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Trigonométrie — cours

3ème année · section Mathématiques · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Mathématiques

Le cours

Rappel · 1

Repérage sur le cercle trigonométrique

Sur le cercle trigonométrique de centre OO et de rayon 11, quel est le couple de coordonnées cartésiennes (x,y)(x, y) du point MM repéré par l'angle orienté θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} ?

Remarque

Par définition, l'abscisse est cos⁡θ\cos\theta et l'ordonnée est sin⁡θ\sin\theta. Comme \cos\left(\frac{2\pi}{3} ight) = -\frac{1}{2} et \sin\left(\frac{2\pi}{3} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}, les coordonnées sont \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} ight).

Point de départ · 2

Repérer un point par une distance et un angle

Dans un repère cartésien, un point MM est repéré par ses coordonnées (x,y)(x, y). Mais on peut également repérer tout point MM distinct de l'origine par sa distance à l'origine r=OMr = OM et la direction donnée par l'angle orienté θ=(i⃗,OM⃗)\theta = (\vec{i}, \vec{OM}).

Si un point MM est situé à une distance r=4r = 4 de l'origine et forme un angle θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} avec l'axe (O,i⃗)(O, \vec{i}), quelle est son abscisse cartésienne xx ?

Remarque

En projetant sur l'axe horizontal, on obtient x=rcos⁡θ=4cos⁡(π6)=4×32=23x = r\cos\theta = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

Définition · 3

Coordonnées polaires d'un point

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

Tout point M≠O est repeˊreˊ de manieˋre unique par un couple (r,θ) appeleˊ coordonneˊes polaires de M.\text{Tout point } M \neq O \text{ est repéré de manière unique par un couple } (r, \theta) \text{ appelé coordonnées polaires de } M.

r=OM>0etθ≡(i⃗,OM⃗)(mod2π),θ∈]−π;π]r = OM > 0 \quad \text{et} \quad \theta \equiv (\vec{i}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}, \quad \theta \in ]-\pi ; \pi]

Formules de passage entre coordonnées cartésiennes (x,y)(x, y) et coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) :

x=rcos⁡θety=rsin⁡θx = r\cos\theta \quad \text{et} \quad y = r\sin\theta

r=x2+y2,cos⁡θ=xr,sin⁡θ=yrr = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \sin\theta = \frac{y}{r}

Exemple travaillé · 4

Déterminer les coordonnées polaires depuis les coordonnées cartésiennes

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). Déterminer les coordonnées polaires du point AA de coordonnées cartésiennes (1,−3)(1, -\sqrt{3}).

1

On calcule d'abord le rayon polaire r=OAr = OA :

r=12+(−3)2=1+3=4=2r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
2

On détermine la mesure principale θ∈]−π;π]\theta \in ]-\pi ; \pi] à l'aide du cosinus et du sinus :

cos⁡θ=xAr=12etsin⁡θ=yAr=−32\cos\theta = \frac{x_A}{r} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{y_A}{r} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
3

L'angle de référence ayant pour cosinus 12\frac{1}{2} et pour sinus 32\frac{\sqrt{3}}{2} est π3\frac{\pi}{3}. Comme le sinus est négatif et le cosinus positif, θ\theta appartient au 4ème quadrant :

θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3}
4

On conclut sur le couple de coordonnées polaires de AA :

A(2,−π3)A\left(2, -\frac{\pi}{3}\right)

Exemple travaillé · 5

Déterminer les coordonnées cartésiennes depuis les coordonnées polaires

Soient les points B(4,5π6)B\left(4, \frac{5\pi}{6}\right) et C(2,−π2)C\left(2, -\frac{\pi}{2}\right) définis par leurs coordonnées polaires. Déterminer les coordonnées cartésiennes de BB et de CC.

1

Pour le point B(4,5π6)B\left(4, \frac{5\pi}{6}\right), on applique les formules de projection x=rcos⁡θx = r\cos\theta et y=rsin⁡θy = r\sin\theta :

xB=4cos⁡(5π6)=4(−32)=−23x_B = 4\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3}
2

On calcule l'ordonnée de BB :

yB=4sin⁡(5π6)=4(12)=2  ⟹  B(−23,2)y_B = 4\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \implies B(-2\sqrt{3}, 2)
3

Pour le point C(2,−π2)C\left(2, -\frac{\pi}{2}\right), on applique les mêmes formules avec l'angle −π2-\frac{\pi}{2} :

xC=2cos⁡(−π2)=2×0=0etyC=2sin⁡(−π2)=2×(−1)=−2  ⟹  C(0,−2)x_C = 2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad y_C = 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times (-1) = -2 \implies C(0, -2)

Piège classique · 6

Déterminer l'angle polaire sans vérifier le sinus

Un point MM a pour coordonnées cartésiennes (−23,2)(-2\sqrt{3}, 2). On calcule r=(−23)2+22=4r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = 4, puis cos⁡θ=−234=−32\cos\theta = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Peut-on en déduire directement que θ=−5π6\theta = -\frac{5\pi}{6} ?

Attention

Déduire l'angle θ\theta uniquement à partir de la valeur du cosinus sans contrôler le signe du sinus (ordonnée).

À la place : Comme yM=2>0y_M = 2 > 0, on a sin⁡θ=24=12>0\sin\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0. Le point MM est dans le 2ème quadrant, donc θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}. La valeur −5π6-\frac{5\pi}{6} correspond au 3ème quadrant où l'ordonnée est négative.

Vérification · 7

Vérification : conversion cartésienne vers polaire

Détermine les coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) du point P(−2,−2)P(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) avec r>0r > 0 et θ∈]−π;π]\theta \in ]-\pi ; \pi].

Remarque

On a r=(−2)2+(−2)2=2+2=2r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2. Avec cos⁡θ=−22\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}, le point est dans le 3ème quadrant, donc θ=−3π4\theta = -\frac{3\pi}{4}.

Point de départ · 8

Quelle ligne décrit une équation polaire simple ?

Si on impose à un point M(r,θ)M(r, \theta) d'avoir un rayon fixe r=3r = 3 pendant que son angle θ\theta parcourt librement l'intervalle ]−π ; π]]-\pi \,;\, \pi], quelle figure géométrique forme l'ensemble de ces points ?

Remarque

Puisque la distance à l'origine OM=r=3OM = r = 3 est constante et que l'angle décrit un tour complet, le point MM décrit exactement le cercle de centre OO et de rayon 33.

Définition · 9

Ensembles de points en coordonnées polaires

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

L’ensemble des points M(r,θ) veˊrifiant r=R (avec R>0) et θ∈]−π ; π] est le cercle C(O,R).\text{L'ensemble des points } M(r, \theta) \text{ vérifiant } r = R \text{ (avec } R > 0 \text{) et } \theta \in ]-\pi \,;\, \pi] \text{ est le cercle } \mathcal{C}_{(O, R)}.

L’ensemble des points M(r,θ) veˊrifiant θ≡θ0(mod2π) et r>0 est la demi-droite ouverte [O,u⃗)∖{O}.\text{L'ensemble des points } M(r, \theta) \text{ vérifiant } \theta \equiv \theta_0 \pmod{2\pi} \text{ et } r > 0 \text{ est la demi-droite ouverte } [O, \vec{u}) \setminus \{O\}.

(i⃗,u⃗)≡θ0(mod2π)(\vec{i}, \vec{u}) \equiv \theta_0 \pmod{2\pi}

Exemple travaillé · 10

Identifier un arc de cercle et un segment en coordonnées polaires

Déterminer la nature géométrique de chacun des ensembles de points M(r,θ)M(r, \theta) suivants :
1) E1E_1 : r=2r = 2 et θ∈[−π2 ; 0]\theta \in \left[-\frac{\pi}{2} \,;\, 0\right]
2) E2E_2 : θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} et r∈[1 ; 3]r \in [1 \,;\, 3]

1

Pour E1E_1 : Le rayon est constant (r=2r = 2), ce qui place les points sur le cercle de centre OO et de rayon 22. L'angle varie de −π2-\frac{\pi}{2} à 00, donc E1E_1 est le quart de cercle de rayon 22 situé dans le 4ème quadrant, reliant (0,−2)(0, -2) à (2,0)(2, 0).

2

Pour E2E_2 : L'angle polaire est fixé à −π4-\frac{\pi}{4}, ce qui correspond à la demi-droite d'angle −π4-\frac{\pi}{4}. Comme le rayon rr est borné entre 11 et 33, E2E_2 est le segment de droite porté par cette demi-droite, d'extrémités situées aux distances 11 et 33 de l'origine OO.

Exemple travaillé · 11

Caractériser un secteur angulaire ouvert

Déterminer la nature géométrique de l'ensemble E3E_3 des points M(r,θ)M(r, \theta) du plan vérifiant r>0r > 0 et θ∈]−π2 ; π4[\theta \in \left]-\frac{\pi}{2} \,;\, \frac{\pi}{4}\right[.

1

L'angle polaire θ\theta varie strictement entre −π2-\frac{\pi}{2} et π4\frac{\pi}{4}, ce qui délimite la région angulaire située entre ces deux directions.

2

Le rayon rr est strictement positif et n'a pas de borne supérieure : les points remplissent toute la portion de plan comprise entre la demi-droite d'angle −π2-\frac{\pi}{2} et celle d'angle π4\frac{\pi}{4}.

3

L'ensemble E3E_3 est le secteur angulaire ouvert délimité par ces deux demi-droites, privé de l'origine OO car r>0r > 0.

Piège classique · 12

Confondre demi-droite polaire et droite cartésienne

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), quelle est la nature géométrique exacte de l'ensemble des points M(r,θ)M(r, \theta) vérifiant θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} avec r>0r > 0 ?

Attention

Penser qu'un angle fixé θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} décrit la droite complète passant par OO.

À la place : La définition des coordonnées polaires impose r=OM>0r = OM > 0. Les points appartiennent uniquement à la demi-droite ouverte issue de OO (privée de OO). Les points situés de l'autre côté de l'origine auraient pour angle polaire 2π3−π=−π3\frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}.

Vérification · 13

Vérification : ensemble de points à rayon fixe

Quelle est la nature géométrique de l'ensemble des points MM dont les coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) vérifient r=6r = 6 et θ∈]−π ; π]\theta \in ]-\pi \,;\, \pi] ?

Remarque

Le rayon est constant (OM=6OM = 6) et l'angle θ\theta parcourt l'ensemble des directions possibles sans restriction : l'ensemble est le cercle complet de centre OO et de rayon 66.

Point de départ · 14

Orienter un angle entre deux vecteurs

Pour deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, le produit scalaire donne u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\vec{u}, \vec{v}). Mais comme cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha, le cosinus seul ne permet pas de savoir si l'angle est orienté dans le sens direct (+α+\alpha) ou indirect (−α-\alpha).

Quel outil algébrique permet de connaître le signe de l'angle orienté (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) ?

Remarque

C'est le déterminant det⁡(u⃗,v⃗)\det(\vec{u}, \vec{v}) qui donne le sinus de l'angle et fixe son orientation.

Définition · 15

Cosinus et sinus d'un angle orienté de deux vecteurs

Soient u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} deux vecteurs non nuls dans une base orthonormée directe (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}).

cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=xx′+yy′x2+y2x′2+y′2\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

sin⁡(u⃗,v⃗)=det⁡(u⃗,v⃗)∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=xy′−yx′x2+y2x′2+y′2\sin(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\det(\vec{u}, \vec{v})}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{xy' - yx'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

Pour deux points A(rA,θA)A(r_A, \theta_A) et B(rB,θB)B(r_B, \theta_B) donnés par leurs coordonnées polaires :

(OA⃗,OB⃗)≡θB−θA(mod2π)(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \theta_B - \theta_A \pmod{2\pi}

Exemple travaillé · 16

Déterminer la mesure principale de l'angle entre deux vecteurs

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), déterminer la mesure principale de l'angle orienté (i⃗,u⃗)(\vec{i}, \vec{u}) avec u⃗(31)\vec{u}\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}.

1

On a i⃗(10)\vec{i}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. On calcule les normes :

∥i⃗∥=1et∥u⃗∥=(3)2+12=4=2\|\vec{i}\| = 1 \quad \text{et} \quad \|\vec{u}\| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2
2

On calcule le cosinus via le produit scalaire :

cos⁡(i⃗,u⃗)=i⃗⋅u⃗∥i⃗∥⋅∥u⃗∥=1×3+0×11×2=32\cos(\vec{i}, \vec{u}) = \frac{\vec{i} \cdot \vec{u}}{\|\vec{i}\| \cdot \|\vec{u}\|} = \frac{1 \times \sqrt{3} + 0 \times 1}{1 \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
3

On calcule le sinus via le déterminant :

sin⁡(i⃗,u⃗)=det⁡(i⃗,u⃗)∥i⃗∥⋅∥u⃗∥=1×1−0×31×2=12\sin(\vec{i}, \vec{u}) = \frac{\det(\vec{i}, \vec{u})}{\|\vec{i}\| \cdot \|\vec{u}\|} = \frac{1 \times 1 - 0 \times \sqrt{3}}{1 \times 2} = \frac{1}{2}
4

L'unique angle de ]−π ; π]]-\pi \,;\, \pi] vérifiant cos⁡θ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2} est :

(i⃗,u⃗)≡π6(mod2π)(\vec{i}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}

Exemple travaillé · 17

Coordonnées d'un vecteur repéré par rapport à l'axe des ordonnées

Soit (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé direct. Déterminer les coordonnées du vecteur u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} sachant que ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4 et (j⃗,u⃗)≡π3(mod2π)(\vec{j}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}.

1

On a j⃗(01)\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} et ∥j⃗∥=1\|\vec{j}\| = 1. On exprime le produit scalaire j⃗⋅u⃗\vec{j} \cdot \vec{u} :

cos⁡(j⃗,u⃗)=0⋅x+1⋅y1×4=y4\cos(\vec{j}, \vec{u}) = \frac{0 \cdot x + 1 \cdot y}{1 \times 4} = \frac{y}{4}
2

Comme (j⃗,u⃗)≡π3(mod2π)(\vec{j}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}, on a cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, d'où :

y4=12  ⟹  y=2\frac{y}{4} = \frac{1}{2} \implies y = 2
3

On exprime le déterminant det⁡(j⃗,u⃗)\det(\vec{j}, \vec{u}) :

sin⁡(j⃗,u⃗)=0⋅y−1⋅x1×4=−x4\sin(\vec{j}, \vec{u}) = \frac{0 \cdot y - 1 \cdot x}{1 \times 4} = \frac{-x}{4}
4

Comme sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, on a :

−x4=32  ⟹  x=−23\frac{-x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -2\sqrt{3}
5

Les coordonnées du vecteur u⃗\vec{u} sont donc :

u⃗(−232)\vec{u}\begin{pmatrix} -2\sqrt{3} \\ 2 \end{pmatrix}

Piège classique · 18

Angle repéré avec le vecteur vertical

On donne ∥u⃗∥=6\|\vec{u}\| = 6 et (j⃗,u⃗)≡π6(mod2π)(\vec{j}, \vec{u}) \equiv \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}. Quelles sont les coordonnées de u⃗\vec{u} dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) ?

Attention

Écrire par automatisme x=6cos⁡(π6)=33x = 6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} et y=6sin⁡(π6)=3y = 6\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3.

À la place : L'angle est donné par rapport à j⃗(0,1)\vec{j}(0, 1), pas par rapport à i⃗\vec{i}. On a y=6cos⁡(π6)=33y = 6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} et det⁡(j⃗,u⃗)=−x=6sin⁡(π6)=3\det(\vec{j}, \vec{u}) = -x = 6\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3, donc x=−3x = -3.

Vérification · 19

Vérification : angle orienté entre deux points en polaires

Soient A(2,π4)A\left(2, \frac{\pi}{4}\right) et B(5,−3π2)B\left(5, -\frac{3\pi}{2}\right) deux points donnés en coordonnées polaires. Quelle est la mesure principale de l'angle orienté (OA⃗,OB⃗)(\vec{OA}, \vec{OB}) ?

Remarque

Par la relation de Chasles : (OA⃗,OB⃗)≡θB−θA≡−3π2−π4=−7π4≡π4(mod2π)(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \theta_B - \theta_A \equiv -\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}.

Point de départ · 20

Calculer des valeurs trigonométriques non remarquables

Peut-on calculer la valeur exacte de cos⁡(π12)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) en écrivant π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} et en effectuant directement la soustraction cos⁡(π3)−cos⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) ?

Remarque

Non, la fonction cosinus n'est pas linéaire : cos⁡(a−b)≠cos⁡a−cos⁡b\cos(a-b) \neq \cos a - \cos b. Pour évaluer cos⁡(a−b)\cos(a-b), il faut utiliser des formules d'addition qui combinent les cosinus et les sinus.

Définition · 21

Formules d'addition et de duplication

Pour tous réels aa et bb :

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡betcos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \quad \text{et} \quad \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡betsin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \quad \text{et} \quad \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Formules de duplication (cas où a=ba = b) :

cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = 2\sin a \cos a

tan⁡(2a)=2tan⁡a1−tan⁡2a(pour a,2a≠π2+kπ, k∈Z)\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \quad \left(\text{pour } a, 2a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\right)

Exemple travaillé · 22

Calcul de valeurs exactes par formules d'addition

En utilisant l'égalité π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}, déterminer les valeurs exactes de cos⁡(π12)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) et de sin⁡(π12)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right).

1

On applique la formule d'addition du cosinus :

cos⁡(π12)=cos⁡(π3−π4)=cos⁡(π3)cos⁡(π4)+sin⁡(π3)sin⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
2

On remplace par les valeurs remarquables :

cos⁡(π12)=12×22+32×22=2+64\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
3

On applique la formule d'addition du sinus :

sin⁡(π12)=sin⁡(π3−π4)=sin⁡(π3)cos⁡(π4)−cos⁡(π3)sin⁡(π4)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
4

On remplace par les valeurs remarquables :

sin⁡(π12)=32×22−12×22=6−24\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Exemple travaillé · 23

Calcul de la tangente par duplication et équation du second degré

1) Montrer que t=tan⁡(π12)t = \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) est solution de l'équation t2+23t−1=0t^2 + 2\sqrt{3}t - 1 = 0.
2) En déduire la valeur exacte de tan⁡(π12)\tan\left(\frac{\pi}{12}\right).

1

On pose a=π12a = \frac{\pi}{12}, d'où 2a=π62a = \frac{\pi}{6}. La formule de duplication de la tangente donne :

tan⁡(π6)=2tan⁡(π12)1−tan⁡2(π12)\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{\pi}{12}\right)}
2

Comme tan⁡(π6)=13\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}, on remplace et on effectue le produit en croix :

13=2t1−t2  ⟺  1−t2=23t  ⟺  t2+23t−1=0\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2t}{1 - t^2} \iff 1 - t^2 = 2\sqrt{3}t \iff t^2 + 2\sqrt{3}t - 1 = 0
3

On résout l'équation du second degré t2+23t−1=0t^2 + 2\sqrt{3}t - 1 = 0 via son discriminant :

Δ=(23)2−4(1)(−1)=12+4=16=42\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-1) = 12 + 4 = 16 = 4^2
4

On obtient deux racines réelles :

t1=−23−42=−2−3ett2=−23+42=2−3t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 4}{2} = -2 - \sqrt{3} \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 4}{2} = 2 - \sqrt{3}
5

L'angle π12\frac{\pi}{12} appartient au premier quadrant ]0 ; π2[\left]0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right[, donc sa tangente est strictement positive. On rejette t1<0t_1 < 0 :

tan⁡(π12)=2−3\tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}

Piège classique · 24

Conserver deux racines algébriques pour une ligne trigonométrique

L'équation tan⁡(2a)=13\tan(2a) = \frac{1}{\sqrt{3}} conduit pour t=tan⁡at = \tan a aux deux solutions t1=−2−3t_1 = -2-\sqrt{3} et t2=2−3t_2 = 2-\sqrt{3}. Si a=π12a = \frac{\pi}{12}, pourquoi la valeur t1t_1 est-elle obligatoirement rejetée ?

Attention

Conserver les deux racines du trinôme sans vérifier le signe géométrique imposé par l'angle.

À la place : Puisque π12∈]0 ; π2[\frac{\pi}{12} \in \left]0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right[, sa tangente est strictement positive. La racine négative −2−3-2-\sqrt{3} ne correspond pas à cet angle (elle correspond à 7π12\frac{7\pi}{12}).

Vérification · 25

Vérification : calcul d'un cosinus doublé

Soit aa un réel tel que cos⁡a=2+32\cos a = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}. Quelle est la valeur exacte de cos⁡(2a)\cos(2a) ?

Remarque

On applique la formule de duplication cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 :
cos⁡(2a)=2(2+34)−1=2+32−1=32\cos(2a) = 2\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) - 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}

Point de départ · 26

Réduire une combinaison de cosinus et sinus

On rencontre souvent des expressions mélangeant cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x, comme 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt{3}\cos x - \sin x. Il est difficile d'étudier le signe ou de résoudre une équation directement sous cette forme.

Si on factorise 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt{3}\cos x - \sin x par (3)2+(−1)2=2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2, quelle expression obtient-on entre parenthèses ?

Remarque

On obtient 2(32cos⁡x−12sin⁡x)2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right). Les coefficients 32\frac{\sqrt{3}}{2} et 12\frac{1}{2} correspondent respectivement au cosinus et au sinus de π6\frac{\pi}{6}, ce qui permet d'utiliser une formule d'addition.

Définition · 27

Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x

Soient aa et bb deux réels non tous deux nuls. Toute expression de la forme acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x peut s'écrire sous la forme d'un unique cosinus déphasé :

acos⁡x+bsin⁡x=rcos⁡(x−φ)a\cos x + b\sin x = r\cos(x - \varphi)

r=a2+b2,cos⁡φ=ar,sin⁡φ=brr = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos\varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{r}

Remarque

L'amplitude rr est strictement positive et φ\varphi est un angle auxiliaire déterminé de manière unique modulo 2π2\pi.

Exemple travaillé · 28

Transformation et encadrement optimal

Soit f(x)=cos⁡x+sin⁡xf(x) = \cos x + \sin x pour tout réel xx.
1) Écrire f(x)f(x) sous la forme rcos⁡(x−φ)r\cos(x - \varphi).
2) En déduire un encadrement optimal de f(x)f(x) sur R\mathbb{R}.

1

On calcule l'amplitude r=12+12=2r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

2

On factorise par 2\sqrt{2} :

f(x)=2(12cos⁡x+12sin⁡x)=2(22cos⁡x+22sin⁡x)f(x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)
3

On identifie l'angle auxiliaire φ\varphi tel que cos⁡φ=22\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡φ=22\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}, d'où φ=π4\varphi = \frac{\pi}{4}.

4

On applique la formule d'addition cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos(a-b) :

f(x)=2cos⁡(x−π4)f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
5

Pour tout réel xx, on a −1≤cos⁡(x−π4)≤1-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1. En multipliant par 2>0\sqrt{2} > 0 :

−2≤f(x)≤2-\sqrt{2} \le f(x) \le \sqrt{2}

Exemple travaillé · 29

Résolution d'une équation acos⁡x+bsin⁡x=ca\cos x + b\sin x = c

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (E):3cos⁡x−sin⁡x=2(\mathcal{E}) : \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2}.

1

On calcule l'amplitude r=(3)2+(−1)2=3+1=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2.

2

On divise les deux membres par 22 :

32cos⁡x−12sin⁡x=22\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
3

On reconnaît cos⁡(π6)=32\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, d'où :

cos⁡xcos⁡(π6)−sin⁡xsin⁡(π6)=22  ⟺  cos⁡(x+π6)=cos⁡(π4)\cos x \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin x \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
4

L'égalité de deux cosinus donne deux familles de solutions :

x+π6=π4+2kπoux+π6=−π4+2kπ(k∈Z)x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

On isole xx en mettant les fractions au dénominateur commun 1212 :

x=π12+2kπoux=−5π12+2kπ(k∈Z)x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Piège classique · 30

Élever au carré pour résoudre acos⁡x+bsin⁡x=ca\cos x + b\sin x = c

Pour résoudre cos⁡x−sin⁡x=22\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} sur [0 ; π2]\left[0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right], un élève élève les deux membres au carré : (cos⁡x−sin⁡x)2=12  ⟺  1−sin⁡(2x)=12  ⟺  sin⁡(2x)=12(\cos x - \sin x)^2 = \frac{1}{2} \iff 1 - \sin(2x) = \frac{1}{2} \iff \sin(2x) = \frac{1}{2}. Il trouve x=π12x = \frac{\pi}{12} et x=5π12x = \frac{5\pi}{12}. Pourquoi cette méthode est-elle risquée ?

Attention

Conserver toutes les solutions obtenues après une élévation au carré sans vérifier l'équation initiale.

À la place : L'élévation au carré n'est pas une équivalence : elle ajoute des solutions parasites vérifiant cos⁡x−sin⁡x=−22\cos x - \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}. Pour x=5π12>π4x = \frac{5\pi}{12} > \frac{\pi}{4}, on a sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x, donc la différence est négative. Seule x=π12x = \frac{\pi}{12} est solution.

Vérification · 31

Vérification : écriture sous forme d'amplitude et phase

Quelle est l'écriture de 3cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\sqrt{3}\cos(2x) + \sin(2x) sous la forme rcos⁡(2x−φ)r\cos(2x - \varphi) ?

Remarque

L'amplitude est r=(3)2+12=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2. On a cos⁡φ=32\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡φ=12\sin\varphi = \frac{1}{2}, donc φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}. L'expression s'écrit 2cos⁡(2x−π6)2\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right).

Point de départ · 32

Changement de variable trigonométrique

Lorsqu'une équation comporte à la fois des termes en cos⁡2x\cos^2 x et cos⁡x\cos x, on peut poser l'inconnue auxiliaire t=cos⁡xt = \cos x pour se ramener à une équation polynomiale du second degré.

Si la résolution algébrique en tt donne une racine t=2t = 2, combien de solutions réelles xx correspondent à cette racine ?

Remarque

Aucune, car pour tout réel xx, la fonction cosinus est bornée : −1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1. L'équation cos⁡x=2\cos x = 2 n'a donc aucune solution réelle.

Définition · 33

Équations trigonométriques du second degré

Pour résoudre une équation de la forme acos⁡2x+bcos⁡x+c=0a\cos^2 x + b\cos x + c = 0 ou asin⁡2x+bsin⁡x+c=0a\sin^2 x + b\sin x + c = 0 :

On pose t=cos⁡x (ou t=sin⁡x) et on reˊsout l’eˊquation du second degreˊ at2+bt+c=0.\text{On pose } t = \cos x \text{ (ou } t = \sin x \text{) et on résout l'équation du second degré } at^2 + bt + c = 0.

Toute racine t∉[−1   1] est rejeteˊe car −1≤cos⁡x≤1 et −1≤sin⁡x≤1.\text{Toute racine } t \notin [-1 \;\, 1] \text{ est rejetée car } -1 \le \cos x \le 1 \text{ et } -1 \le \sin x \le 1.

Pour chaque racine valide t0∈[−1   1], on reˊsout l’eˊquation eˊleˊmentaire cos⁡x=t0 (ou sin⁡x=t0).\text{Pour chaque racine valide } t_0 \in [-1 \;\, 1], \text{ on résout l'équation élémentaire } \cos x = t_0 \text{ (ou } \sin x = t_0).

Exemple travaillé · 34

Résolution complète d'une équation du second degré en sinus

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2sin⁡2x+3sin⁡x+1=02\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0.

1

On pose t=sin⁡xt = \sin x. L'équation devient une équation du second degré :

2t2+3t+1=02t^2 + 3t + 1 = 0
2

Comme a−b+c=2−3+1=0a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0, les racines du trinôme sont :

t1=−1ett2=−ca=−12t_1 = -1 \quad \text{et} \quad t_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}
3

Les deux valeurs appartiennent à l'intervalle [−1   1][-1 \;\, 1], elles sont toutes les deux acceptées.

4

Pour t1=−1t_1 = -1 :

sin⁡x=−1  ⟺  x=−π2+2kπ(k∈Z)\sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

Pour t2=−12t_2 = -\frac{1}{2} :

sin⁡x=sin⁡(−π6)  ⟺  x=−π6+2kπoux=π−(−π6)+2kπ=7π6+2kπ(k∈Z)\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \iff x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
6

L'ensemble des solutions dans R\mathbb{R} est :

SR={−π2+2kπ   −π6+2kπ   7π6+2kπ∣k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \;\, -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \;\, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Exemple travaillé · 35

Équation nécessitant une duplication préalable

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation cos⁡(2x)+3cos⁡x−2=0\cos(2x) + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0.

1

On exprime cos⁡(2x)\cos(2x) en fonction de cos⁡x\cos x à l'aide de la formule de duplication cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 :

2cos⁡2x−1+3cos⁡x−2=0  ⟺  2cos⁡2x+3cos⁡x−3=02\cos^2 x - 1 + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0 \iff 2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x - 3 = 0
2

En posant t=cos⁡xt = \cos x, on obtient 2t2+3t−3=02t^2 + \sqrt{3}t - 3 = 0. On calcule le discriminant :

Δ=(3)2−4(2)(−3)=3+24=27=(33)2\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4(2)(-3) = 3 + 24 = 27 = (3\sqrt{3})^2
3

Les racines du trinôme sont :

t1=−3+334=32ett2=−3−334=−3t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}
4

Comme −3≈−1,732∉[−1   1]-\sqrt{3} \approx -1{,}732 \notin [-1 \;\, 1], l'équation cos⁡x=−3\cos x = -\sqrt{3} est impossible dans R\mathbb{R}.

5

On résout l'unique branche admissible pour t1=32t_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} :

cos⁡x=32=cos⁡(π6)  ⟺  x=π6+2kπoux=−π6+2kπ(k∈Z)\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \iff x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
6

L'ensemble des solutions dans R\mathbb{R} est :

SR={π6+2kπ   −π6+2kπ∣k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{\pi}{6} + 2k\pi \;\, -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Piège classique · 36

Conserver une racine hors de l'intervalle [−1   1][-1 \;\, 1]

On résout sin⁡2x−3sin⁡x−4=0\sin^2 x - 3\sin x - 4 = 0. Le changement de variable t=sin⁡xt = \sin x donne l'équation t2−3t−4=0t^2 - 3t - 4 = 0, dont les racines sont t1=−1t_1 = -1 et t2=4t_2 = 4. Quelles sont les solutions réelles de l'équation initiale ?

Attention

Conserver la racine t=4t = 4 et tenter d'en déduire des solutions réelles pour sin⁡x=4\sin x = 4.

À la place : Pour tout réel xx, on a −1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1. L'équation sin⁡x=4\sin x = 4 n'a aucune solution réelle. Seule la racine t1=−1t_1 = -1 fournit des solutions : x=−π2+2kπx = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Vérification · 37

Vérification : nombre de solutions sur le cercle

Combien de points distincts sur le cercle trigonométrique correspondent aux solutions de l'équation 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 ?

Remarque

En posant t=cos⁡xt = \cos x, l'équation 2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0 admet pour racines t1=1t_1 = 1 et t2=−12t_2 = -\frac{1}{2}, toutes deux dans [−1   1][-1 \;\, 1]. Sur le cercle, cos⁡x=1\cos x = 1 donne 11 point (l'angle 00), et cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2} donne 22 points symétriques (les angles 2π3\frac{2\pi}{3} et −2π3-\frac{2\pi}{3}). L'équation correspond donc à 33 points au total.

Point de départ · 38

L'arc de cercle qui franchit l'angle zéro

Sur le cercle trigonométrique, l'ensemble des points d'abscisse supérieure ou égale à 12\frac{1}{2} forme un arc continu d'angles compris géométriquement entre −π3-\frac{\pi}{3} et π3\frac{\pi}{3}.

Si l'on cherche les solutions de cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2} sur l'intervalle [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[, comment s'écrit l'ensemble des solutions ?

Remarque

L'intervalle d'étude [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[ commence à 00 et se termine à 2π2\pi. L'arc solution est coupé par la borne 00 en deux morceaux disjoints : [0 ; π3]\left[0 \,;\, \frac{\pi}{3}\right] pour le premier quadrant, et [5π3 ; 2π[\left[\frac{5\pi}{3} \,;\, 2\pi\right[ pour le quatrième quadrant.

Définition · 39

Résolution des inéquations trigonométriques fondamentales

Pour résoudre une inéquation du type cos⁡x≥a\cos x \ge a ou sin⁡x≥a\sin x \ge a (avec a∈[−1 ; 1]a \in [-1 \,;\, 1]) sur un intervalle II :

On repeˋre sur le cercle trigonomeˊtrique l’arc de points dont l’abscisse (pour cos⁡) ou l’ordonneˊe (pour sin⁡) veˊrifie l’ineˊgaliteˊ.\text{On repère sur le cercle trigonométrique l'arc de points dont l'abscisse (pour } \cos\text{) ou l'ordonnée (pour } \sin\text{) vérifie l'inégalité.}

L’ensemble des solutions est la reˊunion des intervalles d’angles correspondant aˋ cet arc et inclus dans I.\text{L'ensemble des solutions est la réunion des intervalles d'angles correspondant à cet arc et inclus dans } I.

Pour un argument composeˊ 2x avec x∈[0 ; 2π], on reˊsout d’abord pour t=2x∈[0 ; 4π] (deux tours complets).\text{Pour un argument composé } 2x \text{ avec } x \in [0 \,;\, 2\pi], \text{ on résout d'abord pour } t = 2x \in [0 \,;\, 4\pi] \text{ (deux tours complets).}

Exemple travaillé · 40

Résolution d'une inéquation simple sur [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[

Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[ l'inéquation sin⁡x≥22\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}.

1

Sur le cercle trigonométrique, l'équation sin⁡x=22\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} admet deux solutions dans [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[ :

x1=π4etx2=π−π4=3π4x_1 = \frac{\pi}{4} \quad \text{et} \quad x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}
2

L'inéquation sin⁡x≥22\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} correspond aux points du cercle situés au-dessus de la droite horizontale d'ordonnée y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}.

3

En parcourant l'intervalle [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[ dans le sens direct à partir de 00, cet arc est décrit en continu entre π4\frac{\pi}{4} et 3π4\frac{3\pi}{4}.

4

L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[[0 \,;\, 2\pi[ est :

S=[π4 ; 3π4]S = \left[\frac{\pi}{4} \,;\, \frac{3\pi}{4}\right]

Exemple travaillé · 41

Résolution d'une inéquation à argument double

Résoudre dans [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi] l'inéquation 2sin⁡(2x)−1>02\sin(2x) - 1 > 0.

1

On isole le sinus :

2sin⁡(2x)−1>0  ⟺  sin⁡(2x)>122\sin(2x) - 1 > 0 \iff \sin(2x) > \frac{1}{2}
2

On pose le changement de variable t=2xt = 2x. Comme x∈[0 ; 2π]x \in [0 \,;\, 2\pi], la variable tt décrit l'intervalle dilaté sur deux tours complets :

t∈[0 ; 4π]t \in [0 \,;\, 4\pi]
3

On résout sin⁡t>12\sin t > \frac{1}{2} sur chacun des deux tours :
- Sur le 1er tour [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi] : t∈]π6 ; 5π6[t \in \left]\frac{\pi}{6} \,;\, \frac{5\pi}{6}\right[
- Sur le 2ème tour [2π ; 4π][2\pi \,;\, 4\pi] : t∈]2π+π6 ; 2π+5π6[=]13π6 ; 17π6[t \in \left]2\pi + \frac{\pi}{6} \,;\, 2\pi + \frac{5\pi}{6}\right[ = \left]\frac{13\pi}{6} \,;\, \frac{17\pi}{6}\right[

4

On revient à la variable x=t2x = \frac{t}{2} en divisant toutes les bornes par 22 :

x∈]π12 ; 5π12[∪]13π12 ; 17π12[x \in \left]\frac{\pi}{12} \,;\, \frac{5\pi}{12}\right[ \cup \left]\frac{13\pi}{12} \,;\, \frac{17\pi}{12}\right[
5

L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi] est :

S=]π12 ; 5π12[∪]13π12 ; 17π12[S = \left]\frac{\pi}{12} \,;\, \frac{5\pi}{12}\right[ \cup \left]\frac{13\pi}{12} \,;\, \frac{17\pi}{12}\right[

Piège classique · 42

Oublier le deuxième tour pour un argument double

Pour résoudre sin⁡(2x)>12\sin(2x) > \frac{1}{2} sur [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi], un élève écrit : π6<2x<5π6  ⟹  π12<x<5π12\frac{\pi}{6} < 2x < \frac{5\pi}{6} \implies \frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{12}, et donne pour unique solution S=]π12 ; 5π12[S = \left]\frac{\pi}{12} \,;\, \frac{5\pi}{12}\right[. Quelle erreur a-t-il commise ?

Attention

Résoudre pour 2x2x sur un seul tour [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi], en oubliant que 2x2x parcourt [0 ; 4π][0 \,;\, 4\pi] quand x∈[0 ; 2π]x \in [0 \,;\, 2\pi].

À la place : Il faut chercher toutes les solutions sur [0 ; 4π][0 \,;\, 4\pi]. Le deuxième tour fournit le second intervalle de solutions ]13π12 ; 17π12[\left]\frac{13\pi}{12} \,;\, \frac{17\pi}{12}\right[, qui est bien contenu dans [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi].

Vérification · 43

Vérification : inéquation avec argument double sur [0 ; π][0 \,;\, \pi]

Résoudre dans [0 ; π][0 \,;\, \pi] l'inéquation 2cos⁡(2x)−3≥02\cos(2x) - \sqrt{3} \ge 0.

Remarque

On a cos⁡(2x)≥32\cos(2x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}. En posant t=2xt = 2x, comme x∈[0 ; π]x \in [0 \,;\, \pi], on a t∈[0 ; 2π]t \in [0 \,;\, 2\pi]. Sur [0 ; 2π][0 \,;\, 2\pi], cos⁡t≥32  ⟺  t∈[0 ; π6]∪[11π6 ; 2π]\cos t \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \iff t \in \left[0 \,;\, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{11\pi}{6} \,;\, 2\pi\right]. En divisant chaque borne par 22, on obtient x∈[0 ; π12]∪[11π12 ; π]x \in \left[0 \,;\, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{11\pi}{12} \,;\, \pi\right].

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