Rappel · 1

Sur un cercle de rayon $R$ , si $\alpha$ désigne la mesure en radians de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ , complète la formule donnant la longueur $l$ de l'arc géométrique intercepté :

Remarque

Sur un cercle de rayon $R$ , la longueur de l'arc est $l = R \cdot \alpha$ . Sur un cercle trigonométrique ( $R = 1$ ), cette longueur est simplement égale à la mesure de l'angle en radians : $l = \alpha$ .

Point de départ · 2

Un mobile part de $A$ pour rejoindre $B$ sur un cercle trigonométrique. S'il parcourt l'arc dans le sens des aiguilles d'une montre sur une longueur géométrique $L$ , quelle est la mesure algébrique de son trajet ?

Remarque

Le sens des aiguilles d'une montre est le sens indirect (négatif). Tout trajet parcouru dans ce sens est affecté d'un signe moins, soit $-L$ , tandis qu'un trajet dans le sens direct (anti-horaire) est compté positivement $+L$ .

Définition · 3

Arc orienté et mesure algébrique

Sur un cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens direct, tout couple de points $(A, B)$ définit un arc orienté noté $\overset{\frown}{AB}$ .

$\text{mes } \overset{\frown}{AB} = L + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

On note cette relation sous la forme de congruence :

$\text{mes } \overset{\frown}{AB} \equiv L \; [2\pi]$

L'arc orienté $\overset{\frown}{AB}$ possède une unique mesure dans l'intervalle $[0\,\;\,2\pi[$ , qui est exactement la longueur $L$ de l'arc géométrique direct.

Exemple travaillé · 4

Déterminer la mesure appartenant à $[0\,\;\,2\pi[$ de l'arc orienté dont une mesure est $\alpha = \frac{185\pi}{7}$ .

1

On effectue la division euclidienne du numérateur $185$ par le double du dénominateur, soit $2 \times 7 = 14$ .

2

185 = 14 \times 13 + 3

3

On isole le nombre entier de tours complets ( $2\pi$ ) :

4

\frac{185\pi}{7} = \frac{(14 \times 13 + 3)\pi}{7} = 13 \times (2\pi) + \frac{3\pi}{7}

5

Comme $0 \le \frac{3\pi}{7} < 2\pi$ , la mesure dans $[0\,\;\,2\pi[$ est $\frac{3\pi}{7}$ .

Exemple travaillé · 5

Déterminer la mesure appartenant à $[0\,\;\,2\pi[$ de l'arc orienté dont une mesure est $\alpha = -\frac{171\pi}{2}$ .

1

Pour une mesure négative, on cherche le plus petit multiple pair de $\pi$ inférieur à $-\frac{171}{2}$ afin d'obtenir un reste positif.

2

-\frac{171}{2} = -85{,}5

3

L'entier pair immédiatement inférieur à $-85{,}5$ est $-86$ .

4

-\frac{171\pi}{2} = -86\pi + \frac{\pi}{2} = -43 \times (2\pi) + \frac{\pi}{2}

5

Le reste vérifie bien $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ . La mesure cherchée est donc $\frac{\pi}{2}$ .

Vérification · 6

Quelle est la mesure appartenant à $[0\,\;\,2\pi[$ de l'arc orienté de mesure $\alpha = \frac{57\pi}{4}$ ?

Remarque

En divisant $57$ par $8$ ( $2 \times 4$ ), on trouve $57 = 8 \times 7 + 1$ . Ainsi $\frac{57\pi}{4} = 7 \times (2\pi) + \frac{\pi}{4}$ . La mesure dans $[0\,\;\,2\pi[$ est $\frac{\pi}{4}$ .

Point de départ · 7

Soit un angle géométrique $\widehat{AOB} = \frac{\pi}{3}$ . Si l'on tourne de $\vec{OA}$ vers $\vec{OB}$ dans le sens direct, quelle est la mesure de l'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OA})$ ?

Remarque

À un même angle géométrique $\widehat{AOB}$ correspondent deux angles orientés de signes opposés selon le sens de rotation : $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ dans le sens direct, et $(\vec{OB}, \vec{OA}) \equiv -\frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ dans le sens indirect.

Définition · 8

Angle orienté et mesure principale

Le plan est orienté dans le sens direct. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. L'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ possède une infinité de mesures réelles.

$(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \alpha \; [2\pi] \iff (\vec{u}, \vec{v}) = \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Parmi toutes ces mesures, il en existe une unique appartenant à l'intervalle semi-ouvert $]-\pi\,\;\,\pi]$ .

$\alpha \in ]-\pi\,\;\,\pi]$

Remarque

Cette unique valeur est appelée la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Exemple travaillé · 9

Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ tel que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{17\pi}{3} \; [2\pi]$ .

1

On cherche le multiple pair de $\pi$ le plus proche de $\frac{17\pi}{3}$ .

2

\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi - \pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3}

3

Le terme $6\pi = 3 \times (2\pi)$ correspond à $3$ tours complets.

4

\frac{17\pi}{3} \equiv -\frac{\pi}{3} \; [2\pi]

5

Comme $-\frac{\pi}{3} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , la mesure principale est $-\frac{\pi}{3}$ .

Exemple travaillé · 10

Déterminer par encadrement la mesure principale $\alpha$ de l'angle orienté donné par $-\frac{32\pi}{11}$ .

1

On écrit $-\frac{32\pi}{11} = \alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ et $-\pi < \alpha \le \pi$ .

2

\alpha = -\frac{32\pi}{11} - 2k\pi

3

On applique l'encadrement de la mesure principale :

4

-\pi < -\frac{32\pi}{11} - 2k\pi \le \pi

5

On divise par $\pi$ puis on ajoute $\frac{32}{11}$ :

6

\frac{21}{11} < -2k \le \frac{43}{11}

7

On divise par $-2$ en inversant le sens des inégalités :

8

-\frac{43}{22} \le k < -\frac{21}{22}

9

Comme $-\frac{43}{22} \approx -1{,}95$ et $-\frac{21}{22} \approx -0{,}95$ , l'unique entier relatif est $k = -1$ .

10

\alpha = -\frac{32\pi}{11} - 2(-1)\pi = -\frac{32\pi}{11} + \frac{22\pi}{11} = -\frac{10\pi}{11}

11

La mesure principale est $-\frac{10\pi}{11}$ .

Piège classique · 11

Un élève effectue la division $37 = 4 \times 9 + 1$ , écrit $\frac{37\pi}{4} = 9\pi + \frac{\pi}{4}$ , et affirme que la mesure principale est $\frac{\pi}{4}$ . Son raisonnement est-il correct ?

Attention

Considérer $9\pi$ comme un nombre entier de tours complets et retenir $\frac{\pi}{4}$ .

À la place : Un tour complet est $2\pi$ , donc seuls les multiples pairs de $\pi$ s'annulent modulo $2\pi$ . On écrit $9\pi + \frac{\pi}{4} = 8\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = 8\pi + \frac{5\pi}{4}$ . Pour entrer dans $]-\pi\,\;\,\pi]$ , on retranche $2\pi$ : $\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$ .

Vérification · 12

Quelles sont les mesures principales respectives de l'angle plat et de l'angle orienté de mesure $-\frac{23\pi}{5}$ ?

Remarque

1) La mesure principale appartient à $]-\pi\,\;\,\pi]$ , donc $-\pi$ est exclu : la mesure principale de l'angle plat est toujours $+\pi$ .
2) $-\frac{23\pi}{5} = -4\pi - \frac{3\pi}{5} = -2(2\pi) - \frac{3\pi}{5}$ . Comme $-\frac{3\pi}{5} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , sa mesure principale est $-\frac{3\pi}{5}$ .

Définition · 13

Propriétés algébriques des angles orientés

Pour tous vecteurs non nuls $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ , les opérations sur les angles orientés vérifient les relations suivantes modulo $2\pi$ :

$(\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi]$

$(\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi]$

$(-\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi]$

$(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) \; [2\pi]$

Pour tous réels non nuls $a$ et $b$ , la multiplication par des scalaires dépend uniquement du signe de leur produit :

$(a\vec{u}, b\vec{v}) \equiv \begin{cases} (\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi] & \text{si } ab > 0 \\[2mm] (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi] & \text{si } ab < 0 \end{cases}$

Exemple travaillé · 14

Soient trois vecteurs non nuls $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} \; [2\pi]$ et $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv -\frac{2\pi}{5} \; [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{v}, \vec{w})$ .

1

On applique la relation de Chasles pour introduire le vecteur $\vec{u}$ :

2

(\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{v}, \vec{u}) + (\vec{u}, \vec{w}) \; [2\pi]

3

Par antisymétrie, on exprime $(\vec{v}, \vec{u})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$ :

4

(\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) \equiv -\frac{3\pi}{4} \; [2\pi]

5

On calcule la somme en réduisant au dénominateur commun $20$ :

6

(\vec{v}, \vec{w}) \equiv -\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{5} = \frac{-15\pi - 8\pi}{20} = -\frac{23\pi}{20} \; [2\pi]

7

Comme $-\frac{23\pi}{20} < -\pi$ , on ajoute $2\pi$ pour obtenir la mesure principale :

8

-\frac{23\pi}{20} + 2\pi = -\frac{23\pi}{20} + \frac{40\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}

9

La mesure principale de $(\vec{v}, \vec{w})$ est $\frac{17\pi}{20}$ .

Exemple travaillé · 15

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} \; [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ .

1

On évalue le signe du produit des coefficients scalaires : $a = 2 > 0$ et $b = -3 < 0$ , donc $ab = -6 < 0$ .

2

(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi]

3

On remplace par la mesure de $(\vec{u}, \vec{v})$ :

4

(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \; [2\pi]

5

Comme $\frac{7\pi}{4} > \pi$ , on retranche $2\pi$ pour entrer dans l'intervalle principal $]-\pi\,\;\,\pi]$ :

6

\frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi - 8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}

7

La mesure principale de $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ est $-\frac{\pi}{4}$ .

Piège classique · 16

Si $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi]$ , quelle est la mesure de $(-\vec{u}, \vec{v})$ modulo $2\pi$ ?

Attention

Écrire $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{\pi}{6} \; [2\pi]$ en sortant le signe « - » comme un simple facteur algébrique.

À la place : Prendre l'opposé d'un seul vecteur ajoute un demi-tour : $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \; [2\pi]$ . C'est l'inversion de l'ordre des vecteurs $(\vec{v}, \vec{u})$ qui introduit un signe moins, pas le vecteur opposé.

Vérification · 17

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ . Quelle est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{v}, -\vec{u})$ ?

Remarque

On combine l'opposé et l'antisymétrie : $(\vec{v}, -\vec{u}) \equiv (\vec{v}, \vec{u}) + \pi \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) + \pi \equiv -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \; [2\pi]$ . Comme $\frac{2\pi}{3} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , c'est sa mesure principale.

Définition · 18

Alignement, parallélisme et orthogonalité

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. L'orientation des vecteurs distingue le sens de parcours sur une même droite :

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colin\acute{e}aires de m\hat{e}me sens} \iff (\vec{u}, \vec{v}) \equiv 0 \; [2\pi]$

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colin\acute{e}aires de sens oppos\acute{e}s} \iff (\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi \; [2\pi]$

Pour des droites du plan, l'alignement et le parallélisme regroupent les deux sens possibles, ce qui s'exprime modulo $\pi$ :

$(AB) \parallel (CD) \iff (\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv 0 \; [\pi]$

De même, la perpendicularité de deux droites correspond à un angle droit direct ou indirect :

$(AB) \perp (CD) \iff (\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [\pi]$

Exemple travaillé · 19

Soient $A, B, C, D$ et $E$ cinq points distincts du plan tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi}{3} \; [2\pi]$ , $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{7\pi}{6} \; [2\pi]$ et $(\vec{AB}, \vec{AE}) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi]$ . Montrer que les points $A, D$ et $E$ sont alignés.

1

On applique la relation de Chasles pour calculer l'angle orienté $(\vec{AD}, \vec{AE})$ en insérant les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ :

2

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv (\vec{AD}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AE}) \; [2\pi]

3

Par antisymétrie des angles orientés, on réoriente les termes selon les données de l'énoncé :

4

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv -(\vec{AC}, \vec{AD}) - (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AB}, \vec{AE}) \; [2\pi]

5

On remplace par les valeurs numériques et on réduit au même dénominateur $6$ :

6

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv -\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \frac{-7\pi - 4\pi + 5\pi}{6} = -\frac{6\pi}{6} = -\pi \equiv \pi \; [2\pi]

7

L'angle $(\vec{AD}, \vec{AE})$ est plat modulo $2\pi$ . Les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ sont donc colinéaires et de sens opposés, ce qui prouve que les points $A, D$ et $E$ sont alignés.

Exemple travaillé · 20

Soient cinq points $A, B, C, D$ et $E$ tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi]$ , $(\vec{AE}, \vec{AB}) \equiv -\frac{2\pi}{3} \; [2\pi]$ et $(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ . Montrer que les droites $(AD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

1

On décompose l'angle $(\vec{AD}, \vec{AC})$ par la relation de Chasles en passant par les vecteurs $\vec{AE}$ et $\vec{AB}$ :

2

(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv (\vec{AD}, \vec{AE}) + (\vec{AE}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AC}) \; [2\pi]

3

On remplace par les valeurs données dans l'énoncé :

4

(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} + \left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{5\pi}{6} \; [2\pi]

5

On additionne les fractions en réduisant au dénominateur $6$ :

6

(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi - 4\pi + 5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \; [2\pi]

7

Puisque $(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ , les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux. Par conséquent, les droites $(AD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

Piège classique · 21

Dans un calcul pour étudier l'alignement de trois points $A, B, C$ , un élève trouve $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pi \; [2\pi]$ et conclut : « Les points $A, B, C$ ne sont pas alignés car l'angle n'est pas nul ( $0$ ) ». Cette conclusion est-elle correcte ?

Attention

Croire que l'alignement exige exclusivement un angle orienté nul $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 \; [2\pi]$ .

À la place : L'angle plat $\pi \; [2\pi]$ signifie que les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés (le point $A$ appartient au segment $[BC]$ ). Les points $A, B, C$ sont donc parfaitement alignés. L'alignement correspond à la condition générale modulo $\pi$ : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 \; [\pi]$ .

Vérification · 22

Soient deux droites $(AB)$ et $(CD)$ . Laquelle de ces conditions caractérise de manière nécessaire et suffisante la perpendicularité $(AB) \perp (CD)$ ?

Remarque

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si l'angle orienté de leurs vecteurs directeurs est droit direct ou indirect, ce qui s'écrit de façon condensée $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [\pi]$ (c'est-à-dire $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$ ).

Définition · 23

Somme des angles d'un triangle et action des isométries

Dans tout triangle orienté dans le sens direct, la somme des angles orientés formés par les vecteurs des côtés pris dans l'ordre circulaire est constante modulo $2\pi$ :

$(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \pi \; [2\pi]$

L'effet des transformations géométriques sur les angles orientés dépend de la nature de l'isométrie :

$(t(\vec{u}), t(\vec{v})) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi] \quad \text{pour toute translation } t$

$(S_I(\vec{u}), S_I(\vec{v})) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi] \quad \text{pour toute sym\acute{e}trie centrale } S_I$

$(S_\Delta(\vec{u}), S_\Delta(\vec{v})) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi] \quad \text{pour toute sym\acute{e}trie axiale } S_\Delta$

Remarque

Une réflexion axiale inverse l'orientation du plan : elle transforme tout angle orienté en son opposé modulo $2\pi$ .

Exemple travaillé · 24

Soit $ABC$ un triangle isocèle de sommet principal $A$ . Calculer la mesure principale de l'angle au sommet $(\vec{AB}, \vec{AC})$ sachant que $(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \frac{\pi}{8} \; [2\pi]$ .

1

Dans le triangle $ABC$ isocèle en $A$ , la symétrie axiale par rapport à la médiatrice de $[BC]$ inverse l'orientation des angles à la base, ce qui établit :

2

(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \frac{\pi}{8} \; [2\pi]

3

On applique le théorème de la somme des angles orientés dans le triangle $ABC$ :

4

(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \pi \; [2\pi]

5

(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pi - 2(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \pi - 2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{3\pi}{4} \; [2\pi]

6

Comme $\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , la mesure principale de $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est $\frac{3\pi}{4}$ .

Exemple travaillé · 25

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{2\pi}{3} \; [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de l'angle à la base $(\vec{CA}, \vec{CB})$ .

1

Dans le triangle isocèle $ABC$ en $A$ , les angles orientés à la base vérifient $(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{BC}, \vec{BA}) \; [2\pi]$ .

2

D'après la somme des angles orientés du triangle :

3

2(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi - (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pi - \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} \; [2\pi]

4

L'égalité $2(\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$ donne $(\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{5\pi}{6} + k\pi$ , ce qui génère deux mesures dans $]-\pi\,\;\,\pi]$ :

5

(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi] \quad \text{ou} \quad (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6} \; [2\pi]

6

Dans un triangle isocèle, les angles géométriques à la base sont nécessairement aigus (mesure $< \frac{\pi}{2}$ ). Comme l'angle au sommet $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est négatif, l'orientation du triangle impose un angle orienté négatif. La seule valeur convenable est $-\frac{\pi}{6}$ .

7

(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv -\frac{\pi}{6} \; [2\pi]

Piège classique · 26

Soit un triangle $ABC$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]$ . Soit $S_\Delta$ la symétrie orthogonale d'axe $\Delta$ . Si $A', B', C'$ sont les images respectives de $A, B, C$ , quelle est la mesure de $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'})$ modulo $2\pi$ ?

Attention

Penser que la symétrie axiale conserve les angles orientés car elle conserve les longueurs et les angles géométriques.

À la place : La symétrie axiale est un antidéplacement : elle inverse le sens de rotation du plan. On a donc $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv -(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{\pi}{4} \; [2\pi]$ .

Piège classique · 27

On résout l'équation modulaire $2\theta \equiv \frac{2\pi}{3} \; [2\pi]$ . Quelles sont toutes les valeurs possibles de $\theta$ dans l'intervalle $]-\pi\,\;\,\pi]$ ?

Attention

Diviser directement par 2 sans diviser le modulo, en retenant uniquement $\theta \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ .

À la place : $2\theta \equiv \frac{2\pi}{3} \; [2\pi] \iff 2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi$ . Pour $k = 0$ , on trouve $\frac{\pi}{3}$ . Pour $k = -1$ , on trouve $\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$ . Il y a deux solutions distinctes modulo $2\pi$ .

Vérification · 28

Soit $(\vec{i}, \vec{j})$ une base orthonormée directe du plan, telle que $(\vec{i}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ . Soit $S_\Delta$ une symétrie axiale. Que vaut $(\vec{i}', \vec{j}')$ où $\vec{i}' = S_\Delta(\vec{i})$ et $\vec{j}' = S_\Delta(\vec{j})$ , et quelle est la nature de la base $(\vec{i}', \vec{j}')$ ?

Remarque

La symétrie axiale transforme l'angle orienté en son opposé : $(\vec{i}', \vec{j}') \equiv -(\vec{i}, \vec{j}) \equiv -\frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ . La base image $(\vec{i}', \vec{j}')$ est donc une base orthonormée indirecte.

Définition · 29

Déterminant géométrique et bases orthonormées

Le plan est orienté dans le sens direct. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin(\vec{u}, \vec{v})$

Le déterminant est une forme bilinéaire antisymétrique. Sa valeur traduit l'orientation et la colinéarité :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \iff \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colin\acute{e}aires}$

$(\vec{u}, \vec{v}) \text{ est une base orthonorm\acute{e}e directe} \iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 1$

$(\vec{u}, \vec{v}) \text{ est une base orthonorm\acute{e}e indirecte} \iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = -1$

Exemple travaillé · 30

Soit $ABCD$ un carré direct de côté $a$ et de centre $I$ , tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ . Calculer en fonction de $a$ les déterminants $\det(\vec{AB}, \vec{AD})$ et $\det(\vec{ID}, \vec{IA})$ .

1

Pour $\det(\vec{AB}, \vec{AD})$ : les deux vecteurs ont pour norme $a$ et $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ .

2

\det(\vec{AB}, \vec{AD}) = a \times a \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a^2 \times 1 = a^2

3

Pour $\det(\vec{ID}, \vec{IA})$ : la demi-diagonale a pour longueur $ID = IA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

4

Les diagonales du carré se coupent à angle droit, et tourner de $\vec{ID}$ vers $\vec{IA}$ se fait dans le sens indirect (horaire) :

5

(\vec{ID}, \vec{IA}) \equiv -\frac{\pi}{2} \; [2\pi]

6

\det(\vec{ID}, \vec{IA}) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} \times \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2a^2}{4} \times (-1) = -\frac{a^2}{2}

Exemple travaillé · 31

Soient $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ deux vecteurs non nuls tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{3\pi}{4} \; [2\pi]$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3\sqrt{2}$ . Calculer $\det(\vec{AB}, \vec{AC})$ .

1

On exprime le produit scalaire avec la formule trigonométrique :

2

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -3\sqrt{2}

3

Comme $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , on détermine le produit des normes $AB \times AC$ :

4

AB \times AC \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2} \implies AB \times AC = 6

5

On applique ensuite la formule trigonométrique du déterminant :

6

\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = AB \times AC \times \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

Piège classique · 32

Soit $OABC$ un carré direct tel que $(\vec{OA}, \vec{OC}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ et $OA = OC = 1$ . Que vaut $\det(\vec{OC}, \vec{OA})$ ?

Attention

Répondre $+1$ en pensant que tout couple de côtés consécutifs d'un carré direct donne un déterminant positif.

À la place : L'ordre des vecteurs détermine l'orientation : $(\vec{OC}, \vec{OA}) \equiv -(\vec{OA}, \vec{OC}) \equiv -\frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ . Le déterminant vaut $1 \times 1 \times \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ . Le couple $(\vec{OC}, \vec{OA})$ forme une base orthonormée indirecte.

Vérification · 33

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan orienté tels que $\|\vec{u}\| = 2$ , $\|\vec{v}\| = 3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv -\frac{\pi}{6} \; [2\pi]$ . Quelle est la valeur de $\det(\vec{u}, \vec{v})$ ?

Remarque

On applique la formule : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -3$ .

Définition · 34

Théorème de l'angle inscrit et angle tangentiel

Soit $\zeta$ un cercle de centre $O$ dans le plan orienté dans le sens direct. Pour tous points distincts $A, B$ et $M$ de $\zeta$ , l'angle au centre associé est le double de l'angle inscrit :

$(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{MA}, \vec{MB}) \; [2\pi]$

Si une droite $(AT)$ est tangente au cercle $\zeta$ en $A$ , l'angle formé par la tangente et la corde $[AB]$ vérifie la même relation :

$(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{AT}, \vec{AB}) \; [2\pi]$

Pour deux points distincts $M$ et $N$ du cercle $\zeta$ , la relation dépend de leur position relative par rapport à la corde $[AB]$ :

$(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \begin{cases} (\vec{NA}, \vec{NB}) \; [2\pi] & \text{si } M \text{ et } N \text{ sont sur le m\hat{e}me arc } \overset{\frown}{AB} \\[2mm] (\vec{NA}, \vec{NB}) + \pi \; [2\pi] & \text{si } M \text{ et } N \text{ sont de part et d'autre de } [AB] \end{cases}$

Exemple travaillé · 35

Soit un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ . Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ , et soient $I$ et $K$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ . Montrer que $2(\vec{IM}, \vec{IK}) \equiv 2(\vec{AM}, \vec{AC}) \; [2\pi]$ .

1

Les points $I$ et $K$ sont les projetés orthogonaux de $M$ sur $(AB)$ et $(AC)$ . Les triangles $MIA$ et $MKA$ sont donc rectangles en $I$ et $K$ d'hypoténuse commune $[AM]$ .

2

Par conséquent, les quatre points $A, I, M$ et $K$ appartiennent au même cercle de diamètre $[AM]$ .

3

Dans ce cercle, les angles inscrits de sommets $I$ et $A$ interceptent la même corde $[MK]$ . D'après le théorème de l'angle inscrit :

4

(\vec{IM}, \vec{IK}) \equiv (\vec{AM}, \vec{AK}) \; [\pi]

5

En multipliant par $2$ , la congruence modulo $\pi$ devient une congruence modulo $2\pi$ :

6

2(\vec{IM}, \vec{IK}) \equiv 2(\vec{AM}, \vec{AK}) \; [2\pi]

7

Comme le point $K$ appartient à la droite $(AC)$ , le vecteur $\vec{AK}$ est colinéaire à $\vec{AC}$ . On en déduit :

8

2(\vec{IM}, \vec{IK}) \equiv 2(\vec{AM}, \vec{AC}) \; [2\pi]

Exemple travaillé · 36

Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\mathscr{C}$ , et soit $\Delta$ la tangente à $\mathscr{C}$ en $A$ . Soit $T \in \Delta \setminus \{A\}$ tel que $(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv (\vec{CA}, \vec{CB}) \; [2\pi]$ . La droite parallèle à $\Delta$ passant par $B$ coupe $(AC)$ en $D$ . Soit $\mathscr{C}'$ le cercle circonscrit au triangle $BCD$ . Montrer que $(AB)$ est tangente à $\mathscr{C}'$ en $B$ .

1

Par parallélisme entre la tangente $\Delta = (AT)$ et la droite $(BD)$ , les vecteurs directeurs $\vec{BD}$ et $\vec{AT}$ sont colinéaires et de sens opposés, ce qui donne :

2

(\vec{AB}, \vec{BD}) \equiv \pi + (\vec{AB}, \vec{AT}) \; [2\pi]

3

On exprime $(\vec{BA}, \vec{BD})$ par inversion du premier vecteur :

4

(\vec{BA}, \vec{BD}) \equiv \pi + (\vec{AB}, \vec{BD}) \equiv 2\pi + (\vec{AB}, \vec{AT}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AT}) \; [2\pi]

5

D'après la propriété de la tangente en $A$ au cercle $\mathscr{C}$ :

6

(\vec{AB}, \vec{AT}) \equiv -(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv -(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv (\vec{CB}, \vec{CA}) \; [2\pi]

7

Comme les points $A, C, D$ sont alignés dans cet ordre, les vecteurs $\vec{CA}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires de sens contraires, donc :

8

(\vec{BA}, \vec{BD}) \equiv \pi + (\vec{CB}, \vec{CD}) \; [2\pi]

9

Par la réciproque du théorème de l'angle tangentiel dans le cercle $\mathscr{C}'$ , la droite $(AB)$ est tangente à $\mathscr{C}'$ au point $B$ .

Piège classique · 37

Soient quatre points distincts $A, B, M$ et $N$ situés sur un cercle $\zeta$ . Si $M$ et $N$ sont situés de part et d'autre de la corde $[AB]$ , quelle est la relation exacte entre $(\vec{MA}, \vec{MB})$ et $(\vec{NA}, \vec{NB})$ ?

Attention

Écrire $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv (\vec{NA}, \vec{NB}) \; [2\pi]$ en supposant que tous les angles inscrits interceptant la même corde sont toujours égaux modulo $2\pi$ .

À la place : Lorsque les sommets sont situés de part et d'autre de la corde $[AB]$ , les angles géométriques associés sont supplémentaires. En angles orientés, cela se traduit par $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv (\vec{NA}, \vec{NB}) + \pi \; [2\pi]$ .

Vérification · 38

Soit un cercle $\zeta$ de centre $O$ et soit $(AT)$ la tangente en $A$ . Si $(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi]$ , quelle est la mesure principale de l'angle au centre $(\vec{OA}, \vec{OB})$ ?

Remarque

D'après le théorème de la tangente et de l'angle au centre, $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv 2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ . Comme $\frac{\pi}{3} \in ]-\pi\,\;\,\pi]$ , c'est bien la mesure principale.

Définition · 39

Lieux géométriques associés aux angles orientés

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, et $\theta$ un réel. On étudie l'ensemble $\mathscr{E} = \{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \theta \; [2\pi]\}$ .

$\text{Si } \theta \equiv 0 \; [2\pi] \text{ : } \mathscr{E} = (AB) \setminus [AB] \quad (\text{droite priv}\acute{e}\text{e du segment})$

$\text{Si } \theta \equiv \pi \; [2\pi] \text{ : } \mathscr{E} = \; ]AB[ \quad (\text{segment ouvert})$

$\text{Si } \theta \not\equiv 0 \; [\pi] \text{ : } \mathscr{E} \text{ est l'arc de cercle ouvert d'extr}\acute{e}\text{mit}\acute{e}\text{s } A \text{ et } B$

Cet arc (appelé arc capable) appartient à l'unique cercle $\zeta$ passant par $A$ et $B$ et tangent en $A$ à la demi-droite $[AT)$ telle que $(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \theta \; [2\pi]$ . Il est situé dans le demi-plan de frontière $(AB)$ ne contenant pas $[AT)$ .

Exemple travaillé · 40

Déterminer et caractériser l'ensemble des points $M$ du plan tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ où $A$ et $B$ sont deux points distincts fixés.

1

Comme $\theta = \frac{\pi}{3} \not\equiv 0 \; [\pi]$ , l'ensemble est un arc de cercle (arc capable) privé de ses extrémités.

2

On trace la demi-droite $[AT)$ telle que $(\vec{AT}, \vec{AB}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ .

3

On construit la droite $\Delta_1$ perpendiculaire à $(AT)$ en $A$ , et $\Delta_2$ la médiatrice du segment $[AB]$ .

4

Le point d'intersection $O = \Delta_1 \cap \Delta_2$ est le centre du cercle $\zeta$ passant par $A, B$ et tangent à $(AT)$ en $A$ .

5

L'ensemble cherché est l'arc ouvert $\overset{\frown}{BA}$ de $\zeta$ situé dans le demi-plan de frontière $(AB)$ ne contenant pas $[AT)$ , privé des points $A$ et $B$ .

Exemple travaillé · 41

Soient $A$ et $B$ deux points distincts tels que $AB = 8$ . On considère les ensembles $\mathscr{E} = \{M \in \mathcal{P} \mid MA^2 - 9MB^2 = 0\}$ et $\mathscr{E}' = \left\{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]\right\}$ . Soit $I$ un point de l'intersection $\mathscr{E} \cap \mathscr{E}'$ . Calculer les distances $IA$ et $IB$ .

1

Comme $I \in \mathscr{E}$ , on a $IA^2 - 9IB^2 = 0$ , ce qui implique $IA = 3IB$ (les longueurs étant strictement positives).

2

Comme $I \in \mathscr{E}'$ , l'angle orienté vérifie $(\vec{IA}, \vec{IB}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ . On évalue le produit scalaire $\vec{IA} \cdot \vec{IB}$ :

3

\vec{IA} \cdot \vec{IB} = IA \times IB \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3IB \times IB \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}IB^2

4

Par la relation de Chasles, le vecteur différence vérifie $\vec{IA} - \vec{IB} = \vec{BA}$ , donc $\|\vec{IA} - \vec{IB}\|^2 = AB^2 = 8^2 = 64$ .

5

On développe le carré de la norme euclidienne :

6

\|\vec{IA} - \vec{IB}\|^2 = IA^2 + IB^2 - 2(\vec{IA} \cdot \vec{IB}) = (3IB)^2 + IB^2 - 2\left(\frac{3}{2}IB^2\right) = 7IB^2

7

On en déduit les longueurs :

8

7IB^2 = 64 \implies IB = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7} \quad \text{et} \quad IA = 3IB = \frac{24\sqrt{7}}{7}

Piège classique · 42

Quel est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ ?

Attention

Affirmer que l'ensemble est le cercle complet de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ .

À la place : La condition est fixée modulo $2\pi$ à $+\frac{\pi}{2}$ : elle ne sélectionne que le demi-cercle direct de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ . C'est la condition modulo $\pi$ , soit $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [\pi]$ , qui donne le cercle complet privé de ses deux pôles.

Vérification · 43

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MA}, \vec{MB}) = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$ ?

Remarque

L'égalité modulo $\pi$ regroupe les cas $k$ pair (mesure $\frac{\pi}{4}$ ) et $k$ impair (mesure $\frac{\pi}{4} + \pi \equiv -\frac{3\pi}{4} \; [2\pi]$ ). Ces deux arcs de cercle complémentaires se rejoignent pour former le cercle tout entier passant par $A$ et $B$ et tangent en $A$ à la droite faisant un angle de $\frac{\pi}{4}$ avec $(AB)$ , privé des extrémités $A$ et $B$ .

Angles orientés — cours

Le cours

Arc orienté et mesure algébrique

Angle orienté et mesure principale

Propriétés algébriques des angles orientés

Alignement, parallélisme et orthogonalité

Somme des angles d'un triangle et action des isométries

Déterminant géométrique et bases orthonormées

Théorème de l'angle inscrit et angle tangentiel

Lieux géométriques associés aux angles orientés

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