Rappel · 1

Rappel : Valeur absolue et distance

Pour un réel $x$ , un réel $l$ et $\epsilon > 0$ , que traduit géométriquement l'inégalité $|x - l| < \epsilon$ ?

Remarque

L'expression $|x - l|$ mesure la distance entre $x$ et $l$ . L'inégalité $|x - l| < \epsilon$ signifie que $x$ se trouve dans l'intervalle ouvert $]l - \epsilon ; l + \epsilon[$ .

Point de départ · 2

Observer le comportement à l'infini

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 3 + \frac{12}{n}$ .

On calcule $u_{12} = 4$ , $u_{120} = 3,1$ et $u_{1200} = 3,01$ . Vers quelle valeur fixe les termes se rapprochent-ils lorsque $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes ?

Remarque

La fraction $\frac{12}{n}$ devient arbitrairement petite quand $n$ grandit : les termes s'accumulent autour de $3$ sans jamais s'en éloigner.

Définition · 3

Définition de la limite finie et convergence

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie pour tout entier $n \ge p$ , et soit $l$ un nombre réel.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$

Dire que la suite $(u_n)$ converge vers $l$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

\forall \epsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que si } n \ge N \text{ alors } |u_n - l| < \epsilon

Vocabulaire

Suite convergente — Admet une limite finie $l \in \mathbb{R}$
Suite divergente — N'admet pas de limite finie (limite infinie ou absence totale de limite)

Exemple travaillé · 4

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 3 + \frac{12}{n}$ . Détermine un entier $N$ à partir duquel $|u_n - 3| \le 10^{-2}$ .

1

On exprime la distance $|u_n - 3|$ en remplaçant $u_n$ par son expression.

|u_n - 3| = \left|3 + \frac{12}{n} - 3\right| = \frac{12}{n}

2

On traduit la condition demandée par une inéquation d'inconnue $n$ .

\frac{12}{n} \le 10^{-2}

3

Comme $n > 0$ et $10^{-2} > 0$ , le passage à l'inverse change le sens de l'inégalité.

\frac{n}{12} \ge 10^2 \iff n \ge 1200

4

Pour tout entier $n \ge 1200$ , l'écart $|u_n - 3|$ est inférieur ou égal à $10^{-2}$ . L'entier $N = 1200$ convient.

Exemple travaillé · 5

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 1 + \frac{(-1)^n}{n}$ . Détermine un entier $N$ tel que pour tout $n \ge N$ , $|u_n - 1| \le 10^{-3}$ .

1

On simplifie l'écart $|u_n - 1|$ en appliquant la propriété de la valeur absolue $|(-1)^n| = 1$ .

|u_n - 1| = \left|1 + \frac{(-1)^n}{n} - 1\right| = \frac{|(-1)^n|}{n} = \frac{1}{n}

2

On résout l'inéquation sur les entiers strictement positifs.

\frac{1}{n} \le 10^{-3}

3

Le passage à l'inverse donne directement la condition sur $n$ .

n \ge 10^3 = 1000

4

À partir du rang $N = 1000$ , tous les termes sont distants de $1$ de moins de $10^{-3}$ , ce qui confirme $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .

Piège classique · 6

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = (-1)^n$ . L'affirmation « Comme la suite $(u_n)$ est bornée par $-1$ et $1$ , elle est convergente » est-elle vraie ou fausse ?

Attention

Penser qu'une suite bornée converge obligatoirement sous prétexte que ses termes ne partent pas vers l'infini.

À la place : Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. Pour converger, les termes doivent se resserrer autour d'un unique réel $l$ . La suite $u_n = (-1)^n$ oscille sans fin entre $-1$ et $1$ : elle n'admet aucune limite et est donc divergente.

Vérification · 7

Soit $(u_n)$ une suite réelle. Laquelle de ces conditions caractérise formellement que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ ?

Remarque

Dire que $(u_n)$ converge vers $2$ équivaut à dire que la distance $|u_n - 2|$ tend vers $0$ . Une suite peut converger vers $2$ sans être croissante, et $u_n < 2$ indique seulement une majoration.

Définition · 8

Définition de la limite infinie

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie pour tout entier $n \ge p$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Dire que la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

\forall A > 0, \; \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que si } n \ge N \text{ alors } u_n > A

De même, on dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si pour tout réel $A < 0$ , il existe un entier naturel $N$ tel que si $n \ge N$ alors $u_n < A$ .

Remarque

Une suite dont la limite est $+\infty$ ou $-\infty$ ne converge pas : elle est divergente.

Définition · 9

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles définies à partir d'un rang $p$ .

$\text{Si } v_n \le u_n \text{ à partir d'un certain rang et } \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty, \text{ alors } \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Réciproquement, une suite majorée par une suite divergeant vers $-\infty$ plonge elle aussi vers $-\infty$ .

$\text{Si } u_n \le v_n \text{ à partir d'un certain rang et } \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty, \text{ alors } \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Remarque

Ces théorèmes reposent sur une seule inégalité unilatérale (minoration vers $+\infty$ ou majoration vers $-\infty$ ), sans nécessiter un encadrement bilatéral.

Exemple travaillé · 10

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = n + \cos(n)$ .

1

On utilise la minoration fondamentale de la fonction cosinus pour tout entier naturel $n$ .

\cos(n) \ge -1

2

On ajoute $n$ à chaque membre pour faire apparaître le terme général $u_n$ .

n + \cos(n) \ge n - 1 \iff u_n \ge n - 1

3

On détermine la limite de la suite minorante $v_n = n - 1$ .

\lim_{n \to +\infty} (n - 1) = +\infty

4

Comme $u_n \ge n - 1$ et que le terme minorant tend vers $+\infty$ , le théorème de comparaison donne directement la limite.

\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Exemple travaillé · 11

Détermine la limite de la suite $(v_n)_{n \ge 1}$ définie par $v_n = -2n(2 + \cos(n))$ .

1

On encadre la fonction cosinus pour tout entier $n \ge 1$ .

-1 \le \cos(n) \le 1

2

On ajoute $2$ à chaque membre de l'inégalité.

1 \le 2 + \cos(n) \le 3

3

On multiplie par $-2n$ . Comme $-2n < 0$ pour tout $n \ge 1$ , le sens des inégalités s'inverse.

-6n \le -2n(2 + \cos(n)) \le -2n \implies v_n \le -2n

4

On détermine la limite du terme majorant $-2n$ .

\lim_{n \to +\infty} (-2n) = -\infty

5

D'après le théorème de comparaison par majoration, la suite $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ .

\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty

Piège classique · 12

Pour déterminer la limite de $u_n = n + \cos(n)$ , un élève écrit l'encadrement $n - 1 \le u_n \le n + 1$ . Que peut-on en conclure avec le théorème des gendarmes ?

Attention

Tenter d'appliquer le théorème des gendarmes à un encadrement bilatéral dont les deux bornes tendent vers l'infini, puis conclure à tort à une absence de limite.

À la place : Le théorème des gendarmes s'applique exclusivement pour démontrer une convergence vers une limite finie commune. Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit : la minoration $u_n \ge n - 1$ avec $\lim (n - 1) = +\infty$ permet de conclure immédiatement que $\lim u_n = +\infty$ .

Vérification · 13

Soit $(w_n)$ une suite réelle. Laquelle des conditions suivantes garantit avec certitude que $\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$ ?

Remarque

Comme $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ , la minoration $w_n \ge \sqrt{n}$ garantit $\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$ d'après le théorème de comparaison. Une majoration ne fixe pas le comportement vers $+\infty$ , et une suite croissante peut très bien converger vers un réel fini si elle est majorée.

Définition · 14

Théorème des gendarmes et encadrement

Pour déterminer la limite d'une suite dont certains termes oscillent sans limite propre (comme $\cos(n)$ , $\sin(n)$ ou $(-1)^n$ ), on encadre cette suite entre deux suites convergeant vers une même limite finie.

$\text{Si } u_n \le w_n \le v_n \text{ à partir d'un certain rang et } \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = l, \text{ alors } \lim_{n \to +\infty} w_n = l$

Dans le cas particulier fréquent d'une limite nulle, l'encadrement se formule directement à l'aide de la valeur absolue.

$\text{Si } |w_n| \le v_n \text{ à partir d'un certain rang et } \lim_{n \to +\infty} v_n = 0, \text{ alors } \lim_{n \to +\infty} w_n = 0$

Remarque

Ce théorème exige obligatoirement deux bornes encadrantes (inférieure et supérieure) tendant vers la même valeur finie $l$ .

Exemple travaillé · 15

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = \frac{\cos(n)}{2n+3}$ .

1

On encadre le terme oscillant $\cos(n)$ pour tout entier naturel $n$ .

-1 \le \cos(n) \le 1

2

Pour tout $n \ge 0$ , le dénominateur $2n+3$ est strictement positif. On divise par $2n+3$ sans changer le sens des inégalités.

-\frac{1}{2n+3} \le \frac{\cos(n)}{2n+3} \le \frac{1}{2n+3}

3

On calcule la limite des deux suites encadrantes.

\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{2n+3} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n+3} = 0

4

Les deux bornes tendent vers $0$ . D'après le théorème des gendarmes, on conclut :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0

Exemple travaillé · 16

Détermine la limite de la suite $(v_n)_{n \ge 0}$ définie par $v_n = 5 + \frac{(-1)^n}{n+1}$ .

1

On isole le facteur alterné $(-1)^n$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

-1 \le (-1)^n \le 1

2

Comme $n+1 > 0$ , on divise chaque membre par $n+1$ .

-\frac{1}{n+1} \le \frac{(-1)^n}{n+1} \le \frac{1}{n+1}

3

Puisque $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n+1} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$ , le théorème des gendarmes assure :

\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = 0

4

Par addition avec la constante $5$ , on obtient la limite finale.

\lim_{n \to +\infty} v_n = 5 + 0 = 5

Piège classique · 17

Une suite $(u_n)$ vérifie pour tout $n \ge 1$ l'inégalité $u_n \le \frac{1}{n}$ . Peut-on en déduire que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ ?

Attention

Conclure que la suite converge vers $0$ en s'appuyant uniquement sur une majoration unilatérale dont la borne tend vers $0$ .

À la place : Une majoration seule ne borne pas la suite par le bas : rien n'empêche la suite de plonger vers $-\infty$ . Par exemple, la suite définie par $u_n = -n$ vérifie bien $-n \le \frac{1}{n}$ pour tout $n \ge 1$ , mais $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ . Le théorème des gendarmes exige impérativement une minoration et une majoration.

Vérification · 18

Soit la suite $(w_n)_{n \ge 0}$ définie par $w_n = \frac{(-1)^n + 7}{4n^2 + 3}$ . Quelle est la limite de $(w_n)$ ?

Remarque

Pour tout entier $n$ , on a $-1 \le (-1)^n \le 1$ , d'où $6 \le (-1)^n + 7 \le 8$ . Comme $4n^2 + 3 > 0$ , on obtient l'encadrement $0 \le \frac{6}{4n^2+3} \le w_n \le \frac{8}{4n^2+3}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ , donc par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0$ .

Point de départ · 19

Intuition sur une puissance répétée

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = (0,99)^n$ . Comme $0,99$ est très proche de $1$ , quelle est selon toi la limite de cette suite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Remarque

Multiplier répétitivement par un nombre strictement inférieur à $1$ réduit progressivement la valeur : à l'infini, $(0,99)^n$ finit par s'écraser vers $0$ , et non vers $1$ .

Définition · 20

Limite d'une suite géométrique

Soit $q$ un nombre réel et $(u_n)$ la suite géométrique de terme général $u_n = q^n$ pour tout entier naturel $n$ .

$\begin{cases} \text{Si } |q| < 1 \text{ (soit } -1 < q < 1\text{)}, & \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \\ \text{Si } q > 1, & \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \\ \text{Si } q = 1, & (q^n) \text{ est constante et } \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \\ \text{Si } q \le -1, & (q^n) \text{ n'admet pas de limite} \end{cases}$

Remarque

Pour une suite géométrique générale de terme $u_n = u_0 \cdot q^n$ , la limite dépend également du signe du premier terme $u_0$ lorsque $q > 1$ .

Exemple travaillé · 21

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{1 + 2^n}{3^n}$ .

1

On sépare la fraction en deux termes pour faire apparaître des puissances indépendantes.

u_n = \frac{1}{3^n} + \frac{2^n}{3^n} = \left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n

2

On identifie la raison de chaque terme géométrique.

q_1 = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad q_2 = \frac{2}{3}

3

Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$ et $-1 < \frac{2}{3} < 1$ , on applique le théorème sur les suites géométriques.

\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0

4

Par somme de limites finies, on conclut :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 0 = 0

Exemple travaillé · 22

Étudie la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = (1 - \sqrt{2})^n$ .

1

Il s'agit d'une suite géométrique de raison $q = 1 - \sqrt{2}$ .

2

On évalue numériquement la raison à l'aide de l'approximation $\sqrt{2} \approx 1,414$ .

q = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1,414 = -0,414

3

On vérifie la position de la raison par rapport à l'intervalle $]-1 ; 1[$ .

-1 < 1 - \sqrt{2} < 0 < 1

4

Puisque $|q| < 1$ , le théorème sur les suites géométriques assure la convergence vers $0$ .

\lim_{n \to +\infty} (1 - \sqrt{2})^n = 0

Piège classique · 23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite géométrique définie par $u_0 = -3$ et $u_{n+1} = 2u_n$ . Quelle est la limite de $(u_n)$ en $+\infty$ ?

Attention

Affirmer que la limite est $+\infty$ au seul motif que la raison $q = 2$ est strictement supérieure à $1$ .

À la place : L'expression explicite est $u_n = u_0 \cdot q^n = -3 \cdot 2^n$ . Comme $2 > 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty$ . Le produit par le premier terme strictement négatif ( $u_0 = -3$ ) donne par règle des signes : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ .

Vérification · 24

Parmi les suites suivantes, laquelle n'admet aucune limite en $+\infty$ ?

Remarque

Pour $u_n = (-7)^n$ , la raison vérifie $q = -7 \le -1$ : la suite oscille entre des valeurs positives et négatives sans se stabiliser ni converger. Pour $v_n$ , comme $|-\frac{1}{2}| < 1$ , la suite converge vers $2$ . Pour $w_n$ , la suite diverge vers $-\infty$ car $-5 < 0$ et $3 > 1$ .

Définition · 25

Formes indéterminées et factorisation du terme dominant

Lorsqu'on applique les opérations sur les limites, certaines situations ne permettent pas de conclure directement. On les appelle des formes indéterminées.

Vocabulaire

Formes indéterminées usuelles — $"+\infty - \infty", \; "\frac{\infty}{\infty}", \; "0 \times \infty", \; "\frac{0}{0}"$

Pour lever une indétermination du type « $\frac{\infty}{\infty}$ » ou « $+\infty - \infty$ » sur des expressions polynomiales ou rationnelles, la méthode fondamentale consiste à factoriser par le terme de plus haut degré (terme prépondérant).

$\frac{a_p n^p + \dots}{b_q n^q + \dots} = \frac{n^p \left(a_p + \frac{\dots}{n}\right)}{n^q \left(b_q + \frac{\dots}{n}\right)}$

Exemple travaillé · 26

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{2n^2 + 4}$ .

1

Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : il s'agit d'une forme indéterminée du type « $\frac{+\infty}{+\infty}$ ».

2

On factorise par le monôme de plus haut degré $n^2$ au numérateur et au dénominateur.

u_n = \frac{n^2 \left(3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(2 + \frac{4}{n^2}\right)}

3

Pour tout entier $n \ge 1$ , on simplifie par $n^2$ .

u_n = \frac{3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{4}{n^2}}

4

Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ , on conclut par quotient de limites :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}

Exemple travaillé · 27

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = \sqrt{4n^2 + 1} - n$ .

1

On est face à une forme indéterminée du type « $+\infty - \infty$ ». Sous le radical, le terme dominant est $4n^2$ , dont la racine vaut $2n$ . Comme $2n - n = n \ne 0$ , les termes prépondérants ne s'annulent pas : une factorisation directe par $n$ suffit.

2

Pour tout $n > 0$ , on factorise par $n^2$ sous la racine carrée.

\sqrt{4n^2 + 1} = \sqrt{n^2 \left(4 + \frac{1}{n^2}\right)} = n\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}}

3

On factorise l'expression globale par $n$ .

u_n = n \left(\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}} - 1\right)

4

La parenthèse tend vers $\sqrt{4} - 1 = 1$ , et $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ .

5

Par produit d'une limite infinie par une limite finie strictement positive, on conclut :

\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Exemple travaillé · 28

Détermine la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ .

1

Il s'agit d'une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». Ici, les termes dominants sont $\sqrt{n}$ et $\sqrt{n}$ : leur différence s'annule ( $\sqrt{n} - \sqrt{n} = 0$ ). Une factorisation mènerait à « $\infty \times 0$ ». Il faut donc utiliser l'expression conjuguée.

2

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ .

u_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}

3

On applique l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ au numérateur.

u_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}

4

Le dénominateur tend vers $+\infty$ par somme de deux limites infinies. Par quotient avec le numérateur constant $1$ :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0

Piège classique · 29

Pour déterminer la limite en $+\infty$ de $u_n = \sqrt{9n^2 + 2} - n$ , quelle démarche est la plus directe et adaptée ?

Attention

Appliquer systématiquement la quantité conjuguée dès qu'une racine carrée apparaît dans une différence.

À la place : Sous le radical, le terme dominant est $\sqrt{9n^2} = 3n$ . Face au terme $-n$ , la différence des coefficients dominants donne $3 - 1 = 2 \ne 0$ . Comme les termes dominants ne s'annulent pas, une simple factorisation par $n$ suffit : $u_n = n\left(\sqrt{9 + \frac{2}{n^2}} - 1\right) \to +\infty$ . La quantité conjuguée alourdit inutilement le calcul.

Vérification · 30

Pour laquelle des suites suivantes l'expression conjuguée est-elle indispensable pour lever l'indétermination en $+\infty$ ?

Remarque

Pour $a_n = \sqrt{n^2 + 3n} - n$ , le terme dominant sous la racine est $\sqrt{n^2} = n$ . Comme $n - n = 0$ , les termes prépondérants s'annulent et la factorisation produirait une indétermination « $\infty \times 0$ » : l'expression conjuguée est indispensable. Pour $b_n$ , les coefficients diffèrent ( $2n - n \ne 0$ ), donc la factorisation suffit. Pour $c_n$ , c'est une somme sans indétermination.

Définition · 31

Majoration de l'écart à la limite

Pour établir qu'une suite récurrente $(u_n)$ converge vers un réel $l$ , on étudie la distance $|u_n - l|$ et on cherche à la majorer par le terme d'une suite géométrique convergeant vers $0$ .

$\text{Si } |u_n - l| \le M \cdot k^n \text{ avec } M > 0 \text{ et } 0 \le k < 1, \text{ alors } \lim_{n \to +\infty} u_n = l$

En pratique, cette majoration s'obtient souvent à partir d'une inégalité de contraction d'un rang au suivant.

|u_{n+1} - l| \le k |u_n - l| \quad \text{avec } 0 \le k < 1

Remarque

Cette inégalité entraîne par récurrence $|u_n - l| \le k^n |u_0 - l|$ . Comme $0 \le k < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} k^n = 0$ , et le théorème des gendarmes assure $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$ .

Exemple travaillé · 32

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 9$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \frac{8u_n - 6}{u_n + 1}$ . On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 6$ . Montre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} - 6 \le \frac{2}{7}(u_n - 6)$ .

1

On exprime la différence $u_{n+1} - 6$ en réduisant au même dénominateur.

u_{n+1} - 6 = \frac{8u_n - 6}{u_n + 1} - 6 = \frac{8u_n - 6 - 6(u_n + 1)}{u_n + 1} = \frac{2(u_n - 6)}{u_n + 1}

2

On utilise la minoration $u_n \ge 6$ pour encadrer le dénominateur.

u_n \ge 6 \implies u_n + 1 \ge 7

3

Le passage à l'inverse sur des termes strictement positifs inverse le sens de l'inégalité.

\frac{1}{u_n + 1} \le \frac{1}{7} \implies \frac{2}{u_n + 1} \le \frac{2}{7}

4

Comme $u_n \ge 6$ , le facteur $(u_n - 6)$ est positif. On multiplie par $(u_n - 6)$ sans changer le sens de l'inégalité.

u_{n+1} - 6 = \frac{2}{u_n + 1}(u_n - 6) \le \frac{2}{7}(u_n - 6)

Exemple travaillé · 33

On sait que $u_n \ge 6$ et que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} - 6 \le \frac{2}{7}(u_n - 6)$ , avec $u_0 = 9$ . Détermine la limite de la suite $(u_n)$ .

1

Par récurrence immédiate à partir de l'inégalité $u_{n+1} - 6 \le \frac{2}{7}(u_n - 6)$ , on propage la raison $\frac{2}{7}$ jusqu'au rang initial.

u_n - 6 \le \left(\frac{2}{7}\right)^n (u_0 - 6)

2

On évalue $u_0 - 6 = 9 - 6 = 3$ et on utilise la minoration $u_n \ge 6$ pour encadrer l'écart.

0 \le u_n - 6 \le 3\left(\frac{2}{7}\right)^n

3

La raison géométrique vérifie $-1 < \frac{2}{7} < 1$ , d'où la limite nulle de la puissance.

\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{7}\right)^n = 0

4

D'après le théorème des gendarmes, l'écart tend vers $0$ , ce qui livre la limite de la suite.

\lim_{n \to +\infty} (u_n - 6) = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = 6

Piège classique · 34

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 2v_n - 3$ . On résout l'équation du point fixe $l = 2l - 3$ , ce qui donne $l = 3$ . Peut-on en déduire directement que la suite $(v_n)$ converge vers $3$ ?

Attention

Affirmer qu'une suite récurrente converge vers la solution de l'équation $f(l) = l$ sans avoir préalablement établi l'existence de sa limite.

À la place : L'équation $f(l) = l$ donne seulement les valeurs limites possibles SI la suite converge. Ici, $v_1 = -1$ , $v_2 = -5$ et le terme général vaut $v_n = 3 - 2^{n+1}$ : la suite diverge vers $-\infty$ ! Il faut obligatoirement prouver la convergence (par encadrement de l'écart ou monotonie) avant d'exploiter le point fixe.

Vérification · 35

Soit une suite $(u_n)$ vérifiant pour tout entier $n$ , $|u_{n+1} - 2| \le k |u_n - 2|$ . Sous quelle condition sur la constante $k$ cette inégalité garantit-elle à elle seule que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ ?

Remarque

Si $0 \le k < 1$ , l'inégalité implique $|u_n - 2| \le k^n |u_0 - 2|$ . Comme la raison géométrique vérifie $k \in [0 ; 1[$ , on a $\lim_{n \to +\infty} k^n = 0$ . Le théorème des gendarmes assure alors $\lim_{n \to +\infty} |u_n - 2| = 0$ , soit $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ . Si $k \ge 1$ , la suite géométrique majorante ne tend pas vers $0$ et on ne peut rien conclure.

Limites de suites réelles — cours

Le cours

Rappel : Valeur absolue et distance

Observer le comportement à l'infini

Définition de la limite finie et convergence

Définition de la limite infinie

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Théorème des gendarmes et encadrement

Intuition sur une puissance répétée

Limite d'une suite géométrique

Formes indéterminées et factorisation du terme dominant

Majoration de l'écart à la limite

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