Rappel · 1

Dans le plan orienté, dans quel sens effectue-t-on une rotation pour un angle orienté positif $+\frac{\pi}{2}$ ?

Remarque

Un angle orienté positif se mesure dans le sens direct (sens trigonométrique, contraire aux aiguilles d'une montre).

Point de départ · 2

Pour faire tourner un point $M$ autour d'un centre fixe $O$ d'un angle donné $\theta$ , quelles conditions géométriques le point image $M'$ doit-il obligatoirement vérifier ?

Remarque

Il faut à la fois conserver la distance au centre ( $OM' = OM$ ) et fixer l'écart angulaire orienté $(\vec{OM}, \vec{OM'}) \equiv \theta [2\pi]$ .

Définition · 3

Définition d'une rotation

Soit $O$ un point du plan orienté et $\theta$ un réel.

$R_{(O, \theta)}(O) = O$

Pour tout point $M$ distinct de $O$ , l'image de $M$ par la rotation $R_{(O, \theta)}$ est l'unique point $M'$ vérifiant :

OM' = OM

(\vec{OM}, \vec{OM'}) \equiv \theta [2\pi]

Remarque

Si $\theta \not\equiv 0 [2\pi]$ , le centre $O$ est l'unique point invariant de la rotation.

Exemple travaillé · 4

Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , soit le point $A(2, 0)$ . Détermine les coordonnées du point $A' = R_{(O, \frac{\pi}{2})}(A)$ .

1

On applique la définition de la rotation : $OA' = OA$ et $(\vec{OA}, \vec{OA'}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ .

2

OA = 2 \implies OA' = 2

3

Le point $A$ appartient à l'axe des abscisses positives. Une rotation directe d'angle $\frac{\pi}{2}$ envoie la demi-droite $[Ox)$ sur la demi-droite des ordonnées positives $[Oy)$ .

4

Le point $A'$ est donc situé sur l'axe des ordonnées à une distance 2 de l'origine : $A'(0, 2)$ .

Exemple travaillé · 5

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct de centre $O$ . Détermine l'image du point $A$ par la rotation $R = R_{(O, \frac{2\pi}{3})}$ .

1

Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral $ABC$ , donc les sommets sont équidistants du centre :

2

OA = OB = OC

3

Dans le triangle équilatéral direct $ABC$ , les trois angles au centre sont égaux et orientés dans le sens direct :

4

(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]

5

Puisque $OB = OA$ et $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ , on conclut que $R(A) = B$ .

Piège classique · 6

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $I$ . On cherche le centre $\Omega$ de la rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ qui transforme $A$ en $D$ . Le point $I$ est-il ce centre ?

Attention

Affirmer que $I$ est le centre sous prétexte que $IA = ID$ et que les diagonales forment un angle droit.

À la place : Dans le carré direct, $(\vec{IA}, \vec{ID}) \equiv +\frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Pour un angle de $-\frac{\pi}{2}$ , le centre $\Omega$ est le symétrique de $I$ par rapport à $(AD)$ , situé dans l'autre demi-plan.

Vérification · 7

Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Si $M$ est un point distinct de $A$ et $M' = R(M)$ , quelle est la nature du triangle $AMM'$ ?

Remarque

Par définition de la rotation, $AM = AM'$ et $(\vec{AM}, \vec{AM'}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Un triangle isocèle dont l'angle au sommet principal mesure $\frac{\pi}{3}$ est un triangle équilatéral direct.

Définition · 8

Cas particuliers et rotation réciproque

Soit $O$ un point du plan et $\theta$ un réel.

$R_{(O, 0)} = \text{Id}_{\mathcal{P}} \quad \text{et} \quad R_{(O, \pi)} = S_O$

Remarque

La rotation d'angle nul fixe chaque point du plan. La rotation d'angle $\pi$ est la symétrie centrale de centre $O$ .

Toute rotation $R_{(O, \theta)}$ est une bijection du plan dans lui-même. Sa bijection réciproque est la rotation de même centre et d'angle opposé :

$(R_{(O, \theta)})^{-1} = R_{(O, -\theta)}$

Pour tous points $M$ et $M'$ du plan :

R_{(O, \theta)}(M) = M' \iff R_{(O, -\theta)}(M') = M

Exemple travaillé · 9

Soit $ABC$ un triangle rectangle isocèle direct en $A$ , tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $r = R_{(A, \frac{\pi}{2})}$ . Détermine le point $E$ tel que $r(E) = C$ .

1

On cherche l'antécédent $E$ du point $C$ par la rotation $r = R_{(A, \frac{\pi}{2})}$ . On utilise la rotation réciproque $r^{-1}$ :

2

r(E) = C \iff E = r^{-1}(C) = R_{(A, -\frac{\pi}{2})}(C)

3

Par définition de $R_{(A, -\frac{\pi}{2})}$ , le point $E$ vérifie $AE = AC$ et $(\vec{AC}, \vec{AE}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ .

4

Dans le triangle $ABC$ rectangle isocèle direct en $A$ , on a $AB = AC$ et $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ , ce qui donne par inversion du sens de l'angle :

5

(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

6

Puisque $AB = AC$ et $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ , on en déduit que $E = B$ .

Piège classique · 10

Soit $[AB]$ un segment non réduit à un point. Quelles sont toutes les rotations $r$ qui laissent le segment $[AB]$ globalement invariant, c'est-à-dire telles que $r([AB]) = [AB]$ ?

Attention

Conclure que seule l'identité du plan convient, en supposant que chaque point du segment doit rester immobile.

À la place : L'invariance globale autorise aussi l'échange des extrémités ( $r(A)=B$ et $r(B)=A$ ). L'angle de la rotation vaut alors $(\vec{AB}, \vec{BA}) \equiv \pi [2\pi]$ , ce qui donne la symétrie centrale de centre le milieu de $[AB]$ .

Vérification · 11

Soit $I$ le milieu d'un segment $[CD]$ . On considère la rotation $r = R_{(I, \pi)}$ . Quelle est l'image de la droite $(CD)$ par $r$ ?

Remarque

La rotation d'angle $\pi$ est la symétrie centrale $S_I$ . Puisque le centre $I$ appartient à la droite $(CD)$ , le symétrique de tout point de $(CD)$ reste sur $(CD)$ . La droite $(CD)$ est donc globalement invariante : $r((CD)) = (CD)$ .

Définition · 12

Propriétés de conservation d'une rotation

Toute rotation conserve les distances : c'est une isométrie du plan.

$MN = M'N'$

Soit $R$ une rotation. Pour tous points $A, B, C, D$ d'images respectives $A', B', C', D'$ par $R$ :

(\vec{A'B'}, \vec{C'D'}) \equiv (\vec{AB}, \vec{CD}) [2\pi]

I = A * B \implies R(I) = A' * B'

Remarque

Une rotation conserve également l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, le barycentre et le produit scalaire.

Exemple travaillé · 13

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct de centre $I$ . On place $M \in [AB]$ , $N \in [BC]$ et $P \in [CA]$ tels que $AM = BN = CP$ . Montre que le triangle $MNP$ est équilatéral.

1

On considère la rotation $R = R_{(I, \frac{2\pi}{3})}$ . Dans le triangle équilatéral direct $ABC$ , $R$ transforme $A$ en $B$ , $B$ en $C$ et $C$ en $A$ .

2

L'image du segment $[AB]$ par $R$ est le segment $[BC]$ . Comme $R$ conserve les distances, l'image du point $M \in [AB]$ est le point de $[BC]$ situé à la distance $AM$ du point $B$ .

3

Puisque $BN = AM$ , on en déduit que $R(M) = N$ . Par un raisonnement identique, $R(N) = P$ et $R(P) = M$ .

4

La rotation $R$ transforme $M$ en $N$ et $N$ en $P$ , donc $MN = NP = PM$ et $(\vec{IM}, \vec{IN}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ . Le triangle $MNP$ est donc équilatéral de centre $I$ .

Exemple travaillé · 14

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $I$ le milieu de $[AD]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ . Montre que $(AJ) \perp (BI)$ et $AJ = BI$ .

1

On considère la rotation $r = R_{(O, \frac{\pi}{2})}$ . Dans le carré direct $ABCD$ , $r(A) = B$ , $r(D) = A$ et $r(C) = D$ .

2

Le point $J$ est le milieu de $[CD]$ . Comme toute rotation conserve les milieux, $r(J)$ est le milieu du segment image $[DA]$ , c'est-à-dire $I$ .

3

Puisque $r(A) = B$ et $r(J) = I$ , l'image du segment $[AJ]$ par $r$ est le segment $[BI]$ .

4

Une rotation conserve les distances et fait tourner toute droite de son angle : on a donc $AJ = BI$ et $(\vec{AJ}, \vec{BI}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ , ce qui prouve que $(AJ) \perp (BI)$ .

Piège classique · 15

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Quel est l'angle de la rotation $r$ qui transforme le vecteur $\vec{AB}$ en $\vec{BC}$ ?

Attention

Prendre directement l'angle intérieur $\frac{\pi}{3}$ au sommet $B$ comme angle de la rotation.

À la place : L'angle de la rotation est l'angle orienté entre les vecteurs : $(\vec{AB}, \vec{BC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{BA}) + (\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv \pi - \frac{\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ .

Vérification · 16

Soit $r$ une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme un parallélogramme $ABCD$ en un quadrilatère $A'B'C'D'$ . Quelle est la nature de $A'B'C'D'$ ?

Remarque

Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs, les angles géométriques et le parallélisme. L'image d'un parallélogramme par une rotation est donc toujours un parallélogramme isométrique.

Définition · 17

Images de figures usuelles par une rotation

Soit $r = R_{(O, \theta)}$ une rotation du plan orienté.

$r(\mathcal{D}) = \mathcal{D}' \implies (\mathcal{D}, \mathcal{D}') \equiv \theta [\pi]$

L'image d'un segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ de même longueur, avec $A'=r(A)$ et $B'=r(B)$ .

$r(\mathcal{C}(I, R)) = \mathcal{C}'(r(I), R)$

Remarque

Une rotation conserve le contact : si une droite $\Delta$ est tangente à un cercle $\mathcal{C}$ en $A$ , alors $r(\Delta)$ est tangente à $r(\mathcal{C})$ en $r(A)$ .

Exemple travaillé · 18

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $r = R_{(A, \frac{\pi}{2})}$ . Détermine l'image de la droite $(BC)$ par $r$ .

1

On cherche l'image d'un point connu de la droite $(BC)$ . Dans le carré direct $ABCD$ , $AB = AD$ et $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ , donc :

2

r(B) = D

3

L'angle de la rotation est $\frac{\pi}{2}$ , donc l'image de la droite $(BC)$ est la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par le point image $r(B) = D$ .

4

Dans le carré $ABCD$ , la droite $(CD)$ passe par $D$ et est perpendiculaire à $(BC)$ .

5

r((BC)) = (CD)

Exemple travaillé · 19

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $I$ passant par $A$ , et $\Delta$ la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ . Soit $R = R_{(O, \theta)}$ . Montre que $R(\Delta)$ est la tangente à $R(\mathcal{C})$ en $A' = R(A)$ .

1

La droite $\Delta$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$ en $A$ , ce qui signifie que $\Delta \perp (IA)$ et $A \in \Delta$ .

2

Par la rotation $R$ , le cercle $\mathcal{C}(I, IA)$ a pour image le cercle $\mathcal{C}'(I', I'A')$ avec $I' = R(I)$ et $A' = R(A)$ .

3

L'image de la droite $(IA)$ est la droite $(I'A')$ , et l'image de la droite $\Delta$ est une droite $\Delta'$ passant par $A'$ .

4

Comme toute rotation conserve l'orthogonalité, $(IA) \perp \Delta$ implique $(I'A') \perp \Delta'$ .

5

La droite $\Delta'$ passe par le point $A'$ du cercle $\mathcal{C}'$ et est perpendiculaire au rayon $[I'A']$ : c'est donc la tangente à $\mathcal{C}'$ en $A'$ .

Piège classique · 20

Une rotation $r$ transforme une droite $\mathcal{D}$ en une droite $\mathcal{D}'$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ . Que peut-on affirmer sur l'angle $\theta$ de la rotation $r$ ?

Attention

Affirmer que l'angle de la rotation vaut obligatoirement $+\frac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$ .

À la place : L'orthogonalité entre deux droites signifie $(\mathcal{D}, \mathcal{D}') \equiv \frac{\pi}{2} [\pi]$ . L'angle de la rotation peut donc être congru à $+\frac{\pi}{2} [2\pi]$ ou à $-\frac{\pi}{2} [2\pi]$ .

Vérification · 21

Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites sécantes en un unique point $A$ . Soit $r$ une rotation. Que peut-on dire des droites images $\mathcal{D}'_1 = r(\mathcal{D}_1)$ et $\mathcal{D}'_2 = r(\mathcal{D}_2)$ ?

Remarque

Une rotation est une bijection qui conserve les intersections : si $\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \{A\}$ , alors $r(\mathcal{D}_1) \cap r(\mathcal{D}_2) = \{r(A)\}$ . Les droites images sont donc sécantes en $A' = r(A)$ .

Définition · 22

Théorème fondamental d'existence et d'unicité

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points du plan orienté tels que $A \neq B$ .

$AB = CD \quad \text{et} \quad \vec{AB} \neq \vec{CD}$

Il existe une unique rotation $r$ telle que $r(A) = C$ et $r(B) = D$ .

\theta \equiv (\vec{AB}, \vec{CD}) [2\pi]

\Omega \in \text{med}[AC] \cap \text{med}[BD]

Remarque

Si $\vec{AB} = \vec{CD}$ , il existe une unique translation transformant $(A, B)$ en $(C, D)$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct et $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $C$ . Montre qu'il existe une unique rotation $R$ telle que $R(A) = C$ et $R(B) = D$ , puis détermine son angle et construis son centre.

1

On vérifie les conditions d'existence : $ABC$ est équilatéral donc $AB = BC$ . Par symétrie, $C$ est le milieu de $[BD]$ , donc $BC = CD$ . On en déduit que $AB = CD$ .

2

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD} = \vec{BC}$ ne sont pas colinéaires. Comme $AB = CD$ et $\vec{AB} \neq \vec{CD}$ , il existe une unique rotation $R$ envoyant $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$ .

3

\theta \equiv (\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv (\vec{AB}, \vec{BC}) [2\pi]

4

Par la relation de Chasles :

5

(\vec{AB}, \vec{BC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{BA}) + (\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv \pi - \frac{\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]

6

Le centre $\Omega$ vérifie $\Omega A = \Omega C$ et $\Omega B = \Omega D$ . $\Omega$ est donc l'intersection de la médiatrice de $[AC]$ et de la perpendiculaire à $(BC)$ en $C$ .

Exemple travaillé · 24

Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(2, 0)$ , $B(4, 1)$ , $C(1, 2)$ et $D(0, 4)$ . Montre qu'il existe une unique rotation $R$ transformant $A$ en $C$ et $B$ en $D$ , puis détermine son angle.

1

On calcule les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(2, 1)$ et $\vec{CD}(-1, 2)$ .

2

On compare les longueurs :

3

AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \quad \text{et} \quad CD = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}

4

Puisque $AB = CD$ et $\vec{AB} \neq \vec{CD}$ , il existe une unique rotation $R$ transformant $A$ en $C$ et $B$ en $D$ .

5

L'angle $\theta$ de $R$ vérifie :

6

\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{AB \times CD} = \frac{2(-1) + 1(2)}{5} = 0

7

\sin\theta = \frac{\det(\vec{AB}, \vec{CD})}{AB \times CD} = \frac{2(2) - 1(-1)}{5} = 1

8

On en déduit que $\theta \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ .

Piège classique · 25

Soit $ABCD$ un parallélogramme non aplati. Existe-t-il une rotation qui transforme $A$ en $B$ et $D$ en $C$ ?

Attention

Affirmer qu'une rotation existe au motif que les distances $AD$ et $BC$ sont égales.

À la place : Dans un parallélogramme, on a l'égalité vectorielle $\vec{AD} = \vec{BC}$ . Comme les vecteurs directeurs sont égaux, $(\vec{AD}, \vec{BC}) \equiv 0 [2\pi]$ : l'application est une translation de vecteur $\vec{AB}$ , pas une rotation.

Vérification · 26

Soient $A, B, C, D$ quatre points tels que $AB = CD = 3$ et $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ . Combien existe-t-il de rotations transformant $A$ en $C$ et $B$ en $D$ ?

Remarque

L'égalité des longueurs $AB = CD$ et le fait que l'angle orienté soit non nul modulo $2\pi$ garantissent l'existence et l'unicité de la rotation.

Définition · 27

Composée de deux rotations

Soient $R_{(O, \theta)}$ et $R'_{(O, \theta')}$ deux rotations de même centre $O$ .

$R'_{(O, \theta')} \circ R_{(O, \theta)} = R_{(O, \theta + \theta')}$

\theta + \theta' \equiv 0 [2\pi] \implies R' \circ R = \text{Id}_{\mathcal{P}}

Soient $r_1 = R_{(I, \alpha)}$ et $r_2 = R_{(J, \beta)}$ deux rotations de centres distincts $I \neq J$ :

\alpha + \beta \equiv 0 [2\pi] \implies r_2 \circ r_1 \text{ est une translation}

\alpha + \beta \not\equiv 0 [2\pi] \implies r_2 \circ r_1 \text{ est une rotation d'angle } \alpha + \beta

Remarque

Le centre de la rotation $r_2 \circ r_1$ se situe à l'intersection des médiatrices des segments $[AA']$ et $[BB']$ reliant deux points à leurs images.

Exemple travaillé · 28

Soit $O$ un point du plan. On considère les rotations $R_1 = R_{(O, \frac{\pi}{3})}$ et $R_2 = R_{(O, \frac{\pi}{2})}$ . Caractérise la transformation $f = R_2 \circ R_1$ .

1

Les deux rotations $R_1$ et $R_2$ ont le même centre $O$ .

2

D'après la propriété de composition des rotations de même centre, $f = R_2 \circ R_1$ est une rotation de même centre $O$ .

3

On calcule la somme de leurs angles orientés :

4

\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

5

La transformation $f$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{5\pi}{6}$ .

Exemple travaillé · 29

Soient $BOA$ et $ACO'$ deux triangles isocèles rectangles directs respectivement en $O$ et $O'$ . Soit $r = R_{(O, \frac{\pi}{2})}$ et $r' = R_{(O', \frac{\pi}{2})}$ . Détermine l'image de $B$ par $r' \circ r$ , puis caractérise $r' \circ r$ .

1

On applique successivement les deux rotations au point $B$ :

2

(r' \circ r)(B) = r'(r(B))

3

Dans le triangle isocèle rectangle direct $BOA$ en $O$ , on a $r(B) = A$ .

4

Dans le triangle isocèle rectangle direct $ACO'$ en $O'$ , on a $r'(A) = C$ . On en déduit $(r' \circ r)(B) = C$ .

5

La somme des angles des deux rotations est $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$ . La transformation $r' \circ r$ est donc une rotation d'angle $\pi$ , c'est-à-dire une symétrie centrale.

6

Puisque $(r' \circ r)(B) = C$ , le centre de cette symétrie centrale est le milieu du segment $[BC]$ .

Vérification · 30

Soit $r_1$ une rotation d'angle $\frac{\pi}{4}$ et $r_2$ une rotation d'angle $-\frac{\pi}{4}$ , de centres distincts $I \neq J$ . Quelle est la nature de $r_2 \circ r_1$ ?

Remarque

La somme des angles est $\frac{\pi}{4} + \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0 \equiv 0 [2\pi]$ . Pour deux centres distincts, lorsque la somme des angles est nulle modulo $2\pi$ , la transformation résultante est une translation.

Rotations — cours

Le cours

Définition d'une rotation

Cas particuliers et rotation réciproque

Propriétés de conservation d'une rotation

Images de figures usuelles par une rotation

Théorème fondamental d'existence et d'unicité

Composée de deux rotations

Chapitres liés

Continuer sur Lumio