Produit scalaire dans le plan — exercices corrigés

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. On note $a$ un réel strictement positif tel que $AB = 2a$. On se propose d'étudier des ensembles de points définis par des relations scalaires.

1. 1). Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan tels que $AB = 2a$ avec $a > 0$. Construire la figure et placer le milieu $I$ du segment $[AB]$. Montrer que pour tout point $M$ du plan, $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - a^2$.

   Indice — Considère la relation de Chasles pour exprimer les vecteurs en fonction de $A$ et $B$.

   Correction

   En introduisant le milieu $I$ du segment $[AB]$ grâce à la relation de Chasles, on écrit : $\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$ et $iveaux\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$
   iveaux \vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB}. En développant le produit scalaire et en remarquant que $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ et que $IA = IB = a$, on obtient directement la relation : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - a^2$.

2. 2). Déterminer et construire l'ensemble $(\mathcal{C}_k)$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k$, où $k$ est un réel donné. Discuter suivant les valeurs de $k$.

   Indice — Utilise la relation établie précédemment pour exprimer la condition sur $MI$.

   Correction

   La condition $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k$ se réécrit, d'après la question précédente, $MI^2 - a^2 = k$, soit $MI^2 = a^2 + k$. On discute suivant la valeur de $k$ : si $k > -a^2$, l'ensemble $(\mathcal{C}_k)$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{a^2+k}$ ; si $k = -a^2$, l'ensemble se réduit au point $I$ ; si $k < -a^2$, l'ensemble est vide.

3. 3). Soit $C$ un point du plan tel que $ABC$ soit un triangle. On considère l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = 8a^2$. Montrer qu'il existe un point fixe $G$ tel que cette condition équivaut à $MG^2 = R^2$ pour une constante $R$ à préciser.

   Indice — Pense à la relation de Leibniz pour les systèmes de points pondérés.

   Correction

   En utilisant le barycentre $G$ du système pondéré $\{(A, 1), (B, 1), (C, 2)\}$, on applique le théorème de réduction (relation de Leibniz) pour la somme $MA^2 + MB^2 + 2MC^2$. La relation se simplifie en $4MG^2 + GA^2 + GB^2 + 2GC^2 = 8a^2$. En posant $R^2 = 2a^2 - \frac{1}{4}(GA^2 + GB^2 + 2GC^2)$, l'ensemble $(\mathcal{E})$ est défini par $MG^2 = R^2$.

4. 4). Exprimer la position du point $G$ en fonction de $A, B$ et $C$.

   Indice — Exprime les vecteurs $\vec{GA}, \vec{GB}, \vec{GC}$ en fonction des sommets du triangle.

   Correction

   Par définition, le point $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, 1), (B, 1)$ et $(C, 2)$. Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$, c'est aussi le barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 1)$ affectés du coefficient total 2. Par associativité, $G$ est donc le milieu du segment $[IC]$.

5. 5). Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$. Montrer que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \overline{HA} \cdot \overline{HB}$.

   Indice — Utilise la définition du produit scalaire par projection orthogonale.

   Correction

   En utilisant la définition du produit scalaire par projection orthogonale, on décompose les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sur la droite $(AB)$ grâce au projeté orthogonal $H$. On obtient $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \vec{HA} \cdot \vec{HB}$. En passant aux mesures algébriques sur la droite $(AB)$, il vient directement $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \overline{HA} \cdot \overline{HB}$.

6. 6). En déduire une condition nécessaire et suffisante sur la position de $H$ sur la droite $(AB)$ pour que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

   Indice — Considère le cas où $M$ appartient à la droite $(AB)$.

   Correction

   D'après la question précédente, $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ équivaut à $\overline{HA} \cdot \overline{HB} = 0$. Un produit de mesures algébriques est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, c'est-à-dire si $H = A$ ou $H = B$. La condition nécessaire et suffisante est donc que le point $H$ (projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$) soit confondu avec l'une des extrémités $A$ ou $B$, ce qui signifie géométriquement que $M$ appartient à la sphère de diamètre $[AB]$ (ou au cercle de diamètre $[AB]$ dans le plan).

7. 7). Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ associe $f(M) = \vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MA} \cdot \vec{MC}$. Montrer que $f(M) = 2\vec{MA} \cdot \vec{MJ}$ où $J$ est le milieu d'un segment à préciser.

   Indice — Utilise la relation de Chasles sur les mesures algébriques.

   Correction

   En écrivant $f(M) = \vec{MA} \cdot (\vec{MB} + \vec{MC})$ et en introduisant le milieu $J$ du segment $[BC]$, on utilise la relation vectorielle classique $\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MJ}$. On obtient alors immédiatement $f(M) = 2\vec{MA} \cdot \vec{MJ}$, où $J$ est le milieu du segment $[BC]$.

8. 8). Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $f(M) = 0$.

   Indice — Pense à la réduction de la somme des vecteurs.

   Correction

   L'égalité $f(M) = 0$ se réécrit $2\vec{MA} \cdot \vec{MJ} = 0$, soit $\vec{MA} \cdot \vec{MJ} = 0$. L'ensemble des points $M$ recherché est donc l'ensemble orthogonal aux vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MJ}$, c'est-à-dire le cercle (ou la sphère) de diamètre $[AJ]$, où $J$ est le milieu du segment $[BC]$.

9. 9). Montrer que si $M$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, alors $f(M) = \vec{MA} \cdot (\vec{MB} + \vec{MC})$.

   Indice — Examine le cas où le point $M$ est confondu avec l'un des sommets du triangle.

   Correction

   En écrivant la relation par la définition du produit scalaire et la projection orthogonale, ou en décomposant les vecteurs via la relation de Chasles par rapport aux sommets et en exploitant l'orthogonalité des hauteurs (car $M$ est l'orthocentre), on obtient directement $f(M) = \vec{MA} \cdot (\vec{MB} + \vec{MC})$.

10. 10). Calculer $f(M)$ lorsque $M$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

    Indice — Utilise les propriétés de l'orthocentre et du milieu $J$.

    Correction

    Puisque $M$ est l'orthocentre, les vecteurs $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ se projettent orthogonalement. En introduisant le milieu $J$ du segment $[BC]$, on a $\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MJ}$. Par orthogonalité des hauteurs dans le triangle, le produit scalaire $\vec{MA} \cdot \vec{MJ}$ s'annule (ou se calcule par projection), menant à un résultat constant ou nul selon la configuration géométrique.

11. 11). Conclure sur la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $f(M) = \vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MA} \cdot \vec{MC}$ est constant.

    Indice — Synthétise les résultats précédents sur les lieux géométriques et les produits scalaires.

    Correction

    En regroupant les résultats obtenus sur les expressions scalaires et les lieux géométriques associés aux conditions d'orthogonalité, l'ensemble des points $M$ vérifiant cette constance se réduit à une droite remarquable du plan (ou un ensemble vide/réduit selon la valeur de la constante), caractérisé par l'isogonalité ou la projection orthogonale.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère deux points $A$ et $B$ tels que $AB = 6$. On note $I$ le milieu du segment $[AB]$.

1. 1). Montrer que, pour tout point $M$ du plan, $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles avec le point $I$.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles, $MA^2 + MB^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 + (\vec{MI} + \vec{IB})^2 = 2MI^2 + IA^2 + IB^2 + 2\vec{MI} \cdot (\vec{IA} + \vec{IB})$. Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$. Ainsi, $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 2IA^2 = 2MI^2 + 2(\frac{AB}{2})^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$.

2. 2). Déterminer l'ensemble $(\mathcal{C})$ des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = 26$.

   Indice — Utiliser le résultat de la question précédente avec $AB = 6$.

   Correction

   Avec $AB = 6$, l'équation devient $2MI^2 + 18 = 26$, soit $2MI^2 = 8$, donc $MI = 2$. L'ensemble $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$.

3. 3). Exprimer $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ en fonction de $MI$ et $AB$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles avec le point $I$.

   Correction

   $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} + \vec{IB}) = MI^2 + \vec{MI} \cdot (\vec{IA} + \vec{IB}) + \vec{IA} \cdot \vec{IB}$. Comme $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ et $\vec{IA} = -\vec{IB}$, on obtient $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$.

4. 4). Déterminer l'ensemble $(\mathcal{C}')$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

   Indice — Utiliser le résultat de la question précédente avec $AB = 6$.

   Correction

   L'équation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ équivaut à $MI^2 - \frac{36}{4} = 0$, soit $MI^2 = 9$, donc $MI = 3$. L'ensemble $(\mathcal{C}')$ est le cercle de diamètre $[AB]$ (cercle de centre $I$ et de rayon $3$).

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$.

1. 1). Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

   Indice — $\vec{AB} \perp \vec{AC}$

   Correction

   Puisque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux. Par suite, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.

2. 2). Calculer le produit scalaire $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$.

   Indice — Projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$

   Correction

   Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est le point $A$. Ainsi, $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \vec{BA} \cdot \vec{BA} = BA^2 = 4^2 = 16$.

3. 3). Calculer $BC$.

   Indice — $\vec{BC}^2 = (\vec{BA} + \vec{AC})^2$

   Correction

   On a $\vec{BC}^2 = (\vec{BA} + \vec{AC})^2 = \vec{BA}^2 + 2\vec{BA} \cdot \vec{AC} + \vec{AC}^2$. Comme $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = 0$, on obtient $BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, d'où $BC = 5$.

4. 4). Déterminer $\cos(\widehat{ABC})$ et $\sin(\widehat{ABC})$.

   Indice — Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

   Correction

   Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5}$ et $\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

On considère deux points $A$ et $B$ du plan tels que $AB = 6$. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$.

1. 1). Exprimer $MA^2 + MB^2$ en fonction de $MI$ et $AB$.

   Indice — $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$

   Correction

   En appliquant le théorème de la médiane dans le triangle $AMB$ avec $I$ milieu de $[AB]$, on obtient : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$.

2. 2). Montrer que $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 18$.

   Indice — Utiliser $AB = 6$.

   Correction

   En remplaçant $AB$ par $6$ dans l'expression précédente, on obtient : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{6^2}{2} = 2MI^2 + 18$.

3. 3). Déterminer la distance $MI$ telle que $MA^2 + MB^2 = 26$.

   Indice — Résoudre $2MI^2 + 18 = 26$.

   Correction

   En posant $2MI^2 + 18 = 26$, on obtient $2MI^2 = 8$, soit $MI^2 = 4$. Comme $MI > 0$, on a $MI = 2$.

4. 4). Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = 26$.

   Indice — Utiliser le résultat $MI = 2$.

   Correction

   L'ensemble des points $M$ tels que $MI = 2$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$.

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=6$, $AC=4$ et $BC=5$.

1. 1). Calculer $\cos(\widehat{BAC})$, puis $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.

   Indice — Utiliser le théorème d'Al-Kashi.

   Correction

   D'après le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ABC$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$. $25 = 36 + 16 - 48 \cos(\widehat{BAC})$, soit $48 \cos(\widehat{BAC}) = 27$, donc $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{9}{16}$. Le produit scalaire vaut $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC}) = 6 \times 4 \times \frac{9}{16} = \frac{27}{4}$.

2. 2). Calculer la longueur $AI$ où $I$ est le milieu de $[BC]$.

   Indice — Utiliser la formule de la médiane : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AI^2 - \frac{BC^2}{4}$.

   Correction

   On a $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AI^2 - \frac{BC^2}{4}$. Donc $AI^2 = \frac{27}{4} + \frac{25}{4} = \frac{52}{4} = 13$. Ainsi $AI = \sqrt{13}$.

3. 3). Déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0$.

   Indice — Identifier le cercle de diamètre $[AB]$.

   Correction

   L'ensemble $(\mathcal{E})$ est le cercle de diamètre $[AB]$. Son centre est le milieu $J$ de $[AB]$ et son rayon est $\frac{AB}{2} = 3$.

4. 4). Déterminer l'ensemble $(\mathcal{F})$ des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = 50$.

   Indice — Utiliser le milieu $J$ de $[AB]$ : $MA^2 + MB^2 = 2MJ^2 + \frac{AB^2}{2}$.

   Correction

   On a $MA^2 + MB^2 = 2MJ^2 + \frac{AB^2}{2} = 2MJ^2 + 18$. L'équation $2MJ^2 + 18 = 50$ équivaut à $2MJ^2 = 32$, soit $MJ^2 = 16$. L'ensemble $(\mathcal{F})$ est le cercle de centre $J$ et de rayon $4$.

5. 5). Le point $C$ appartient-il à l'ensemble $(\mathcal{F})$ ?

   Indice — Calculer $CA^2 + CB^2$.

   Correction

   On calcule $CA^2 + CB^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$. Comme $41 \neq 50$, le point $C$ n'appartient pas à l'ensemble $(\mathcal{F})$.