vérification · 50

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C\mathscr{C} de centre I(1,2)I(1, 2) et de rayon R=3R = 3, et la droite Δ\Delta d'équation 3x+4y+4=03x + 4y + 4 = 0. Quelle est la position relative de Δ\Delta et de C\mathscr{C} ?

Remarque

On évalue la distance du centre II à la droite Δ\Delta :
d(I,Δ)=∣3(1)+4(2)+4∣32+42=∣3+8+4∣25=155=3d(I, \Delta) = \frac{|3(1) + 4(2) + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 + 4|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3
Comme d(I,Δ)=R=3d(I, \Delta) = R = 3, la droite Δ\Delta est tangente au cercle C\mathscr{C} en un point de contact unique.

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