Rappel · 1

Complète la définition du nombre dérivé de $f$ en un point $a$ .

Remarque

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite finie du taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers 0.

Point de départ · 2

Pour la fonction $f(x) = x^2$ , on calcule $f'(1) = 2$ , $f'(2) = 4$ , $f'(3) = 6$ . Que vaut $f'(x)$ pour un réel $x$ quelconque ?

On associe à chaque réel $x$ son nombre dérivé $2x$ : on définit ainsi une nouvelle fonction notée $f'$ .

Définition · 3

Définition et dérivées usuelles

$f' : x \mapsto f'(x)$

f \text{ est d\'{e}rivable en tout point de } I

Dérivées usuelles fondamentales :

$(k)' = 0 \quad (k \in \mathbb{R})$

$(x^n)' = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \quad (x \neq 0)$

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x > 0)$

Exemple travaillé · 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ . Justifier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On applique la règle de dérivation des puissances terme à terme.

3

f'(x) = 3x^2 - 3(2x) + 6(1) - 0

4

f'(x) = 3x^2 - 6x + 6

Exemple travaillé · 5

Soit $g$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = \frac{1}{x^3}$ . Déterminer sa fonction dérivée $g'$ .

1

La fonction $g$ est dérivable sur son ensemble de définition $\mathbb{R}_+^*$ comme fonction rationnelle.

2

On applique la formule usuelle $(\frac{1}{x^n})' = -\frac{n}{x^{n+1}}$ avec $n=3$ .

3

g'(x) = -\frac{3}{x^{3+1}}

4

g'(x) = -\frac{3}{x^4}

Piège classique · 6

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?

Attention

Affirmer que $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ car $0$ fait partie de son ensemble de définition.

À la place : La fonction racine carrée est définie sur $[0; +\infty[$ , mais elle est dérivable uniquement sur $]0; +\infty[$ . En 0, le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ , ce qui correspond à une demi-tangente verticale.

Vérification · 7

Complète l'expression de la dérivée de $f(x) = x^5$ ainsi que son ensemble de dérivabilité.

Remarque

La dérivée de $x^n$ est $n x^{n-1}$ . Pour $x^5$ , la dérivée est $5x^4$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Définition · 8

Règles opératoires de dérivation

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ :

u \text{ et } v \text{ d\'{e}rivables sur } I

$(u + v)' = u' + v'$

$(u \times v)' = u'v + uv'$

$(u^n)' = n u' u^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Si de plus $v$ ne s'annule pas sur $I$ :

v(x) \neq 0 \text{ pour tout } x \in I

$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Exemple travaillé · 9

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-3)^3$ . Justifier sa dérivabilité sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$ .

1

On pose $u(x) = 2x-3$ . La fonction $u$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa dérivée est $u'(x) = 2$ .

2

La fonction $f = u^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme puissance d'une fonction dérivable.

3

f'(x) = 3 \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{3-1} = 3 \times 2 \times (2x-3)^2

4

f'(x) = 6(2x-3)^2

Exemple travaillé · 10

Soit $f$ la fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2-2x+2}{x-1}$ . Déterminer sa fonction dérivée $f'$ .

1

La fonction $f$ est rationnelle, donc dérivable sur son domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

2

On pose $u(x) = x^2-2x+2$ et $v(x) = x-1$ . On a $u'(x) = 2x-2$ et $v'(x) = 1$ .

3

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+2)(1)}{(x-1)^2}

4

f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x + 2) - (x^2 - 2x + 2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}

Piège classique · 11

Quelle est la fonction dérivée de $f(x) = (5x-2)^4$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Écrire $f'(x) = 4(5x-2)^3$ en oubliant de multiplier par la dérivée de la fonction interne $u'(x) = 5$ .

À la place : La formule est $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ . Ici $u(x) = 5x-2$ donc $u'(x) = 5$ , ce qui donne $f'(x) = 4 \times 5 \times (5x-2)^3 = 20(5x-2)^3$ .

Piège classique · 12

Soit $g(x) = \frac{1}{3x-7}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{7}{3}\}$ . Quelle est sa dérivée $g'(x)$ ?

Attention

Écrire $g'(x) = \frac{3}{(3x-7)^2}$ en oubliant le signe moins de la formule de l'inverse.

À la place : La formule de dérivation de l'inverse est $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ . Avec $v(x) = 3x-7$ , on a $v'(x) = 3$ , d'où $g'(x) = -\frac{3}{(3x-7)^2}$ .

Vérification · 13

On pose $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . Complète la valeur du numérateur constant de $f'(x) = \frac{\dots}{(x-3)^2}$ .

Remarque

On a $u(x) = x+1$ ( $u'=1$ ) et $v(x) = x-3$ ( $v'=1$ ). Le numérateur vaut $u'v - uv' = 1(x-3) - (x+1)(1) = x-3-x-1 = -4$ .

Définition · 14

Dérivée de la racine carrée d'une fonction

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

u(x) > 0 \text{ pour tout } x \in I

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

Exemple travaillé · 15

Soit $f$ la fonction définie sur $]1/2; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x-1}$ . Justifier sa dérivabilité et calculer $f'(x)$ .

1

On pose $u(x) = 2x-1$ . La fonction $u$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et pour tout $x > 1/2$ , $u(x) > 0$ .

2

La fonction $f = \sqrt{u}$ est donc dérivable sur $]1/2; +\infty[$ .

3

f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}}

4

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}

Piège classique · 16

Soit $f(x) = \sqrt{-2x+1}$ . Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle dérivable ?

Attention

Affirmer que $f$ est dérivable sur $]-\infty; 1/2]$ en incluant la borne $1/2$ où la racine s'annule.

À la place : Pour la dérivabilité de $\sqrt{u}$ , il faut impérativement $u(x) > 0$ strict. Ici, $-2x+1 > 0 \iff x < 1/2$ . La fonction est donc dérivable uniquement sur $]-\infty; 1/2[$ (en $1/2$ , le taux d'accroissement tend vers l'infini, traduisant une demi-tangente verticale).

Définition · 17

Dérivée d'une composée affine

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ , et soient $a$ et $b$ deux réels.

ax + b \in J \text{ pour tout } x \in I

$(f(ax+b))' = a \cdot f'(ax+b)$

Exemple travaillé · 18

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 1$ . On pose $h(x) = f(3-2x)$ . Déterminer $h'(x)$ .

1

La fonction $h$ est de la forme $x \mapsto f(ax+b)$ avec $a = -2$ et $b = 3$ .

2

On applique la formule $(f(ax+b))' = a \cdot f'(ax+b)$ .

3

h'(x) = -2 \cdot f'(3-2x)

4

h'(x) = -2 \left(3(3-2x)^2 + 1\right)

Piège classique · 19

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ . Si $g(x) = f(-x)$ , quelle est l'expression de sa dérivée $g'(x)$ ?

Attention

Écrire $g'(x) = f'(-x)$ en oubliant le coefficient multiplicateur issu de la dérivée interne.

À la place : La fonction interne est $u(x) = -x = -1 \cdot x + 0$ , où $a = -1$ . La formule donne donc $g'(x) = -1 \cdot f'(-x) = -f'(-x)$ .

Vérification · 20

Soit $k(x) = \sqrt{3x^2+1}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . Calcule la valeur exacte de $k'(1)$ .

Remarque

On applique $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x)=3x^2+1$ et $u'(x)=6x$ . Ainsi $k'(x) = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$ . Pour $x=1$ , $k'(1) = \frac{3(1)}{\sqrt{3(1)^2+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$ .

Point de départ · 21

Si une fonction $f$ a une dérivée strictement positive sur un intervalle $I$ (ce qui signifie que la pente de toutes ses tangentes est positive), comment se comporte sa courbe ?

Remarque

Une tangente de pente positive est inclinée vers le haut : lorsque toutes les tangentes montent, la courbe monte et la fonction $f$ est strictement croissante.

Définition · 22

Sens de variation et signe de la dérivée

f \text{ est d\'{e}rivable sur un intervalle } I

$f'(x) > 0 \text{ pour tout } x \in I \iff f \text{ est strictement croissante sur } I$

$f'(x) < 0 \text{ pour tout } x \in I \iff f \text{ est strictement d\'{e}croissante sur } I$

$f'(x) = 0 \text{ pour tout } x \in I \iff f \text{ est constante sur } I$

Exemple travaillé · 23

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . Dresser son tableau de variations.

1

La fonction $f$ est un polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée est :

2

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

3

Les racines de $f'$ sont $-1$ et $1$ . Le trinôme est du signe de $a=3 > 0$ à l'extérieur des racines, et négatif entre les racines.

4

On calcule les images : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$ et $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$ .

x	$-\infty$	-1	1	$+\infty$
f'(x)		+	0	-	+
f(x)		↗	3	↘	-1

Piège classique · 24

Le tableau de variations de la fonction dérivée $f'$ indique que $f'$ est strictement décroissante de $3$ à $1$ sur l'intervalle $[0; 2]$ . Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ sur cet intervalle ?

Attention

Conclure que $f$ est décroissante sur $[0; 2]$ parce que la flèche dans le tableau de $f'$ descend.

À la place : Le sens de variation de $f$ dépend uniquement du signe de $f'(x)$ , et non de ses variations. Puisque $f'(x)$ reste compris entre $1$ et $3$ , on a $f'(x) > 0$ sur $[0; 2]$ : la fonction $f$ est donc strictement croissante.

Exemple travaillé · 25

Soit $g(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . Déterminer le sens de variation de $g$ sur ses intervalles de définition.

1

La fonction $g$ est rationnelle, donc dérivable sur $]-\infty; -1[$ et sur $]-1; +\infty[$ .

2

g'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}

3

Pour tout $x \neq -1$ , le numérateur est $3 > 0$ et le dénominateur $(x+1)^2 > 0$ , donc $g'(x) > 0$ .

4

La fonction $g$ est strictement croissante sur $]-\infty; -1[$ et strictement croissante sur $]-1; +\infty[$ .

Vérification · 26

Soit une fonction $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que sa dérivée vérifie $h'(x) = -2(x-3)^2 - 1$ . Complète la déduction.

Remarque

Pour tout réel $x$ , $(x-3)^2 \ge 0$ , donc $-2(x-3)^2 \le 0$ , d'où $h'(x) \le -1 < 0$ . Comme sa dérivée est strictement négative sur $\mathbb{R}$ , $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Définition · 27

Extrema locaux et dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et soit $x_0 \in I$ :

f'(x_0) = 0 \text{ et } f' \text{ change de signe en } x_0

$f \text{ admet un extremum local en } x_0$

Deux cas selon le sens du changement de signe :

$f' \text{ passe de } + \text{ \`{a} } - \implies f(x_0) \text{ est un maximum local}$

$f' \text{ passe de } - \text{ \`{a} } + \implies f(x_0) \text{ est un minimum local}$

Exemple travaillé · 28

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ . Déterminer les extrema locaux de $f$ et préciser leur nature.

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ . On calcule sa dérivée :

2

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)

3

La dérivée s'annule en $x = -1$ et en $x = 2$ .

4

En $x = -1$ , $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ : $f$ admet un maximum local valant $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 12$ .

5

En $x = 2$ , $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$ : $f$ admet un minimum local valant $f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = -15$ .

Piège classique · 29

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$ . La dérivée $f'(x) = 3x^2$ s'annule en $x = 0$ . La fonction $f$ admet-elle un extremum local en 0 ?

Attention

Conclure que $f$ admet un extremum local en 0 dès que $f'(0) = 0$ .

À la place : Pour tout $x \neq 0$ , $f'(x) = 3x^2 > 0$ . La dérivée s'annule en 0 mais ne change pas de signe : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet aucun extremum local.

Exemple travaillé · 30

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^3 + 3x$ où $a \in \mathbb{R}$ . Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ admette un extremum local en $1$ , puis préciser sa nature.

1

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $f'(x) = 3ax^2 + 3$ .

2

Si $f$ admet un extremum local en $1$ , alors $f'(1) = 0$ , soit $3a(1)^2 + 3 = 0 \iff 3a = -3 \iff a = -1$ .

3

Vérification de la condition suffisante avec $a = -1$ : $f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x-1)(x+1)$ .

4

En $x = 1$ , $f'$ s'annule en passant du signe $+$ (sur $]-1; 1[$ ) au signe $-$ (sur $]1; +\infty[$ ). La fonction $f$ admet donc bien un maximum local en $1$ , égal à $f(1) = -(1)^3 + 3(1) = 2$ .

Vérification · 31

x	$-\infty$	-1	2	$+\infty$
f'(x)		+	0	-	+

D'après ce tableau de signe de la dérivée $f'$ , en quelle abscisse la fonction $f$ admet-elle un maximum local ?

Remarque

En $x = -1$ , la dérivée $f'$ s'annule en passant du signe $+$ au signe $-$ , ce qui caractérise un maximum local pour la fonction $f$ .

Définition · 32

Équation de la tangente et parallélisme

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $x_0$ d'un intervalle $I$ :

f \text{ est d\'{e}rivable en } x_0

$T : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Le nombre dérivé $f'(x_0)$ représente le coefficient directeur de la tangente. Par conséquent :

$T \text{ est parall\`{e}le \`{a} la droite } D : y = mx + p \iff f'(x_0) = m$

Exemple travaillé · 33

Soit $f(x) = -x^2 + 2x - 4$ définie sur $\mathbb{R}$ . Déterminer l'abscisse du point où la tangente est parallèle à la droite $D : y = -2x + 1$ , puis donner l'équation de cette tangente.

1

La fonction $f$ est un polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa dérivée est $f'(x) = -2x + 2$ .

2

La droite $D$ a pour coefficient directeur $m = -2$ . La tangente est parallèle à $D$ si et seulement si $f'(x_0) = -2$ .

3

-2x_0 + 2 = -2 \iff -2x_0 = -4 \iff x_0 = 2

4

On calcule l'ordonnée du point de contact : $f(2) = -(2)^2 + 2(2) - 4 = -4$ .

5

y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -2(x - 2) - 4 = -2x

Piège classique · 34

On cherche les tangentes à la courbe de $f(x) = -x^2 + 2x - 4$ passant par l'origine $O(0; 0)$ . Peut-on écrire directement que l'équation cherchée est $y = f'(0)(x-0) + f(0)$ ?

Attention

Remplacer directement $x_0$ par 0 dans la formule de la tangente en croyant que l'origine est le point de contact.

À la place : Ici $f(0) = -4 \neq 0$ , donc l'origine $O(0; 0)$ n'appartient pas à la courbe : ce n'est pas le point de contact. Il faut écrire l'équation générale en une abscisse inconnue $a$ , $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ , puis injecter les coordonnées $(0; 0)$ pour trouver $a$ .

Exemple travaillé · 35

Soit $f(x) = -x^2 + 2x - 4$ . Déterminer les coordonnées des points de contact des tangentes à la courbe de $f$ qui passent par l'origine $O(0; 0)$ .

1

La tangente au point de contact d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec $f'(a) = -2a+2$ et $f(a) = -a^2+2a-4$ .

2

y = (-2a+2)(x-a) - a^2+2a-4 = (-2a+2)x + a^2 - 4

3

Cette tangente passe par l'origine $(0; 0)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation :

4

0 = (-2a+2)(0) + a^2 - 4 \iff a^2 - 4 = 0 \iff a = 2 \text{ ou } a = -2

5

On évalue $f(2) = -4$ et $f(-2) = -12$ . Les points de contact sont donc $A_1(2; -4)$ et $A_2(-2; -12)$ .

Vérification · 36

Soit $g(x) = x^2 - 4x + 1$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . Détermine l'abscisse du point où la tangente à $\mathscr{C}_g$ est horizontale.

Remarque

Une tangente horizontale a pour coefficient directeur $m = 0$ . On résout $g'(x) = 0 \iff 2x - 4 = 0 \iff x = 2$ .

Fonction dérivée — cours

Le cours

Définition et dérivées usuelles

Règles opératoires de dérivation

Dérivée de la racine carrée d'une fonction

Dérivée d'une composée affine

Sens de variation et signe de la dérivée

Extrema locaux et dérivée

Équation de la tangente et parallélisme

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