Point de départ · 1

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 + 1 = 0$ admet-elle des solutions ?

Remarque

Dans $\mathbb{R}$ , un carré est toujours positif ou nul ( $x^2 \geq 0$ ), donc $x^2 = -1$ est impossible. Pour rendre cette équation soluble, on introduit un nouvel ensemble, $\mathbb{C}$ , contenant un élément noté $i$ vérifiant $i^2 = -1$ .

Définition · 2

Ensemble des nombres complexes et forme cartésienne

$i^2 = -1$

Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de façon unique sous la forme cartésienne (ou algébrique) :

$z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R})$

Vocabulaire

Partie réelle de $z$ — $\mathfrak{Re}(z) = a$
Partie imaginaire de $z$ — $\mathfrak{Im}(z) = b$

Si $b = 0$ , $z$ est un nombre réel. Si $a = 0$ et $b \neq 0$ , $z$ est dit imaginaire pur.

Exemple travaillé · 3

Écrire le nombre complexe $Z = (2 - 3i)(1 + 2i)$ sous forme cartésienne $a + ib$ .

1

On développe par distributivité comme dans $\mathbb{R}$ :

2

Z = 2 \times 1 + 2 \times 2i - 3i \times 1 - 3i \times 2i

3

Z = 2 + 4i - 3i - 6i^2

4

On remplace $i^2$ par $-1$ puis on regroupe la partie réelle et la partie imaginaire :

5

Z = 2 + i - 6(-1) = 2 + i + 6 = 8 + i

Exemple travaillé · 4

Écrire sous forme cartésienne $(1 + i)^2$ , puis en déduire l'écriture de $(1 + i)^4$ .

1

On applique l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

2

(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

3

Pour calculer $(1 + i)^4$ , on élève le résultat précédent au carré :

4

(1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2 = (2i)^2

5

(2i)^2 = 4i^2 = -4

Piège classique · 5

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = 5 - 7i$ ?

Attention

Affirmer que $\mathfrak{Im}(z) = -7i$ en incluant l'unité imaginaire $i$ .

À la place : La partie imaginaire est le coefficient réel devant $i$ . On a $\mathfrak{Im}(z) = -7$ , qui est un nombre réel pur.

Vérification · 6

Soit $z = 6i - 3$ . Détermine sa partie réelle $\mathfrak{Re}(z)$ et sa partie imaginaire $\mathfrak{Im}(z)$ .

Remarque

Sous forme ordonnée $z = a + ib$ , on a $z = -3 + 6i$ . Ainsi, $\mathfrak{Re}(z) = -3$ et $\mathfrak{Im}(z) = 6$ .

Définition · 7

Conjugué d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe avec $a, b \in \mathbb{R}$ . On appelle conjugué de $z$ le nombre complexe noté $\overline{z}$ défini par :

$\overline{z} = a - ib$

Le produit d'un nombre complexe par son conjugué donne toujours un réel positif ou nul :

$z \cdot \overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$

Caractérisation des nombres réels et imaginaires purs :

$z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z \quad \text{et} \quad z \in i\mathbb{R} \iff \overline{z} = -z$

Exemple travaillé · 8

Écrire le quotient $Z = \frac{3-i}{2+i}$ sous forme cartésienne $a+ib$ .

1

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $2-i$ :

2

Z = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}

3

On calcule le dénominateur avec $z\overline{z} = a^2+b^2$ et on développe le numérateur :

4

(2+i)(2-i) = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5

5

(3-i)(2-i) = 6 - 3i - 2i + i^2 = 6 - 5i - 1 = 5 - 5i

6

On divise terme à terme pour obtenir la forme cartésienne :

7

Z = \frac{5-5i}{5} = 1 - i

Définition · 9

Propriétés algébriques du conjugué

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ , et pour tout entier naturel non nul $n$ :

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \quad ; \quad \overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'} \quad ; \quad \overline{z^n} = (\overline{z})^n$

Pour tout nombre complexe non nul $z'$ :

$\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)} = \frac{1}{\overline{z'}} \quad ; \quad \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$

Exemple travaillé · 10

Soit $u$ un nombre complexe tel que $u\overline{u} = 1$ et $u \neq 1$ . Montrer que $Z = \frac{1+u}{1-u}$ est un imaginaire pur.

1

On applique le conjugué à toute l'expression $Z$ à l'aide des propriétés opératoires :

2

\overline{Z} = \overline{\left(\frac{1+u}{1-u}\right)} = \frac{1+\overline{u}}{1-\overline{u}}

3

Puisque $u\overline{u} = 1$ , on a $\overline{u} = \frac{1}{u}$ . On substitue $\overline{u}$ dans l'expression :

4

\overline{Z} = \frac{1+\frac{1}{u}}{1-\frac{1}{u}} = \frac{\frac{u+1}{u}}{\frac{u-1}{u}} = \frac{u+1}{u-1}

5

On factorise le dénominateur par $-1$ pour faire réapparaître $Z$ :

6

\overline{Z} = \frac{u+1}{-(1-u)} = -\frac{1+u}{1-u} = -Z

7

Puisque $\overline{Z} = -Z$ , on conclut que $Z$ est un nombre imaginaire pur.

Piège classique · 11

Quel est le résultat du produit $(3 - 2i)(3 + 2i)$ ?

Attention

Calculer $3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ en appliquant l'identité remarquable réelle $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .

À la place : Dans $\mathbb{C}$ , $(a-ib)(a+ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2$ . On obtient $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$ .

Vérification · 12

Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de $Z = \frac{2}{1-i}$ .

Remarque

On multiplie par le conjugué $1+i$ : $Z = \frac{2(1+i)}{1^2+1^2} = \frac{2(1+i)}{2} = 1 + i$ . Ainsi, $\mathfrak{Re}(Z) = 1$ et $\mathfrak{Im}(Z) = 1$ .

Définition · 13

Le plan complexe et affixe d'un point

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , appelé plan complexe.

$M(x, y) \iff z = x + iy \quad (x \in \mathbb{R},\; y \in \mathbb{R})$

$z$ est l'affixe du point $M$ , noté $M(z)$ . Le point $M$ est l'image du nombre complexe $z$ .

$M \in (O, \vec{u}) \iff z \in \mathbb{R}$ . $M \in (O, \vec{v}) \iff z \in i\mathbb{R}$ . L'image du conjugué $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses $(O, \vec{u})$ .

Définition · 14

Affixe d'un vecteur et du milieu

Soient $A$ et $B$ deux points du plan d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ .

$\text{aff}(\vec{AB}) = z_B - z_A$

Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$ , son affixe $z_I$ est donnée par :

$z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$

Pour tous vecteurs $\vec{w_1}, \vec{w_2}$ et tous réels $\alpha, \beta$ : $\text{aff}(\alpha\vec{w_1} + \beta\vec{w_2}) = \alpha \text{aff}(\vec{w_1}) + \beta \text{aff}(\vec{w_2})$ .

Exemple travaillé · 15

On donne les points $A(1 + 2i)$ , $B(3 - 4i)$ et $C(5 + i)$ . Calculer l'affixe de $\vec{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$ , puis déterminer l'affixe de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ par différence des affixes :

2

\text{aff}(\vec{AB}) = z_B - z_A = (3 - 4i) - (1 + 2i) = 2 - 6i

3

On applique la formule du milieu pour $I$ :

4

z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{1 + 2i + 3 - 4i}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i

5

Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ , soit $z_B - z_A = z_C - z_D$ :

6

z_D = z_C - (z_B - z_A) = (5 + i) - (2 - 6i) = 3 + 7i

Piège classique · 16

On considère quatre points $A, B, C, D$ . Quelle relation sur les affixes caractérise le parallélogramme $ABCD$ ?

Attention

Écrire $z_B - z_A = z_D - z_C$ , ce qui correspond à $\vec{AB} = \vec{CD}$ et définit un quadrilatère croisé $ABDC$ .

À la place : Dans le parallélogramme $ABCD$ , les côtés opposés de même sens sont $[AB]$ et $[DC]$ . La condition exacte est $\vec{AB} = \vec{DC}$ , soit $z_B - z_A = z_C - z_D$ .

Exemple travaillé · 17

Soient les points $A(-2i)$ , $B(2\sqrt{2} + 2i)$ et $C(3\sqrt{2} + 4i)$ . Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

1

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ :

2

z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (2\sqrt{2} + 2i) - (-2i) = 2\sqrt{2} + 4i

3

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AC}$ :

4

z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = (3\sqrt{2} + 4i) - (-2i) = 3\sqrt{2} + 6i

5

On établit la proportionnalité entre les deux affixes par factorisation :

6

z_{\vec{AC}} = 3(\sqrt{2} + 2i) = 1{,}5 \times 2(\sqrt{2} + 2i) = 1{,}5 \, z_{\vec{AB}}

7

Le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = 1{,}5$ est un réel, ce qui prouve que $\vec{AC} = 1{,}5 \vec{AB}$ . Les points $A, B, C$ sont donc alignés.

Vérification · 18

Soient les points $A(2 - i)$ , $B(4 + i)$ et $C(-1 + 3i)$ . Détermine les coordonnées de l'affixe $z_D = x_D + i y_D$ pour que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Remarque

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{CD}$ . On a $z_B - z_A = (4+i) - (2-i) = 2 + 2i$ . L'égalité $z_D - z_C = z_B - z_A$ donne $z_D = (-1+3i) + (2+2i) = 1 + 5i$ .

Définition · 19

Module d'un nombre complexe et propriétés algébriques

Pour tout nombre complexe $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ), le module de $z$ est le nombre réel positif noté $|z|$ défini par :

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$

Propriétés opératoires fondamentales pour tous complexes $z, z'$ et tout entier relatif $n$ :

$|z \cdot z'| = |z| \times |z'| \quad ; \quad \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \quad (z' \neq 0) \quad ; \quad |z^n| = |z|^n$

On a toujours $|z| = 0 \iff z = 0$ , et $|\overline{z}| = |-z| = |z|$ .

Exemple travaillé · 20

Calculer le module du nombre complexe $Z = \frac{(1 + i\sqrt{3})^3}{1 - i}$ sans développer sa forme cartésienne.

1

On utilise la compatibilité du module avec les quotients et les puissances :

2

|Z| = \frac{|1 + i\sqrt{3}|^3}{|1 - i|}

3

On calcule séparément le module de chaque terme de l'expression :

4

|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

5

|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

6

On assemble les résultats pour obtenir la valeur exacte :

7

|Z| = \frac{2^3}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}

Définition · 21

Interprétation géométrique du module et lieux remarquables

Dans le plan complexe $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , le module correspond à une distance euclidienne :

$OM = |z| \quad \text{et} \quad AB = |z_B - z_A|$

Caractérisation des deux ensembles fondamentaux du plan :

$|z - z_A| = R \iff AM = R \iff M \in \mathcal{C}(A, R) \quad (R > 0)$

$|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM \iff M \in \text{méd}([AB])$

Exemple travaillé · 22

Soient les points $A(1 + i)$ , $B(3 + i)$ et $C(1 - 2i)$ . Calculer $AB$ , $AC$ et $BC$ , puis déterminer la nature du triangle $ABC$ .

1

On calcule les trois longueurs à l'aide des modules de différences d'affixes :

2

AB = |z_B - z_A| = |(3 + i) - (1 + i)| = |2| = 2

3

AC = |z_C - z_A| = |(1 - 2i) - (1 + i)| = |-3i| = 3

4

BC = |z_C - z_B| = |(1 - 2i) - (3 + i)| = |-2 - 3i| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}

5

On compare les carrés des trois distances :

6

AB^2 + AC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \quad \text{et} \quad BC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13

7

Puisque $AB^2 + AC^2 = BC^2$ , d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ .

Piège classique · 23

On cherche l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|iz + 2| = 3$ . Quel est cet ensemble ?

Attention

Lire directement l'affixe du centre comme $-2$ sans factoriser par $i$ , ou confondre avec une équation de droite.

À la place : On factorise obligatoirement par $i$ à l'intérieur du module : $|i(z - 2i)| = |i| \times |z - 2i| = |z - 2i|$ . L'égalité devient $|z - 2i| = 3$ , c'est le cercle de centre $\Omega(2i)$ et de rayon $3$ .

Vérification · 24

Détermine le rayon $R$ et l'affixe du centre $\Omega$ du cercle d'équation $|3z - 6i| = 12$ .

Remarque

On factorise par la constante réelle $3$ : $3|z - 2i| = 12 \iff |z - 2i| = \frac{12}{3} = 4$ . Le centre a donc pour affixe $z_\Omega = 2i$ et le rayon est $R = 4$ .

Point de départ · 25

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, comment repérer un point $M$ distinct de l'origine $O$ autrement que par ses coordonnées cartésiennes $(x, y)$ ?

Remarque

On peut repérer $M$ par sa distance à l'origine $r = OM$ ( $r > 0$ ) et par la mesure de l'angle orienté $\theta = (\vec{u}, \vec{OM})$ en radians. Ce sont les coordonnées polaires, qui donnent naissance à l'écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul.

Définition · 26

Argument et forme trigonométrique

Soit $z$ un nombre complexe non nul ( $z \neq 0$ ) d'image $M$ dans le plan complexe $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

Vocabulaire

Argument de $z$ — $\arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}$

En posant $r = |z| > 0$ et $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$ , l'écriture trigonométrique et la forme polaire de $z$ sont :

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = [r, \theta]$

Le nombre $0$ n'a pas d'argument car l'angle $(\vec{u}, \vec{OO})$ n'est pas défini. L'angle $\theta$ vérifie toujours $\cos\theta = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}$ .

Exemple travaillé · 27

Déterminer le module, un argument et l'écriture trigonométrique de $z = -\sqrt{3} + i$ .

1

On calcule le module de $z$ :

2

|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2

3

On factorise par le module et on identifie le cosinus et le sinus de l'argument $\theta$ :

4

z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) \implies \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{1}{2}

5

L'angle de référence dans $[0, \frac{\pi}{2}]$ est $\frac{\pi}{6}$ . Puisque $\cos\theta < 0$ et $\sin\theta > 0$ , l'angle appartient au deuxième quadrant :

6

\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}

7

On conclut sur les écritures trigonométrique et polaire :

8

z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \left[2, \frac{5\pi}{6}\right]

Piège classique · 28

On donne $Z = -2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ . Quel est l'argument principal de $Z$ ?

Attention

Lire directement $\frac{\pi}{3}$ en ignorant le signe « - » devant le coefficient $2$ .

À la place : Une forme trigonométrique exige un module strictement positif ( $r > 0$ ). On distribue le signe moins : $Z = 2\left(-\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\cos(\frac{\pi}{3}+\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3}+\pi)\right) = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$ . L'argument est $\frac{4\pi}{3}$ (ou $-\frac{2\pi}{3}$ ).

Exemple travaillé · 29

Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes suivants sans calcul lourd : $z_1 = -5$ , $z_2 = 3i$ et $z_3 = -2i$ .

1

$z_1 = -5$ est un réel strictement négatif, situé sur le demi-axe des abscisses négatives :

2

|z_1| = 5 \quad \text{et} \quad \arg(z_1) \equiv \pi \pmod{2\pi} \implies z_1 = 5(\cos\pi + i\sin\pi) = [5, \pi]

3

$z_2 = 3i$ est un imaginaire pur à partie imaginaire strictement positive :

4

|z_2| = 3 \quad \text{et} \quad \arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} \implies z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \left[3, \frac{\pi}{2}\right]

5

$z_3 = -2i$ est un imaginaire pur à partie imaginaire strictement négative :

6

|z_3| = 2 \quad \text{et} \quad \arg(z_3) \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} \implies z_3 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \left[2, -\frac{\pi}{2}\right]

Vérification · 30

Détermine le module $r$ et l'argument principal $\theta$ du nombre complexe $z = 1 - i\sqrt{3}$ .

Remarque

On a $|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ . On a $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Puisque la partie réelle est positive et la partie imaginaire négative (quatrième quadrant), on obtient $\theta = -\frac{\pi}{3}$ .

Définition · 31

Opérations sur les arguments et les formes trigonométriques

Pour tous nombres complexes non nuls $z$ et $z'$ , et pour tout entier relatif $n$ :

$\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$

$\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi} \quad ; \quad \arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi}$

Pour les formes polaires, si $z = [r, \theta]$ et $z' = [r', \theta']$ avec $r > 0$ et $r' > 0$ :

$z \cdot z' = [r r', \theta + \theta'] \quad ; \quad \frac{z}{z'} = \left[\frac{r}{r'}, \theta - \theta'\right] \quad ; \quad z^n = [r^n, n\theta]$

Exemple travaillé · 32

Mettre sous forme trigonométrique $z_1 = 1 - i\sqrt{3}$ , puis en déduire la forme algébrique exacte de $Z = (1 - i\sqrt{3})^9$ .

1

On écrit d'abord $z_1$ sous forme trigonométrique :

2

|z_1| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 \implies z_1 = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left[2, -\frac{\pi}{3}\right]

3

On applique la propriété de la puissance sur la forme polaire :

4

Z = z_1^9 = \left[2^9, 9 \times \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] = [512, -3\pi]

5

On simplifie l'argument modulo $2\pi$ et on revient à la forme cartésienne :

6

-3\pi \equiv \pi \pmod{2\pi} \implies Z = 512(\cos\pi + i\sin\pi) = 512(-1 + 0i) = -512

Exemple travaillé · 33

On pose $z_1 = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = 1-i$ . Écrire $u = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, et en déduire la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ .

1

On détermine les formes trigonométriques de $z_1$ et $z_2$ :

2

z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \quad \text{et} \quad z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

3

On calcule la forme trigonométrique du quotient $u$ :

4

|u| = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \quad \text{et} \quad \arg(u) \equiv -\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \equiv \frac{\pi}{12} \pmod{2\pi}

5

u = \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}

6

On calcule la forme algébrique de $u$ en multipliant par le conjugué de $z_2$ :

7

u = \frac{(\sqrt{6}-i\sqrt{2})(1+i)}{2(1-i)(1+i)} = \frac{\sqrt{6} + i\sqrt{6} - i\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

8

Par identification terme à terme des parties réelles des deux formes :

9

\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Définition · 34

Résolution de l'équation $z^2 = \alpha$ dans $\mathbb{C}$

Soit $\alpha$ un nombre réel non nul. L'équation $z^2 = \alpha$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{C}$ :

$\text{Si } \alpha > 0 : \quad z = \sqrt{\alpha} \quad \text{ou} \quad z = -\sqrt{\alpha}$

$\text{Si } \alpha < 0 : \quad z = i\sqrt{|\alpha|} \quad \text{ou} \quad z = -i\sqrt{|\alpha|}$

Pour résoudre une équation du second degré mise sous forme canonique $(z - z_0)^2 = \alpha$ avec $\alpha < 0$ , on pose directement $z - z_0 = i\sqrt{|\alpha|}$ ou $z - z_0 = -i\sqrt{|\alpha|}$ .

Piège classique · 35

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z - 1)^2 = -4$ . Quelles sont les solutions ?

Attention

Développer $(z-1)^2$ pour obtenir $z^2 - 2z + 5 = 0$ , s'exposant à des erreurs de calcul sur le discriminant.

À la place : L'équation est déjà sous forme canonique : les racines carrées du réel négatif $-4$ sont $2i$ et $-2i$ . On résout directement $z - 1 = 2i$ ou $z - 1 = -2i$ , d'où $z = 1 + 2i$ ou $z = 1 - 2i$ .

Vérification · 36

Détermine les deux solutions de l'équation $z^2 + 12 = 0$ dans $\mathbb{C}$ .

Remarque

$z^2 + 12 = 0 \iff z^2 = -12$ . Comme $-12 < 0$ , les solutions sont $z = i\sqrt{12} = 2i\sqrt{3}$ et $z = -i\sqrt{12} = -2i\sqrt{3}$ .

Nombres complexes — cours

Le cours

Ensemble des nombres complexes et forme cartésienne

Conjugué d'un nombre complexe

Propriétés algébriques du conjugué

Le plan complexe et affixe d'un point

Affixe d'un vecteur et du milieu

Module d'un nombre complexe et propriétés algébriques

Interprétation géométrique du module et lieux remarquables

Argument et forme trigonométrique

Opérations sur les arguments et les formes trigonométriques

Résolution de l'équation $z^2 = \alpha$ dans $\mathbb{C}$

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Nombres complexes — cours

Le cours

Ensemble des nombres complexes et forme cartésienne

Conjugué d'un nombre complexe

Propriétés algébriques du conjugué

Le plan complexe et affixe d'un point

Affixe d'un vecteur et du milieu

Module d'un nombre complexe et propriétés algébriques

Interprétation géométrique du module et lieux remarquables

Argument et forme trigonométrique

Opérations sur les arguments et les formes trigonométriques

Résolution de l'équation z2=αz^2 = \alphaz2=α dans C\mathbb{C}C

Chapitres liés

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Résolution de l'équation $z^2 = \alpha$ dans $\mathbb{C}$