Point de départ · 1

Une fonction $f$ peut être calculée pour n'importe quel nombre réel (comme $x = 0{,}5$ ou $x = \sqrt{2}$ ). Pour une suite $(u_n)$ , quelles valeurs l'indice $n$ peut-il prendre ?

Remarque

Un indice $n$ sert à numéroter les termes successifs : c'est obligatoirement un entier naturel ( $0, 1, 2, \dots$ ).

Définition · 2

Définition d'une suite réelle

$u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u_n$

Une suite réelle est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à un entier initial $n_0$ ).

L'image de l'entier $n$ se note $u_n$ au lieu de $u(n)$ .

Vocabulaire

Indice ou rang — $n$
Terme d'indice $n$ — $u_n$
Premier terme — $u_{n_0}$

Définition · 3

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite $(u_n)$ est l'ensemble des points isolés $M_n(n, u_n)$ .

Remarque

Puisque la variable $n$ ne prend que des valeurs entières, les points ne doivent jamais être reliés par une courbe continue.

Définition · 4

Modes de génération d'une suite

Une suite peut être définie de deux façons fondamentales :

$u_n = f(n) \quad \text{ou} \quad \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$

• De façon explicite : chaque terme $u_n$ se calcule directement à partir de $n$ .

• Par récurrence : le premier terme est donné, et chaque terme se déduit du terme précédent.

Exemple travaillé · 5

Soit $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 5n + 2$ , et $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = v_n + 3$ . Calculer $u_2$ et $v_2$ .

1

Pour la suite explicite $(u_n)$ , on remplace directement $n$ par 2 :

2

u_2 = 5(2) + 2 = 12

3

Pour la suite récurrente $(v_n)$ , on doit calculer les termes de proche en proche en commençant par $v_1$ :

4

v_1 = v_0 + 3 = 2 + 3 = 5

5

On calcule ensuite $v_2$ à partir de la valeur obtenue pour $v_1$ :

6

v_2 = v_1 + 3 = 5 + 3 = 8

Piège classique · 6

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 4n + 5$ . Quelle est l'expression de $u_{2n}$ en fonction de $n$ ?

Attention

Multiplier l'ensemble de l'expression par 2 pour écrire $2u_n = 2(4n + 5) = 8n + 10$ .

À la place : L'indice $n$ est remplacé par $(2n)$ . On a donc $u_{2n} = 4(2n) + 5 = 8n + 5$ .

Exemple travaillé · 7

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 2n + 4$ . Déterminer l'expression développée et réduite de $u_{n+1}$ .

1

On remplace chaque occurrence de la variable $n$ par le bloc $(n+1)$ :

2

u_{n+1} = (n+1)^2 - 2(n+1) + 4

3

On développe le carré et on distribue le facteur $-2$ :

4

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \quad \text{et} \quad -2(n+1) = -2n - 2

5

On regroupe et on réduit les termes semblables :

6

u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 - 2n - 2 + 4 = n^2 + 3

Piège classique · 8

On considère la suite $(t_n)$ définie par $t_n = \sqrt{n^2 - 5}$ . Quel est son ensemble de définition exact ?

Attention

Écrire l'ensemble sous la forme d'un intervalle de réels comme $[\sqrt{5} ; +\infty[$ .

À la place : Une suite n'est définie que pour des entiers naturels. La condition $n^2 \ge 5$ donne pour $n \in \mathbb{N}$ le premier entier $n = 3$ . L'ensemble est donc $\{n \in \mathbb{N} \mid n \ge 3\}$ .

Vérification · 9

Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $w_1 = 4$ et la relation $w_{n+1} = w_n - 2n$ . Calcule les valeurs des termes $w_2$ et $w_3$ .

Remarque

Pour $n = 1$ : $w_2 = w_1 - 2(1) = 4 - 2 = 2$ .
Pour $n = 2$ : $w_3 = w_2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$ .

Point de départ · 10

On calcule les premiers termes d'une suite $(u_n)$ : $u_0 = 7$ , $u_1 = 0$ , $u_2 = -5$ . Peut-on affirmer que la suite est décroissante sur $\mathbb{N}$ ?

Remarque

Une suite est décroissante seulement si chaque terme est inférieur ou égal au précédent pour tous les entiers naturels sans exception, et pas seulement sur les premières valeurs.

Définition · 11

Monotonie d'une suite réelle

$u_{n+1} \ge u_n \quad (\text{croissante}) \quad \text{et} \quad u_{n+1} \le u_n \quad (\text{décroissante})$

Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier $n \ge n_0$ :

• $(u_n)$ est croissante si pour tout $n \ge n_0$ , $u_{n+1} \ge u_n$ .

• $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \ge n_0$ , $u_{n+1} \le u_n$ .

• $(u_n)$ est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Remarque

Une suite n'est pas obligatoirement monotone : elle peut alterner ou changer de sens de variation au fil des rangs.

Définition · 12

Méthode : Signe de la différence

Pour déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ , on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ pour tout entier $n$ .

$u_{n+1} - u_n \ge 0 \implies (u_n) \text{ est croissante}$

$u_{n+1} - u_n \le 0 \implies (u_n) \text{ est décroissante}$

Exemple travaillé · 13

Étudier le sens de variation de la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $w_n = \frac{n}{2n+1}$ .

1

On forme la différence de deux termes consécutifs :

2

w_{n+1} - w_n = \frac{n+1}{2(n+1)+1} - \frac{n}{2n+1} = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}

3

On réduit au même dénominateur commun :

4

w_{n+1} - w_n = \frac{(n+1)(2n+1) - n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}

5

On développe et on réduit le numérateur :

6

(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n) = 1 \implies w_{n+1} - w_n = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}

7

Pour tout $n \ge 0$ , le dénominateur est strictement positif et le numérateur vaut $1 > 0$ . Donc $w_{n+1} - w_n > 0$ : la suite $(w_n)$ est strictement croissante.

Piège classique · 14

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 8n + 7$ . Les calculs donnent $u_0 = 7$ , $u_1 = 0$ , $u_2 = -5$ . Peut-on en déduire que $(u_n)$ est décroissante ?

Attention

Affirmer que $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}$ car les trois premiers termes diminuent.

À la place : Les premiers termes ne suffisent pas : pour $n = 4$ , $u_4 = -9$ , puis pour $n = 5$ , $u_5 = -8$ . Comme $u_4 < u_5$ , la suite recommence à croître. Elle n'est donc ni croissante ni décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Définition · 15

Critère du quotient pour les suites strictement positives

u_n > 0 \quad \text{pour tout entier } n

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 \iff u_{n+1} \ge u_n \quad (\text{suite croissante})$

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 \iff u_{n+1} \le u_n \quad (\text{suite décroissante})$

Remarque

Cette méthode compare le quotient à $1$ . Elle n'est valide que si tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Piège classique · 16

Soit $(u_n)$ une suite de termes non nuls. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? « Si pour tout entier naturel $n$ , on a $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ , alors $(u_n)$ est croissante. »

Attention

Considérer que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ implique toujours la croissance, même lorsque les termes sont négatifs.

À la place : C'est faux si les termes sont négatifs : multiplier l'inégalité par $u_n < 0$ inverse le sens de l'inégalité et donne $u_{n+1} \le u_n$ . La suite est alors décroissante.

Exemple travaillé · 17

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{2}{n+3}$ . Étudier le sens de variation de $(u_n)$ par la méthode du quotient.

1

On vérifie d'abord que tous les termes sont strictement positifs : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n+3 > 0$ , donc $u_n > 0$ .

2

On exprime le terme suivant $u_{n+1}$ :

3

u_{n+1} = \frac{2}{(n+1)+3} = \frac{2}{n+4}

4

On calcule le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :

5

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2}{n+4} \times \frac{n+3}{2} = \frac{n+3}{n+4}

6

On compare ce quotient à 1 : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $n+3 < n+4$ , donc $\frac{n+3}{n+4} < 1$ .

7

Comme tous les termes sont strictement positifs et que $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Définition · 18

Méthode de la fonction associée

Soit $(u_n)$ une suite définie de façon explicite par $u_n = f(n)$ pour tout entier $n \ge n_0$ , où $f$ est une fonction définie sur $[n_0 ; +\infty[$ .

$f \text{ est croissante sur } [n_0 ; +\infty[ \implies (u_n)_{n \ge n_0} \text{ est croissante}$

$f \text{ est décroissante sur } [n_0 ; +\infty[ \implies (u_n)_{n \ge n_0} \text{ est décroissante}$

Remarque

Attention : la réciproque est fausse. Une suite peut être croissante sans que la fonction associée le soit sur tout l'intervalle continu.

Vérification · 19

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \frac{2n - 5}{n + 1}$ . Quelle démarche permet de justifier que $(v_n)$ est strictement croissante ?

Remarque

La fonction associée $f(x) = \frac{2x - 5}{x + 1}$ a pour dérivée $f'(x) = \frac{7}{(x + 1)^2} > 0$ sur $[0 ; +\infty[$ . La fonction $f$ étant strictement croissante, la suite $(v_n)$ l'est aussi. Le critère du quotient était inutilisable ici car les premiers termes sont négatifs ( $v_0 = -5$ ).

Point de départ · 20

La suite $u_n = 2n$ grandit sans limite ( $0, 2, 4, 6, \dots$ ). À l'inverse, pour la suite $v_n = 3 - \frac{1}{n+1}$ , les termes s'approchent de 3 ( $2 ; 2{,}5 ; 2{,}67 ; \dots$ ) sans jamais le dépasser. Peut-on trouver un nombre réel fixe qui bloque tous les termes de $(v_n)$ ?

Remarque

Oui : pour tout entier $n$ , $v_n < 3$ . Le nombre 3 constitue une barrière supérieure pour la suite : on dit que 3 est un majorant.

Définition · 21

Suites majorées, minorées et bornées

$u_n \le M \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \quad (\text{suite majorée par } M)$

$u_n \ge m \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \quad (\text{suite minorée par } m)$

$m \le u_n \le M \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \quad (\text{suite bornée})$

Une suite est dite bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Définition · 22

Bornes et sens de variation

$(u_n)_{n \ge n_0} \text{ croissante} \implies u_n \ge u_{n_0} \quad \text{pour tout } n \ge n_0$

$(u_n)_{n \ge n_0} \text{ décroissante} \implies u_n \le u_{n_0} \quad \text{pour tout } n \ge n_0$

Toute suite croissante est minorée par son premier terme $u_{n_0}$ .

Toute suite décroissante est majorée par son premier terme $u_{n_0}$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = \frac{10n}{n^2+1}$ . Démontrer que $(u_n)$ est bornée par $0$ et $5$ .

1

Pour la minoration : pour tout $n \ge 1$ , le numérateur $10n > 0$ et le dénominateur $n^2+1 > 0$ . Le quotient est strictement positif, donc $u_n > 0$ .

2

Pour la majoration, on étudie le signe de la différence $5 - u_n$ :

3

5 - u_n = 5 - \frac{10n}{n^2+1} = \frac{5(n^2+1) - 10n}{n^2+1} = \frac{5n^2 - 10n + 5}{n^2+1}

4

On factorise le numérateur par 5 en reconnaissant une identité remarquable :

5

5 - u_n = \frac{5(n^2 - 2n + 1)}{n^2+1} = \frac{5(n-1)^2}{n^2+1}

6

Pour tout $n \ge 1$ , $(n-1)^2 \ge 0$ et $n^2+1 > 0$ . Donc $5 - u_n \ge 0$ , ce qui équivaut à $u_n \le 5$ .

7

Pour tout $n \ge 1$ , on a $0 < u_n \le 5$ . La suite $(u_n)$ est donc bornée.

Piège classique · 24

Pour la suite $u_n = \frac{10n}{n^2+1}$ ( $n \ge 1$ ), les termes tendent vers 0 quand $n$ devient très grand. Peut-on affirmer que $0$ est un majorant de la suite ?

Attention

Confondre la limite d'une suite à l'infini avec un majorant universel.

À la place : La limite décrit le comportement à l'infini, pas la plus grande valeur : ici $u_1 = 5 > 0$ et tous les termes sont strictement positifs. $0$ est un minorant, pas un majorant.

Exemple travaillé · 25

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = 10 + 2\cos n$ . Montrer que $(v_n)$ est bornée.

1

Pour tout entier naturel $n$ , la fonction cosinus vérifie l'encadrement fondamental :

2

-1 \le \cos n \le 1

3

On multiplie chaque membre par le réel strictement positif $2$ :

4

-2 \le 2\cos n \le 2

5

On ajoute $10$ à chaque membre :

6

10 - 2 \le 10 + 2\cos n \le 10 + 2 \iff 8 \le v_n \le 12

7

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $8 \le v_n \le 12$ . La suite $(v_n)$ est minorée par $8$ et majorée par $12$ : elle est donc bornée.

Piège classique · 26

L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? « Si une suite n'est pas bornée, alors elle n'est pas majorée. »

Attention

Penser qu'une suite non bornée doit obligatoirement grandir sans limite vers $+\infty$ .

À la place : C'est faux. Une suite peut être majorée sans être minorée : par exemple, la suite $u_n = -n$ est majorée par $0$ ( $u_n \le 0$ ), mais tend vers $-\infty$ . Elle n'est pas bornée, bien qu'elle soit majorée.

Vérification · 27

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 4 - \frac{3}{n+1}$ . Que peut-on affirmer sur le bornage de $(u_n)$ ?

Remarque

Pour tout $n \ge 0$ , on a $n+1 \ge 1$ , donc $0 < \frac{3}{n+1} \le 3$ .
En multipliant par $-1$ : $-3 \le -\frac{3}{n+1} < 0$ .
En ajoutant 4 : $1 \le u_n < 4$ .
La suite $(u_n)$ est minorée par 1 et majorée par 4 : elle est donc bornée.

Point de départ · 28

Dans une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant un nombre fixe $r$ au terme précédent ( $u_{n+1} = u_n + r$ ). Si $u_0 = 2$ et $r = 5$ , que vaut la différence entre deux termes consécutifs quelconques $u_{n+1} - u_n$ ?

Remarque

Par définition, la différence entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est constante et égale à sa raison $r$ .

Définition · 29

Suites arithmétiques : définition et terme général

$u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ ( $r \in \mathbb{R}$ ) si chaque terme s'obtient en ajoutant le réel constant $r$ au terme précédent.

$u_n = u_0 + nr \quad \text{et} \quad u_n = u_p + (n-p)r$

La seconde relation permet de relier directement deux termes quelconques d'indices $n$ et $p$ sans devoir repasser par le premier terme $u_0$ .

Vocabulaire

Raison — $r$
Terme général — $u_n$

Exemple travaillé · 30

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$ . Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .

1

On relie directement $u_7$ et $u_3$ par la relation générale entre deux termes quelconques :

2

u_7 = u_3 + (7 - 3)r = u_3 + 4r

3

On substitue les valeurs numériques pour isoler la raison $r$ :

4

23 = 11 + 4r \iff 4r = 12 \iff r = 3

5

On détermine ensuite le premier terme $u_0$ à partir de $u_3$ :

6

u_3 = u_0 + 3r \iff 11 = u_0 + 3(3) \iff u_0 = 11 - 9 = 2

7

Le terme général de la suite est donc $u_n = 2 + 3n$ pour tout entier naturel $n$ .

Définition · 31

Représentation graphique d'une suite arithmétique

$y = rx + u_0$

La suite arithmétique $(u_n)$ est la restriction à $\mathbb{N}$ de la fonction affine $f(x) = rx + u_0$ .

Tous les points $M_n(n, u_n)$ de sa représentation graphique sont alignés sur la droite d'équation $y = rx + u_0$ , dont le coefficient directeur est la raison $r$ .

Remarque

L'alignement des points se traduit vectoriellement par $\vec{M_{n-1}M_n} = \vec{M_n M_{n+1}} = \begin{pmatrix} 1 \\ r \end{pmatrix}$ .

Définition · 32

Caractérisation de trois termes consécutifs

$a + c = 2b$

Trois réels $a, b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si le terme intermédiaire est la moyenne arithmétique des deux termes extrêmes :

$b = \frac{a + c}{2}$

Remarque

Dans les problèmes faisant intervenir la somme de trois termes consécutifs, utiliser $a + c = 2b$ permet d'isoler directement la valeur du terme central $b$ .

Piège classique · 33

Trois réels $a$ , $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique et vérifient $a + b + c = 15$ . Quelle démarche permet d'obtenir immédiatement la valeur de $b$ ?

Attention

Poser $b = a + r$ et $c = a + 2r$ , ce qui introduit une inconnue supplémentaire $r$ et alourdit la résolution.

À la place : La relation des trois termes consécutifs donne directement $a + c = 2b$ . En substituant dans la somme : $(a + c) + b = 2b + b = 3b = 15$ , d'où $b = 5$ immédiatement.

Définition · 34

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

$S = \frac{N}{2}(u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}})$

Pour toute somme de $N$ termes consécutifs d'une suite arithmétique débutant à l'indice $p$ et se terminant à l'indice $n$ ( $p \le n$ ) :

$S = \sum_{k=p}^n u_k = \frac{(n - p + 1)}{2}(u_p + u_n)$

Cas particulier de la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls :

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Piège classique · 35

Combien de termes comporte la somme $S = u_4 + u_5 + \dots + u_{20}$ ?

Attention

Calculer $20 - 4 = 16$ en faisant la simple soustraction des indices extrêmes.

À la place : Le nombre de termes d'une somme d'indices consécutifs allant de $p$ à $n$ est $n - p + 1$ . Ici, il y a $20 - 4 + 1 = 17$ termes.

Exemple travaillé · 36

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 3n - 1$ . Calculer la somme $S = u_2 + u_3 + \dots + u_{15}$ .

1

On commence par dénombrer le nombre exact de termes additionnés :

2

N = 15 - 2 + 1 = 14 \text{ termes}

3

On évalue le premier terme de la somme ( $u_2$ ) et le dernier terme ( $u_{15}$ ) :

4

u_2 = 3(2) - 1 = 5 \quad \text{et} \quad u_{15} = 3(15) - 1 = 44

5

On applique la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique :

6

S = N \times \frac{u_2 + u_{15}}{2} = 14 \times \frac{5 + 44}{2} = 14 \times \frac{49}{2} = 7 \times 49 = 343

Vérification · 37

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -2$ . Calcule la valeur de la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Remarque

Le nombre de termes est $10 - 0 + 1 = 11$ .
Le dernier terme vaut $u_{10} = 5 + 10(-2) = -15$ .
La somme vaut $S = 11 \times \frac{5 + (-15)}{2} = 11 \times (-5) = -55$ .

Point de départ · 38

Dans une suite géométrique, chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un réel constant non nul $q$ ( $u_{n+1} = q \times u_n$ ). Si $u_0 = 3$ et $q = 2$ , comment évolue le quotient de deux termes consécutifs $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ?

Remarque

Par définition, pour une suite géométrique à termes non nuls, le rapport entre deux termes successifs reste invariable : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ pour tout entier $n$ .

Définition · 39

Suites géométriques : définition et terme général

$u_{n+1} = q \times u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ ( $q \in \mathbb{R}^*$ ) si chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par le réel constant $q$ .

$u_n = u_0 \times q^n \quad \text{et} \quad u_n = u_p \times q^{n-p}$

La relation $u_n = u_p \times q^{n-p}$ permet de relier directement deux termes quelconques d'indices $n$ et $p$ sans repasser par le terme initial $u_0$ .

Vocabulaire

Raison — $q$
Terme général — $u_n$

Exemple travaillé · 40

Soit $(v_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $v_2 = 18$ et $v_5 = 486$ . Déterminer la raison $q$ et le premier terme $v_0$ .

1

On utilise la relation entre deux termes quelconques pour exprimer $v_5$ en fonction de $v_2$ :

2

v_5 = v_2 \times q^{5-2} = v_2 \times q^3

3

On remplace par les données numériques pour isoler $q^3$ :

4

486 = 18 \times q^3 \iff q^3 = \frac{486}{18} = 27

5

Puisque $q \in \mathbb{R}$ et $27 = 3^3$ , on en déduit que $q = 3$ .

6

On calcule ensuite $v_0$ à partir de $v_2$ :

7

v_2 = v_0 \times q^2 \iff 18 = v_0 \times 3^2 = 9v_0 \iff v_0 = 2

8

Le terme général de la suite est donc $v_n = 2 \times 3^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Définition · 41

Trois termes consécutifs et sens de variation

$a \times c = b^2$

Trois réels non nuls $a, b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si le produit des termes extrêmes égale le carré du terme intermédiaire.

Variations d'une suite géométrique de raison $q > 0$

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ :

• Si $q > 1$ , la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

• Si $0 < q < 1$ , la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Remarque

Si $q < 0$ , les termes changent alternativement de signe : la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Piège classique · 42

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -18 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?

Attention

Affirmer que la suite est décroissante au motif que la raison $\frac{2}{3}$ est strictement inférieure à 1.

À la place : La puissance $(\frac{2}{3})^n$ diminue vers 0, mais le facteur initial est strictement négatif ( $-18$ ). Multiplier par un réel négatif inverse le sens des inégalités : les termes deviennent de moins en moins négatifs ( $-18 ; -12 ; -8 ; \dots$ ). La suite est donc strictement croissante.

Définition · 43

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

$S = u_{\text{premier}} \times \frac{1 - q^N}{1 - q} \quad (q \ne 1)$

Pour toute somme de $N$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \ne 1$ débutant au terme $u_p$ et s'achevant au terme $u_n$ ( $p \le n$ ) :

$S = \sum_{k=p}^n u_k = u_p \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}$

N = n - p + 1 \quad (\text{nombre effectif de termes})

Cas particulier fondamental pour tout réel $a \ne 1$ :

$1 + a + a^2 + \dots + a^n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$

Piège classique · 44

On considère la somme $S = 1 + \frac{2}{7} + \left(\frac{2}{7}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{7}\right)^n$ . Quelle est l'expression simplifiée exacte de $S$ ?

Attention

Écrire $\frac{1 - (2/7)^n}{1 - 2/7}$ en recopiant mécaniquement le dernier exposant visible $n$ .

À la place : La somme commence à $(2/7)^0 = 1$ et s'achève à $(2/7)^n$ . Le nombre effectif de termes est donc $n - 0 + 1 = n + 1$ . La puissance à appliquer au numérateur est $n+1$ , ce qui donne $\frac{1 - (2/7)^{n+1}}{1 - 2/7}$ .

Exemple travaillé · 45

Calculer la valeur exacte de la somme alternée $S = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \dots - \frac{1}{1024}$ .

1

On identifie le premier terme et la raison de la progression géométrique :

2

u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad q = -\frac{1}{2}

3

On détermine l'indice $k$ du dernier terme en résolvant $u_k = -\frac{1}{1024}$ :

4

\frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^k = -\frac{1}{1024} \iff \left(-\frac{1}{2}\right)^k = -\frac{1}{512} = \left(-\frac{1}{2}\right)^9

5

Le dernier terme est d'indice $k = 9$ . Le nombre total de termes sommés de $0$ à $9$ est :

6

N = 9 - 0 + 1 = 10 \text{ termes}

7

On applique la formule de la somme avec $q = -\frac{1}{2}$ et $N = 10$ :

8

S = \frac{1}{2} \times \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{2} \times \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{3}{2}}

9

On simplifie le quotient en éliminant le facteur $\frac{1}{2}$ :

10

S = \frac{1}{3} \times \frac{1023}{1024} = \frac{341}{1024}

Vérification · 46

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_1 = 3$ et de raison $q = 2$ . Calcule la valeur de la somme $S = v_1 + v_2 + \dots + v_6$ .

Remarque

Le premier terme est $v_1 = 3$ .
Le nombre de termes additionnés de $1$ à $6$ est $N = 6 - 1 + 1 = 6$ .
On applique la formule : $S = 3 \times \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 64}{-1} = 3 \times 63 = 189$ .

Point de départ · 47

On vérifie qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour $n = 0$ , $n = 1$ , $n = 2$ et jusqu'à $n = 100$ . Cela suffit-il pour affirmer qu'elle est vraie pour tous les entiers naturels $n \in \mathbb{N}$ ?

Remarque

Tester un nombre fini de valeurs, même très grand, ne garantit jamais la validité d'une propriété sur l'infinité des entiers naturels. Il faut un principe de transmission d'un rang au suivant : c'est le raisonnement par récurrence.

Définition · 48

Principe de raisonnement par récurrence

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$ , et $n_0 \in \mathbb{N}$ un entier fixé. Pour prouver que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$ , on applique les trois étapes fondamentales :

$P(n_0) \text{ est vraie} \quad (\text{Initialisation})$

1. Initialisation : vérifier que la propriété est vraie pour le premier rang $n_0$ .

$P(n) \implies P(n+1) \quad \text{pour tout } n \ge n_0 \quad (\text{Hérédité})$

2. Hérédité : on suppose que la propriété $P(n)$ est vraie pour un entier $n \ge n_0$ quelconque mais fixé (hypothèse de récurrence), et on démontre qu'elle reste vraie au rang suivant $n+1$ .

3. Conclusion : par le principe de raisonnement par récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \ge n_0$ .

Exemple travaillé · 49

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ . Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , on a $0 \le u_n < 3$ .

1

Initialisation : pour $n = 0$ , $u_0 = 1$ . Comme $0 \le 1 < 3$ , la propriété est vraie au rang initial $n = 0$ .

2

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ . On suppose que $0 \le u_n < 3$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $0 \le u_{n+1} < 3$ .

3

On applique successivement les opérations en partant de l'hypothèse :

4

0 \le u_n < 3 \implies 0 \le 2u_n < 6 \implies 3 \le 2u_n + 3 < 9

5

La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ , elle conserve le sens des inégalités :

6

\sqrt{3} \le \sqrt{2u_n + 3} < \sqrt{9} \iff \sqrt{3} \le u_{n+1} < 3

7

Comme $\sqrt{3} \ge 0$ , on en déduit que $0 \le u_{n+1} < 3$ . L'hérédité est établie.

8

Conclusion : par le principe de raisonnement par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $0 \le u_n < 3$ .

Piège classique · 50

Dans l'étape d'hérédité, pour déduire $\sqrt{2u_n + 3} < \sqrt{9}$ à partir de $2u_n + 3 < 9$ , quelle justification théorique est impérative ?

Attention

Prendre la racine carrée des deux membres sans préciser que la fonction racine carrée est strictement croissante.

À la place : Toute application d'une fonction à une inégalité impose de préciser son sens de variation : ici, la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ , ce qui garantit la conservation de l'ordre.

Exemple travaillé · 51

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{u_n + 3}$ , avec $0 \le u_n \le 1$ . La fonction $f(x) = \frac{x+1}{x+3}$ étant strictement croissante sur $[0 ; 1]$ , montrer par récurrence que $(u_n)$ est strictement décroissante.

1

Initialisation : on calcule $u_1 = f(u_0) = \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = 0{,}5$ . On constate que $u_1 < u_0$ ( $0{,}5 < 1$ ). L'inégalité $u_{n+1} < u_n$ est vraie pour $n = 0$ .

2

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ . On suppose que $u_{n+1} < u_n$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $u_{n+2} < u_{n+1}$ .

3

Par hypothèse, $u_{n+1} < u_n$ . Comme $u_{n+1}$ et $u_n$ appartiennent à $[0 ; 1]$ et que $f$ est strictement croissante sur cet intervalle, $f$ conserve l'ordre strict :

4

u_{n+1} < u_n \implies f(u_{n+1}) < f(u_n)

5

Or, par définition de la suite, $f(u_{n+1}) = u_{n+2}$ et $f(u_n) = u_{n+1}$ . On obtient donc immédiatement :

6

u_{n+2} < u_{n+1}

7

L'hérédité est démontrée. Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $u_{n+1} < u_n$ . La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Piège classique · 52

Pour étudier le sens de variation de la suite $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{u_n + 3}$ (avec $f$ croissante sur $[0 ; 1]$ ), un élève décide d'étudier le signe de la différence algébrique $u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n^2 - 2u_n + 1}{u_n + 3}$ . Pourquoi cette méthode est-elle déconseillée ici ?

Attention

Calculer la différence algébrique brute $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$ pour une suite récurrente, ce qui impose d'étudier le signe d'un trinôme en $u_n$ .

À la place : Lorsque la fonction génératrice $f$ est croissante sur l'intervalle contenant les termes, le raisonnement par récurrence propage l'ordre en une seule ligne ( $u_n < u_{n+1} \implies f(u_n) < f(u_{n+1})$ ), rendant le calcul de la différence inutilement lourd et risqué.

Vérification · 53

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . On veut montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge 2$ . Quel est le déroulement rigoureux de l'hérédité ?

Remarque

L'hérédité consiste à supposer $u_n \ge 2$ , puis à ajouter 2 ( $2 + u_n \ge 4$ ) et à appliquer la fonction racine carrée (strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ ) pour en déduire $\sqrt{2 + u_n} \ge \sqrt{4} = 2$ , c'est-à-dire $u_{n+1} \ge 2$ .

Point de départ · 54

Pour la suite $u_n = 2n$ , les termes grandissent sans s'arrêter ( $2, 4, 6, 8, \dots$ ). Pour la suite $v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , les termes se rapprochent de quel nombre ?

Remarque

En calculant les premières puissances de $\frac{1}{2}$ ( $1, 0{,}5 ; 0{,}25 ; 0{,}125 ; \dots$ ), les termes s'approchent de plus en plus de $0$ .

Définition · 55

Convergence et divergence d'une suite

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad (l \in \mathbb{R})$

Une suite $(u_n)$ qui admet une limite finie $l$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est dite **convergente**.

Dans le cas contraire, elle est dite **divergente** (si elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , ou si elle n'admet aucune limite comme $u_n = (-1)^n$ ).

Remarque

La limite d'une suite n'est étudiée que lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

Définition · 56

Limites de référence des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel. Le comportement asymptotique de la puissance $q^n$ dépend de la valeur de $q$ :

$\lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \quad \text{si } -1 < q < 1$

$\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \quad \text{si } q > 1 \text{ (et } q_0 > 0)$

$\lim_{n \to +\infty} q^n \text{ n'existe pas} \quad \text{si } q \le -1$

Exemple travaillé · 57

Étudier la limite de la suite $(U_n)$ définie par $U_n = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

1

On isole la base de la puissance, qui est $q = \frac{1}{3}$ .

2

Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$ , le théorème des suites géométriques donne :

3

\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0

4

Par application des règles sur les limites d'une différence :

5

\lim_{n \to +\infty} U_n = 2 - 0 = 2

6

La suite $(U_n)$ est donc convergente vers $2$ .

Piège classique · 58

Quelle est la limite en $+\infty$ de la suite $(t_n)$ définie par $t_n = (-2)^n$ ?

Attention

Conclure que la suite tend vers $+\infty$ en observant la croissance des valeurs absolues $|-2|^n$ .

À la place : Pour $q \le -1$ (ici $q = -2$ ), les termes alternent de signe sans se stabiliser ( $1, -2, 4, -8, \dots$ ). La suite n'admet aucune limite : elle diverge par oscillation.

Vérification · 59

Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n = \frac{1 - (1/2)^n}{3 + (1/2)^n}$ . Quelle est sa limite en $+\infty$ ?

Remarque

Comme $-1 < \frac{1}{2} < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} (1/2)^n = 0$ .
Le numérateur tend vers $1 - 0 = 1$ et le dénominateur tend vers $3 + 0 = 3$ .
La limite du quotient est donc $\frac{1}{3}$ . La suite est convergente.

Suites réelles — cours

Le cours

Définition d'une suite réelle

Représentation graphique d'une suite

Modes de génération d'une suite

Monotonie d'une suite réelle

Méthode : Signe de la différence

Critère du quotient pour les suites strictement positives

Méthode de la fonction associée

Suites majorées, minorées et bornées

Bornes et sens de variation

Suites arithmétiques : définition et terme général

Représentation graphique d'une suite arithmétique

Caractérisation de trois termes consécutifs

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Suites géométriques : définition et terme général

Trois termes consécutifs et sens de variation

Variations d'une suite géométrique de raison $q > 0$

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Principe de raisonnement par récurrence

Convergence et divergence d'une suite

Limites de référence des suites géométriques

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Variations d'une suite géométrique de raison q>0q > 0q>0

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