Rappel · 1

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$ et admettent une répétition régulière à chaque tour complet du cercle trigonométrique.

$\forall x \in \mathbb{R},\quad \cos(x+2\pi) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(x+2\pi) = \sin x$

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$ .

Point de départ · 2

On considère la fonction $f(x) = \cos(2x)$ . Lorsque $x$ augmente de $\pi$ , de combien augmente l'argument $2x$ à l'intérieur du cosinus ?

Remarque

Quand $x$ varie de $0$ à $\pi$ , l'argument $2x$ varie de $0$ à $2\pi$ . Le cycle complet du cosinus est donc déjà accompli sur un intervalle de longueur $\pi$ : la fonction se répète deux fois plus vite que le cosinus classique.

Définition · 3

Périodicité et interprétation géométrique

$f(x+T) = f(x)$

Une fonction $f$ définie sur $D$ est dite périodique s'il existe un réel strictement positif $T$ tel que pour tout $x \in D$ , $(x+T) \in D$ et $f(x+T) = f(x)$ . Le plus petit réel $T > 0$ vérifiant cette propriété est la période fondamentale de $f$ .

$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$

Pour tout réel non nul $\omega$ et tout réel $\varphi$ , les fonctions $x \mapsto \cos(\omega x + \varphi)$ et $x \mapsto \sin(\omega x + \varphi)$ ont pour période fondamentale $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ .

Remarque

Interprétation géométrique : la courbe représentative de $f$ est invariante par les translations de vecteurs $k T \vec{i}$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

Exemple travaillé · 4

Détermine la période fondamentale de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ , puis vérifie par le calcul que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x+T) = f(x)$ .

1

On identifie la pulsation $\omega$ devant la variable $x$ : ici $\omega = 3$ .

2

T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{3}

3

On vérifie la propriété algébrique en remplaçant $x$ par $x + \frac{2\pi}{3}$ dans l'expression de $f$ :

4

f\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(3x + 2\pi - \frac{\pi}{4}\right)

5

Puisque la fonction sinus est $2\pi$ -périodique, l'ajout de $2\pi$ dans l'argument ne modifie pas sa valeur : $\sin\left(3x + 2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = f(x)$ .

Exemple travaillé · 5

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ , de période $T = 2$ . On sait que pour tout $x \in [0 ; 2[$ , $g(x) = 2x - 1$ . Détermine la valeur exacte de $g(2006)$ et de $g(-7)$ .

1

Par application répétée de la période, pour tout entier relatif $k \in \mathbb{Z}$ , on a $g(x + k \cdot 2) = g(x)$ . On cherche à ramener chaque nombre dans l'intervalle connu $[0 ; 2[$ .

2

Pour $2006$ , on effectue la division par la période $2$ : $2006 = 0 + 1003 \times 2$ avec $0 \in [0 ; 2[$ .

3

g(2006) = g(0) = 2(0) - 1 = -1

4

Pour $-7$ , on cherche un multiple de $2$ tel que $-7 - 2k \in [0 ; 2[$ . En prenant $k = -4$ , on obtient $-7 = 1 + (-4) \times 2$ avec $1 \in [0 ; 2[$ .

5

g(-7) = g(1) = 2(1) - 1 = 1

Piège classique · 6

Quelle est la période fondamentale de la fonction définie par $f(x) = \cos\left(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{4}\right)$ ?

Attention

Calculer $T = 2\pi \times \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$ en multipliant par la pulsation au lieu de diviser, ou inclure la phase $\frac{\pi}{4}$ dans la période.

À la place : La pulsation est $\omega = \frac{1}{3}$ . On divise par cette pulsation : $T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 2\pi \times 3 = 6\pi$ . La phase $\frac{\pi}{4}$ décale la courbe mais ne change pas sa période.

Vérification · 7

Quelle est la période fondamentale de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x - 1\right)$ ?

Remarque

La pulsation vaut $\omega = \frac{\pi}{2}$ . Par conséquent, $T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4$ . Une fonction trigonométrique peut tout à fait admettre une période entière sans symbole $\pi$ .

Point de départ · 8

On note $C$ la courbe de la fonction $x \mapsto \sin(2x)$ et $C'$ celle de $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ . Quel vecteur horizontal permet de faire glisser $C$ sur $C'$ ?

Remarque

Le décalage $-\frac{\pi}{3}$ n'est pas appliqué directement à $x$ , mais au bloc $2x$ . Pour connaître le déplacement réel sur l'axe des abscisses, il faut impérativement factoriser par la pulsation $2$ .

Définition · 9

Translation et déphasage

Pour déterminer le décalage horizontal réel d'une fonction sinusoïdale, on met en facteur la pulsation $\omega$ devant la variable $x$ .

$f(x) = \sin(\omega x + \varphi) = \sin\left(\omega\left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right)$

La courbe de $f$ s'obtient à partir de celle de $x \mapsto \sin(\omega x)$ par la translation de vecteur horizontal :

$\vec{u} = -\frac{\varphi}{\omega}\vec{i}$

Définition · 10

Axes et centres de symétrie

L'identification d'une symétrie permet de diviser par deux la longueur de l'intervalle d'étude.

$x = a \text{ est axe de symétrie} \iff \forall x \in D_f,\; (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) = f(x)$

$I(a,b) \text{ est centre de symétrie} \iff \forall x \in D_f,\; (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) + f(x) = 2b$

Remarque

Si une fonction $f$ est périodique de période $T$ et admet un axe de symétrie $x = a$ , il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur $\frac{T}{2}$ ayant $a$ pour extrémité, par exemple $\left[a ; a + \frac{T}{2}\right]$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x) - 2\sin x$ . Montre que la droite d'équation $x = \frac{\pi}{2}$ est un axe de symétrie de sa courbe représentative, puis réduis l'intervalle d'étude.

1

On teste la condition $f(2a-x) = f(x)$ avec $a = \frac{\pi}{2}$ , ce qui donne $2a = \pi$ . On évalue donc $f(\pi - x)$ .

2

f(\pi - x) = \cos(2(\pi - x)) - 2\sin(\pi - x) = \cos(2\pi - 2x) - 2\sin(\pi - x)

3

Par périodicité et parité du cosinus, $\cos(2\pi - 2x) = \cos(-2x) = \cos(2x)$ . De plus, d'après les angles associés, $\sin(\pi - x) = \sin x$ .

4

f(\pi - x) = \cos(2x) - 2\sin x = f(x)

5

La droite d'équation $x = \frac{\pi}{2}$ est donc bien un axe de symétrie pour la courbe de $f$ .

6

La période de $f$ étant $2\pi$ , on peut choisir l'intervalle centré $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2}\right]$ . Grâce à l'axe de symétrie $x = \frac{\pi}{2}$ , il suffit d'étudier $f$ sur sa moitié gauche $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ .

Piège classique · 12

On considère la fonction $g(x) = \cos(3x + \pi)$ et $C_0$ la courbe de $x \mapsto \cos(3x)$ . Par quel vecteur de translation déduit-on la courbe de $g$ à partir de $C_0$ ?

Attention

Lire directement $+\pi$ dans la parenthèse et répondre que le vecteur est $-\pi\vec{i}$ .

À la place : Il faut factoriser par le coefficient $3$ devant $x$ : $3x + \pi = 3\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ . La translation est donc de vecteur $-\frac{\pi}{3}\vec{i}$ .

Exemple travaillé · 13

Soit $f(x) = \sin(2x)$ . Explique comment construire la courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h(x) = 3 - \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

On factorise la pulsation dans l'argument : $2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ .

2

On pose $g(x) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = f\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\frac{\pi}{6}\vec{i}$ .

3

On réécrit $h$ sous la forme $h(x) = -g(x) + 3$ pour décomposer les opérations restantes.

4

La fonction $-g(x)$ correspond à une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses.

5

L'ajout de la constante $3$ correspond à une translation verticale de vecteur $3\vec{j}$ .

Vérification · 14

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ : $f(\pi - x) + f(x) = 0$ . Que peut-on affirmer sur sa courbe représentative ?

Remarque

La relation s'écrit $f(2a-x) + f(x) = 2b$ avec $2a = \pi$ (soit $a = \frac{\pi}{2}$ ) et $2b = 0$ (soit $b = 0$ ). Le point $I\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ est donc un centre de symétrie.

Point de départ · 15

On sait que $(\sin x)' = \cos x$ . D'après la règle de dérivation des fonctions composées, que vaut la dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ ?

Remarque

La dérivée de la fonction affine intérieure $u(x) = 2x$ vaut $2$ . En appliquant $(f(u))' = u' \times f'(u)$ , ce facteur $2$ se retrouve devant : $f'(x) = 2\cos(2x)$ .

Définition · 16

Dérivées des fonctions composées trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ . Pour toute fonction affine $x \mapsto \omega x + \varphi$ avec $\omega \neq 0$ :

$(\sin(\omega x + \varphi))' = \omega \cos(\omega x + \varphi)$

$(\cos(\omega x + \varphi))' = -\omega \sin(\omega x + \varphi)$

Pour toute puissance entière $n \ge 1$ , la règle $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ donne :

$(\sin^n x)' = n \cos x \sin^{n-1} x \quad \text{et} \quad (\cos^n x)' = -n \sin x \cos^{n-1} x$

Exemple travaillé · 17

Détermine la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 + \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ .

1

On identifie l'argument intérieur de la fonction sinus : $u(x) = 2x - \frac{\pi}{4}$ .

2

On dérive cette fonction affine : $u'(x) = 2$ .

3

La dérivée d'une constante étant nulle, on applique $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ :

4

f'(x) = \sqrt{2} \times 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)

Piège classique · 18

Quelle est la fonction dérivée de $g(x) = \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Dériver $\cos^3 x$ en $3\cos^2 x$ en traitant $\cos x$ comme une simple variable $x$ .

À la place : Il faut appliquer la formule $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ avec $u(x) = \cos x$ . Comme $u'(x) = -\sin x$ , on obtient $g'(x) = 3(-\sin x)\cos^2 x = -3\sin x\cos^2 x$ .

Exemple travaillé · 19

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin^2 x + \cos x$ . Calcule $f'(x)$ et exprime le résultat sous forme d'un produit.

1

On dérive le terme $\sin^2 x$ en appliquant la formule $(u^2)' = 2u'u$ avec $u(x) = \sin x$ :

2

(\sin^2 x)' = 2(\sin x)' \sin x = 2\cos x \sin x

3

On dérive le terme $\cos x$ , ce qui donne $-\sin x$ :

4

f'(x) = 2\sin x \cos x - \sin x

5

On factorise par le terme commun $\sin x$ pour préparer l'étude de signe :

6

f'(x) = \sin x(2\cos x - 1)

Vérification · 20

Pour tout réel $x$ , quelle est la dérivée de la fonction $h(x) = \cos(4x + \pi)$ ?

Remarque

On extrait la dérivée de l'argument $4x+\pi$ , qui vaut $4$ . La dérivée de la fonction cosinus est $-\sin$ . Le produit donne $h'(x) = -4\sin(4x+\pi)$ .

Point de départ · 21

Quand $x$ tend vers $0$ , $\sin x$ tend vers $0$ et $x$ tend vers $0$ . On est face à une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . D'après toi, que vaut $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Remarque

Bien que le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux en $0$ , le rapport $\frac{\sin x}{x}$ tend vers une valeur finie non nulle : sa limite vaut $1$ . C'est la limite de référence fondamentale de la trigonométrie.

Définition · 22

Limites trigonométriques remarquables en 0

Pour lever les indéterminations de la forme $\frac{0}{0}$ en zéro, on utilise les limites de référence suivantes :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Pour tout réel non nul $a$ , on en déduit par composition avec $x \mapsto ax$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$

Remarque

Au premier ordre en $x$ , le cosinus vérifie également : $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$ .

Exemple travaillé · 23

Calcule la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\sin^2 x}$ .

1

L'évaluation directe en $x = 0$ conduit à la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

2

On fait apparaître les limites remarquables en divisant le numérateur et le dénominateur par $x^2$ :

3

\frac{\sin^2(2x)}{\sin^2 x} = \frac{\frac{\sin^2(2x)}{x^2}}{\frac{\sin^2 x}{x^2}} = \frac{\left(\frac{\sin(2x)}{x}\right)^2}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}

4

D'après les limites de référence, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

5

Par quotient des limites de carrés, on obtient :

6

\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\sin^2 x} = \frac{2^2}{1^2} = 4

Piège classique · 24

On étudie $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sqrt{1-\cos(2x)}}$ . Sachant que $1-\cos(2x) = 2\sin^2 x$ , que vaut $\sqrt{1-\cos(2x)}$ lorsque $x < 0$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ pour tout réel $x$ , en oubliant que la racine carrée produit une valeur absolue.

À la place : Pour tout réel $A$ , $\sqrt{A^2} = |A|$ . Comme $\sin x < 0$ lorsque $x \to 0^-$ , on a $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x$ . Ainsi $\sqrt{1-\cos(2x)} = -\sqrt{2}\sin x$ . La limite à gauche vaut $-\frac{3}{\sqrt{2}}$ et la limite à droite vaut $\frac{3}{\sqrt{2}}$ : la fonction n'admet donc pas de limite en 0.

Exemple travaillé · 25

Calcule la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x - \cos x + 2}{x\sin x}$ .

1

En $x = 0$ , le numérateur vaut $-1 - 1 + 2 = 0$ et le dénominateur s'annule : on a une indétermination $\frac{0}{0}$ .

2

On pose $X = \cos x$ au numérateur. Le trinôme $-X^2 - X + 2$ admet $1$ pour racine évidente et se factorise sous la forme $(1-X)(2+X)$ .

3

Le numérateur devient donc $(1-\cos x)(2+\cos x)$ .

4

On divise le numérateur et le dénominateur par $x^2$ pour isoler les blocs usuels :

5

\frac{(1-\cos x)(2+\cos x)}{x\sin x} = \frac{\frac{1-\cos x}{x^2} \times (2+\cos x)}{\frac{\sin x}{x}}

6

D'après les limites remarquables, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ , $\lim_{x \to 0} (2+\cos x) = 3$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

7

\lim_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x - \cos x + 2}{x\sin x} = \frac{\frac{1}{2} \times 3}{1} = \frac{3}{2}

Vérification · 26

Calcule la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\tan^2 x}$ .

Remarque

On divise le numérateur et le dénominateur par $x^2$ : $\frac{1-\cos x}{\tan^2 x} = \frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2}$ . Sachant que $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ , le quotient tend vers $\frac{1/2}{1^2} = \frac{1}{2}$ .

Rappel · 27

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $x_0$ . Le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ , noté $f'(x_0)$ , est la limite du taux d'accroissement :

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$

Lorsque l'évaluation directe d'un quotient mène à la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en $x_0$ , reconnaître cette structure permet de trouver la limite sans factorisation algébrique.

Point de départ · 28

On cherche la limite $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\cos x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{3}}$ . En évaluant en $x = \frac{\pi}{3}$ , on obtient la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Quelle méthode permet de déterminer cette limite le plus directement ?

Remarque

Au lieu d'utiliser de lourdes transformations trigonométriques, on remarque que $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ . L'expression est exactement le taux d'accroissement de la fonction cosinus en $\frac{\pi}{3}$ .

Définition · 29

Limites trigonométriques par le nombre dérivé

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ . Si une limite en $x_0$ se présente sous la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ avec $f(x_0) = L$ :

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - L}{x - x_0} = f'(x_0)$

Si le numérateur et le dénominateur sont deux fonctions $u$ et $v$ dérivables en $x_0$ s'annulant en ce point, avec $v'(x_0) \neq 0$ :

$\lim_{x \to x_0} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}}{\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}} = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)}$

Exemple travaillé · 30

Calcule la limite suivante à l'aide du nombre dérivé : $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{2x - \pi}$ .

1

L'évaluation directe donne $\frac{\sin(\pi)}{\pi - \pi} = \frac{0}{0}$ , une forme indéterminée.

2

On factorise le dénominateur par $2$ pour faire apparaître la différence $x - \frac{\pi}{2}$ :

3

\frac{\sin(2x)}{2x - \pi} = \frac{1}{2} \times \frac{\sin(2x)}{x - \frac{\pi}{2}}

4

On pose $f(x) = \sin(2x)$ . Comme $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$ , la fraction s'écrit sous la forme d'un taux d'accroissement :

5

\frac{\sin(2x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}}

6

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2\cos(2x)$ , d'où $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos(\pi) = -2$ .

7

On en déduit la limite recherchée en multipliant par le facteur $\frac{1}{2}$ :

8

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{2x - \pi} = \frac{1}{2} f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \times (-2) = -1

Piège classique · 31

On cherche la limite $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\cos x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{3}}$ . On pose $f(x) = \cos x$ . Que vaut cette limite ?

Attention

Dériver $\cos x$ en $\sin x$ et conclure que la limite est $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

À la place : La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$ . La limite est donc $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exemple travaillé · 32

Calcule la limite suivante en effectuant un changement de variable : $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ .

1

L'évaluation directe en $x = \pi$ donne la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

2

Le dénominateur étant un carré $(x-\pi)^2$ , le taux d'accroissement simple ne suffit pas. On pose le changement de variable $h = x - \pi$ , d'où $x = h + \pi$ . Quand $x \to \pi$ , on a $h \to 0$ .

3

On transforme le numérateur à l'aide des angles associés :

4

\cos x = \cos(h + \pi) = -\cos h

5

L'expression se réécrit comme un quotient en $h$ au voisinage de $0$ :

6

\frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \frac{1 - \cos h}{h^2}

7

On applique la limite trigonométrique remarquable en $0$ :

8

\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac{1}{2}

Vérification · 33

En utilisant le nombre dérivé d'une fonction adaptée, calcule : $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$ .

Remarque

On reconnaît le taux d'accroissement de $g(x) = \sin x$ en $x_0 = \frac{\pi}{6}$ , puisque $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ . Comme $g'(x) = \cos x$ , la limite vaut $g'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Point de départ · 34

La fonction tangente est définie par le quotient $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ , pour quelle valeur de $x$ ce calcul est-il impossible ?

Remarque

Pour que le quotient existe, le dénominateur ne doit pas s'annuler. Or, sur $[0 ; \pi]$ , le cosinus s'annule en $x = \frac{\pi}{2}$ car $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ . La valeur $\frac{\pi}{2}$ est donc une valeur interdite.

Définition · 35

Définition, domaine et périodicité de la fonction tangente

La fonction tangente, notée $\tan$ , est la fonction qui à tout réel $x$ associe le rapport du sinus par le cosinus :

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Elle est définie pour tous les réels où le cosinus ne s'annule pas :

$D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\}$

La fonction tangente est impaire : pour tout $x \in D_{\tan}$ , on a $\tan(-x) = -\tan x$ .

$\tan(x+\pi) = \tan x$

Remarque

La fonction tangente est périodique de période fondamentale $\pi$ (et non $2\pi$ ). Pour toute fonction $x \mapsto \tan(\omega x + \varphi)$ avec $\omega \neq 0$ , la période fondamentale est $T = \frac{\pi}{|\omega|}$ .

Piège classique · 36

Quelle est la période fondamentale de la fonction $f$ définie par $f(x) = \tan(2x)$ ?

Attention

Appliquer mécaniquement la formule $\frac{2\pi}{|\omega|}$ propre au sinus et au cosinus, ce qui conduirait à $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ .

À la place : La période fondamentale de base de la fonction tangente est $\pi$ . Avec une pulsation $\omega = 2$ , la période est donc $T = \frac{\pi}{|\omega|} = \frac{\pi}{2}$ .

Définition · 37

Dérivation, variations et asymptotes de la fonction tangente

La fonction tangente est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition. Par la règle du quotient, sa dérivée s'écrit sous deux formes équivalentes :

$(\tan)'(x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Puisque $1 + \tan^2 x > 0$ , la fonction tangente est strictement croissante sur chaque intervalle $]-\frac{\pi}{2} + k\pi \;;\; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ .

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty$

Remarque

Les droites verticales d'équations $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) sont des asymptotes verticales à la courbe représentative de la fonction tangente.

Exemple travaillé · 38

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1}{\tan x}$ . Détermine son ensemble de définition $D_f$ puis calcule sa fonction dérivée.

1

Pour que la fonction $\tan x$ soit définie, on doit exclure les réels de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

2

Pour que l'inverse $\frac{1}{\tan x}$ existe, le dénominateur ne doit pas s'annuler, donc $\tan x \neq 0 \iff \sin x \neq 0 \iff x \neq k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

3

L'intersection de ces deux contraintes élimine tous les multiples entiers de $\frac{\pi}{2}$ :

4

D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\frac{\pi}{2}, \; k \in \mathbb{Z} \right\}

5

On applique la formule de dérivation d'un inverse $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = \tan x$ :

6

f'(x) = -\frac{1 + \tan^2 x}{\tan^2 x} = -\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = -\frac{1}{\sin^2 x}

Exemple travaillé · 39

Soit la fonction $g$ définie sur $\left]-\frac{\pi}{2} \;;\; \frac{\pi}{2}\right[$ par $g(x) = x^2 \tan x$ . Justifie sa dérivabilité et calcule sa fonction dérivée.

1

Les fonctions $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto \tan x$ sont dérivables sur l'intervalle ouvert $\left]-\frac{\pi}{2} \;;\; \frac{\pi}{2}\right[$ .

2

Par application de la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ , la fonction $g$ est dérivable sur cet intervalle.

3

g'(x) = (x^2)' \tan x + x^2 (\tan)'(x)

4

g'(x) = 2x \tan x + x^2(1 + \tan^2 x)

5

On factorise par $x$ pour obtenir la forme finale :

6

g'(x) = x\left(2\tan x + x + x\tan^2 x\right)

Vérification · 40

On considère la fonction $h(x) = \tan(3x)$ . Quelles sont sa période fondamentale $T$ et sa fonction dérivée $h'(x)$ sur son domaine de définition ?

Remarque

La période fondamentale de la tangente étant $\pi$ , celle de $\tan(3x)$ vaut $T = \frac{\pi}{|\omega|} = \frac{\pi}{3}$ . Pour la dérivée, la composition affine impose d'extraire la pulsation $3$ : $h'(x) = 3(1+\tan^2(3x))$ .

Fonctions trigonométriques — cours

Le cours

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Translation et déphasage

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Dérivées des fonctions composées trigonométriques

Limites trigonométriques remarquables en 0

Limites trigonométriques par le nombre dérivé

Définition, domaine et périodicité de la fonction tangente

Dérivation, variations et asymptotes de la fonction tangente

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