Point de départ · 1

On considère la fonction $f(x) = x^2$ et le point fixe $A(1, 1)$ sur sa courbe. Si un point $M(x, x^2)$ se rapproche indéfiniment de $A$ (avec $x \neq 1$ ), quelle est la valeur limite de la pente de la sécante $(AM)$ ?

Remarque

La pente de $(AM)$ s'écrit $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ pour tout $x \neq 1$ . Lorsque $x$ tend vers $1$ , cette pente tend vers $2$ . Cette valeur limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $1$ .

Définition · 2

Définition du nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$ .

$f \text{ est dérivable en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = l \quad (l \in \mathbb{R})$

Le réel $l$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ , noté $f'(x_0)$ .

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$

Remarque

Le quotient $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ est appelé le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $f(x) = 2x^2 - x$ . En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que $f$ est dérivable en $1$ et déterminer $f'(1)$ .

1

On évalue l'image du point $x_0 = 1$ :

f(1) = 2(1)^2 - 1 = 1

2

On forme le taux d'accroissement pour tout $x \neq 1$ :

\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}

3

On factorise le numérateur par $(x - 1)$ :

2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)

4

On simplifie par $(x - 1)$ puis on calcule la limite :

\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(2x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3

5

La limite est un réel fini, donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 3$ .

Exemple travaillé · 4

Soit $f(x) = \sqrt{x + 3}$ . Montrer, à l'aide de la définition, que $f$ est dérivable en $1$ et préciser la valeur de $f'(1)$ .

1

On calcule l'image en $x_0 = 1$ :

f(1) = \sqrt{1 + 3} = 2

2

On pose le taux d'accroissement pour $x \in [-3 ; +\infty[ \setminus \{1\}$ :

\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}

3

On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $(\sqrt{x + 3} + 2)$ :

\frac{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}

4

On simplifie par $(x - 1)$ :

\frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}

5

On calcule la limite quand $x \to 1$ :

\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}

6

La limite est finie, donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = \frac{1}{4}$ .

Piège classique · 5

On souhaite calculer $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ en reconnaissant le nombre dérivé d'une fonction $g$ en un point $a$ . Quel est le bon choix pour $g$ et $a$ ?

Attention

Poser $a = 2$ en lisant le « +2 » au dénominateur et calculer $g'(2) = 4$ .

À la place : Le dénominateur d'un taux d'accroissement est $x - a$ . Ici $x + 2 = x - (-2)$ , donc $a = -2$ . Avec $g(x) = x^2$ , la limite vaut $g'(-2) = -4$ .

Vérification · 6

Soit $f(x) = 3x - x^2$ . En évaluant la limite du taux d'accroissement quand $h \to 0$ , détermine la valeur de $f'(2)$ .

Remarque

On a $f(2) = 2$ et $f(2+h) = 3(2+h) - (2+h)^2 = 2 - h - h^2$ . Le taux d'accroissement s'écrit $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{-h - h^2}{h} = -1 - h$ . Quand $h \to 0$ , la limite vaut $-1$ , d'où $f'(2) = -1$ .

Point de départ · 7

La courbe d'une fonction $f$ passe par le point $A(2, 3)$ et admet en ce point une droite tangente de pente égale à $-1$ . Quelle est l'équation réduite de cette droite tangente ?

Remarque

Une droite de pente $m = -1$ passant par $A(2, 3)$ a pour équation $y - y_A = m(x - x_A)$ , c'est-à-dire $y = -1(x - 2) + 3 = -x + 5$ .

Définition · 8

Interprétation géométrique et équation de la tangente

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ . La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(x_0, f(x_0))$ une tangente $(T)$ .

$(T) : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Le coefficient directeur de $(T)$ est $f'(x_0)$ . Un vecteur directeur de $(T)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ f'(x_0) \end{pmatrix}$ .

Remarque

Si $f'(x_0) = 0$ , la tangente est horizontale et son équation devient $y = f(x_0)$ .

Exemple travaillé · 9

Soit $f(x) = 2x^3 - 4x + 3$ . Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ , sachant que $f'(1) = 2$ .

1

On calcule l'ordonnée du point de contact :

f(1) = 2(1)^3 - 4(1) + 3 = 1

2

On applique la formule de l'équation de la tangente en $a = 1$ :

y = f'(1)(x - 1) + f(1)

3

On remplace par les valeurs $f'(1) = 2$ et $f(1) = 1$ :

y = 2(x - 1) + 1

4

On développe et on réduit l'expression :

y = 2x - 2 + 1 \iff y = 2x - 1

Exemple travaillé · 10

Soit $g(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $g$ au point d'abscisse $a = -2$ , sachant que $g'(-2) = 2$ .

1

On calcule l'ordonnée du point de contact :

g(-2) = \frac{-2 - 1}{-2 + 1} = \frac{-3}{-1} = 3

2

On applique la formule avec $a = -2$ en faisant attention aux signes :

y = g'(-2)(x - (-2)) + g(-2) = 2(x + 2) + 3

3

On développe l'équation :

y = 2x + 4 + 3 \iff y = 2x + 7

Piège classique · 11

Pour une fonction $f$ vérifiant $f(3) = -2$ et $f'(3) = 4$ , quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $3$ ?

Attention

Écrire $y = 4(x + 3) - 2$ en se trompant de signe dans la parenthèse, ou $y = 4x - 2$ en omettant de multiplier la pente par $(x - 3)$ .

À la place : La formule impose $(x - a)$ . Avec $a = 3$ , on a $y = 4(x - 3) + (-2) = 4x - 12 - 2 = 4x - 14$ .

Vérification · 12

La courbe d'une fonction $f$ admet au point $S(-2, 5)$ un extremum local où $f'(-2) = 0$ . Détermine l'équation de la tangente en ce point.

Remarque

Comme $f'(-2) = 0$ , la droite tangente est horizontale de pente nulle. Son équation réduite est $y = f(-2)$ , soit $y = 5$ .

Point de départ · 13

On considère la fonction $f(x) = |x|$ . Pour $x > 0$ , la courbe est la droite $y = x$ de pente $+1$ . Pour $x < 0$ , c'est la droite $y = -x$ de pente $-1$ . La courbe admet-elle une unique pente de tangente à l'origine $(0, 0)$ ?

Remarque

À l'origine, la courbe forme une pointe (un point anguleux). Il n'existe pas de tangente unique, mais deux demi-tangentes de directions différentes selon qu'on s'approche par la droite ou par la gauche.

Définition · 14

Dérivabilité à droite, à gauche et dérivabilité globale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$f'_d(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \quad \text{et} \quad f'_g(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Ces limites finies sont les nombres dérivés à droite et à gauche en $a$ . Elles définissent deux demi-tangentes au point $A(a, f(a))$ :

$T^+ : y = f'_d(a)(x - a) + f(a) \quad (x \ge a) \quad \text{et} \quad T^- : y = f'_g(a)(x - a) + f(a) \quad (x \le a)$

$f \text{ est dérivable en } a \iff f'_d(a) \in \mathbb{R}, \; f'_g(a) \in \mathbb{R} \; \text{et} \; f'_d(a) = f'_g(a)$

Remarque

Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ . Le point $A(a, f(a))$ est un point anguleux.

Exemple travaillé · 15

Soit la fonction $f(x) = |x - 1|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On explicite $f(x)$ sans valeur absolue selon le signe de $(x - 1)$ :

f(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \ge 1 \\ -(x - 1) & \text{si } x < 1 \end{cases}

2

On a $f(1) = 0$ . On calcule le nombre dérivé à droite en $1$ :

\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{x - 1} = 1 \implies f'_d(1) = 1

3

On calcule le nombre dérivé à gauche en $1$ :

\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x - 1)}{x - 1} = -1 \implies f'_g(1) = -1

4

Puisque $f'_d(1) \neq f'_g(1)$ ( $1 \neq -1$ ), la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$ .

5

Interprétation : au point $A(1, 0)$ , la courbe admet deux demi-tangentes de pentes $+1$ et $-1$ , formant un point anguleux.

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$ si $x \ge -1$ , et $f(x) = -2x$ si $x < -1$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1$ .

1

On calcule l'image exacte au point de jonction :

f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2

2

On calcule le taux d'accroissement à droite ( $x > -1$ ) :

\lim_{x \to -1^+} \frac{(x^2 + 1) - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^+} (x - 1) = -2

3

On calcule le taux d'accroissement à gauche ( $x < -1$ ) :

\lim_{x \to -1^-} \frac{-2x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-2(x + 1)}{x + 1} = -2

4

Les limites latérales sont finies et égales ( $f'_d(-1) = f'_g(-1) = -2$ ). Donc $f$ est dérivable en $-1$ et $f'(-1) = -2$ .

Piège classique · 17

Une fonction $f$ vérifie $f'_d(2) = 3$ et $f'_g(2) = -1$ . Que peut-on conclure concernant la dérivabilité de $f$ en $2$ ?

Attention

Penser que la simple finitude des dérivées latérales suffit à rendre la fonction dérivable en ce point.

À la place : Pour que $f$ soit dérivable en $a$ , il faut impérativement que $f'_d(a) = f'_g(a)$ . Ici $3 \neq -1$ , donc $f$ n'est pas dérivable en $2$ (la courbe présente un point anguleux).

Vérification · 18

Pour la fonction $f(x) = |1 - x^2|$ , le calcul des limites unilatérales du taux d'accroissement en $1$ donne $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = 2$ et $\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -2$ . Renseigne les valeurs des nombres dérivés latéraux.

Remarque

On a $f'_d(1) = 2$ et $f'_g(1) = -2$ . Comme ces deux réels sont distincts, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$ et admet un point anguleux au point $(1, 0)$ .

Point de départ · 19

On observe la courbe de la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ pour $x > 0$ . Lorsque $x$ se rapproche de $0$ par valeurs supérieures, le taux d'accroissement $\frac{\sqrt{x} - 0}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ devient arbitrairement grand et tend vers $+\infty$ . Que devient géométriquement la sécante joignant l'origine au point $M(x, \sqrt{x})$ ?

Remarque

La pente de la sécante tend vers $+\infty$ : la droite pivote jusqu'à atteindre une position limite verticale. La courbe admet ainsi une demi-tangente verticale à l'origine.

Définition · 20

Limite infinie du taux d'accroissement et demi-tangente verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = +\infty \quad (\text{ou } -\infty)$

La limite n'étant pas un nombre réel fini, $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$ .

Géométriquement, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(a, f(a))$ une demi-tangente verticale d'équation $x = a$ .

$f \text{ est dérivable en } a \implies f \text{ est continue en } a$

Remarque

La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (comme en présence d'une demi-tangente verticale ou d'un point anguleux).

Exemple travaillé · 21

Soit $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ définie sur $[3 ; +\infty[$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $3$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image en $x_0 = 3$ :

f(3) = \sqrt{2(3) - 6} = 0

2

On forme le taux d'accroissement à droite pour tout $x > 3$ :

\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x - 3} = \frac{\sqrt{2(x - 3)}}{x - 3}

3

Comme $x > 3$ , on a $x - 3 = (\sqrt{x - 3})^2$ , ce qui permet de simplifier :

\frac{\sqrt{2}\sqrt{x - 3}}{(\sqrt{x - 3})^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x - 3}}

4

On calcule la limite lorsque $x \to 3^+$ :

\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x - 3}} = +\infty

5

La limite est infinie, donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $3$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(3, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 22

Soit la fonction $g$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $g(x) = (1 - x)\sqrt{1 - x^2}$ . Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $-1$ .

1

On calcule l'image en $-1$ :

g(-1) = (1 - (-1))\sqrt{1 - (-1)^2} = 0

2

On écrit le taux d'accroissement pour $x \in ]-1 ; 1]$ :

\frac{g(x) - g(-1)}{x + 1} = \frac{(1 - x)\sqrt{1 - x^2}}{x + 1}

3

On factorise $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$ et on utilise $x + 1 = (\sqrt{x + 1})^2$ pour $x > -1$ :

\frac{(1 - x)\sqrt{1 - x}\sqrt{1 + x}}{(\sqrt{x + 1})^2} = \frac{(1 - x)\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}}

4

Quand $x \to -1^+$ , le numérateur tend vers $2\sqrt{2}$ et le dénominateur vers $0^+$ , d'où :

\lim_{x \to -1^+} \frac{(1 - x)\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} = +\infty

5

La fonction $g$ n'est pas dérivable à droite en $-1$ . Sa courbe admet une demi-tangente verticale au point $(-1, 0)$ .

Piège classique · 23

Pour étudier la dérivabilité en $x = 2$ de $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ sur $[2 ; +\infty[$ , peut-on appliquer directement la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ?

Attention

Appliquer la formule de dérivation globale $(\sqrt{u})'$ en un point où la quantité sous la racine s'annule, ce qui produit une division par zéro.

À la place : Le théorème de dérivation de $\sqrt{u}$ exige $u(x) > 0$ . Comme $u(2) = 0$ , la formule est inapplicable : il faut obligatoirement étudier la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ .

Vérification · 24

Parmi les affirmations suivantes sur le lien entre continuité et dérivabilité, laquelle est exacte ?

Remarque

La dérivabilité en un point est une condition plus forte qui entraîne nécessairement la continuité. La réciproque est fausse : la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ .

Point de départ · 25

Pour dériver la fonction $f(x) = x \cdot x^2$ , peut-on dériver chaque facteur séparément et écrire $(x)' \times (x^2)' = 1 \times 2x = 2x$ ?

Remarque

En développant d'abord l'expression, on a $f(x) = x^3$ , dont la dérivée exacte est $3x^2 \neq 2x$ . La règle $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ est fausse : la dérivation d'un produit obéit à la règle de Leibniz $(uv)' = u'v + uv'$ .

Définition · 26

Règles opératoires de dérivation

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables en un point $a$ , et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ .

$(u + v)'(a) = u'(a) + v'(a) \quad \text{et} \quad (\alpha u + \beta v)'(a) = \alpha u'(a) + \beta v'(a)$

$(u \cdot v)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$

$(u^n)'(a) = n \, u'(a) \, u^{n-1}(a) \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Si de plus $v(a) \neq 0$ :

$\left(\frac{1}{v}\right)'(a) = \frac{-v'(a)}{(v(a))^2} \quad \text{et} \quad \left(\frac{u}{v}\right)'(a) = \frac{u'(a)v(a) - u(a)v'(a)}{(v(a))^2}$

Si $u(a) > 0$ :

$(\sqrt{u})'(a) = \frac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}}$

Exemple travaillé · 27

Soit $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$ puis calculer le nombre dérivé $f'(1)$ .

1

On pose les fonctions composantes du quotient :

u(x) = 2x + 1 \implies u'(x) = 2 \quad \text{et} \quad v(x) = x - 3 \implies v'(x) = 1

2

On applique la règle de dérivation du quotient :

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{2(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2}

3

On développe et on réduit le numérateur sans développer le dénominateur :

f'(x) = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}

4

On évalue la dérivée en $x = 1$ :

f'(1) = \frac{-7}{(1 - 3)^2} = \frac{-7}{(-2)^2} = -\frac{7}{4}

Exemple travaillé · 28

Soit $g(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , déterminer l'expression de $g'(x)$ et calculer $g'(2)$ .

1

Le polynôme $u(x) = x^2 + 5$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ ( $x^2 + 5 \ge 5 > 0$ ). Donc $g = \sqrt{u}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule la dérivée interne :

u'(x) = 2x

3

On applique la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ et on simplifie par $2$ :

g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}

4

On évalue la dérivée au point d'abscisse $x = 2$ :

g'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 5}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}

Piège classique · 29

Pour déterminer le nombre dérivé en $a = 1$ de $f(x) = (3x - 1)^2$ , un élève calcule d'abord $f(1) = (3(1) - 1)^2 = 4$ , puis dérive ce résultat pour obtenir $f'(1) = (4)' = 0$ . Pourquoi ce calcul est-il faux ?

Attention

Évaluer la fonction en la valeur $a$ avant de dériver, ce qui transforme l'expression en une constante dont la dérivée est systématiquement nulle.

À la place : Il faut d'abord calculer la fonction dérivée formelle $f'(x) = 2(3)(3x - 1) = 6(3x - 1)$ , puis remplacer $x$ par $1$ , ce qui donne $f'(1) = 6(2) = 12$ .

Vérification · 30

Soit $f(x) = \frac{4}{2x + 3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ . À l'aide des règles de dérivation, détermine la valeur de $f'(-1)$ .

Remarque

Pour une fonction de la forme $\frac{k}{u}$ , on a $f'(x) = \frac{-k u'(x)}{(u(x))^2}$ . Avec $u(x) = 2x + 3$ et $u'(x) = 2$ , on obtient $f'(x) = \frac{-4(2)}{(2x + 3)^2} = \frac{-8}{(2x + 3)^2}$ . Pour $x = -1$ , $f'(-1) = \frac{-8}{(2(-1) + 3)^2} = \frac{-8}{1^2} = -8$ .

Point de départ · 31

On cherche à estimer mentalement la valeur de $\sqrt{1{,}002}$ sans calculatrice. Quelle droite proche de la courbe de $f(x) = \sqrt{x}$ au point d'abscisse $1$ permet d'obtenir rapidement une excellente valeur approchée ?

Remarque

Au voisinage immédiat de $x = 1$ , la courbe représentative est presque confondue avec sa droite tangente. On peut donc remplacer le calcul de la fonction par la formule affine de sa tangente.

Définition · 32

Approximation affine locale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et dérivable en un point $a \in I$ .

$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h \quad (\text{pour } h \text{ voisin de } 0)$

Le réel $f(a) + f'(a)h$ est appelé l'approximation affine de $f(a+h)$ au voisinage de $0$ .

Remarque

Cette estimation correspond géométriquement à remplacer l'ordonnée sur la courbe par l'ordonnée sur la droite tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ en posant $x - a = h$ .

Exemple travaillé · 33

Déterminer l'approximation affine de $\sqrt{1 + h}$ pour $h$ proche de $0$ , puis en déduire une estimation des nombres $\sqrt{1{,}004}$ et $\sqrt{0{,}998}$ .

1

On pose la fonction de référence $f(x) = \sqrt{x}$ et le point d'ancrage $a = 1$ .

2

On calcule l'image et le nombre dérivé en $1$ :

f(1) = 1 \quad \text{et} \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1) = \frac{1}{2}

3

On applique la formule d'approximation affine :

\sqrt{1 + h} \approx f(1) + f'(1)h = 1 + \frac{1}{2}h

4

Pour $\sqrt{1{,}004}$ , on pose $1 + h = 1{,}004 \implies h = 0{,}004$ :

\sqrt{1{,}004} \approx 1 + \frac{1}{2}(0{,}004) = 1 + 0{,}002 = 1{,}002

5

Pour $\sqrt{0{,}998}$ , on pose $1 + h = 0{,}998 \implies h = -0{,}002$ :

\sqrt{0{,}998} \approx 1 + \frac{1}{2}(-0{,}002) = 1 - 0{,}001 = 0{,}999

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction $f(x) = (1+x)^5$ . Déterminer l'approximation affine de $f$ au voisinage de $0$ , puis en déduire une valeur approchée de $(1{,}0002)^5$ .

1

On calcule l'image en $0$ :

f(0) = (1+0)^5 = 1

2

On calcule la dérivée et le nombre dérivé en $0$ :

f'(x) = 5(1+x)^4 \implies f'(0) = 5(1)^4 = 5

3

On écrit l'approximation affine au voisinage de $0$ :

f(h) \approx f(0) + f'(0)h = 1 + 5h

4

Pour estimer $(1{,}0002)^5$ , on identifie $h = 0{,}0002$ :

(1{,}0002)^5 \approx 1 + 5(0{,}0002) = 1 + 0{,}0010 = 1{,}001

Piège classique · 35

On utilise la formule usuelle $\frac{1}{1+h} \approx 1 - h$ pour estimer le nombre $\frac{1}{0{,}98}$ . Quelle est la valeur correcte de l'accroissement $h$ et l'estimation associée ?

Attention

Prendre $h = 0{,}02$ comme un écart positif brut, ce qui donne $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ , résultat absurde pour l'inverse d'un nombre strictement inférieur à $1$ .

À la place : On pose $1 + h = 0{,}98 \implies h = 0{,}98 - 1 = -0{,}02$ . La formule donne $\frac{1}{1+(-0{,}02)} \approx 1 - (-0{,}02) = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ .

Vérification · 36

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ . Sachant que $f(2) = 5$ et $f'(2) = 2$ , détermine l'approximation affine de $f(2{,}00001)$ .

Remarque

Avec $a = 2$ et $h = 0{,}00001$ , on applique $f(2+h) \approx f(2) + f'(2)h = 5 + 2(0{,}00001) = 5{,}00002$ .

Point de départ · 37

Soit la droite $(D)$ d'équation $y = 3x - 1$ . Si la courbe d'une fonction $f$ admet au point $A(x_0, f(x_0))$ une tangente $(T)$ parallèle à $(D)$ , quelle doit être la valeur du nombre dérivé $f'(x_0)$ ?

Remarque

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Le coefficient directeur de la tangente étant $f'(x_0)$ et celui de $(D)$ étant $3$ , on a nécessairement $f'(x_0) = 3$ .

Définition · 38

Tangentes parallèles et perpendiculaires à une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ , $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $(D)$ une droite d'équation $y = mx + p$ .

$(T) \parallel (D) \iff f'(x_0) = m$

La tangente $(T)$ en $x_0$ est perpendiculaire à $(D)$ si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$ :

$(T) \perp (D) \iff f'(x_0) \times m = -1 \iff f'(x_0) = -\frac{1}{m} \quad (m \neq 0)$

Remarque

Ces conditions permettent de déterminer l'abscisse $x_0$ du point de contact en résolvant l'équation correspondante en $f'(x_0)$ .

Exemple travaillé · 39

Soit la fonction $f(x) = x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ . Déterminer les coordonnées des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite sécante $(AB)$ passant par $A(-1, -1)$ et $B(2, 8)$ .

1

On calcule le coefficient directeur $m$ de la droite sécante $(AB)$ :

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3

2

On calcule la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

f'(x) = 3x^2

3

On traduit le parallélisme par l'égalité des pentes $f'(x_0) = m$ et on résout l'équation :

3x_0^2 = 3 \iff x_0^2 = 1 \iff x_0 = 1 \quad \text{ou} \quad x_0 = -1

4

On calcule les ordonnées respectives des points de contact :

f(1) = 1^3 = 1 \quad \text{et} \quad f(-1) = (-1)^3 = -1

5

Les points de contact sont $M_1(1, 1)$ et $M_2(-1, -1)$ (qui est le point $A$ lui-même).

Exemple travaillé · 40

Soit $f(x) = 2x^2 + x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$ . Déterminer le point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente $(T)$ est perpendiculaire à la droite $(D)$ d'équation $x - 7y + 7 = 0$ .

1

On met l'équation de $(D)$ sous forme réduite pour déterminer sa pente :

x - 7y + 7 = 0 \iff 7y = x + 7 \iff y = \frac{1}{7}x + 1 \implies m = \frac{1}{7}

2

La condition d'orthogonalité $(T) \perp (D)$ impose $f'(x_0) \times m = -1$ :

f'(x_0) \times \frac{1}{7} = -1 \iff f'(x_0) = -7

3

On calcule la dérivée $f'(x) = 4x + 1$ et on résout l'équation :

4x_0 + 1 = -7 \iff 4x_0 = -8 \iff x_0 = -2

4

On calcule l'ordonnée du point de contact :

f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) + 1 = 8 - 2 + 1 = 7

5

Le point cherché est $M(-2, 7)$ .

Piège classique · 41

On cherche les points où la tangente à une courbe est perpendiculaire à la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 5$ . Quelle équation sur le nombre dérivé doit-on poser ?

Attention

Poser $f'(x_0) = -2$ en pensant qu'il suffit d'opposer le signe de la pente.

À la place : La condition d'orthogonalité est $f'(x_0) \times m = -1$ . Avec $m = 2$ , l'équation exacte est $f'(x_0) \times 2 = -1 \iff f'(x_0) = -\frac{1}{2}$ .

Vérification · 42

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 3x + 1$ . Détermine l'abscisse $x_0$ du point en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 2$ .

Remarque

La droite a pour coefficient directeur $m = 5$ . On a $f'(x) = 2x - 3$ . On résout $f'(x_0) = 5 \iff 2x_0 - 3 = 5 \iff 2x_0 = 8 \iff x_0 = 4$ .

Nombre dérivé — cours

Le cours

Définition du nombre dérivé en un point

Interprétation géométrique et équation de la tangente

Dérivabilité à droite, à gauche et dérivabilité globale

Limite infinie du taux d'accroissement et demi-tangente verticale

Règles opératoires de dérivation

Approximation affine locale

Tangentes parallèles et perpendiculaires à une droite

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