Point de départ · 1

On considère la fonction $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x+2}$ . Lorsque $x$ devient infiniment grand vers $+\infty$ , que devient l'écart vertical $f(x) - (x - 1)$ entre la courbe et la droite d'équation $y = x - 1$ ?

Remarque

Comme $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x+2} = 0$ , la différence tend vers $0$ : la courbe se rapproche indéfiniment de la droite sans nécessairement la toucher.

Définition · 2

Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0 ; +\infty[$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

$La droite $\Delta : y = ax + b$ ($a \neq 0$) est une asymptote oblique à $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement si :$

\lim_{x\to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0

Remarque

Une définition identique s'applique au voisinage de $-\infty$ lorsque l'ensemble de définition contient un intervalle $]-\infty ; x_0]$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par $f(x) = \frac{x^2+x-1}{x+2}$ . On admet que pour tout $x \neq -2$ , $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x+2}$ . Démontrer que la droite $D : y = x - 1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$ .

1

On exprime la différence $f(x) - y_D$ pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{-2\}$ .

2

f(x) - (x - 1) = \left(x - 1 + \frac{1}{x+2}\right) - (x - 1) = \frac{1}{x+2}

3

On calcule la limite de cette différence en $+\infty$ .

4

\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x+2} = 0

5

On effectue le même calcul au voisinage de $-\infty$ : $\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x+2} = 0$ .

6

Puisque la limite de la différence est nulle en $+\infty$ et en $-\infty$ , la droite $D : y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathscr{C}$ aux deux voisinages infinis.

Exemple travaillé · 4

Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x+2}$ par rapport à son asymptote oblique $D : y = x - 1$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ .

1

La position relative dépend exclusivement du signe de la différence $f(x) - y_D = \frac{1}{x+2}$ .

2

Le numérateur $1$ étant strictement positif, le signe de $\frac{1}{x+2}$ est le même que celui de $x+2$ .

x	$-\infty$	-2	$+\infty$
x+2		-	0	+
$f(x)-y_D$		-	‖	+

3

Sur $]-\infty ; -2[$ , $f(x) - y_D < 0$ , donc la courbe $\mathscr{C}$ est strictement au-dessous de $D$ .

4

Sur $]-2 ; +\infty[$ , $f(x) - y_D > 0$ , donc la courbe $\mathscr{C}$ est strictement au-dessus de $D$ .

Piège classique · 5

On considère $g(x) = -2x - 1 + \frac{1}{x-1}$ et son asymptote $D : y = -2x - 1$ . Quelle est la position de $\mathscr{C}_g$ par rapport à $D$ sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$ ?

Attention

Conclure que $\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $D$ en observant uniquement le numérateur positif $+1$ .

À la place : Sur $]-\infty ; 1[$ , on a $x < 1$ donc $x - 1 < 0$ . Le quotient $\frac{1}{x-1}$ est strictement négatif : $\mathscr{C}_g$ est donc strictement au-dessous de $D$ .

Vérification · 6

Soit $h(x) = 3x - 2 - \frac{4}{x+1}$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ . Quelle est l'équation de son asymptote oblique $D$ au voisinage de $+\infty$ et la position de $\mathscr{C}_h$ par rapport à $D$ ?

Remarque

Comme $\lim_{x\to +\infty} \frac{-4}{x+1} = 0$ , $D$ a pour équation $y = 3x - 2$ . Pour $x > -1$ , le dénominateur $x+1$ est strictement positif, donc $h(x) - (3x - 2) = \frac{-4}{x+1} < 0$ , ce qui place $\mathscr{C}_h$ au-dessous de $D$ .

Point de départ · 7

Les deux courbes partent toutes deux vers $+\infty$ . Laquelle s'écrase progressivement le long de l'axe des abscisses $(O, \vec{i})$ en croissant beaucoup plus lentement que $x$ ?

Remarque

Pour $f(x) = \sqrt{2x}$ , le rapport $\frac{f(x)}{x}$ tend vers $0$ : la courbe monte indéfiniment mais adopte une direction presque horizontale, parallèle à $(O, \vec{i})$ .

Définition · 8

Branches paraboliques

Soit $f$ une fonction telle que $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ . On étudie la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction de la courbe en l'infini.

$Si $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction $(O, \vec{j})$.$

$Si $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction $(O, \vec{i})$.$

Exemple travaillé · 9

Soit la fonction $f$ définie sur $[2 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ . Déterminer la nature de la branche infinie de sa courbe représentative en $+\infty$ .

1

On calcule la limite de $f$ en $+\infty$ : $\lim_{x\to +\infty} (2x - 4) = +\infty$ , donc $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$ .

2

On étudie la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ au voisinage de $+\infty$ .

3

\text{Pour } x > 2, \quad \frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt{2x - 4}}{x} = \sqrt{\frac{2x - 4}{x^2}} = \sqrt{\frac{2}{x} - \frac{4}{x^2}}

4

\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{2}{x} - \frac{4}{x^2}\right) = 0 \implies \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0

5

Puisque $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , la courbe admet une branche parabolique de direction $(O, \vec{i})$ au voisinage de $+\infty$ .

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction polynôme $P(x) = x^3 - 3x$ définie sur $\mathbb{R}$ . Déterminer la nature de la branche infinie de sa courbe au voisinage de $+\infty$ .

1

On évalue la limite du terme de plus haut degré : $\lim_{x\to +\infty} P(x) = \lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty$ .

2

On forme le rapport $\frac{P(x)}{x}$ pour $x > 0$ .

3

\frac{P(x)}{x} = \frac{x^3 - 3x}{x} = x^2 - 3

4

\lim_{x\to +\infty} (x^2 - 3) = +\infty

5

Puisque la limite du quotient est infinie, la courbe admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction $(O, \vec{j})$ .

Piège classique · 11

Pour tout réel $x < 0$ , quelle est l'écriture simplifiée de l'expression $\frac{\sqrt{x^2}}{x}$ ?

Attention

Écrire machinalement $\sqrt{x^2} = x$ pour tout réel $x$ , ce qui donnerait $\frac{x}{x} = 1$ .

À la place : La racine carrée d'un carré est une valeur absolue : $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , $|x| = -x$ . On a donc $\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ .

Vérification · 12

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{-3x + 6}$ définie sur $]-\infty ; 2]$ . Que vaut $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}$ et quelle est la branche parabolique correspondante ?

Remarque

Pour $x < 0$ , on écrit $x = -\sqrt{x^2}$ , ce qui donne $\frac{\sqrt{-3x+6}}{x} = -\sqrt{\frac{-3x+6}{x^2}} = -\sqrt{-\frac{3}{x} + \frac{6}{x^2}}$ . En $-\infty$ , cette quantité tend vers $0$ : la courbe admet une branche parabolique de direction $(O, \vec{i})$ .

Point de départ · 13

Dans une symétrie axiale d'axe vertical $x = 2$ , l'axe coupe le segment $[MM']$ en son milieu. Quelle est l'abscisse $x'$ du point symétrique de $M(x, y)$ ?

Remarque

Le milieu a pour abscisse $\frac{x + x'}{2} = 2$ , ce qui donne $x + x' = 4$ , soit $x' = 4 - x = 2(2) - x$ : l'abscisse symétrique vaut toujours $2a - x$ .

Définition · 14

Axe et centre de symétrie

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$La droite $\Delta : x = a$ est un axe de symétrie de $\mathscr{C}$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :$

2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x)

$Le point $I(a, b)$ est un centre de symétrie de $\mathscr{C}$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :$

2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = 2b - f(x)

Remarque

L'égalité du centre de symétrie s'écrit aussi sous la forme $f(a+h) + f(a-h) = 2b$ en posant $h = x - a$ .

Exemple travaillé · 15

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 3}{(x-1)^2}$ . Démontrer que la droite $\Delta : x = 1$ est un axe de symétrie de sa courbe $\mathscr{C}$ .

1

On vérifie d'abord que le domaine de définition est centré en $a = 1$ .

2

Pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{1\}$ , $x \neq 1 \implies 2(1) - x = 2 - x \neq 1$ , donc $2 - x \in D_f$ .

3

On calcule $f(2 - x)$ en remplaçant chaque terme $x$ par $(2 - x)$ .

4

f(2-x) = \frac{2(2-x)^2 - 4(2-x) + 3}{(2-x - 1)^2}

5

On développe le numérateur : $2(4 - 4x + x^2) - 8 + 4x + 3 = 2x^2 - 4x + 3$ .

6

Au dénominateur, $(1 - x)^2 = (x - 1)^2$ .

7

f(2-x) = \frac{2x^2 - 4x + 3}{(x-1)^2} = f(x)

8

Puisque $2-x \in D_f$ et $f(2-x) = f(x)$ , la droite $\Delta : x = 1$ est bien un axe de symétrie de $\mathscr{C}$ .

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . Démontrer que le point $I(1 ; 2)$ est un centre de symétrie de sa courbe représentative $\mathscr{C}$ .

1

Le domaine est $\mathbb{R}$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $2(1) - x = 2 - x \in \mathbb{R}$ .

2

On calcule $f(2 - x)$ en développant l'expression.

3

$$f(2-x) = (2-x)^3 - 3(2-x)^2 + 4$$

4

$$f(2-x) = (8 - 12x + 6x^2 - x^3) - 3(4 - 4x + x^2) + 4 = -x^3 + 3x^2$$

5

On évalue d'autre part $2b - f(x)$ avec $b = 2$ .

6

$$2(2) - f(x) = 4 - (x^3 - 3x^2 + 4) = -x^3 + 3x^2$$

7

On constate que $f(2-x) = 2(2) - f(x)$ pour tout réel $x$ : le point $I(1 ; 2)$ est donc un centre de symétrie de $\mathscr{C}$ .

Piège classique · 17

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = (x-2)^2$ . L'égalité $f(4-x) = f(x)$ est vraie pour tout $x$ . La droite d'équation $x = 2$ est-elle un axe de symétrie de sa courbe ?

Attention

Conclure qu'une droite est un axe de symétrie uniquement parce que l'égalité algébrique $f(2a-x)=f(x)$ est vérifiée.

À la place : Il faut obligatoirement que $2a-x \in D_f$ pour tout $x \in D_f$ . Ici, pour $x = 5 \in [0 ; +\infty[$ , on a $4 - 5 = -1 \notin [0 ; +\infty[$ . Le domaine n'est pas symétrique autour de $2$ , donc la droite n'est pas un axe de symétrie.

Vérification · 18

La courbe d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ admet le point $I(3 ; -1)$ comme centre de symétrie. Sachant que $f(4) = 5$ , que vaut $f(2)$ ?

Remarque

Le symétrique de $4$ par rapport à l'abscisse $a = 3$ est $2(3) - 4 = 2$ . La relation du centre donne $f(4) + f(2) = 2(-1) = -2$ , d'où $f(2) = -2 - 5 = -7$ .

Définition · 19

Dérivabilité aux bornes et demi-tangentes verticales

Soit $f$ une fonction continue en un réel $x_0$ , définie sur un intervalle admettant $x_0$ comme borne.

$Si $\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = +\infty$ ou $-\infty$, alors $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_0$.$

Dans ce cas, la courbe $\mathscr{C}$ admet au point $M_0(x_0 ; f(x_0))$ une demi-tangente verticale.

Remarque

La même propriété s'applique à gauche en $x_0$ lorsque la limite du taux d'accroissement quand $x \to x_0^-$ est infinie.

Point de départ · 20

Quand la variable $x$ s'approche de la borne $4$ par la gauche, la pente de la courbe de $f(x) = \sqrt{4-x}$ se redresse brutalement. Quelle est la direction de la tangente à la courbe au point $A(4 ; 0)$ ?

Remarque

La courbe rejoint le point $(4 ; 0)$ avec une inclinaison verticale : la tangente en ce point est une droite verticale, orientée ici sous forme de demi-tangente.

Exemple travaillé · 21

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 2]$ par $f(x) = \sqrt{-2x + 4}$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $2$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image de la borne : $f(2) = \sqrt{-2(2) + 4} = 0$ .

2

On forme le taux d'accroissement de $f$ en $2$ pour tout $x < 2$ .

3

\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{\sqrt{-2(x - 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2 - x}}{-(2 - x)}

4

Puisque $x < 2$ , $2 - x > 0$ et on peut écrire $2 - x = (\sqrt{2 - x})^2$ .

5

\frac{\sqrt{2}\sqrt{2 - x}}{-(\sqrt{2 - x})^2} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}}

6

Quand $x \to 2^-$ , le dénominateur $\sqrt{2 - x}$ tend vers $0^+$ , donc $\lim_{x\to 2^-} \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}} = -\infty$ .

7

La limite du taux d'accroissement étant infinie, $f$ n'est pas dérivable à gauche en $2$ . La courbe admet au point $(2 ; 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 22

Soit la fonction $f$ définie sur $[3 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$ . Démontrer que $f$ n'est pas dérivable à droite en $3$ et préciser la demi-tangente à sa courbe en ce point.

1

On factorise le trinôme sous le radical : $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ .

2

On calcule $f(3) = 0$ , puis on exprime le taux d'accroissement pour tout $x > 3$ .

3

\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \frac{\sqrt{(x - 3)(x + 1)}}{x - 3} = \frac{\sqrt{x - 3}\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}\sqrt{x - 3}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}}

4

On évalue les limites quand $x \to 3^+$ : le numérateur tend vers $\sqrt{4} = 2$ et le dénominateur tend vers $0^+$ .

5

\lim_{x\to 3^+} \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}} = +\infty

6

La fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $3$ . Sa courbe admet au point $(3 ; 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Piège classique · 23

Pour déterminer si la fonction $f(x) = \sqrt{x - 1}$ est dérivable en $1$ , un élève calcule directement $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ puis évalue en $x = 1$ , obtenant $\frac{1}{0}$ . Pourquoi cette méthode est-elle fautive ?

Attention

Remplacer directement $x$ par la borne dans la formule de dérivation générale $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ .

À la place : La formule de dérivation n'est valable que sur l'intervalle ouvert où $u(x) > 0$ . À la borne où $u(x) = 0$ , la formule générale n'a pas de sens : il faut impérativement revenir à la définition en calculant la limite du taux d'accroissement.

Vérification · 24

Soit $g$ une fonction définie sur $]-\infty ; 5]$ par $g(x) = \sqrt{5 - x}$ . Sachant que $\lim_{x\to 5^-} \frac{g(x) - g(5)}{x - 5} = -\infty$ , quelle conclusion géométrique en tire-t-on pour la courbe de $g$ ?

Remarque

Comme le taux d'accroissement tend vers $-\infty$ en un point où la fonction est bien définie ( $g(5) = 0$ ), la fonction n'est pas dérivable en ce point et la courbe admet une demi-tangente verticale en $(5 ; 0)$ (et non une asymptote verticale).

Point de départ · 25

La courbe bleue représente une fonction $f$ . La courbe rouge représente la fonction $g$ définie par $g(x) = f(-x)$ . Quelle transformation géométrique relie ces deux courbes ?

Remarque

Remplacer $x$ par $-x$ échange chaque point $M(x ; y)$ avec le point $M'(-x ; y)$ : la courbe subit une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Définition · 26

Courbes déduites par transformations géométriques

À partir de la courbe $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ , on construit directement les courbes de fonctions composées usuelles.

$Pour $g(x) = f(-x)$ : $\mathscr{C}_g$ est le symétrique de $\mathscr{C}_f$ par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.$

$Pour $h(x) = |f(x)|$ : sur les intervalles où $f(x) \ge 0$, $\mathscr{C}_h = \mathscr{C}_f$ ; sur les intervalles où $f(x) < 0$, $\mathscr{C}_h$ est le symétrique de $\mathscr{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$.$

$Pour $k(x) = f(|x|)$ : la fonction $k$ est paire. Sur $D_f \cap [0 ; +\infty[$, $\mathscr{C}_k = \mathscr{C}_f$. On complète sur les réels négatifs par symétrie axiale d'axe $(Oy)$.$

Exemple travaillé · 27

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$ . Expliquer comment tracer la courbe $\mathscr{C}_g$ de la fonction $g(x) = |f(x)|$ à partir de celle de $f$ .

1

On étudie d'abord le signe de $f(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

2

Sur $]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[$ , $f(x) \ge 0$ , donc $g(x) = f(x)$ : la courbe $\mathscr{C}_g$ est exactement confondue avec $\mathscr{C}_f$ .

3

Sur $]-2 ; 2[$ , $f(x) < 0$ , donc $g(x) = -f(x)$ : la courbe $\mathscr{C}_g$ s'obtient en appliquant une symétrie orthogonale par rapport à $(Ox)$ à la partie de $\mathscr{C}_f$ située sous l'axe.

4

Les points de contact $(-2 ; 0)$ et $(2 ; 0)$ forment des points anguleux où la fonction $g$ n'est pas dérivable.

Exemple travaillé · 28

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$ . Détailler le procédé de tracé de la courbe $\mathscr{C}_h$ associée à $h(x) = f(|x|)$ .

1

On établit la parité de $h$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ . La fonction $h$ est paire.

2

Pour tout $x \ge 0$ , $|x| = x$ , donc $h(x) = f(x)$ : on conserve telle quelle la partie de $\mathscr{C}_f$ située dans le demi-plan $x \ge 0$ .

3

Pour tout $x < 0$ , par parité, on complète le tracé par symétrie orthogonale de la branche conservée par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

4

La partie originelle de $\mathscr{C}_f$ située pour $x < 0$ n'intervient pas dans le tracé final et doit être entièrement écartée.

Piège classique · 29

Pour tracer la courbe de $g(x) = f(|x|)$ à partir de la courbe de $f$ , quelle opération géométrique doit-on appliquer ?

Attention

Rabattre vers le haut les portions situées sous l'axe $(Ox)$ en confondant $f(|x|)$ avec $|f(x)|$ .

À la place : La valeur absolue s'applique à la variable $x$ , et non au résultat $f(x)$ : elle impose la parité par rapport à l'axe vertical $(Oy)$ . On conserve la branche droite ( $x \ge 0$ ) et on la symétrise par rapport à $(Oy)$ . La partie initiale pour $x < 0$ est ignorée.

Vérification · 30

Soit $f$ une fonction strictement décroissante sur $[0 ; +\infty[$ . Quel est le sens de variation de la fonction $k(x) = f(|x|)$ sur l'intervalle $]-\infty ; 0]$ ?

Remarque

La fonction $k(x) = f(|x|)$ est paire. Sa courbe sur $]-\infty ; 0]$ est l'image symétrique par rapport à $(Oy)$ de sa courbe sur $[0 ; +\infty[$ . La symétrie axiale d'axe vertical inverse le sens de variation : $f$ étant décroissante sur $[0 ; +\infty[$ , $k$ est strictement croissante sur $]-\infty ; 0]$ .

Point de départ · 31

On a tracé la courbe $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ et la droite horizontale d'équation $y = 1$ . Combien l'équation $f(x) = 1$ admet-elle de solutions réelles ?

Remarque

La droite horizontale $y = 1$ coupe la courbe $\mathscr{C}$ en exactement trois points distincts : l'équation $f(x) = 1$ admet donc 3 solutions réelles.

Définition · 32

Discussion graphique du nombre de solutions de $f(x) = m$

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ , de courbe représentative $\mathscr{C}$ dans un repère, et soit $m$ un paramètre réel.

$Les solutions réelles de l'équation $f(x) = m$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}$ avec la droite horizontale $\Delta_m$ d'équation $y = m$.$

Le nombre de solutions se déduit de la position de la droite $y = m$ par rapport aux extremums locaux et aux asymptotes horizontales de la courbe.

Exemple travaillé · 33

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$ , admettant un maximum local en $(-1 ; 2)$ et un minimum local en $(1 ; -2)$ . Déterminer, selon les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

1

Résoudre $f(x) = m$ revient à compter les points d'intersection entre la courbe $\mathscr{C}$ et la droite horizontale $\Delta_m : y = m$ .

2

Les valeurs charnières sont données par les ordonnées des extremums locaux : $-2$ et $2$ .

3

Si $m < -2$ ou $m > 2$ : la droite $y = m$ ne coupe la courbe qu'en un seul point. L'équation admet 1 solution unique.

4

Si $m = -2$ ou $m = 2$ : la droite est tangente à l'un des sommets et coupe une autre branche. L'équation admet 2 solutions.

5

Si $-2 < m < 2$ : la droite traverse les trois branches de la courbe. L'équation admet 3 solutions distinctes.

Exemple travaillé · 34

On considère la même fonction $f(x) = x^3 - 3x$ . Déterminer le nombre de solutions de l'équation $2x^3 - 6x + 5 = m$ selon les valeurs du réel $m$ .

1

On transforme l'égalité pour faire apparaître l'expression de $f(x)$ au membre de gauche.

2

2(x^3 - 3x) + 5 = m \iff 2f(x) = m - 5 \iff f(x) = \frac{m - 5}{2}

3

L'équation se ramène à $f(x) = K$ avec $K = \frac{m - 5}{2}$ : on applique les seuils $-2$ et $2$ à la quantité $K$ .

4

Pour 3 solutions : $-2 < \frac{m - 5}{2} < 2 \iff -4 < m - 5 < 4 \iff 1 < m < 9$ .

5

Pour 2 solutions : $\frac{m - 5}{2} = -2$ ou $\frac{m - 5}{2} = 2$ , c'est-à-dire $m = 1$ ou $m = 9$ . Pour 1 solution : $m < 1$ ou $m > 9$ .

Piège classique · 35

Soit l'équation $f(x^2) = m$ . En posant $X = x^2$ , l'équation devient $f(X) = m$ avec $X \ge 0$ . Si la droite $y = m$ coupe la courbe de $f$ en deux points d'abscisses $X_1 = -3$ et $X_2 = 4$ , combien l'équation initiale $f(x^2) = m$ admet-elle de solutions réelles pour $x$ ?

Attention

Affirmer qu'il y a 4 solutions réelles en doublant chaque point d'intersection sans vérifier le signe de l'abscisse.

À la place : Puisque $X = x^2$ , la variable $X$ doit obligatoirement être positive ou nulle ( $X \ge 0$ ). L'abscisse $X_1 = -3$ ne donne aucune solution car un carré réel n'est jamais négatif ( $x^2 = -3$ est impossible). Seule l'abscisse $X_2 = 4$ convient et donne $x = 2$ ou $x = -2$ , soit exactement 2 solutions réelles.

Vérification · 36

Soit l'équation $f(|x|) = m$ . La droite $y = m$ coupe la courbe de $f$ aux points d'abscisses $X_1 = -1$ et $X_2 = 5$ . Combien de solutions réelles l'équation admet-elle pour $x$ ?

Remarque

Comme $|x| \ge 0$ , l'abscisse négative $X_1 = -1$ est rejetée ( $|x| = -1$ est impossible). L'abscisse $X_2 = 5$ donne $|x| = 5$ , soit deux solutions réelles : $x = 5$ et $x = -5$ .

Étude de fonctions — cours

Le cours

Asymptote oblique

Branches paraboliques

Axe et centre de symétrie

Dérivabilité aux bornes et demi-tangentes verticales

Courbes déduites par transformations géométriques

Discussion graphique du nombre de solutions de $f(x) = m$

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