Produit scalaire dans le plan — exercices corrigés

Sur votre copie, construire un segment $[AB]$ de longueur $AB = 4\text{ cm}$. On se propose de déterminer et de construire, par étapes successives, l'ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ du plan tels que $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -12$.

1. 1. Placer sur la droite $(AB)$ le point $H$ tel que $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = -12$. Justifier précisément sa position en calculant la distance $AH$ et en précisant le sens du vecteur $\vec{AH}$ par rapport à celui de $\vec{AB}$.

   Indice — Pense à la définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires. Analyse le signe du produit scalaire pour en déduire le sens relatif des deux vecteurs.

   Correction

   Puisque le point $H$ appartient à la droite $(AB)$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires. Le signe négatif du produit scalaire ($-12 < 0$) indique que ces deux vecteurs sont de sens opposés. On a donc l'égalité : $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = -AB \times AH$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $-4 \times AH = -12$, ce qui donne $AH = 3\text{ cm}$. Le point $H$ se situe donc sur la droite $(AB)$, à l'extérieur du segment $[AB]$ du côté de $A$, à une distance de $3\text{ cm}$ de $A$.

2. 2. Soit $M$ un point du plan vérifiant la relation $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -12$. Exprimer cette condition sous une forme faisant intervenir le produit scalaire lié au point $H$.

   Indice — Compare la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ avec celle de $\vec{AB} \cdot \vec{AH}$ définie à la question précédente.

   Correction

   Par définition, la condition sur le point $M$ est $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -12$. D'après la question précédente, on sait que $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = -12$. On peut donc exprimer cette condition en remplaçant la valeur numérique $-12$ par le produit scalaire associé au point $H$.

3. 3. Établir, pour tout point $M$ de l'ensemble $(\mathcal{D})$, l'égalité des deux produits scalaires :
   $$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$

   Indice — Utilise la transitivité de l'égalité en exploitant les résultats des questions 1 et 2.

   Correction

   En utilisant le résultat de la question 2 et par transitivité de la relation d'égalité (les deux expressions étant égales à $-12$), on établit directement que pour tout point $M$ de $(\mathcal{D})$ : $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.

4. 4. Regrouper tous les termes de l'égalité précédente dans le membre de gauche afin d'obtenir une équation dont le second membre est nul.

   Indice — Transpose le terme de droite vers la gauche en changeant son signe pour faire apparaître une différence égale à zéro.

   Correction

   En transposant le terme de droite dans le membre de gauche par soustraction, on obtient l'équation équivalente : $\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AB} \cdot \vec{AH} = 0$.

5. 5. En utilisant la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition vectorielle, factoriser l'expression obtenue par le vecteur commun $\vec{AB}$.

   Indice — Mets en facteur le vecteur $\vec{AB}$ pour obtenir une expression de la forme $\vec{AB} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = 0$.

   Correction

   En factorisant l'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AB} \cdot \vec{AH} = 0$ par le vecteur commun $\vec{AB}$ grâce à la distributivité du produit scalaire, on obtient : $\vec{AB} \cdot (\vec{AM} - \vec{AH}) = 0$.

6. 6. Appliquer la relation de Chasles pour simplifier la différence de vecteurs obtenue entre parenthèses afin de faire apparaître un unique vecteur variable.

   Indice — Rappelle-toi que la différence $\vec{AM} - \vec{AH}$ peut s'écrire sous la forme d'un seul vecteur d'origine $H$ grâce à une relation vectorielle classique.

   Correction

   Par la relation de Chasles, on a $\vec{AM} - \vec{AH} = \vec{HA} + \vec{AM} = \vec{HM}$. L'égalité précédente se simplifie donc sous la forme : $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

7. 7. Traduire la nullité du produit scalaire ainsi obtenu par une condition d'orthogonalité géométrique entre deux vecteurs.

   Indice — Deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul si et seulement si leurs directions possèdent une propriété géométrique particulière.

   Correction

   La nullité du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$ signifie que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{HM}$ sont orthogonaux.

8. 8. En déduire la nature géométrique exacte de l'ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ du plan, puis le tracer avec soin sur votre figure.

   Indice — Quel est l'ensemble des points $M$ tels que la droite $(HM)$ soit perpendiculaire à une droite fixe passant par $H$ ?

   Correction

   Puisque le point $H$ est fixe et que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{HM}$ sont orthogonaux, l'ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ est la droite perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par le point $H$.

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$. On désigne par $I$ le milieu du segment $[AC]$.\n\nPour tout nombre réel $m$, on considère l'expression scalaire définie pour tout point $M$ du plan par :\n$$\Phi_m(M) = m MA^2 + (1-m) MB^2 + (m-2) MC^2$$

1. 1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, puis exprimer la différence $MA^2 - MC^2$ sous la forme d'un produit scalaire entre un vecteur fixe et le vecteur $\vec{AM}$, où $I$ désigne le milieu du segment $[AC]$.

   Indice — Exprime le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ en utilisant l'orthogonalité des côtés du triangle, puis applique la relation de polarisation sur la différence $MA^2 - MC^2$.

   Correction

   Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, donc $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.

   Pour la différence des carrés, en utilisant l'identité remarquable vectorielle et en observant que $\vec{MA} - \vec{MC} = \vec{CA}$ :
   $$MA^2 - MC^2 = (\vec{MA} - \vec{MC}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MC}) = \vec{CA} \cdot (2\vec{MA} + \vec{AC}) = 2\vec{AC} \cdot \vec{AM} - AC^2$$
   Comme $AC = 3$, on obtient $MA^2 - MC^2 = 2\vec{AC} \cdot \vec{AM} - 9$.

2. 2. Déterminer et caractériser géométriquement l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant l'égalité $MA^2 - MC^2 = -5$.

   Indice — Réécris l'équation en remplaçant la différence de carrés par le produit scalaire obtenu à la question précédente et interprète le résultat à l'aide d'une condition d'orthogonalité.

   Correction

   En réutilisant le résultat précédent, l'égalité $MA^2 - MC^2 = -5$ équivaut à $2\vec{AC} \cdot \vec{AM} - 9 = -5$, soit $\vec{AC} \cdot \vec{AM} = 2$.

   En désignant par $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AC)$, cette condition se traduit par le produit scalaire $\vec{AC} \cdot \vec{AH} = 2$, ce qui détermine un unique point $H$ sur la droite $(AC)$ (tel que la mesure algébrique $\overline{AH} = \frac{2}{3}$). L'ensemble des points $M$ recherché est donc la droite perpendiculaire à $(AC)$ passant par $H$.

3. 3. Pour tout réel $m \neq 1$, justifier l'existence du barycentre $G_m$ des points pondérés $\{(A, m), (B, 1-m), (C, m-2)\}$ et exprimer le vecteur $\vec{BG_m}$ en fonction des vecteurs $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$.

   Indice — Vérifie pour quelle valeur du paramètre réel la somme des coefficients associés aux points $A$, $B$ et $C$ s'annule dans l'expression $\Phi_m(M)$.

   Correction

   La somme des coefficients du système pondéré est $S = m + (1-m) + (m-2) = m - 1$.
   Pour tout $m \neq 1$, cette somme est non nulle, ce qui garantit l'existence et l'unicité du barycentre $G_m$.

   En appliquant la définition vectorielle du barycentre au point origine $B$ :
   $$(m-1)\vec{BG_m} = m\vec{BA} + (m-2)\vec{BC} \implies \vec{BG_m} = \frac{m}{m-1}\vec{BA} + \frac{m-2}{m-1}\vec{BC}$$

4. 4. Établir la relation de réduction de Leibniz pour l'expression $\Phi_m(M) = m MA^2 + (1-m) MB^2 + (m-2) MC^2$, en l'exprimant en fonction de $MG_m$ et de la constante $\Phi_m(G_m)$ pour tout $m \neq 1$.

   Indice — Applique la formule de réduction scalaire des systèmes pondérés dont la somme des poids est non nulle en centrant l'expression sur le barycentre $G_m$.

   Correction

   Pour $m \neq 1$, en décomposant les vecteurs par la relation de Chasles au moyen du barycentre $G_m$ ($\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{M{G}_m}+\overrightarrow{G_{m}A}$
   \vec{MA} = \vec{MG_m} + \vec{G_mA}, etc.), les termes croisés s'annulent par définition du barycentre.

   On obtient directement la relation de réduction de Leibniz :
   $$\Phi_m(M) = (m-1) MG_m^2 + \Phi_m(G_m)$$

5. 5. Étudier le cas particulier où $m = 1$, en simplifiant l'expression $\Phi_1(M)$ et en déduisant la nature exacte de l'ensemble des points $M$ tels que $\Phi_1(M) = -5$.

   Indice — Remplace directement la valeur particulière du paramètre dans l'expression générale et relie le résultat aux conclusions établies dans les premières questions.

   Correction

   Pour $m = 1$, la somme des coefficients est nulle ($1 + 0 - 1 = 0$). L'expression se simplifie en $\Phi_1(M) = MA^2 - MC^2 = (\vec{MA} - \vec{MC}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MC}) = 2 \vec{CA} \cdot \vec{MI} = 2 \vec{AC} \cdot \vec{IM}$, où $I$ est le milieu du segment $[AC]$. L'égalité $\Phi_1(M) = -5$ équivaut à $\vec{AC} \cdot \vec{IM} = -\frac{5}{2}$. Il s'agit de la droite orthogonale à $(AC)$ passant par le point projeté conforme à cette valeur de produit scalaire.

6. 6. Pour $m \neq 1$, déterminer la nature géométrique de l'ensemble $(\Gamma_m)$ des points $M$ du plan tels que $\Phi_m(M) = -5$, en discutant selon les valeurs du paramètre $m$.

   Indice — Exprime la condition d'appartenance à l'ensemble sous la forme d'une équation portant sur la distance $MG_m^2$, puis analyse le signe du second membre selon les valeurs de $m$.

   Correction

   Pour $m \neq 1$, la somme des coefficients $m + (1-m) + (m-2) = m-1$ est non nulle, ce qui assure l'existence du barycentre $G_m$ des points $(A, m)$, $(B, 1-m)$ et $(C, m-2)$. D'après le théorème de réduction de Leibniz, l'expression s'écrit $\Phi_m(M) = (m-1) MG_m^2 + \Phi_m(G_m)$. La condition $\Phi_m(M) = -5$ équivaut alors à $MG_m^2 = \frac{-5 - \Phi_m(G_m)}{m-1} = k_m$. Selon le signe du réel $k_m$ : si $k_m > 0$, $(\Gamma_m)$ est le cercle de centre $G_m$ et de rayon $\sqrt{k_m}$ ; si $k_m = 0$, $(\Gamma_m)$ est le singleton $\{G_m\}$ ; si $k_m < 0$, $(\Gamma_m)$ est l'ensemble vide.

7. 7. Démontrer que la ligne de niveau $(\Gamma_m)$ est une droite si et seulement si $m = 1$.

   Indice — Compare la forme de l'équation obtenue lorsque le paramètre annule la somme des coefficients à celle obtenue lorsque cette somme est non nulle.

   Correction

   Pour $m = 1$, l'équation de la ligne de niveau s'exprime sous la forme d'un produit scalaire $\vec{AC} \cdot \vec{IM} = -\frac{5}{2}$, ce qui définit une droite. Pour tout $m \neq 1$, l'équation se ramène à $MG_m^2 = k_m$, dont l'ensemble des solutions est un cercle, un point ou l'ensemble vide, mais jamais une droite. Par conséquent, $(\Gamma_m)$ est une droite si et seulement si $m = 1$.

8. 8. Conclure en décrivant précisément l'ensemble $(\Gamma_m)$ pour toute valeur réelle de $m$.

   Indice — Synthétise l'ensemble des cas de figures obtenus pour le paramètre réel $m$ afin de dresser un bilan complet de la nature de la ligne de niveau.

   Correction

   En résumé, pour toute valeur de $m \in \mathbb{R}$ : si $m = 1$, $(\Gamma_1)$ est la droite orthogonale à $(AC)$ ; si $m \neq 1$, $(\Gamma_m)$ est soit un cercle centré en $G_m$, soit le point réduit $\{G_m\}$, soit l'ensemble vide $\emptyset$, selon le signe du membre de droite de l'équation $MG_m^2 = \frac{-5 - \Phi_m(G_m)}{m-1}$.

On considère dans le plan deux points distincts $A$ et $B$ tels que $AB = 4$. On se propose d'étudier différents ensembles de points définis par des relations de produits scalaires.

1. 1. Sur votre copie, placer deux points $A$ et $B$ tels que $AB = 4$. Déterminer par le calcul la position exacte du point $H$ appartenant à la droite $(AB)$ tel que $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = -8$, puis placer ce point sur votre figure.

   Indice — Pense à la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BH}$ et analyse le signe de leur produit scalaire pour en déduire leur sens relatif.

   Correction

   Comme $H$ appartient à la droite $(AB)$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BH}$ sont colinéaires. Leur produit scalaire étant négatif ($-8$), ils sont de sens opposés. Ainsi, $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = -AB \times BH = -8$. En remplaçant $AB$ par $4$, on obtient $-4 \times BH = -8$, d'où $BH = 2$. Le point $H$ se situe donc sur la droite $(AB)$, à l'extérieur du segment $[AB]$ du côté de $B$, à une distance de $2$ de $B$.

2. 2. Soit $M$ un point quelconque du plan. Montrer que la relation $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = -8$ est équivalente à l'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BH}$.

   Indice — Utilise la valeur constante du produit scalaire établie à la question précédente pour effectuer une substitution directe.

   Correction

   D'après la question précédente, on a établi que $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = -8$. Par substitution directe de la constante $-8$ dans la relation $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = -8$, on obtient l'équivalence recherchée : $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BH}$.

3. 3. Montrer que la relation de la question précédente est équivalente à $\vec{AB} \cdot (\vec{BM} - \vec{BH}) = 0$.

   Indice — Transpose tous les termes du même côté de l'égalité et utilise la bilinéarité du produit scalaire pour factoriser par le vecteur commun.

   Correction

   En transposant le terme de droite, l'égalité s'écrit $\vec{AB} \cdot \vec{BM} - \vec{AB} \cdot \vec{BH} = 0$. Par distributivité du produit scalaire, on factorise par le vecteur commun $\vec{AB}$, ce qui donne directement : $\vec{AB} \cdot (\vec{BM} - \vec{BH}) = 0$.

4. 4. En déduire que cette relation se ramène à l'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

   Indice — Applique la relation de Chasles sur la différence des deux vecteurs de même origine pour simplifier l'écriture.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles, on simplifie la différence de vecteurs : $\vec{BM} - \vec{BH} = \vec{HB} + \vec{BM} = \vec{HM}$. En substituant ce résultat dans l'égalité de la question précédente, on obtient : $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

5. 5. Déterminer la nature géométrique exacte et la position de l'ensemble $(\Gamma_1)$ des points $M$ du plan vérifiant $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = -8$, puis tracer cet ensemble sur votre figure.

   Indice — Traduis l'annulation du produit scalaire en termes d'orthogonalité géométrique passant par un point fixe connu.

   Correction

   En introduisant le projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur la droite $(AB)$, la relation devient $\vec{AB} \cdot \vec{BH} = -8$. Comme $H$ appartient à $(AB)$, l'égalité des mesures algébriques donne $AB \times \overline{BH} = -8$, soit $4 \times \overline{BH} = -8$, d'où $\overline{BH} = -2$. Le point $H$ est donc le milieu du segment $[AB]$. La relation est alors équivalente à $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$. Ainsi, l'ensemble $(\Gamma_1)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$, c'est-à-dire la médiatrice du segment $[AB]$.

6. 6. On considère un point $C$ non aligné avec $A$ et $B$ de sorte que le triangle $ABC$ soit non aplati. Soit $(\Gamma_2)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = -\vec{AC} \cdot \vec{AM}$. Justifier, sans aucun calcul de longueur ni d'angle, que le point $A$ appartient à l'ensemble $(\Gamma_2)$.

   Indice — Pense au cas particulier où l'un des vecteurs du produit scalaire est le vecteur nul.

   Correction

   Pour $M = A$, le vecteur $\vec{AM}$ est le vecteur nul $\vec{0}$. On a alors $\vec{AB} \cdot \vec{AA} = 0$ et $-\vec{AC} \cdot \vec{AA} = 0$. L'égalité de définition de $(\Gamma_2)$ est trivialement vérifiée, ce qui prouve que le point $A$ appartient à $(\Gamma_2)$.

7. 7. Montrer que pour tout point $M$ du plan, la condition $M \in (\Gamma_2)$ est équivalente à $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0$.

   Indice — Regroupe les termes de l'égalité de départ du même côté et factorise par le vecteur mobile commun sans tenter de simplifier par ce dernier.

   Correction

   La condition $M \in (\Gamma_2)$ équivaut à $\vec{AB} \cdot \vec{AM} + \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0$. Par factorisation et en utilisant la bilinéarité du produit scalaire, on obtient directement la relation équivalente : $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0$.

8. 8. Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Exprimer le vecteur $\vec{AB} + \vec{AC}$ en fonction du vecteur $\vec{AA'}$.

   Indice — Pense à la propriété caractéristique du milieu d'un segment ou à l'introduction du point $A'$ par la relation de Chasles.

   Correction

   En introduisant le point $A'$ par la relation de Chasles, on obtient : $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AA'} + \vec{A'B} + \vec{AA'} + \vec{A'C} = 2\vec{AA'} + (\vec{A'B} + \vec{A'C})$. Comme $A'$ est le milieu de $[BC]$, on a $\vec{A'B} + \vec{A'C} = \vec{0}$, d'où : $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AA'}$.

9. 9. En déduire que la condition $M \in (\Gamma_2)$ est équivalente à $\vec{AA'} \cdot \vec{AM} = 0$.

   Indice — Substitue l'expression obtenue à la question précédente dans la relation d'orthogonalité de la question 7.

   Correction

   En injectant la relation vectorielle de la question précédente dans la relation d'orthogonalité de la question 7, on obtient par développement du produit scalaire : $\vec{AA'} \cdot (\vec{AM} - \vec{AA'}) = -AA'^2$, ce qui se simplifie en $\vec{AA'} \cdot \vec{AM} - AA'^2 = -AA'^2$. En éliminant le terme $-AA'^2$ de part et d'autre, on obtient directement la condition équivalente : $\vec{AA'} \cdot \vec{AM} = 0$.

10. 10. Déterminer la nature géométrique de l'ensemble $(\Gamma_2)$ et préciser sa position par rapport à la médiane issue de $A$ dans le triangle $ABC$.

    Indice — Interprète géométriquement la relation d'orthogonalité obtenue à la question précédente en identifiant la droite passant par le point fixe $A$.

    Correction

    La relation $\vec{AA'} \cdot \vec{AM} = 0$ traduit l'orthogonalité entre les vecteurs $\vec{AA'}$ et $\vec{AM}$. L'ensemble $(\Gamma_2)$ est donc la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(AA')$. Puisque la droite $(AA')$ correspond à la médiane issue de $A$ dans le triangle $ABC$, l'ensemble $(\Gamma_2)$ est la droite perpendiculaire à cette médiane passant par le sommet $A$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$ et $\vec{v} = -4\vec{i} - 5\vec{j}$. On se propose de calculer pas à pas le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et d'étudier l'orthogonalité de ces deux vecteurs.

1. 1. Déterminer les composantes $(x, y)$ du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Rappelle-toi qu'un vecteur s'écrit sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ où $x$ et $y$ sont ses composantes dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Correction

   Par identification avec l'écriture générale d'un vecteur $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, on lit directement les coefficients de $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$. On obtient $x = 3$ et $y = -2$, soit les composantes $(3, -2)$.

2. 2. Déterminer les composantes $(x', y')$ du vecteur $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Identifie les coefficients devant les vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ pour le vecteur $\vec{v}$, en faisant bien attention aux signes négatifs.

   Correction

   De la même manière, en identifiant les coefficients de $\vec{v} = -4\vec{i} - 5\vec{j}$, on obtient $x' = -4$ et $y' = -5$, soit les composantes $(-4, -5)$.

3. 3. Calculer le produit des abscisses $x x'$ des deux vecteurs.

   Indice — Multiplie la première composante de $\vec{u}$ par la première composante de $\vec{v}$ obtenues aux questions précédentes.

   Correction

   À partir des abscisses obtenues aux questions précédentes ($x = 3$ et $x' = -4$), on calcule le produit : $x x' = 3 \times (-4) = -12$.

4. 4. Calculer le produit des ordonnées $y y'$ des deux vecteurs.

   Indice — Multiplie la deuxième composante de $\vec{u}$ par la deuxième composante de $\vec{v}$ en appliquant la règle des signes pour le produit de deux nombres relatifs.

   Correction

   À partir des ordonnées obtenues aux questions précédentes ($y = -2$ et $y' = -5$), on calcule le produit : $y y' = (-2) \times (-5) = 10$.

5. 5. En déduire la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

   Indice — Utilise la formule analytique du produit scalaire dans une base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$.

   Correction

   On utilise l'expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$. Avec $\vec{u}(3; -2)$ et $\vec{v}(-4; -5)$, on obtient : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + (-2) \times (-5) = -2$.

6. 6. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier la réponse.

   Indice — Rappelle-toi la condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient orthogonaux à l'aide de leur produit scalaire.

   Correction

   Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Comme $\vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \neq 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux.

Soit un carré $ABCD$ de côté $6$. On se propose d'étudier l'orthogonalité de deux segments issus d'un sommet et d'un point mobile sur les côtés adjacents.

1. 1)a). Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(A, \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\vec{i} = \dfrac{1}{6}\vec{AB}$ et $\vec{j} = \dfrac{1}{6}\vec{AD}$, on considère un carré $ABCD$ de côté $6$. Soit $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $AE = 2$ et $F$ le point du segment $[BC]$ tel que $BF = 2$. Calculer le produit scalaire $\vec{DE}\cdot\vec{AF}$.

   Indice — Exprime les composantes de chaque vecteur dans le repère associé au carré.

   Correction

   Dans le repère orthonormé $(A, \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées des points sont $A(0,0)$, $D(0,6)$, $E(2,0)$ et $F(6,2)$. On en déduit les composantes des vecteurs : $\vec{DE}\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{AF}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$. Par l'expression analytique du produit scalaire $xx' + yy'$, on obtient : $\vec{DE}\cdot\vec{AF} = 2 \times 6 + (-6) \times 2 = 0$.

2. 1)b). On prend désormais $AE = 4$ et $BF = 1$. Calculer le produit scalaire $\vec{DE}\cdot\vec{AF}$.

   Indice — Modifie l'abscisse de $E$ et l'ordonnée de $F$ selon les nouvelles données, puis réapplique la formule analytique.

   Correction

   Avec ces nouvelles positions, les coordonnées deviennent $E(4,0)$ et $F(6,1)$, ce qui donne $\vec{DE}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{AF}\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$. On calcule alors : $\vec{DE}\cdot\vec{AF} = 4 \times 6 + (-6) \times 1 = 18$.

3. 1)c). En comparant les résultats des questions précédentes, que peut-on conjecturer quant à la position relative des droites $(DE)$ et $(AF)$ lorsque $AE = BF$ ?

   Indice — Compare les deux valeurs obtenues précédemment pour identifier quand le produit scalaire s'annule.

   Correction

   Lorsque $AE = BF = 2$, le produit scalaire est nul, ce qui traduit l'orthogonalité des vecteurs $\vec{DE}$ et $\vec{AF}$. En revanche, lorsque $AE \neq BF$, le produit scalaire n'est pas nul. On conjecture donc que les droites $(DE)$ et $(AF)$ sont perpendiculaires lorsque $AE = BF$.

4. 2)a). On pose $AE = x$ et $BF = y$ avec $x \in [0\,;\,6]$ et $y \in [0\,;\,6]$. Exprimer le produit scalaire $\vec{DE}\cdot\vec{AF}$ en fonction de $x$ et $y$.

   Indice — Pose $AE = x$ et $BF = y$, puis détermine les composantes de $\vec{DE}$ et $\vec{AF}$ en fonction de $x$ et $y$.

   Correction

   Dans le cas général, $E$ a pour coordonnées $(x,0)$ et $F$ a pour coordonnées $(6,y)$. Les composantes des vecteurs sont donc $\vec{DE}\begin{pmatrix} x \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{AF}\begin{pmatrix} 6 \\ y \end{pmatrix}$. Le produit scalaire s'exprime par : $\vec{DE}\cdot\vec{AF} = 6x - 6y = 6(x - y)$.

5. 2)b). En déduire l'ensemble des couples $(x, y)$ pour lesquels les vecteurs $\vec{DE}$ et $\vec{AF}$ sont orthogonaux, et valider ainsi la conjecture émise.

   Indice — Annule l'expression obtenue à la question précédente et isole l'une des variables.

   Correction

   Les vecteurs $\vec{DE}$ et $\vec{AF}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. En annulant l'expression établie à la question précédente, on obtient $6(x - y) = 0$, ce qui équivaut à $x = y$.

   L'ensemble des couples solutions est donc l'ensemble des $(x, x)$ avec $x \in [0, 6]$. On valide ainsi la conjecture : $(DE)$ et $(AF)$ sont orthogonales si et seulement si $AE = BF$.

6. 3). Soit $a > 0$ la longueur d'un carré $ABCD$ quelconque. On place $E$ sur $[AB]$ et $F$ sur $[BC]$ tels que $AE = BF = k \cdot a$ avec $k \in [0\,;\,1]$. Déterminer la nature géométrique de l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant l'égalité $\vec{DE}\cdot\vec{FM} = 0$.

   Indice — Pense à exprimer les coordonnées des points dans un repère adapté au carré de côté $a$ et utilise la caractérisation vectorielle d'une droite orthogonale.

   Correction

   L'égalité $\vec{DE} \cdot \vec{FM} = 0$ exprime que le vecteur $\vec{FM}$ est orthogonal au vecteur $\vec{DE}$.

   Comme $a > 0$, le vecteur $\vec{DE}$ est non nul. L'ensemble des points $M$ est donc la droite passant par le point $F$ et orthogonale à la droite $(DE)$ (c'est-à-dire la droite passant par $F$ admettant $\vec{DE}$ pour vecteur normal).